以前の「ひとこと」 ： 2022年12月後半
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12月16日(金) 7頂点のデルタ多面体の共通展開図(その1)、あやとり、他
12月後半です。今年もあと半月になりました。今日は多面体の展開図の話とあやとりの話、他です。
The four common nets of the five 7-vertex deltahedra(7頂点のデルタ多面体の共通の４つの展開図)という記事を興味深く読みました。このページでは、冒頭にRandom Realization of Polyhedral Graphs as Deltahedra(N. Tsuruta, J. Mitani, Y. Kanamori, Y. Fukui : Journal for Geometry and Graphics, Volume 19 (2015), No. 2, 227?236)という論文（筑波大の三谷純先生のグループのご研究のようですね）から、「全ての面が正三角形から成り、頂点の数が7の多面体」が5種類あることから話を始めています。
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| 上記論文のFigure.6 |
一般に「デルタ多面体」というと、全ての面が合同な正三角形から成る凸の多面体を指すことが多いと思います。凸多面体に限定すると、四面体、六面体、八面体、十面体、十二面体、十四面体、十六面体、二十面体の8種類しかないことが知られていますが、凸でない多面体も許すことにすると無限のデルタ多面体が存在します。
上の図は、頂点が7のデルタ多面体を列挙していますが、そのうち4種類にはD、1種類にNという記載があります。Dはデルタ多面体になっていることを示し、Nはそうではないことを示しています。75と名付けられた5番目の多面体がNになっているのは、辺を共有する（隣り合う）2つの正三角形が同一平面上にある箇所があるためです。（この75は正八面体に正四面体を１つ貼り付けたかたちです。）
冒頭にご紹介したページでは、この5種類の7頂点デルタ多面体全てに共通する展開図が4種類あった、ということを述べています。
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| 4つの展開図 |
これらがどのように組み立てられて5種類それぞれの多面体になるのかを見ることができます。また、この4種類の展開図のタイリングに関しても議論されています。面白いです。
創作あやとりの開始処理として、どこかの指の輪を二重にするというのは面白い試みです。5本指の構えで、人差し指と薬指を二重にするというオープニングを試してみました。
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| hh221216-0：7本指の構え(人差し指・薬指が二重) |
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言葉で説明すると煩雑ですが、やっていることは単純です。
上の「人差し指・薬指が二重の7本指の構え」(5本指の構え、と呼ぶべきか迷いましたがこうしました)から、エガラウィナゴを取ってみました。
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| hh221216-1 |
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暗い写真になってしまって、色補正を掛けたら変な画像になってしまいました。中央部分をズームアップした写真も撮りました。
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| 中央部分 |
面白い模様だと思います。
火曜日(13日)は大阪に日帰り出張でした。始発の普通列車に乗ったら、社内の吊広告が時刻表の宣伝でした。良いデザインの広告だと思いました。色遣いが良いですね。冬の雰囲気を感じます。
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| 写真 1 |
最近は鉄道利用者が減っているという話ですので、広告も取りにくくなっているのでしょうか。めったに列車には乗らないのですが、昔は吊広告と言えば週刊誌のものが多かった気がします。最近はそもそも雑誌の部数も減っているので、それも吊広告が減っている原因でしょうか。（すみません全て根拠のない推測です）
途中、塩尻駅で40分くらい特急列車待ちをしました。塩尻駅は橋上駅なので、跨線橋になっている駅の改札前の窓から南側を見てみました。
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| 写真 2 |
写真2の左側に向かう緩やかなカーブが東京方面(中央東線)、右側に向かうカーブが名古屋方面(中央西線)です。線路の線形の美しさにほれぼれします。昔は中央東線から中央西線に直通する列車があったので、そのころに乗ってみたかったなと思います。
特急列車に乗って、車窓から木曽谷を眺めました。家々の屋根にはうっすら雪が積もり、山には霧がかかっています。
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| 写真 3 |
風情のある風景です。列車の中は暖かくて良かったです。
＜おまけのひとこと＞
12月16日というといつも「ベートーヴェンの誕生日」を連想します。スヌーピーやチャーリーブラウンが出てくるシュルツのコミックス「ピーナツ」のシュローダーの影響です。（これ、毎年書いているかもしれません。）
12月17日(土) 7頂点のデルタ多面体の共通展開図(その2)、あやとり、他
昨日の続きの多面体の展開図の話とあやとりの話です。
昨日ご紹介した、7頂点のデルタ多面体(凸でないものも含む)5種類すべてを作れる４つの展開図ですが、
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| 4つの展開図(再掲) |
これらのタイリングパターンを自分でも確かめてみました。
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少し試行錯誤が必要でした。楽しかったです。周期構造がもっと大きいものや非周期的タイリングができないかなと思って試してみています。
昨日は「7本指の構え(人差し指と薬指を二重に）」から「エガラウィナゴ」を取りましたが、今日は同じ構えから「ビヤトエイディオウィナゴ」です。
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| hh221217-1 |
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似た感じになりました。
TRADITIONAL GAMES FROM AROUND THE WORLDという記事がありました。世界各地に伝わる古典的なアブストラクトゲームを動画で紹介していて、面白いです。知らないものもありました。
＜おまけのひとこと＞
週末なのでゆっくり更新しています。午後はリモート講演会を聴く予定です。雪が降ってきました。
12月18日(日) Pentalpha(星型の配置パズル)、あやとり
パズルの話とあやとりの話です。
