以前の「ひとこと」 ： 2023年1月前半
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1月1日(日) 元旦
あけましておめでとうございます。本年も「あそびをせんとや」をよろしくお願いいたします。
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庭のナンテンと折り紙のうさぎを玄関に飾りました。
昨年末、年賀状に干支の折り紙の写真を小さく載せようかなと思って、伝承作品の「かみふうせん」のアレンジの「ふうせんうさぎ」をさらにアレンジしてみたのです。玄関に飾ったのは「試作No.3」で、下の写真は「試作No.1」と「試作No.2」です。折り線がいずれも微妙に異なります。
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| 「ふうせんうさぎ」のアレンジ |
普通のふうせんうさぎは紙の裏側が耳の内側に見えるように折りますが、このアレンジでは紙の裏側は見えない折り方にしてみました。自分のメモのための途中写真を３つほど載せておきます。
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| 折り筋を少し斜めに | 尾を尖らせる | 耳を大きく |
昨年の暮れにこんな計算を見かけてびっくりしたのです。
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7の7乗（7×7×7×7×7×7×7＝823543）を7の階乗（7×6×5×4×3×2×1=5040）で割った余りを計算してみてください。情報源はこちらです（答も書かれていますので計算してみてから開いてみることをお勧めします）。
昨日の大晦日に自分の部屋の大掃除をしたのです。そうしたら、昔買ってあったナノブロックの鏡餅（未開封）が出てきました。ワゴンセールで安くなっていたのを見かけて、 お正月に作って飾るといいなと思って何年か前に買ったのですが、そのまますっかり忘れていました。お掃除が終わった後で組み立ててみました。
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いつものように A-Puzzle-A-Day の上に載せて写真を撮ってみました。この写真もいつか年賀状に使えるかもしれないと思いました。
A-Puzzle-A-Day の1月1日表示は妻が解いてくれたのですが、これ、1ピースを裏返すだけで1月2日に変えられる優れた解です。（個人的にフリップ解と呼んでいます。）
新年初めてのあやとりは何をご紹介しようかなと思ったのですが、「手順が同じで整え方を変えると違ったあやとりに見える」というものをご紹介しようと思います。
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| hh230101-1 | hh230101-2 | hh230101-3 |
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これら３つは全然違うあやとりに見えるのではないでしょうか。あやとりを取る手順（操作）だけを記述するならば、この3作品は区別できないことになってしまいます。
実は、中央のもの(2)と右のもの(3)は取り直さずにマグネットボードの上だけで変形してみています。あやとり紐を輪にするための結び目の位置がだいぶ移動しているのにご注目ください。(2)では結び目は中央上の右寄りのところにありますが、(3)では外周の右端のところにあります。
このように「整え方を変える」ということをやってみると、これまでご紹介してきたたくさんのパターンあやとりも、別の姿に変えることができる可能性があることに気付きます。あやとりで遊ぶ次元が１つ増えたような気がしたのです。2023年はそんな観点でもあやとりを楽しみたいと思っています。
＜おまけのひとこと＞
77 mod 7! を知ったのは年賀状を書いて出してしまった後でした。残念…
1月2日(月) 小町算、パズル、あやとり
小町算と箱詰めパズルとあやとりの話です。
今年の年賀状にはこんな小町算を載せたのです。
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カッコ()がヒントです。
こんなパズルを見かけたのです。正方形9つから成る以下の9ピースで9×9の正方形を作って下さい、という箱詰めパズルです。
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| 図 1 |
この9ピースは以下の基準で選ばれています。
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| 図 2a | 図 2b |
図2aのように、3×3の正方形の角の1つを取り除いて、その1つをどこかにくっつけると6種類のかたちができます。また、2×4の長方形に1つ追加すると3種類のかたちができます。（回転や裏返して同じになるものは同じとみなします。）
Lewis Patterson氏が2022年8月に公開されたパズルだそうです(こちら)。解はユニーク解(1つだけ)だそうです。手作業で探してもなんとか解けるくらいの難易度だと思いました。
ナウルの技法のあやとりです。「ビヤトエイディオウィナゴ」を複数回取るとこうなります。
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| hh230102-1 | hh230102-2 |
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もっと長い糸を使って「ビヤトエイディオウィナゴ」を3回取ってもいいのでしょうけれども、これで十分かなと思います。上の右側のあやとり、もう半年くらい部屋に飾りっぱなしになっています。この緑の糸は写真を撮ったときに背景を白に飛ばしても色がしっかり残っていますし、交差の上下もわかりやすくてとても好ましいあやとりひもなので、そろそろ回収して別の作品も取るようにしたいと思いました。
昨日、出かけたときに絵本「つみきのいえ」(加藤久仁生／絵 平田研也／文、白泉社：2008) を見かけてつい買ってしまいました。こちらの絵本ナビでは最初の数ページが閲覧できます。
