以前の「ひとこと」 ： 2022年10月前半
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10月1日(土) プランニング、あやとり、他
10月です。
最近また拾い読みしている、webで公開されている英語の本のご紹介です。Planning Algorithms(S.M. Lavalle: Cambridge University Press, 2006) という本です。pdfファイルにリンクさせていただいています。ファイルサイズは13.3Mbyteで、pdfのページ数は1023ページあります。
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| S.M. Lavalle: Planning Algorithms. Cambridge University Press, 2006. |
本のタイトルを日本語に直訳すると「計画アルゴリズム」です。以下、計画(planning)を日本語でもプランニングと呼ぶことにします。本の序文(preface、pdfの9ページ)の冒頭に「プランニングアルゴリズムとは何か」という説明が書かれています。プランニングというのは、あるもの（たとえばグランドピアノ）を、壁や天井や家具などにぶつけないで目的の場所に設置するような場合、ピアノをどんな姿勢でどんな風に障害物を避けながら運び込むか、という「場所や姿勢を変える手順」のことを指します。
対象物が1つだけではなくて複数ある場合もありますし、かたちを変えられる場合もあります。（グランドピアノを運ぶとき、普通は大きな反響版はたたんで運びます。）グランドピアノの脚を外さないと搬入できない場合もあるでしょう。現実の世界でたくさん発生するそういった幾何学的な問題を解くための一般的な手順（アルゴリズム）を系統的に説明しているのがこの本なのです。
パズルの世界でも「条件を満たしながらものを運ぶ（位置姿勢を変える）」というタイプの問題はたくさんあります。というか、パズルのほうが現実世界から論理のエッセンスを抽出してモデル化している、というほうが適切でしょう。この本も、最初の例としてルービックキューブと15パズルを挙げています。
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| Figure 1.1 of “Planning Algorithms” |
問題がここまでシンプルに記述できると、目的の状態に持ってゆくための手順を論理的に探索することはずっと易しくなります。（問題を解くことそのものが易しくなると言っているわけではありません。15パズルでピースを１つ動かすのと、グランドピアノを動かすのでは労力が全く違う、ということを述べています。）
ところが、現実の世界でのプランニングは、ルービックキューブや15パズルのように簡単に状態が記述できるとは限りません。本で、すぐ次に出てくるのが下の図です。
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| Figure 1.2 of “Planning Algorithms” |
こういったタイプの知恵の輪、ご存じの方も多いと思います。これをどうやって解くのか、その手順を簡単に記述できるでしょうか。そもそもこの知恵の輪のたった２つのパーツの位置関係がどうなっているか、どうしたら記述できるでしょうか。現実の世界のルービックキューブや15パズルも、ピースの位置には「あそび」「ガタ」があって、多少ずれたり回転したりしてもそれは無視してパズルを解く（考える）ことができます。この知恵の輪を解くときも、「同じ状態」とみなしてよい小さな位置姿勢の変化と、明らかに「違う状態」とみなすべき変化があるはずです。そいうったものをどう考えればよいでしょうか。
ロボット（ここでは両手があって、人間の道具やものを持ったり動かしたりできるようなタイプのロボットを考えます）が食器棚からティーカップを取り出す、という動作を考えてみます。ティーカップの手前にはマグカップが置かれているとしましょう。「手前にあるマグカップをいったん取り出してどこかに置いて、次に目的のティーカップを取り出して、最後に仮置きしたマグカップを元の位置に戻す」というような手順を考えることもプランニングですし（これは「作業計画」と呼んだりします）、ティーカップを持って、それを食器棚の他の食器や棚にぶつけずに取り出す動きを考える」（これは「ロボットアームの経路計画」と呼んだりします）こともプランニングの１つです。
特に後者の「経路計画」(path planning)というのは、迷路を解く問題と論理的には同じですが、計算機の中に迷路を構築して現実的な計算時間で解（ロボットを動かす経路）を計算するのはとても大変です。
この本はこの分野では古典的な教科書で、非常に面白いのです。15年くらい前に少しだけ勉強しました。（仮に日本語だとしても全部読むのは厳しいですし、ましてや英語ですから、もくじや図から自分が知りたいと思っていることが書かれているとおぼしきあたりを数ページずつ拾い読みしただけですから偉そうなことは全く言えません。）最近は当時(15〜20年前)に比べて計算機も高速になりましたし、こういったプランニングのアルゴリズムの研究もどんどん進歩しています。このあたりも時間を作ってもっと勉強したいなと思っています。