昨日ご紹介したTRADITIONAL GAMES FROM AROUND THE WORLDというサイトのシンプルなアブストラクトゲームをいくつた試してみたりしています。シンプルなルールのものは双方が最善手を選択し続けると千日手になる気がします。
その中で、一人で遊ぶPENTALPHA PUZZLE というものがありました。若干表現を変えてご紹介しようと思います。
五芒星の盤面の10か所の頂点にコインを裏面を上にして配置します。この10個のコインを、ある規則に従って1つずつ表にしてゆきます。できるだけたくさんのコインを表向きにしてください、というパズル（ゲーム）です。オリジナルのパズルはコインを裏返すのではなく、コマを１つずつ置いてゆく、というものになっています。
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| PENTALPHA |
コインを裏返すときのルールです。裏向きのコインを１つ選び、そこからまっすぐ数えて3つ目が裏だったらそれをひっくり返して表にします。
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| 1手目の例 |
数え始めるコイン(1番目)は必ず裏向きでなければいけません。2番目は表でも裏でもかまいません。
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| 2手目の例 |
例えば上の1手目、2手目の例に続いて適当に裏返していったら、6つまでは裏返すことができましたが、そこで行き詰まってしまいました。
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| 6手で行き詰まった |
こんな風に「1,2,3」と数えるのはルール違反です。
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| これは許されない |
数え始めるコインは裏向きですから、最大でも9個までしか裏返すことはできません。では、9個を裏返すことはできるでしょうか。どんな手順でやったら良いでしょうか。
細かい斜め格子のあやとりです。もっと長い糸で取ると良いのですが。
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| hh221218-1 |
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以前、YouTube動画を見て取った「スーパーイヌイットネット」を久しぶりに取ってみました。
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| sf221218-1 |
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初めてこの「スーパーイヌイットネット」を取ったときはけっこう手順がかかるあやとりだと思ったものでした。今みるとシンプルなすっきりしたあやとりに見えます。
＜おまけのひとこと＞
朝から雪かきをしたりゴミを出しに行ったりしていたら更新が午後になってしまいました。
12月19日(月) 8枚のコイン、あやとり、他
コインを裏返すパズルの話とあやとりの話です。
昨日、10枚のコインを五芒星のかたちに並べて、ルールに従って1枚ずつ裏返してゆくというパズルをご紹介しましたが、この系統のパズルを私が最初に知ったのは、「8枚のコイン」のバージョンでした。以下、ルールを説明します。
コインを8枚、円周上に並べます。これを１つずつ裏返してゆきます。
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| 図 1：8枚のコイン |
昨日の五芒星の場合は裏向きのコインから直線上に数えて3番目を裏返す、というルールでしたが、「8枚のコイン」では、裏向きのコインから円周に沿って数えて4番目を裏返します。時計回り、反時計回りどちら向きに数えてもOKです。
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| 図 2：裏返すルール |
図3は6枚まで裏返して手詰まりになったところです。かなり善戦していますが、あと1枚です。
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| 図 3：失敗例 |
私がこの「8枚のコイン」というパズルを知ったのは、「ひまつぶしの本 〜無我夢中に楽しむ法〜」（梅田晴夫）という古い本からでした。この本、残念ながら今は手元にありません。検索してみるとネットの古書店やメルカリに出品されているものなどがありました。画像を拝借してご紹介します。
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こんな、もくじの画像もありました。
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身の回りにある簡単なものでパズルやゲームを楽しむという趣向の本です。バーやパブで話のタネにしたりするようなシーンも多く、下ネタ的な話も多いので、万人にお勧めできる本ではないのですが、でも純粋に遊びを工夫する本として興味深い情報がたくさんありました。
「8枚のコイン」の話は、バーのカウンターでこういう遊びが好きな友人に10円玉8枚を使って出題したというところから始まります。友人が挑戦したところ5枚しか裏返せなかったこと、彼はそれを大変悔しがって、その8枚の10円玉を「あろうことか」自分の財布に仕舞って店を出て行ってしまったというエピソードが語られます。著者はその80円が惜しいという気持ち以上に、友人が「その80円がそもそも誰のものだったのかの見境が付かなくなるくらい悔しかったのだ」ということを憐れむ気持ちのほうが大きかったと書いています。後日談として、著者はある夜のお店で件の友人がホステスを相手に「8枚のコイン」を得意そうにひけらかしているシーンに出くわすのです。友人は「7枚を裏返す方法」を確立したということ、解として「頭のいい人にはわかると思う」と注釈を付けて14個の数字の並びだけが書かれていました。数字の説明は一切ありません。そのさじ加減が絶妙だと思いました。
もう30年以上も手にしていない本なのに、五芒星のパズルから「8枚のコイン」のパズルを思い出しただけでなく、上に書いたような内容まで一気に思い出しました。
あやとりです。4本指の構えから「7つのダイヤモンド」の終了処理をすると格子が増えますが、最初の構えから左右の指の輪を交換する処理をすることで、中央部分の交差を絡みに変えてみました。順に「絡みが3つ」「絡みが2つ」「絡みが１つ」です。
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| hh221219-1 | hh221219-2 | hh221219-3 |
対応する「4本指の構え」です。3か所の交差のうち、どこを「絡み」にするかを変えています。手順は敢えて書きませんが、それほど難しくないのでやってみてください。
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| hh221219-4 | hh221219-5 | hh221219-6 |
この中では「絡み2つ」があやとり作品としては良いかなと思いました。