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おそらくひとは文字のない太古の昔から、ほかのひとの話を聞くことで自分がまだ体験したことのない経験を追体験して、生きるための知恵や辛い状況での気持ちの持ちようなどを学んできたのだと思います。本を読むとか映画を見るとかいうのは、その機会をさらに広げる行為なのだと思うのです。そういった追体験の中にはもちろん自分が一生体験することがないであろうこともたくさんありますが、避けることができない辛いこともたくさんあります。
自分がこの「つみきのいえ」のおじいさんのような生活をすることになるのかわかりませんが(もちろんこういう「どんどん水位が上がってきて上へ上へと増築しなければならない家に住む」ということは決してないと思いますが)、仮にそうなったとしたら自分はどんなふうに暮らすのだろう、と思いました。
＜おまけのひとこと＞
昨日の元日は午前中に地区の中にある小さな神社にお参りして（誰もいませんでした）、ちょっとだけ車で出かけました。固いオニグルミを買ってきたのですが、それを割るのにとても手こずっています。それもまた楽しいです。
1月3日(火) ユニット折り紙(失敗)、あやとり
ユニット折り紙の話とあやとりの話です。下のほうに昨日のパズルを再掲して、解答へのリンクを置きました。
昨年、ではなくて一昨年の八月に、シンプルな6枚組の正八面体骨格をご紹介したことがありました。
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同じ原理で立方八面体が作れないだろうかとふと思ったのです。立方八面体なら12枚必要です。また、正方形から折ると多分余計な部分の処理が必要になります。こんな風にユニットを正六角形にすればよいのではないかと思ったのです。
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正方形から正六角形を切り出すために、用紙を四つ折りにして、「テンプレート」を重ねて指で押さえてハサミで切りました(写真1)。
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| 写真 1 |
正方形を四つ折りにした折り線を改めて全て谷折りにし直して、正六角形の残りの２つの対角線を山折りにすることでユニットが完成します。4色でそれぞれ3つずつ作りました(写真2)。
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| 写真 2 |
組み始めてみて、「あ、これはロックしないな」とわかりました。クリップで仮止めしながら組んだのですが、最後にクリップを外すとどんどん分解していってしまうのです。せっかく作ったユニットを捨ててしまうのも忍びないので、極めて不本意ですが接着することにしました。
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| 写真 3a | 写真 3b | |
| 12ユニットによる立方八面体（組立時に接着している） | ||
同じ用紙から作った正方形のユニット6枚組の正八面体と一緒に写真を撮ってみました。
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| 写真 4 |
ユニット折り紙、やっぱり自分の得意なジャンルではないなあと思いました。
あやとりです。昨年取ってご紹介しそびれているものを見直していたら、こんなのがありました。
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| hh230103-1 |
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極力対称になるように取っているつもりが、完成形が上下非対称になってしまいました。普段なら紹介しない出来栄えです。でもなんだかウサギみたいだなあと思ったのです。だとすると兎年のお正月くらいしか掲載するチャンスがないなあと今朝思ったのでした。
昨日のこの小町算の問題の答をこちらに、
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この9ピースを9×9に納める箱詰めパズルの答をこちらに、
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それぞれ置きました。（別窓で画像が開きます。）
オニグルミ、お湯に浸けて（あるいは煮て）からフライパンで炒ると割れやすくなるというので試してみたのですが、それでも手強いです。お湯に浸けて炒るのに1時間くらい、その後で1時間以上かけても20個くらいしか割ることができませんでした。家にあるいろいろな道具でいくつかの手法を試みたのですが、決定的なやり方にたどり着いていません。運動不足解消も兼ねて午後にホームセンターに行ってみたりもしたのですが、売られている「くるみ割り」を見ると「オニグルミ等の固い和クルミは割れずに器具が破損することがありますのでご注意ください」などと書かれていました。検索してみると、ペンチやニッパーのような構造で、片側がスプーンのような形状でクルミを保持するかたち、もう片側が丈夫な刃物のようになっている専用器具が開発されているようです。オニグルミ、すごく美味しいのですが専用器具を買うかどうかというと悩ましいところです。
＜おまけのひとこと＞
お正月なのでのんびり時間をかけてこのページを書いています。
1月4日(水) 対称形を作るパズル、カレンダーパズル、あやとり
パズルのご紹介とあやとりの話です。
お正月休み、自分が知らなくて簡単に試せそうな（試作したり解析したりできそうな）パズルを検索してみています。Tans Danceというパズルがありました。直角二等辺三角形4つを連結した5種類のピースのセットです。
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| Tans Dance |
説明書の画像に、パズルのゴールとして以下が書かれていました。
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これはスチレンボードとかで自作して遊んでみたくなりました。とりあえず穴の空いていない凸多角形は作れるのだろうか、と思いました。なんとなく作れそうな気がします。
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あいかわらず毎日 A-Puzzle-A-Day を解いています。（写真は元日に載せたものの再掲です。）
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同じコンセプトで、こんなパズルがありました。
