正方形による分割

　「正方形を、全て異なる大きさの正方形に分割する」という問題があります。ルジン(Lusin)の問題というのだそうです。ルジン自身はこの問題は解は存在しないと予想していたそうですが、実はこの予想は誤りでその後実例が発見され、現在ではこの問題の解の最小個数が21個ということまでわかっているそうです。「1辺112の正方形は、辺の長さがそれぞれ2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50の21枚の正方形で、すき間なく埋めつくすことができる」んだそうです。（ こちらに図があります。）　確かこれがパズルとして市販されていたのを見たことがあります。一番小さいピースが紛失しやすいのでご注意、というような注意書きがあったように思います。

　いきなり問題とその答えまで示してしまって、このコラムでは何を書くかというと、先日読んだ古い本に、この正方形分割問題が電気回路で表現できるという話が載っていて、それがとても面白かったのでぜひご紹介したいと思ったのです。

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　この正方形分割問題は、最初は「長方形を、すべて異なる正方形に分割できる場合、最小の正方形の個数はいくつか」という問題がまずあったようです。その解は9個で、下の図のようになります。いろいろな部分の横方向・縦方向の足し算をしてみて、この図にごまかしがないことを確認して、大きさが全部違う正方形がたった9個集まってきれいな長方形（それも極めて正方形に近い長方形）ができている面白さを味わってみてください。

図1:正方形9個による長方形分割

　さて、この図1の正方形分割長方形を電気回路表現にしてみましょう。予備知識として必要なのは、オームの法則とキルヒホッフの法則だけです。というと難しそうに聞こえる方もいらっしゃるかもしれませんが、単に

抵抗というのは電圧が高いほどたくさんの電流が流れる（V=IR)

入ってきた電流の和は、出て行く電流の和と同じ(Σi=0)

とこれだけのことにすぎません。

　最初に図1の正方形分割の図で、高さ方向を電位だと見ます。同じ高さであれば同じ電位です。そして１つの正方形から別の正方形に移る辺の部分を１つの節点だと考えます。下の図2では、一番低い電位をP₀として、一番高い電位から順にP₁，P₂，…としています。　高さが電位とすると、横は電流です。この長方形の横幅は33ですから、最初に33の電流が節点P₀から入ると、それは18と15に分割され、さらに18は14と4に分割され…と流れていくことを考えます。

図2:高さ方向を電位だと見る

　これを普通の電気回路表現にしたものが下の図3です。小文字のp₁，p₂，…が、図2の大文字のP₁，P₂，…に対応します。矢印とそのそばに書かれた数字は電流値とその方向を表します。図中の抵抗の値はすべて同じ、たとえば１Ωです。

図3:電気回路表現

　この回路表現で何がおもしろいかというと、18とか15とかいう数字は、この回路の構造の中には一切含まれていないことです。下の図4は、図3を単に書き直しただけです。同じ1Ωの抵抗9個が6点の節点に結合しているだけにすぎません。これだけ見ても、この回路が図1の正方形分割問題の解になっているなんて、普通誰にもわかりません。

図4:電気回路

　ところがこの回路に対して適当な電圧をかけて適当な電流を流してやると、個々の抵抗には図3で示すような割合で電流が流れます。実際に回路を組んで電気を通して見なくても、最初にお話したキルヒホッフの法則とオームの法則を使って、簡単な連立方程式（変数は多くて大変ですが）を立てて解けば、この回路のどこをどれだけの電流が流れるかがわかります。

　さらに面白いのは、「任意の平面上に記述された（交差のない）すべて同じ抵抗値の回路は、１つの長方形の正方形分割問題に対応している」ということです。つまり、いいかげんに（でたらめに）抵抗をつないだ回路を作ってみると、それが１つの正方形分割問題を表現しているというわけです。とても面白いと思います。なお、参考文献には、もうすこし詳しい議論が載っています。ちなみにこの参考文献の記事が書かれた時点では、このコラムの冒頭に紹介した21個の正方形による正方形分割の最小解はまだ発見されていませんでした。

参考文献：
　別冊「数理科学」パズルI　1976年11月　サイエンス社　より　pp.100-105『長方形の正方形による分割』大附辰夫