先日、ギネスの缶ビールが少し安くなっていたので試しに買ってみました。普通に缶を開けて飲んでいたら、中に何やら固形物が入っているようで、缶を振るとカラカラ音がするのです。「中身の見えない容器から直接飲んでいるとき、想定外のものが入っている気配がする」というのは恐ろしい経験です。疑いの気持ちから一挙にビールがまずくなりました。
缶切りで缶を開けてみました。樹脂製の白いボールが入っていました。
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缶の外の説明書きを見ると、これはクリーミーな泡を作るための工夫で、1缶分のビール全部が注げる大きなグラスを用意してまずそこに注いでから飲む、という飲み方が推奨されていました。それを読まずに缶から直接飲んでしまいました。実はもう1缶同じものを買ってあるのです。今度はメーカーの指示通りの飲み方をしてみようと楽しみにしています。
＜おまけのひとこと＞
「8枚のコイン」、ぜひやってみてください。表と裏が区別できるものが８つあれば何でもいいのです。私は昔トランプのカードを使って試した記憶があります。オセロのコマもお勧めです。
12月20日(火) 芦ヶ原伸之のパズルトピア(その1)、あやとり
昔のパソコンのパズルソフトの話とあやとりの話です。
昨日、ルールに従ってコインを1枚ずつ裏返してゆく「8枚のコイン」というパズルをご紹介しました。このパズルと全く同じロジックのパズルが、昔のパソコン(PC-9801シリーズ)用のパズルのソフトウェア「芦ヶ原伸之のパズルトピア」にあったなあと思って調べてみたところ、■ 芦ヶ原伸之のパズルトピア ■という素晴らしいサイトがありました。懐かしく見せていただきました。
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| オープニング画面 |
このサイトの構成は素晴らしくて、各パズルの画面のキャプチャ画像を用いてルールを説明するだけでなく、そのパズルの背景や由来などもきちんと紹介されています。また、別ページとして解答も用意されています。私と同世代以上の古いパズルファンで、PC-9801シリーズのPCゲーム経験者ならば「パズルトピア」はきっとご存じではないかと思います。ご存じない方は、上記のサイトのパズルを１つずつ見てみてください。厳選されたパズルにきっと感心すると思います。
「8枚のコイン」と同じロジックのパズルは「カップパズル」です。
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| カップパズル |
カップを置くときのルールは「まずカップを空いたマスに置き、直線に沿って移動させる」というものです。「8枚のコイン」で「空いたマスから1,2,3,4番目にコインを置く」というのと同じことです。
また、このゲームを紹介しているパズルトピアに見える「パズル」の魅力というblogの記事があり、たいへん共感して読ませていただきました。
「中指が二重の6本指の構え」からの試みです。
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| hh221220-1 |
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これはなかなか面白いと思いました。
追記：手順3の「2つの輪を人差し指と薬指に移す」とき、どちらの輪をどちらに移すかによって結果が変わります。24日のあやとりもご覧ください。
＜おまけのひとこと＞
昔のPC-9801用のソフトを動かせる環境があるといいなあと思ったり、いや、思い出としてとどめておくほうが良いのかなと思ったりしています。
12月21日(水) 8ユニットの手裏剣おりがみ、あやとり
動画でよく見かける手裏剣おりがみの話とあやとりの話です。
動画でときどき見かける簡単なユニットを組み合わせたおりがみの手裏剣を作ってみました。正八角形のリングから手裏剣に変形できるところが面白いです。「折り紙、手裏剣、8枚」とかで検索するといろいろな情報が出てきますが、いつどなたが最初に発表されたのかはわかりません。
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| 写真 1 |
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| 写真 2 |
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| 写真 3 |
100円ショップで購入した8.5cm角の正方形のメモ用紙を8枚使っています。
説明図を作ってみました。（こういう図を作るのは楽しいです。）正方形から図1のような合同なユニットを8つ作ります。色遣いはお好みで。
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| 図 1 |
こんな風に組みます。45°回転させて2枚の尾びれのような間に差し込み、はみ出した部分を内側に折りこんで止めます。
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| 図 2 |
完成写真とこの説明図で十分再現可能だと思います。
昨日は「中指が二重の6本指の構え」から「エガラウィナゴ」をやってみたらなかなか面白かったという話をご紹介しました。「エガラウィナゴ」の次は当然「ビヤトエイディオウィナゴ」をやってみようと思ったのです。うまくいきませんでした。
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| hh221221-0 |
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中指が二重でない、通常の「ビヤトエイディオウィナゴ」であれば、上の工程の最後、両手を左右に引くとそれぞれの手の掌付近にもともと逆の手の中指に掛かっていた糸が引き寄せられるので、それを中指で取るのです。ところが中指二重で始めると中指から外した二重の輪は中央で交差してしまい、中指で改めて取るべき糸が無くなってしまうのです。
まあこれはこれで新たな4本指の構えだと考えることもできるかなあと思って少し試してみたのですが、ここから始める面白いあやとりがあまり見つかりませんでした。とりあえずこんなものは取ってみました。
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| hh221221-1 |
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張力をかけて引き絞って直線的に仕上げてみました。
「タイガーショベルノーズキャットフィッシュの終了処理」で終えてみると、意外なことに上下の対称性が崩れるのです。
昨日、暖房専用の灯油のタンクを不注意で空っぽにしてしまいました。あわてて灯油の配達をお願いしました。我が家はここに住んで25年くらいになりますが、プロパンガスをお願いしているガス屋さんに、灯油も必ず頼むようにしています。（ガスのほうは自分で残量チェックをしなくてもガス屋さんが勝手に交換してくれて、使った分だけ請求が来るというシステムなのでありがたいです。）
午後に灯油の配送トラックが来て、給湯機用のメインタンクと暖房用のサブタンクに給油してもらったのですが、いつもなら特にお互いに声をかけないのですが昨日は配送してくれた業者さんが玄関のベルを鳴らして、「暖房機、運転できるか確認していただけますか？」と声を掛けてくれました。タンクに給油したとき、タンク出口のフィルタ部分まで空気が入ってしまっていたので、そのエアーを抜かないと室外機が運転できないかもしれない、確かめたほうがいい、と気遣ってくださったのです。