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| Calender Puzzle(erich-friedman.github.io/puzzle-a-day/) | ||
これはなかなか難しそうです。
昨日のあやとり、一工程だけ手を加えてみました。だいぶ対称性が高くなりました。同じものを2.4mの紐と3mの紐で取ってみました。
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| hh230104-1a | hh230104-1b |
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手順4. を昨日の工程に追加しました。これ、以前もご紹介したことがあるような気がしてきました。再掲でしたらすみません。
＜おまけのひとこと＞
お正月休みが終わってしまって残念です。
1月5日(木) 図形の分割問題(その1)、あやとり
図形の分割問題の話とあやとりの話です。昨日のシンメトリーを作るパズルのヒント(？)の画像も用意してリンクしました。
ルジンの問題と呼ばれる、「正方形を全てサイズの異なる正方形に分割する」という問題があります。割と最近に書かれた正方形分割正方形問題という記事があって、この問題の歴史と解決手段が整理されていて面白いです。（私も昔、正方形による分割という記事を書いたことがありました。）
この問題を一般化して考えてみましょう。「ある幾何学図形を、全てサイズが異なる全体と同じ形の（＝相似の）幾何学図形に分割しなさい」ということになるかと思います。どんな図形を思い浮かべますか？（簡単な例があります。）
分割していったときに外側（全体）と相似なかたちになるというと、身近にあるシルバー矩形と呼ばれる辺の長さが1対√2の長方形をまず思い浮かべました。これは長辺の中点を結ぶと、もとと相似な長方形が２つに分割できます。分割された片方をさらに分割してゆくと、相似な長方形を2,3,4,5,6… とどんどん増やしてゆくことができます。
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| 図 1 |
しかし残念ながらこの方法では、どこまで行っても最後の２つは同じ大きさです。全てサイズが異なるという条件を満たせません。
ところがこのシルバー矩形、「全てサイズの異なるシルバー矩形に分割する」ことができるのです。しかも、下の図のようにわずか10×20単位の格子で実現できるのです。
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| 図 2 |
ルジンの問題の解が、112×112単位の正方格子を使って21個の正方形に分割されたものと比べると手作業でも取り組むことができそうな規模の問題です。分割の単位として使えるのは以下のようなものです。(もちろんこれで全てではないですし、以下の例を全て使うとは限りません。)
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| 図 3 |
この問題の答は明日（別窓のリンクで）ご紹介します。Ed Pegg 氏が見つけられたのだと思います。
昨日のこの5ピースのパズルですが、
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凸多角形を2種類作ることができました。こちらにそのかたちの図を置きました。別窓で開きます。5つのピースの配置は明かしていません。外形だけです。でも、作るべき外形がわかると、比較的易しい部類かなあと思います。
放っておくと忘れて埋もれてしまいそうな昨年のあやとりを紹介しています。「人差し指・薬指が二重の7本指の構え」から「ケルトのタペストリー」です。3mのあやとりひもでもかなり窮屈になってきたので、もっと長いあやとりひもでも取ってみました。
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| hh230105-1a | hh230105-1b |
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なかなかきれいに整いませんでした。中央部分のアップの写真です。
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＜おまけのひとこと＞
図形の分割問題、ぜんぜん違うことを書くつもりで今朝準備を始めたら、シルバー矩形の話がメインになってしまいました。
1月6日(金) シルバー矩形の分割問題、あやとり
図形の分割問題の話とあやとりの話です。
昨日、下の図のようなシルバー矩形(縦横の長さの比が1対√2の長方形)10×20単位の格子を利用して、シルバー矩形をすべて大きさが異なるシルバー矩形に分割するという問題をご紹介しました。
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| 再掲図 |
解の図は大変美しいので直接載せようかとも思ったのですが、一応別窓で開くリンクにしておきます。こちらです。
この問題が面白かったので、他にも出来ないか検討してみていますが、いまのところ他の例は見つかっていません。
たとえば以下の例は、面積が1,2,4,9,16 の5つのシルバー矩形で面積が32のシルバー矩形が出来ないか？ ということを表した図です。これ、面積の合計は合っていますが入らない例です。
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| 失敗例 1 |
同様に、上の例に18のシルバー矩形を加えて50のシルバー矩形ができないか考えてみましたが、これも無理でした。
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| 失敗例 2 |
あやとりです。四隅の小さな輪の処理の、最後の逆ナバホ取りを二重ナバホ取りに変えてみたのです。
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| hh230106-1 | hh230106-2 |
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ここから何か相性の良い装飾処理や終了処理を探してみています。まだ決定版と言えるようなものは見つかっていません。
今日は寒いです。今朝の5時半くらいに外の気温が知りたくて窓に貼った屋外温度計を見に行ったら、ちょうど西の空に月が沈むところでした。
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| 2023年1月6日 05:30ころ |