今日のあやとりです。7月11日にこんなあやとりをご紹介しました。
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| hh220711-1 |
この後、「アルタイル→アクエリアス処理」をやってみました。
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| hh221001-1 |
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今日のもののほうが好みです。中央の二重のX字型のところとか、いいなと思います。
朝ごはんにサンドイッチを作りました。10枚切りの食パンがあったので、それを3枚軽くトーストして、マヨネーズを薄く塗ってハムを挟んで切っただけです。
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| 朝食のサンドイッチ |
＜おまけのひとこと＞
社外とのやりとりで、BoxとかSlackとかを使うのですが、これを会社のPCから使うにはいろいろ面倒なのです。利便性とセキュリティは相反するなあと思います。
10月2日(日) The True Size Of...、あやとり、アサガオ
地図の話とあやとりの話、他です。
The True Size Of ... というサイトがとても面白いのです。このサイトを訪れると、見慣れたメルカトル図法の世界地図が広がっていて、アフリカ大陸の上にアメリカ、インド、中国が置かれています。[THE TRUE SIZE OF] というダイアログがあって、そこに国の名前を(英語で)入れると、その国が表示されます。表示された国を世界地図のいろいろな場所に移動すると、その位置でのスケールに変換されて表示されるのです。左下の方位磁針マークをドラッグすると回転させることもできます。さっそく日本(Japan)を表示して、いろいろなところに持って行って遊んでみました。
最初にスカンジナビア半島のあたりに持って行ってみました(map.1)。
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| map.1 |
なるほど、ごくおおざっぱに言って、緯度と経度の範囲は似ているなあと思いました。
そこからさらに北のほうに行くとスバールバル諸島があります(map.2)。メルカトル図法ではとても大きく見える諸島です。人は数千人しか住んでいない（というか数千人も住んでいる！）そうです。完全に北極圏内ですから、白夜・極夜の期間が長いそうです。
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| map.2 |
なんとなく「メルカトル図法だから大きく見えるんだ」という思い込みがあったのですが、北海道と重ねてみると実際かなり大きいのだということがわかりました。
もう少し南に下って、ウクライナのあたりに重ねてみました。ちょっと回転させて、キーウを東京のあたりにしたら、モスクワやワルシャワがどのあたりなのか見てみました(map.3)。
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| map.3 |
キーウが東京だとしたら、ちょっと方角は違いますがモスクワが室蘭のあたり、ワルシャワは広島のあたりのようですね。キーウからポーランド国境まで行くというのは東京から大阪に行くようなものか…と思いました。
北海道を本州と重ねてみました(map.4)。よく、「北海道は広いんですよ！」という説明に使われるような図です。自分でも試してみたいなと思っていたので、こういうことが簡単に出来て楽しいです。
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| map.4 |
map.5 と map.6 はアメリカ五大湖との比較です。スペリオル湖(map.5)って北海道と同じくらい大きいのですね。
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| map.5 | map.6 |
ミシガン湖は長さも幅も日本の中国地方にぴったりな感じです。長手方向は（中国地方のように）東西ではなく南北ですが。なので回転させないとフィットしませんでした。
南米に行ってみました。細長いチリに本州を重ねてみました(map.7)。
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| map.7 |
チリは細長い印象がありますが、本州と同じくらいの幅がある（場所もある）のですね。
こうやって遊んでいると、あっという間に時間が経ってしまいます。「比べる」って面白いです。
昨日のあやとり、もう少し対称性が高くなるような工夫ができないかなと思ったのです。
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| hh221002-1 |
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「ガイアナの星」そのものでやるのではなく、1工程だけ省略したところからやっているのが工夫です。これもなかなか気に入りました。