それだけでなく、それから20分くらい時間をかけて室外機のカバーを外してエア抜きを確認したり、配管のチェックなどもしてくれました。おかげさまで無事暖房は運転できることが確認できました。
私の住む地域は標高も1,000メートルくらいあって、先日も寒い日の朝は氷点下10℃くらいまで気温が下がりました。暖房器具が使えないというのは恐ろしい状況になってしまいます。（ちょうど今、新潟のほうでは大雪で停電で大変な状況のようです。）単に頼まれた灯油を配達してタンクに入れて終わり、ではなく、頼まれたわけでもないのにいろいろ点検やチェックをしてくれることにとても感謝しました。ガス屋さんが地域のインフラを担っているという自覚、責任感と誇りがあるのだろうと思います。
このガス屋さんの灯油の単価は決して高いとは思っていませんが、それよりわずかに単価が安い業者さんがいないわけではありません。でも、こういったサービスを継続して受けたいと思うからこそ、今後も喜んで灯油もここにお願いしたいと改めて思いました。
＜おまけのひとこと＞
気が付いたら今年もあと10日あまりです。
12月22日(木) 花形十二面体の展開図、あやとり、他
多面体の展開図の話とあやとりの話です。
黄金菱形60枚で作ることができる「花形十二面体」という多面体があります。2003年にこんな模型をご紹介したことがありました。
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ご覧のように凸多面体ではありませんので、平面上にひとつながりの展開図が作れるとは限りません。（凸多面体であれば単連結の展開図が存在する事が証明されていたと思います。）
Ed Pegg 氏のFacebook のちょうど4年前に、この多面体の美しい展開図が紹介されていました(2018年12月22日)。
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黒い太線の部分は切断します。小さな黒い●印が３つ集まったところが、花形十二面体を球に内接させたときに接点となる20の尖った頂点を構成します。とても感心しました。
あやとり、またちょっと違うアプローチです。
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| hh221222-1 |
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この操作は、親指・小指を内側に1回転ひねるのと同じ効果があります。
右手側で輪を通す方向を変えてみます。
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| hh221222-2 |
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これは左右対称になるように整えることもできるのですが、回転対称になるように仕上げてみました。こんな、斜めの帯の入ったデザインの国旗があったような…と思って調べてみたら２つほど見つけました。
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| コンゴ共和国 | トリニダード・トバゴ共和国 |
向きは逆ですが。
「音大図書館に匹敵」クラシックファンが通う神保町の古賀書店が年内閉店 大正時代に開業した古書店 という記事がありました。とても残念です。我が家にも「古賀書店」のラベルが貼られた楽譜がたくさんあります。地方住まいなのでめったに行く機会はなかったのですが、行くと何かしら買ってきたものでした。楽譜や本を店頭で探す楽しみというのはネットで情報やドキュメントを探すのとはまた違った楽しみで、かけがえのない体験だと思っています。東京に行ったときに寄りたい場所がまた１つ無くなりました。最終営業日が明後日24日ということですと、もはや機会はありません。
これまで大変お世話になりました。ありがとうございました。(と、ここに書いても仕方がないのですが。)
＜おまけのひとこと＞
今朝は妙に気温が高いようで氷点下になっておらず、雪ではなく雨が降っています。でも明日からはまた寒くなるのですね。
12月23日(金) 菱形十二面体の四分割、あやとり、他
多面体の話とあやとりの話です。
Facebookの PUZZLE FUN というグループに、こんな立体パズルが紹介されていました。おそらく3Dプリンタで作ったのではないかと思われる、4ピースで菱形十二面体を構成しているというものです。
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これは、こんな風に菱形十二面体を４つの菱形六面体に分割し、隣接する菱形六面体に「ほぞ」を設けて連結するデザインになっています。
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| 図 1 |
一見わかりにくいと思いますので、４つの菱形六面体に色を付けてみました。
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| 図 2a | 図 2b |
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| 図 2c | 図 2d |
上の4つの図を順に表示するアニメーションも作ってみました。別窓で開きます。（こちら）。
あやとりです。ある指の輪を外して、それを隣の輪の上から下へ通してもとの指に掛け直す、という操作を調べてみています。
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| hh221223-0 |
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これ、ガイアナの蝶によく似ています。
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| sf221223-1 ガイアナの蝶 |
今日の冒頭のあやとりを「焼け焦げた葉のククイの終了処理」で仕上げてみました。
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| hh221223-1 |
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あんまり発展性を感じないかな。
庭のかりんの木にすずめが来ていました。二重のサッシ窓と網戸越しの写真なのでぼんやりした絵になってしまいました。
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すずめもだいぶ減ってしまっている気がします。爬虫類や両生類とかはエサがなければ体温を下げてエネルギー消費を極力抑えてしのぐということができますが、恒温動物である鳥類は常にエサを食べていないと生命を維持できないので、特に冬場は大変だと思います。何回も冬を越せる個体は少ないと聞きます。