外はマイナス10℃くらいのようです。
＜おまけのひとこと＞
自分の部屋の暖房は、電気を使わない石油ストーブを使っています。先週、ストーブに灯油を入れるときに派手にこぼしてしまいました。いつもはそんなことは無いのにショックでした。よくよく見ると注ぎ口のノズルの根元のキャップが割れてしまっていました。もう20年くらい使っている灯油のポリタンクなので、一番力がかかる（こぼれないように強く締める）キャップのネジ溝の部分が割れてしまうというのはある意味当然でした。
昨日、交換用のキャップとノズルを買ってきたのですが、なんとノズルの先端が細く絞られていないタイプを買ってしまって、石油ストーブの給油口に入らないのです。大きなタンクなどに移すときは内径が大きいほうが流量が大きくなるので好ましいのだと思いますが、そういうタイプの注ぎ口があるんだということを知らなかったため、チェックが甘かったです。
幸い、キャップ部分だけを交換するだけでこぼさずに給油できることが確認できました。ノズルのホースの部分もいずれ劣化してくるでしょうから、点検を怠らないようにしたいと思いました。灯油をこぼすとショックなのでしばらくは慎重になるのですが、トラブルが無い期間が続くとつい油断してしまいます。
1月7日(土) シルバー矩形の分割問題（探索中）、あやとり、他
シルバー矩形の分割問題の話とあやとりの話です。
シルバー矩形を全てサイズの異なるシルバー矩形に分割する問題、他の解がないか探しているのですがまだ見つかっていません。おそらく最小解と思われる美しい解が得られているのでもうそれで十分という気もするのですが、気になって探索してみています。
シルバー矩形の格子の上にサイズの異なるシルバー矩形を作るには、下の図のように縦長の格子で考えるならば、n2単位ならば縦長、2×n2単位ならば横長のシルバー矩形ができます。それらを足し合わせて大きなシルバー矩形を作ろうとすると、面積の和が等しいことが必要条件になります。17×17のシルバー矩形を下の小シルバー矩形のセットで埋められないか検討してみました。
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| 17x17に{1,4,9,16,36,49,64}と{2,8,18,32,50}が入らないか？ |
縦横が合わないピースが２つ残ってしまいました。（縦横の比率を変えても良ければ他にもたくさんの解がありました。）
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| 入らない… |
ここ数日はこの探索をパソコンで試みています。結果的に他の解は見つからないかもしれません。
あやとりです。昨日の四隅の小さな輪の処理の、最後の逆ナバホ取りを二重ナバホ取りに変えてみたもの、まずは素直に「焼け焦げた葉のククイの終了処理」（ただし親指・小指はひねらない）をやってみました。
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| hh230107-1 | |
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内側に2本の糸が絡み合った輪のようなものができるのがちょっと面白いです。
サッカーボール型タンパク質ナノ粒子TIP60を壊して戻す技術開発というプレスリリースを興味深く読みました。
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| サッカーボール型タンパク質ナノ粒子TIP60 |
タンパク質というのはアミノ酸（「アミノ酸」は固有の分子の名称ではないので、アミノ酸と言ってもいろいろなアミノ酸があり、例えば生体内には必須アミノ酸と呼ばれる20種類のアミノ酸があります）が一列に連なったもので、温度やpHなどの条件によって自律的に特定の立体構造をつくることで複雑な幾何学形状を再現し、その形状によって様々な機能を実現しています。
この人工タンパク質の研究は、2種類のタンパク質でダイマー（二量体といって、同じ分子やサブユニットが２つ結合してまとまったもの）を作り、それが30個集まって正十二面体（二十面十二面体といったほうがより正確かもしれません）の構造を作った、というものです。さらに単にこの構造ができたというだけではなく、これを自由に分解したり再構成したりする条件を見つけた、というところがすごいところです。その証拠として、一本鎖のDNAを中に閉じ込めたものを作ったそうです。こちらのページReversible Assembly of an Artificial Protein Nanocage Using Alkaline Earth Metal Ions(Naoya Ohara, Norifumi Kawakami*, Ryoichi Arai, Naruhiko Adachi, Toshio Moriya, Masato Kawasaki, and Kenji Miyamoto*)でAbstract が読めるので、もう少しだけ詳しいことがわかります。
ブロック玩具であれば自分の手でつかんではめたり外したりできますが、小さな分子はそういった機械的な操作をするわけにはいきません。この例では特定の金属イオンを付加することで、上の図の5つの緑の花びらのような部位の中心に金属が配位されてダイマーを「くっつける」のです。分解するにはEDTA（エチレンジアミン四酢酸二水素ナトリウム）という、金属イオンと高い親和性を持つ試薬（キレート滴定という、金属イオンの濃度を調べるのに使う手法で用いられる有名な試薬です）を加えると、金属イオンはEDTAに奪い取られてしまうため、この十二面体構造は分解してしまうのだそうです。再び金属イオンが豊富な環境に戻してやると、自律的に十二面体構造が作られるということです。
単純に「ユニット折り紙みたいだな」と思って図を眺めたのですが、原理を少し追いかけて調べてみたら面白かったのです。立体化学の世界もどんどん進歩していて楽しいです。
＜おまけのひとこと＞
昨日は出張でした。最寄駅を朝7時ちょうどの特急で出発し、帰りはぴったり12時間後の新宿19時ちょうどの特急で帰ってきました。年明け、さっそく忙しくなってきました。ありがたいことです。
1月8日(日) ヒンメリ(その1)、あやとり
フィンランドの麦わらモビールの話とあやとりの話です。
昨日は返却期限が来ていた本を返しに地元の図書館に行ったのですが、そこで麦わらで作る幾何学模様のモビール 四季を彩る美しいヒンメリ(大岡真奈, 河出書房新社：2022) という本があったので手に取ってみたのです。多面体骨格をビーズやストローで作るというのは好きなので、ヒンメリは気になっていましたが、基本は八面体骨格なのかなと思っていました。