もう10月だというのに、アサガオが元気です。むしろ8月くらいは暑すぎたのかほとんど咲きませんでした。朝5時半過ぎ、日の出前に少し明るくなってきたときに外に出てみました。ゆっくりと花が開き始めるころでした。
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| アサガオ.1 | アサガオ.2 |
30分後、まだあまり変化はありません。
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| アサガオ.3 | アサガオ.4 |
さらに2時間後、朝8時くらいになるともうしっかり花が開いています。
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| アサガオ.5 | アサガオ.6 |
もうしばらくするとタネを収穫できそうです。来年はタネから育ててみようかなと思っています。
＜おまけのひとこと＞
日曜日の朝は新聞の歌壇を楽しみにしています。一首一首から物語や情景が浮かんできて、胸を打たれたり涙ぐみそうになったりします。
10月3日(月) 鉱石標本(鉄ばん柘榴石)、あやとり
鉱石標本の話とあやとりの話です。
「鉄ばん柘榴石」という鉱石標本を買いました。同じパッケージで同じ値段で３つ展示されていたのですが、3つがそれぞれ全然違うかたちでした。一番かたちが気に入ったものを買ってきました。（写真はクリックすると別窓で拡大表示します。）
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| 鉱石標本写真.1 | 鉱石標本写真.2 |
これを見て、「あっ、菱形十二面体だ！」と思ったのです。（他の２つは整った多面体のかたちをしていませんでした。）上の写真と似た視点のCGを作ってみました。（同じようなCGを過去にも何度も作っています。）
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| 視点.1 | 視点.2 |
立体は特定の視点からだけ見ていてもかたちがよくわからないので、回転させてみました。
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| クリックでアニメーション表示 |
これも似たようなアニメーションは何度も作っていますが、でも楽しいです。
この標本を見て「菱形十二面体」と思う方はあまり多くないかもしれないな、と思うのです。パッと見てそうは見えないかもしれません。でもこの標本を眺めながら菱形十二面体をイメージしていると楽しいのです。これが高いか安いかと言われると微妙かもしれませんが(写真にある通り900円でした)、良いものを手に入れられて嬉しいです。
あやとりです。「テントの幕の処理」の前段の処理を少し工夫してみました。
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| hh221003-1 |
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ちょっとごちゃごちゃした印象でしょうか。あんまり良い工夫ではありませんでした。
私が身に着けて活用しているあやとりの開始処理・装飾処理・終了処理はそれぞれ数種類からせいぜい十数種類だと思います。順列組み合わせの威力で、それらを組み合わせると膨大なあやとりを楽しむことができます。また整え方を変えたり、使うあやとり紐を変えたりするだけでも印象が大きく変わることもあります。飾っておくこともできますし、飽きたら外してしまえばいくらでも作り変えられます。お手軽で費用もあまりかからないですし（長さの違うあやとり紐を数種類と、マグネットボードと強力な磁石で1,000円もあればとても楽しめる環境が揃えられます）、とてもいいあそびを見つけられたなあと思っています。
＜おまけのひとこと＞
900円で買った標本、家に帰ってみたらケースの後ろ側には「800円＋税」と書かれていました。あれっそれなら880円だったのでは？ と思いました。値段に納得して購入しているので苦情を言うつもりは一切ありませんが、表示価格は統一しておいたほうが良いのではないかなあと思いました。ショップの方の対応がとても良かったので、些細なことで変なクレームになって苦労されたらお気の毒だなと思ったのです。
10月4日(火) ニューセブンパズル(new seven puzzle)、あやとり
制限のある並べ替えパズルの話とあやとりの話です。メールで問い合わせをいただいたので、急遽話題を変えました。
「こんなパズルを知っていますか？」という画像のついたメールを頂いたのです。頂いた画像を載せます。
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| New Seven Puzzle |
この画像に加えて、葉樹林さんの「葉樹林記録」の2014年2月14日とおぼしき画像も添付されていました。このパズルは知っています。ご存じない方もいらっしゃるだろうと思ったので、簡単な解説の図を作ってみました。