すずめは人の近くで生活する鳥で、例えば廃村になってしまった集落からはすずめもいなくなるのだそうです。ヒトは地球上でもっとも恐ろしい最強の生物ですから、ヒトに害鳥、害獣と見なされない限り、ヒトの生活圏で暮らすのは他の野生動物から攻撃されにくいというメリットがあるということだと思います。また、昔の民家の構造はすずめが巣を作ったりしやすかったということもあったのだろうと思います。私の実家でも、建物を増築したときにできた隙間にすずめが住みついて、親鳥がエサを運んでくるとヒナたちが大騒ぎしている様子がよく聞こえました。今の住宅はそんなつくりにはなっていないので、すずめはどこに巣を作っているのだろうと思います。
＜おまけのひとこと＞
今、朝4時を過ぎたところなのですが、家の前には新たに雪がうっすらと（数cmくらい？）積もっています。これを「雪かき」もしくは「雪掃き」すべきか、どうせもっと積もるからやってもやらなくても同じか、どうしたものかと迷っています。
12月24日(土) サイコロ8個の問題(その1)、あやとり、他
サイコロ8個のパズルの話とあやとりの話です。週末でいろいろやっていたら更新がお昼になってしまいました。
NEW SEVEN PUZZLEがきっかけでメールをやり取りさせていただいている Juanan さんから、Sum Problemというサイコロ8個の問題について何かご存じですか、というメールを頂きました。サイコロ8つをこんな風に2×2×2 に積んで立方体を作ったとき、立方体の6つの面それぞれに現れている4個のサイコロの面の数の和を6面全てで同じにしてください、というパズルです。
リンク先には、合計が14になる解は20,736あるということと、解の例が１つ載っています。自分で図を作ってみたくなったので、サイコロのCGを準備しました。
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リンク先の解の図と同じになるように、サイコロを8個CGで積んでみました。
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| 図 1 |
でも、これだと見えない面がどうなっているかわかりません。サイコロ8個の向きは変えずにお互いの距離を少し離してみました。
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| 図 2 |
図1のように組んだ状態で、全ての面が見えるように逆側も見てみました。
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| 図 3a | 図 3b |
図2の状態から図1の状態に変化するアニメーション（こちら)と、図3の状態で回転するアニメーション（こちら)を作ってみました。ご興味があればご覧ください。別窓で開きます。
20日のあやとりで、「中指が二重の6本指の構え」からエガラウィナゴを取って、中指に残った２つの輪を人差し指と薬指に移すという試みをご紹介しました。
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| hh221220-1 |
何の気なしに同じ手順で取ってみたのです。そうしたら結果が違うのです。
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| hh221224-1 |
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考えれば当たり前なのですが、中指の2重の輪を人差し指と薬指に移すとき、輪を区別する必要があったのでした。手順にどう記載しようか、考えています。
今日も庭の木にすずめがたくさん来ていました。
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外がよく見えるテラス窓（床に接した窓）のすぐ脇にこたつを置いて、外を眺めながらPCを操作しています。青みがかった色になっているのは、テラスの柵に張られた透明な樹脂製の板越しの写真になってしまったためです。
＜おまけのひとこと＞
Juananさんにいただいたメールをきっかけに、サイコロ1個のCGを作るところから始めて、いろいろやっていたらお昼になってしまいました。
12月25日(日) サイコロ8個の問題(その2)、あやとり
サイコロ8個のパズルの話のつづきとあやとりの話です。
サイコロ8個を2×2×2の立方体に積んで一回り大きな立方体を作ったとき、各面に現れる4つの数の和がすべて等しくなるようにする、というパズルをご紹介しています。
立方体は頂点方向から見ると正六角形に見えます(等角投影図法)。昨日の8つのサイコロの画像は一般的な視点だったのでダメですが、下の図のように等角投影図法で描画すると、120°単位で回転させて並べたり重ねたりすることができるのです。８つの頂点方向からみた画像を作りました。下の画像を保存して印刷して正六角形に切り抜くと、実物のサイコロではなく、「サイコロカード」として重ねてみることができるようになります。
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| 図 1 |
昨日の「各面の和が14の例」、
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| 再掲図 |
これをカードを1枚ずつ置いてゆくアニメーションを作ってみました。これは立体ではなく平面の正六角形のカードを順に重ねながら置いていると理解してください。
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| 図 2 |
こうして全部重ねてしまうと、見えていない側の3つの面の合計がわかりません。が、重ねる前の状態で考えることができます。サイコロの向かい合う面の和は必ず7になっています。ということは、2×2×2の立方体の外側に面した4つの面と、それぞれのサイコロの向かい合う内側に隠れる4つの面、合わせて8つの面の数の和は必ず7×4＝28になります。外側の4つの面の和が14ならば、その対面になる、下の図の黄色い色を付けた4面の和も28-14＝14 になります。
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ちなみにこのパズル、昨日教えていただいたSum Problemというサイトでは、ドイツの“bild der Wissenschaft”という雑誌の1980年3号(？)を参照しているようでしたが、参照先の情報を得ることができていません。
とりあえず手元の秋山久義さんのキューブパズル読本(2004年：新紀元社)を見たら、p.22にこのパズルが載っていました。
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さいころ8個を2×2×2の立方体型に積んでください。そのとき各表面には「田」の文字のかたちに4つの目が見えます。立方体には6つの面がありますが、各面の数の和をすべて同じにしてください。千葉県の大関信雄氏の問題です。 定和はいくつにすればよいでしょうか。そんなところから考えなくてはならないパズルです。図の例では、定和は13です。  （「キューブパズル読本」秋山久義 p.22より）
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「さいころカード」を作っておくと、こういう図を作るのが簡単で楽しいです。
さてこの問題、6つの面の定和の最小値、最大値はいくつでしょうか？ 6つの面の和が等しいという条件がなければ、サイコロが4つとも1の場合が最小、4つとも6の場合が最大になりますが、外側に出る全ての面を1もしくは6にすることはもちろん不可能です。