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この本では伝統的なヒンメリのデザインに縛られずにいろいろなものを作っているようでした。こういった工作や手芸の本は、冒頭のカラーページに作品例を掲載するものが多いです。p.10のNo.6 万華鏡 という作品に目がとまりました。
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| 上記の本のp.10「No.6 万華鏡」 |
これ、面白いなあと思ったのです。真似をしてCGを作ってみました。寸法は適当です。全部の稜（麦わら）の長さが同じだったらこうはならないはずです。
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| 図 1 |
斜めから見てみました。（斜めから見てみたくてCGを作りました。）
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| 図 2 | 図 3 |
これ、どんなかたちでしょうか？
あやとりです。昨日の四隅の小さな輪の処理の、最後の逆ナバホ取りを二重ナバホ取りに変えてみたものを4本指の構えから始めてみました。
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| hh230108-1 | |
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これは正直あまりお勧めできないかなと思いました。整えるのにものすごく手間がかかりました。いろいろな整え方の可能性もありそうです。
＜おまけのひとこと＞
昨日は本屋さんにも行って、5日(木)に取り寄せをお願いした本を2冊買ってきました。今回は2日で届いて良かったです。2冊ともざっとは目を通しました。数学の本と地図の本です。またご紹介したいと思います。
1月9日(月) パズル「ローリングピラミッド」(その1)、あやとり
成人の日（祝日）です。ヒンメリの話の続きではなく、別のパズルのご紹介です。
パズルの情報をやりとりさせていただいているJuananさんから、こんなパズルの画像を頂いたのです。これは “Rolling Pyramids” というパズルなのだそうです。
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| 写真 1 | 写真 2 |
「このパズル、ツクダの「カラーキューブ」(rolling cubes)に似ていますよね？ このパズルについて何か情報はありますか？」というメールでした。
確かにカラーキューブに似ています。
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正四面体を三角格子の上に配置して、1か所の空きマスを作ってそこに周囲の正四面体を転がして移動することで色を揃えるというパズルだと思います。私はこれを見て、昔ご紹介した SAHARA というゲームを思い出しました。
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| SAHARA |
このパズル、少し研究してみたいと思いました。実物を作ってみたくなって、手持ちの材料で一番簡単に作るためには…と考えて、JOVOブロックを使うことにしました。正三角形のパーツを4色×16個拾って、展開図のかたちに組みます。
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| 正四面体を16個作る(1) |
組み立てます。
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| 正四面体を16個作る(2) |
写真を見て、Rolling Pyramids のかたちに配置します。
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| Rolling Pyramids(1) |
このままだと、正四面体を転がそうとすると全体のかたちが崩れやすくて遊びにくいです。枠を作ることにしました。昔、地区のお祭りでわたあめを作ったときに余った一本箸を一袋貰ってあるのですが、それを久しぶりに引っ張り出してきて、枠になるように切って厚紙に貼って枠にしました。
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| Rolling Pyramids(2) |
これでだいぶやりやすくなりました。これを動かしてみながら考えてみたいと思います。
使った道具はこんな感じです。
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| 一本箸(細い四角柱)をカットした |
実は、枠もJOVOブロックで作れないかなあと思ってこんなものも作ってみたのです。内側のスペースはブロックのジョイントの幅だけ小さくなってしまいますが、どんな感じになるだろうと思ったのです。
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| JOVOブロックの枠(使えない) |
狭すぎてパズルの枠としては全く使い物になりませんでした。でもこれを複数作って鎖にしたら面白いかも、とは思いました。パーツがぜんぜん足りないですが。
あやとりです。ここ数日ご紹介している手順をさらに変える試みをしてみています。（逆に言うと、あまり応用が利かない手順だったということです。）こんな開始処理を考えてみました。
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| hh230109-0： 親指・小指が絡んだ二重の開始処理 |
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ここから以下のような終了処理（人差し指だけをひねった「焼け焦げた葉のククイの終了処理」）をやってみました。
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| hh230109-1 | |
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これも良い応用（装飾・終了処理）が見つかると良いのですが。
今朝の7時ころの東の空です。八ヶ岳からそろそろ朝日がのぼってきそうです。
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| 2023年1月9日 7:00ころ |