このパズルは、7つのピースによって構成されています。７つのピースをある決まった目的の配置になるように並べ替える、というのがこのパズルの目的です。
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| Perpose: Arrange the pieces in any order |
許されているのは以下の操作です。中央のピースを取り出して、
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| Take out from center, |
そのピースを左もしくは右から入れます。
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| insert that piece from the left | or from the right. |
こうすることで、ピースの順番が変わります。
このパズルを解析した情報が載っている「レクリエーショナルプログラミング 〜遊びのなかの譲歩処理〜」（有澤 誠、ソフトバンク：1990）という本があります。この本に、この「ニューセブンパズル」を解析した章があります。本棚から引っ張り出してきて、表紙と該当ページ(p.44)の写真を撮ってみました。このページを見ると、1,2,3,4,5,6,7 を逆順に並べ替える手順がいきなり解説されていますので、読みたくない方はご注意ください。拡大すると（日本語が読める方なら）読めてしまいます。
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| cover | p.44 |
この本に載っているプログラムは、懐かしい Pascal で書かれています。
このパズルのアプリを作るのは、15パズルのアプリを作るよりも易しい気がしました。探してみたことはありませんが、きっと誰か実装して公開されているのではないかなと思いました。
「サケ網(3つのダイアモンド)」という伝承あやとり作品があります。石野さんのサイトでは魚の網という名前で紹介されています。私は野口先生の「あやとり」で覚えた名前で記憶しています。ここでは私の自己流の取り方（および記述の仕方）での説明になっています。
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| sf221004-1 | hh221004-1 |
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このあやとり(オリジナルの左のほう)、好きです。
＜おまけのひとこと＞
そろそろシーズンも終わりの地元産のトウモロコシを買いました。妻がトウモロコシご飯を炊いてくれました。旬なものはとても美味しいのでトウモロコシご飯にしたことはなかったのですが、シーズンオフのものだったので惜しげもなくこういった試みをすることができました。とても美味しかったです。
10月5日(水) フェルマー数の一の位の数、ニューセブンパズル(new seven puzzle)、あやとり
フェルマー数の話、他です。
フェルマー数と呼ばれる22n + 1で表される数があります。
- F0 = 21 + 1 = 3
- F1 = 22 + 1 = 5
- F2 = 24 + 1 = 17
- F3 = 28 + 1 = 257
- F4 = 216 + 1 = 65537
- F5 = 232 + 1 = 4294967297
- F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617
フェルマーは、このかたちで表される数は全て素数ではないかと予想したのだそうです。実際、F4 = 65537 までは計算してみると素数であることがわかるのですが、F5 = 4294967297はフェルマーの予想に反して素数ではないということをオイラーが示したそうです。手計算しかできなかった時代にこの F5 の素因数分解をしたオイラーは凄いです。その後研究が進んで様々なことが証明されたり、また計算機の進歩により少なくとも F5〜F32 は全て素数ではないことが示されているそうです。
…と、ここまではご存じの方が多い話かと思います。先日、
- F2 = 17 以降の全てのフェルマー数の末尾（一の位）の数字は7である
という話を読んで、これ、聞いたことがなかったなと思いました。確かに上の F6 までの例ではそうなっています。これは高校生でもできる初等的な方法で証明できます。やってみると面白いです。
昨日お問い合わせいただいたのをきっかけにご紹介したニューセブンパズルですが、御返事を差し上げたところ、さっそくNEW SEVEN PUZZLEというページを作成して公開された、という情報をいただきました。（スペイン語のサイトです。）
特に驚いたのが、JavaScriptで遊べるサイトが同時に公開されていることです（こちら）。下の画像からも同じサイトにリンクしています。
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| playable “New Seven Puzzle” |