昨日のあやとり、「焼け焦げた葉のククイの終了処理」で仕上げてみました。
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| hh221225-1 | hh221225-2 |
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右側は、最後に「アルタイル→アクエリアスの処理」を行って縦の外周の2つの輪を上下の外周に移しました。模様としてなかなか良いと思いました。
なんとなく以前に同じものを公開している気がしてきたのですが、今年は公開したあやとりの一覧を作っていないので調べるのが大変で確認していません。このお正月休みにやりたいことの１つが公開したあやとりの一覧の作成もしくは整理なのですが、出来る自信がありません。
＜おまけのひとこと＞
Juananさんに「キューブパズル読本」の話とかをメールで返信しようとしているのですが、エラーになってしまって届いていないようです。メールだけでのお知り合いというのはこういう時に不便です。このページをご覧いただいていると嬉しいのですが。
12月26日(月) サイコロ8個の問題(その3)、パズルカレンダー、あやとり
サイコロ8個のパズルの話のつづきとパズルカレンダーの話、あやとりの話です。
サイコロ8個を2×2×2の立方体に積んで一回り大きな立方体を作ったとき、各面に現れる4つの数の和がすべて等しくなるようにする、というパズルですが、昨日「この条件を満たす面の合計の値の最小値と最大値はいくつでしょうか？という問いかけをしました。今日はその答を書きますが、その前に１つ、別の話題をはさみたいと思います。最初の話題のすぐ下に答がありますので見たくない方はご注意ください。
FacebookのPUZZLE FUNの中に、こんな万年カレンダーが紹介されていたのです。（こちら）
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| Perpetual Calendar by Wen-Shan KAO |
昨年の6月から（こちら）、我が家ではA puzzle a day というパズルカレンダーを毎日欠かさず楽しんでいるのですが、
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| a puzzle a day |
KAO氏のパズルカレンダーのピースは全てのペントミノ(12種)です。空所は月・曜日・日の3か所で、7×9＝63マスのうち、ペントミノ12種で60マスを覆うデザインになっています。A-puzzle-a-day よりもずっと難しいと思います。これを毎日解くのは大変そうです。また、A-puzzle-a-day のほうは空きマスを隣に移すだけで良いことが多いので、ピース１つもしくは2〜3ピースをひっくり返したりするだけで次の日付を作ることができることがしばしばあるのですが、KAO氏のパズルは曜日も変わるのでそういう「楽」「手抜き」はできません。
このパズルを紹介する中で、math.hws.edu/eck/js/pentominos/pentominos というオンラインでペントミノを解いてくれるページが紹介されています。
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| Pentominos Puzzle Solver by David Eck |
ペントミノ12種類1セットというところは限定されていますが、それを納める盤面を自由にデザインすることができるのです。KAO氏のパズルの Dec, Mon, 27 の解を求めてみました。解を求めるスピードは BurrTools のほうが速いですが、webサイトで手軽に解が求まるのはいいですね。
さて、もったいぶって別の話題を挟みましたが、サイコロ8個の2倍のサイズの立方体の面の合計を等しくするパズルの面の合計値の最小値と最大値の話です。
8個のサイコロの面は全部で6×8＝48です。2倍体の立方体の1つの面には4つのサイコロが見えますから、2倍体の立方体の外に現れる面の数は4×6＝24面です。つまり、8個のサイコロの3面が見え、3面が隠れているということになります。
外側に現れる数字を一番小さくするならば、見える面は{1,2,3}にすれば良いですし、逆に外側に現れる数字を一番大きくしたければ、見える面を{4,5,6}にすることになります。幸い、これらが１つの頂点の周りに配置されている向きが存在しています。
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| 1,2,3 | 4,5,6 |
8つのサイコロ全てが{1,2,3}が見えているとすると、外側に現れる面の数の合計は(1+2+3)×8=48で、それが2倍体の立方体の6面に均等に配分されなければいけないので、1つの面の目の数の和は 48÷6＝8、ということになります。たとえばこんな配置が考えられます。
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| 図 1 |
大きな立方体の上下の面は全て2、側面は1と3が2つずつ、という配置です。4,5,6の目は全て大きな立方体の内側に隠れて見えません。
上の図の8つのサイコロを、向きを変えずに大きな立方体の対角線のペアごとに入れ替えると、今度は全ての1,2,3の目が内側に隠れて、各面の和が20の解になります。というわけで、条件を満たすもののうち、和が最小なのは8、最大なのは20でした。
「中指二重の6本指の構え」からのあやとりを取ったらちょっと面白かったので、中指を三重にしたものも試してみました。
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| hh221226-1 | hh221226-2 |
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これはやりすぎかな。
先週の木曜日、12月22日の朝の空がちょっとふしぎだったのです。
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| 2022.12.22. 07:45ころ |
空が一面に曇っている中、八ヶ岳の方向だけ雲が切れて空が見えるのです。その空の色が青黒くて、明るい朝の雰囲気からは程遠いのです。ふしぎな感じでした。
＜おまけのひとこと＞
クリスマスが終わって、ここ1か月ほど楽しみに弾いていたクリスマスの音楽もおしまいです。楽譜はまた来年までしまっておきます。
12月27日(火) 折り紙の帽子(その1)、あやとり
折り紙の話とあやとりの話、他です。すみません、なんだかんだで更新が午後になってしまいました。
Pinterestで、折り紙の帽子を作る15秒ほどの動画を見て（こちら）、まねして作ってみました。2対1の長方形2枚で合同なユニットを作って重ねてあります。普通の15cmの折り紙を二つに切って作ってみました。
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| 写真 1 | 写真 2 |
もう少し大きなものも折ってみようと思って、来年のカレンダーの表紙の部分でも折ってみました。さらに大きなものをと思って、新聞紙でも折ってみました。新聞紙のものは接合部の強度が足りないのでセロテープで繋いでいます。小・中・大の３つを並べて写真を撮ってみました。一番左の小さなもの、下の縮小画像だと用紙の斜め線の模様が見えませんが、拡大画像では上の写真1,2と同じものだとわかると思います。