放射状に見えるのが面白かったので写真を撮りました。
＜おまけのひとこと＞
明日からはもう少し簡単な更新になるかもしれません。
1月10日(火) パズル「ローリングキューブ」、あやとり、他
正多面体を転がすパズルの話と、あやとりの話です。
昨日の「ローリングピラミッド」の情報をやり取りしたJuananさんがROLLING CUBESというサイトを公開されたそうです。ブラウザの翻訳機能を使って読ませていただきました。良くまとまっていて興味深いページです。
上記からリンクされているJaap's Puzzle Page（このサイトの情報量、ものすごいです）のRolling Cubes Puzzleのページには、カラーキューブパズル
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が詳細に解析されています。全ての状態数を数えたり、手順を分析したりされています。また、このパズルを「上の面だけを揃える（側面の色は無視する）場合」と、「側面も含めてすべての面の色を揃える場合」の手順が説明されています。また、このパズルもパリティの問題があって、任意の初期状態から始めて全ての面を揃えられるわけではないことが説明されています。
また実際にオンラインでこのパズルを試せる環境が Javascript で公開されています www.jaapsch.net/puzzles/javascript/eightcubj.htm。盤面をシャッフルしてくれたり（このとき、側面の色を揃えられる条件でシャッフルしてくれるようです）、任意の初期状態を編集したり、そこから自動で正解までの手順を再現してくれたり、至れり尽くせりの環境です。
初期状態はこんな表示になっています。
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[EDIT] ボタンを押して、向きを変えたいキューブをクリックすると次々と姿勢が変わってゆきます。１つのキューブは全部で24通りの置き方があります。例えば下の例は、青いキューブを右に転がすと全ての面が白になって、側面の色も全て同じになります。ただし空所は中心ではなくなります。
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この配置、中央を空きマスにして側面の色まですべて揃えられるか、というと無理なようです。編集を終了しようとするとこんなメッセージが出ます。
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「この配置だと側面の色は揃えられないがそれでもいいですか？」とご親切に教えてくれるのです。[OK]としてプレイを始め、8stepでこうなりました。
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左下3つのキューブを順に転がして、いずれも上が白になりましたが側面の向きが違ってしまいました。
こんな初期状態から始めて解の手順を再生してみると、延々とかかって全ての側面が揃いました。
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下図左は左下のキューブを90度回転させたもの、右は同じキューブをさらに90度回転させたものです。
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| 解けない | 解ける |
面白くていろいろ遊んでしまいました。
昨日の「親指・小指が絡んだ二重の開始処理」を調べてみています。
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| hh230110-1 | hh230110-2 |
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このパターン、以前似たようなものを取ったことがあったなと思いました。
おまけです。お正月休みにYouTube(こちら)で見かけて折った富士山の折り紙です。
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シンプルで良いですね。
＜おまけのひとこと＞
今朝は妙に気温が高いと思ったら、雪が積もっています。やれやれ…
1月11日(水) ヒンメリ(その2)、あやとり
ヒンメリの本に載っていた多面体の話と、あやとりの話です。
1月8日にご紹介したヒンメリの本に載っていた多面体の構造、稜だけのモデルだとわかりにくかったので面を張ってみました。
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| 図 1a | 図 1b |
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| 図 2a | 図 2b |
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| 図 3a | 図 3b |
左側の列は、内側の四角反柱の側面の８つの三角形のみに面を張ったもの、右側の列は外側の凸包の側面の三角形にも面を張ったものです。こうしてみるとこの構造がトーラスになっていることがわかると思います。
一昨日からご紹介している「親指・小指が絡んだ二重の開始処理」ですが、これを通常の「人差し指の構え」から行うと4つの輪のうち上下2つずつが絡んでいて上と下の輪は離れていましたが(下左)、「ガイアナの星の3本指の構え」から行うと上下の輪は交差で繋がって、2つの8の字のようになりました（下右）。
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| hh230110-1：人差し指の構えから | hh230110-2：ガイアナの星の構えから |
これらは上下が「離れている」「交差している」例でしたが、さらに「絡んでいる」状態も作ってみたくなりました。左右別々に「分離」「交差」「絡み」をコントロールできないでしょうか。やってみました。
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| 交差 | 絡み |
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| hh230111-1：「交差」と「分離」 | hh230111-2：「絡み」と「分離」 |
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| hh230111-3：「絡み」と「交差」 | hh230111-4：「絡み」と「絡み」 |