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| 写真 3 |
真ん中のものはかぶるにはまだ小さいですし、右の新聞紙のものは大きすぎます。ちゃんと寸法を考えて用紙を作れば良いのですが、適当にやってしまいました。
妻が愛用している空気清浄ファンヒーターの「よこりよけ」にかぶせてみました。
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| 写真 4 |
どうひいき目に見ても「おしゃれ感」は感じられませんし、ヒーターを運転するときにこのカバー（帽子）の置き場所に困ります。まあ惜しげもなく資源ごみとして出せるということころだけは良いかもしれません。
12月16日にご紹介した人差し指・薬指が二重の7本指の構えからの「ビヤトエイディオウィナゴ」です。
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「ビヤトエイディオウィナゴ」を少し丁寧に説明してみました。これ、なかなか良いあやとり作品だと思いました。模様としてきれいです。
最近、ショートパスタをおつまみにするのが気に入っています。茹で時間が長いペンネが好きなのですが、昨日はペンネがお店に無くてフジッリにしました。…などと、さも詳しいかのごとく書いていますが、ショートパスタの種類の名前、なかなか覚えられません。
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| ペンネ | フジッリ | |
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| コンキリエ | ファルファッレ |
ペンネは、サイゼリヤでロングパスタをペンネに変えてもらったりすることがあるので覚えました。下の写真の右上にちらっと見えているのがワインのデキャンタの大(500mL)で、右下にちょっとだけ写っているのがグラスの脚の部分です。
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| ペンネのたらこスパゲッティ |
妻の運転でサイゼリヤに行くと、ワインのデキャンタの大(500mL)と小(250mL)を頼むことが多いです。これでボトル1本分なのに値段は600円（！）なのです。外食のアルコールの値段とは思えません。テーブルワインとして十分おいしいし、お料理には合うし、ありがたいです。
＜おまけのひとこと＞
昨年いただいた年賀状を家の中で探しているのですが見つからないのです。妻が「これそうじゃない？」と出してきてくれたのが、22年の寅年のものでした。おお、これだこれだ、ありがとう、と思って見てみたのですが、ちょっと様子が変なのです。よくみたら西暦2022年ではなくて平成22年の寅年のものでした。22年寅年、12年前でした。部屋を片付けながら年賀状を探しているのですが、まだ見つかりません…
12月28日(水) 折り紙の帽子(その2)、あやとり
帽子の折り紙の話とあやとりの話です。
帽子の折り紙、なんとなく気に入ってしまって、他のタイプのものもちょっと探してみました。たくさんの折り紙作品の折り方が紹介されているorigami-make.comに、How to make a traditional origami cap(折り紙の帽子(伝承作品)の折り方)というページがありました。自分のメモ用に、立体にする前までの折り手順を簡単な図にしてみました。
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| 「帽子」の折り紙手順(途中まで) |
コップという易しい伝承おりがみがありますが、それによく似ています。コップの時には単に折り下げていた直角二等辺三角形の部分で帽子の「ひさし」の部分を作ります。最後にかたちを整えます。
普通の15cm角の折り紙（星のテクスチャのもの）と、8.5cmのメモ用紙（緑色のもの）で練習してみました。帽子の後ろ側が紙が重なって重たいので裏返すと写真2のような姿勢に自然となります。
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| 写真 1 | 写真 2 |
重ねてみたり(写真3)。
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| 写真 3 |
要領がわかったので、新聞紙で大きなサイズのものを折ってみました。
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| 写真 4 |
写真左上のサイズが自分の頭にはぴったりでした。かぶっていると少しあたたかいです。面白がって家の中でかぶってみたりしています（子供か…）。何かの時に新聞紙でこの帽子が折れると役に立つ、とはとても思えません。とりあえず写真1〜3の小さな帽子はお酒のビンにかぶせてみています。
実は100円shopに行ったとき、大きな画用紙の10枚入りというのがあったので、つい買ってきてそれでもこの帽子を折ってみたのです。上の折り図の手順2で高さを2等分する線で折っていますが（水平な赤い点線）、この線の2倍の長さが帽子の周の長さになります。なのでこの折り線の高さを変えることで帽子のサイズを変えることができる、と思ったのです。やってみると確かにサイズは変わるのですが、全体のデザインがいまひとつでした。いくつか作ってみたのですが、いずれも気に入らずに廃棄しました。
今日のあやとりです。4本指の構えから4隅の小さな輪の処理をして、アムワンギヨの終了処理です。
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このあやとりひもの色、実物は好きなのですが写真に撮ると背景を白く飛ばそうとするとあやとりひもの色が見えにくくなってしまうのが欠点です。
今朝の6時ころ、ようやく東の空が少しだけ明るくなり始めて八ヶ岳の稜線が見え始めました。窓ガラス越しではなく、窓を開けて写真を撮ってみました。
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| 2022.12.28 6:00ころ |
画面左側の明るい点は、まっすぐこちらに向かって走っている車でした。この車がいなくなってから写真を撮ろうかと思ったのですが、なかなかいなくならないので寒くて待つのを諦めました。
＜おまけのひとこと＞
最近また皮膚の状態が悪くて困ります。
12月29日(木) 折り紙の帽子(その3)、あやとり
帽子の折り紙の話とあやとりの話です。今朝から年賀状をやっていて、お昼前に郵便局に出してきました。それから更新作業を始めたので午後になってしまいました。申し訳ありません。
帽子の折り紙が妙に気に入って、もう少しリアルなものも折ってみたくなりました。YouTubeのPaper Cap - Origami Baseball Cap tutorial - という動画を見て、真似をして折ってみました。1対2の長方形1枚から折ります。本屋さんでもらった新刊案内のチラシから折ってみました。
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| 写真 1 | 写真 2 |
長い動画で、時間がかかってしまいました。公開して頂いているのはありがたいですが、動画を見ながらというのは大変ですね。お手本とちょっと違ってしまいました。
これは用紙のサイズを工夫してかぶれる帽子を作ろうという気持ちにはなりませんでした。
今日のあやとりです。
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これ、なかなか気に入りました。
皮膚の調子が悪くて耐えきれず、昨日は皮膚科に行きました。保湿剤をたくさん処方していただいてきました。帰りにさっそく薬局に寄ったのですが、正四面体の時計・温度計が置かれていました。多面体ファンとしては見逃せず、写真を撮りました。
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LEXAPROと書かれています。これは抗うつ薬の名前のようですが、おそらく医薬品メーカーの販売促進グッズなのかなあと想像しました。温度が華氏(F)の表示になっていましたが、海外メーカーのものでしょうか。
今年の5月2日にご紹介した、九井諒子というマンガ家の『竜の学校は山の上』がbook offにあったのを見かけて喜んで買ってきました。ふしぎな味わいの短編集です。
＜おまけのひとこと＞
年賀状にうさぎの折り紙を載せたいと思ったのです。心当たりはありました。ところが折り方を記録しておらず、過去に折ってあったはずの現物も見当たりません。結局オリジナルの折り方を工夫するところから始めてしまいました。まったく何をやっているんだか…
12月30日(金) 正二十面体のユニット折り紙、あやとり
折り紙の話とあやとりの話です。すみません、30日と31日の2日分を31日の朝に書いています。
さくB氏の 【ユニット折り紙】正二十面体【５枚組】 を見て、自分でも折ってみました。こんなユニットです。
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| 写真 1 |
メモ用紙で折っているので紙が厚いのです。なので隙間が出来てしまいました。
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| 写真 2 | 写真 3 | 写真 4 |
今日のあやとりです。
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手順5.までのものを11月9日にご紹介していました。
今尾恵介さんの地図から信州が見えてくる(信濃毎日新聞社：2022)を書店で見かけて買ってあったのを、夜に読みました。地図や地名の話は面白いです。
＜おまけのひとこと＞
年賀状が終わったので午前中にお掃除をしたのです。リビングの照明器具を外してきれいにしたり、今年作ってそこらじゅうにおいてある折り紙とか紙模型を透明なケースにまとめて収納したりしました。お昼は外食にしたのですが、ついお昼からお酒を飲んでしまって午後は寝てしまいました。
12月31日(土) 鏡餅を折り紙で作ってみる、あやとり
大晦日です。
今年も今日で終わりです。そういえば今年は鏡餅を買っていないような気がしました。白い折り紙が余っていたので、適当にそれらしいものを折ってみました。底の無い正八角柱を折って、それをドーム状になるようにかたちを整えてみました。
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| 写真 1 | 写真 2 |
上下それぞれを15cm角の折り紙1枚から折っています。遠目に見るとそれっぽく見えないこともないですが、けっこう無理がある感じです。オレンジ色の折り紙で「みかん」も折ってみたのですが、サイズが合いませんでした。再考中です。
今年最後のあやとりです。11月〜12月は「エガラウィナゴ」をいろいろ試しました。
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さらに網目を増やしてみました。
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「ナウルの太陽」は便利です。
今朝は例年通りお年越しの買い物に行きました。いつも5時前に家を出るのですが、今年は妻が4時前に声を掛けてくれて「目が覚めたから出かけよう」ということで4時過ぎに家を出ました。いつもだとお店の駐車場に入れないのですが、今日はすんなり入ることができました。5時前には自宅に戻りました。
上に写真を載せた鏡餅の折り紙を作ったりしているうちに外が明るくなってきました。
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| 12月31日 6:30ころ |
世の中は今年もますます大変な一年でした。私たちは昔に比べるとはるかに豊かな暮らしができるようになっていると思うのですが、でもあいかわらずストレスや不快感を感じている人が多いのではないかと思います。 なぜ抗うつ剤の使用者が増えているのか…現代人がほんのわずかな不快にも耐えられない根本原因 という記事を読みました。この記事は新潮新書の「ドーパミン中毒」という本の要約のようなのですが、いろいろと共感しました。
生物の進化の過程で脳が「心」を生み出したのは、それが種の存続に有利だったからだと思っています。生命が生き残ってゆくためには常に変化し続けている環境に適応することが不可欠です。そのために、有性生殖で遺伝子が交配され、常に新しい遺伝形質を持つ個体が生まれる生物が生き残って進化してきているのです。
「痛み」という感覚は不快なものですが、だからといって痛覚を失ってしまったらその個体は長生きはできないでしょう。同様に「こころの痛み」もたいへん不快なものですが、「こころの痛み」を感じない個体は、人間社会の中で受け入れられ難いのではないでしょうか。私たちが「こころの痛み」を感じるように進化してきている以上、人間の心は傍から見ればどんなに幸福な恵まれた状況に見えたとしても、常にストレス源を見出すように機能するのだと思います。
生理的な痛みというのは、別な箇所でより強い痛みが起こると感じなくなるのだそうです。（「マスキング現象」と呼ばれる、複数の刺激が与えられたときに一方がもう一方を感じなくさせるという心理現象の一種です。）ストレスとか心配事も、より大きなものが出てくると、それ以前の心配事が些細なことに思われるようになって気にならなくなる（気にしている余裕がなくなる）といいます。逆に、大きなストレス源や大きな心配事が取り除かれると、それまでは些細なことに思えていたことが大きなストレスになったりします。上記の「現代人がほんのわずかな不快にも耐えられない…」というのがまさにこの状態です。
実はこの「ドーパミン中毒」、地元の本屋さんで取り寄せをお願いしたのですが、まだ手に入っていないのです。今年の10月15日に発行された本なのに、通販なら翌日には配送できると言うのに、なぜでしょう？ 注文したときに、本屋さんが発注端末を見て申し訳なさそうに「ごめんなさい、いつ入荷するかわからないんです」と言っていました。これ以上地方の本屋さんをいじめないで欲しいなあと思います。本当は本を入手してからこの話を書くつもりだったのですが、年を越してしまうので今日書いてしまうことにしました。
今年このページを訪れて下さった皆様、本当にありがとうございました。来年もこんな感じで続けてゆくつもりでいます。よろしければまた見に来てください。皆様どうぞ良いお年をお迎えください。
＜おまけのひとこと＞
自分の部屋の掃除がまだ終わらないのです。今日はその作業に集中します。