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最後の、上下左右４つの輪がすべて「絡み」でつながっているものが作れて嬉しかったのです。これ、普通に「人差し指の構え」を取った後で人差し指をそれぞれ1回転ひねってもうまくいきません。
＜おまけのひとこと＞
今日はまた寒い朝でした。
1月12日(木) 捩れ四角反柱(J85)、あやとり
ヒンメリの本に載っていた多面体の話のつづきと、あやとりの話です。
昨日のこのCGを回転させたアニメーションファイルを作ったのでご紹介しておきます。下記の画像からリンクしています。（画像をクリックすると別窓で開きます。）
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さてこの立体の凸包（その立体を含む最小の凸空間＝その立体を含む全ての半空間の共通部分(積)を凸包といいます）を考えてみましょう。これはジョンソンの立体の85番(J85)の捩れ四角反柱(snub square antiprism)です(link は英語のWikipediaです)。
昔(2002年10月）、こんな図をご紹介していました。
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| 捩れ四角反柱 |
これは正三角形24枚と正方形2枚の凸多面体です。今回のように内側を四角反柱にくり抜いてトーラス多面体にすると、内側の四角反柱を構成する8枚の二等辺三角形は正三角形よりもかなり頂角が小さい鋭角二等辺三角形になります。
むりやり正三角形32枚(外側24枚、内側8枚)で組もうとしても、とても組めません。JOVOブロックで外側を黒、内側を白で外だけ組んでみました。
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| 写真 1 | 写真 2 |
白の三角形を無理やりつなごうとすると崩壊します。逆に内側の白を組んでおいて外側の黒を連結しようとしてもできません。
ではこのかたち、合同な32枚の三角形で作ることはできるでしょうか。その場合どんな三角形になるでしょうか。出来上がりのかたちはどんなかたちになるでしょうか。
あやとりの話です。昨日、2×2の４つの輪の上下が「分離」していたり「交差」していたり「絡み」になっていたりする例を作り分ける話をご紹介しましたが、そういう作り分けというと、一番シンプルな作品として「二段ばしご」でもできるなあと思ってやってみました。これはパズルのようなものなので手順は敢えて書きません。
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| 交差 | 絡み |
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| hh230112-1 二段ばしご：分離 |
sf230111-1 二段ばしご：（交差） |
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| hh230112-2 二段ばしご：絡み |
hh230111-3 二段ばしご：N回絡み |
この中では左下の「絡み」が面白いかなあと思いました。こういう変化を面白いと思って下さる方がどのくらいいらっしゃるかわかりませんが…
今朝の東の空の雲がきれいだったので写真を撮ってみました。
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| 2023年1月12日(木) 6:45ころ | ||
日の出前、空の色がみるみる変わってゆきます。
＜おまけのひとこと＞
今朝もまた寒くて、窓の外を見て雲がきれいだったので写真を撮ろうと思って窓を開けようとしたら、二重窓の外側の窓がしっかり凍っていて開けられませんでした。仕方がないのでリビングに行ってベランダに出て写真を撮りました。
1月13日(金) 全ての面が合同なトーラス多面体、あやとり
トーラス多面体の話のつづきと、あやとりの話です。
ここ数日ご紹介している、内側が8枚、外側が2枚の三角形によるトーラス状の多面体ですが、これが全ての面が合同になるような条件を探してみました。完全に定式化しきれていませんが、ある範囲で連続的に変化するような気がします。図1a〜図1d は典型的な例で、同じ多面体を異なる方向から見ています。
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| 図 1a | 図 1b | |
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| 図 1c | 図 1d |
この図1の多面体は、上下の正方形の「穴」を面でふさぐとジョンソンの立体J85と位相同型な凸多面体になっています。
一方、さらに二等辺三角形の頂角を尖らせてゆくと、上下の正方形をふさいでも凸多面体にはならなくなってゆきます。以下の図2の4視点からの図は計算上の極限の例です（だと思います）。
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| 図 2a | 図 2b | |
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| 図 2c | 図 2d |
このかたちの凸包は四角反柱になります。
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| 図 3b | 図 3c |
この細長い二等辺三角形32枚でこんなかたちが組めるのは面白いと思いました。
あやとり協会の吉田さんが、国際あやとり協会(日本)のあやとりトピックスに「パターンあやとり」のすすめ その3：「二段梯子」を終了処理に使ってという記事を投稿してくださいました。ありがとうございます。
上記の記事の冒頭に、「ナウルの太陽」→「二段ばしご」の例が紹介されています。「ナウルの太陽」と出来上がりがよく似た「ガイアナの星」というあやとりがあるのですが（取り方の手順は全然違います）、それから始めるとどうなるのか、比べてみましょう。
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| hh230113-1 ナウルの太陽→二段ばしご |
sf230113-2 ガイアナの星→二段ばしご |
違いがわかりますか。この違いが面白いなあと思うのです。（もうちょっと整え方を揃えればよかったです。写真を撮り直す時間が無いので今日はこのまま載せます。）
＜おまけのひとこと＞
あやとり協会のサイトの新着情報に、本日1月13日(金) の日テレの news every. 「バズりキッズ」のコーナーであやとり協会会員の大坂聡志さん（小2）が紹介されるという告知がありました。興味がありますが、どうやら関東ローカルなようです。
1月14日(土) Tans Danceを作ってみる、あやとり
パズルのピースをブロックで作ってみた話とあやとりの話です。
1月4日にご紹介した Tans Danceというパズル、
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| Tans Dance |
実物を作って遊んでみたいなあと思ったのです。直角二等辺三角形のパーツを持っているブロックと言えばアーテックブロックです。
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| アーテックブロックの直角二等辺三角形のピース |
残念ながらこのピース、組み方に制限があるのです。
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| 組める | 組めない |
でも、一回り大きいサイズで作れば組めるということに気が付いたので、組んでみました。うまく「ひとつながり」になるように組むこと自体がちょっとしたパズルです。
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| アーテックブロックでTans Danceを組む |
ちょっと大きめですが、とてもいい感じです。立ててみました。
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| 立ててみた |
対称形を作ったり、凸多角形を作ったりします。ついつい30分以上遊んでしまいました。下の例はあと一息で凸多角形になりそうだったものです。対称性もありません。
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| あと一息 |
こんなかたちをがんばって作りました。（シルエットを3例ご紹介します）
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このパズル、アーテックブロックをお持ちでしたら作ってみる価値があると思います。お勧めです。
あやとりで、前後を逆にするという考え方があります。あやとりの手順で、親指⇔小指、人差し指⇔薬指、と読み替えて（中指は中指のままです）、「手前」と「向こう」を読み替えて取ります。今回は「ナウルの太陽」もしくは「逆ナウルの太陽」を2回行って「二段ばしごの処理」で終わったとき、正逆を変えると出来上がりにどう影響するのかを4通りの組み合わせで調べてみました。
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| hh230114-1 正ナウルの太陽→正ナウルの太陽→二段ばしご |
hh230114-2 正ナウルの太陽→逆ナウルの太陽→二段ばしご |
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| hh230114-3 逆ナウルの太陽→正ナウルの太陽→二段ばしご |
hh230114-4 逆ナウルの太陽→逆ナウルの太陽→二段ばしご |
ご覧のように全部違ったパターンになるのです。ナウルの太陽と二段ばしごをマスターすると、こんなことも試せるようになります。
昨日、「あやとり協会のサイトの新着情報に、本日1月13日(金) の日テレの news every. 「バズりキッズ」のコーナーであやとり協会会員の大坂聡志さん（小2）が紹介されるという告知がありました。興味がありますが、どうやら関東ローカルなようです。」と書いたのですが、そうしたらあやとり協会の加子さんから情報をいただきました。Yahooニュースのサイトで8歳で“先生”を務める「あやとり少年」「こんなあやとり初めて見た！」スゴ技を披露 という記事が公開されていて、そこで動画を見ることができるのです。ありがとうございます。さっそく見せていただきました。（おそらくいずれは視聴できなくなるのだと思います。）
いや驚きました。小学二年生でこんなにしっかりしているのですね。「左右対称」とか「教訓」という言葉や概念を理解しているというのも凄いことではなかろうかと思いました。何よりご両親がすばらしいですね。大坂聡志さん、あやとり協会のスターだなあと感心しました。
＜おまけのひとこと＞
今日・明日は大学入学共通テストなのですね。自分のとき、娘のとき、息子のときのことを思い出します。
1月15日(日) 分数式を簡単にする、あやとり
分数式のご紹介とあやとりの話です。今日は予定のある日曜日なので簡単な内容です。
Ed Pegg 氏のFacebookにこんな式が紹介されていました。
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この式を簡単にするとどうなるでしょう？ 多項式の計算問題でありそうなパターンですが、結果がきれいになって巧妙です。ちなみにこれは対称式でしょうか？（x と y を入れ替えても同じであれば対称式です。）
答は一応明日載せようと思います。
あやとりです。デマイブラというナウルのあやとりを取ってみました。（最後のカロリン展開はしていません。）
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| sf230115-1：デマイブラ |
このあやとりの前半部分を開始処理として活用してみます。まずは「焼け焦げた葉のククイの終了処理」をしてみます。
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| hh230115-1 |
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上の写真、なかなかきれいにかたちを整えられたのではないかなあと満足しています。（細かい交差の位置の重なりまで気にするとパーフェクトではないですが。）これ、アムワンギヨに似ています。（アムワンギヨの手順はこちらに詳しく書きました。）
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| sf221101-1：アムワンギヨ |
デマイブラの開始処理は、この手順でやれば確かにこの完成形になるよね、という納得感がある素直な操作です。
＜おまけのひとこと＞
今日はプライベートで大きなイベントがあります。無事済みますように。