７つ並んだピースの領域の左半分のどこかをクリックすると中央のピースが左へ、右半分のどこかをクリックすると中央のピースが右へ移動します。（同じ側を4回クリックすると元に戻ります。）[MIX]ボタンを押すとシャッフルされます。[SOLVE]ボタンで1手ずつ解を進めてくれます。右三角のボタンで自動で解いてくれます。素晴らしいです。
試してみることをお勧めします。
昨日ご紹介した「サケ網(3つのダイアモンド)」という伝承あやとり作品（石野さんのサイトでは魚の網）、これを「Qの構え」からやってみました。
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| サケ網(3つのダイアモンド) |
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| hh221005-1 |
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「サケ網」は実は左右非対称なので、その影響が出てしまっています。います。これは「いま一つ」かな。
＜おまけのひとこと＞
今日は天気が悪いです。
10月6日(木) ニューセブンパズル、フェルマー数の一の位の数、あやとり、他
ニューセブンパズルの話、フェルマー数の話とあやとりの話、他です。
NEW SEVEN PUZZLEというページを作成して公開されたJuananさんが、New Seven / Azig というページでこのパズルの解析をされています。素晴らしいです。
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| New Seven Puzzle |
少しメールのやりとりをさせていただいているのですが、このパズルがいつ発売開始されたのかご存じでしたら教えて下さいという質問をいただいたのですが、私はわかりませんでした。カワダのサイトを見てももちろんわかりません。このニューセブンパズル、web上にはほとんど情報が無いようです。日本のパズルコミュニティには著名なコレクターの方もたくさんいらっしゃるのでご存じの方はきっとおられると思うのですが、私はあまりお付き合いがなくてわからないのです。もしご存じの方がいらしたら、教えていただけるとありがたいです。何の御礼もできませんが。
昨日、フェルマー数22n + 1
- F0 = 21 + 1 = 3
- F1 = 22 + 1 = 5
- F2 = 24 + 1 = 17
- F3 = 28 + 1 = 257
- F4 = 216 + 1 = 65537
- F5 = 232 + 1 = 4294967297
- F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617
- ・・・
において、
- F2 = 17 以降の全てのフェルマー数の末尾（一の位）の数字は7である
という話をご紹介しました。これは背理法で示すことができます。式変形をこちら(別窓で開きます)に画像として置きました。ご覧になりたい方はどうぞ。フェルマー数の末尾の7を取り除いた（1桁少ない）数字はこんな二次の漸化式で定義できるのか、というのがちょっと面白かったです。
盃というあやとりがあります。（私は「箱枕」と習ったのでいつも併記しています。）
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| さかずき(箱枕) |
「Qの構え」から「デッキチェアの構え」に続いて、この「さかずき」を取ってみました。
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| hh221006-1 | hh221006-2 |
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左側のほう、なんとなく「りんご」っぽいです。余計な線がいろいろありますが。
昨日の夕方の南東の空が、ふしぎな青い色の霧のように見えたのです。
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| 10月5日の夕方の南東の空 |
ほぼ同時刻、西の空はこんな風に見えました。
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| 10月5日の夕方の西の空 |
実際に見るともっときれいだったのですが、うまく写真に撮れませんでした。わずか数分で色や明るさがどんどん変わってゆきます。
＜おまけのひとこと＞
急に寒くなりました。
10月7日(金) カラーキューブ、あやとり
昔ご紹介したパズルの話とあやとりの話です。
昔、2004年の6月に、カラーキューブというパズルをご紹介したことがありました。
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当時、このパズルのキューブの動きをCGにしてみたり、Java Applet でブラウザで遊べるパズルを公開したりしていました。そのgifアニメーションファイルが表示できなくなっているので、改めて載せておきます。下の画像をクリックすると別窓で開きます。
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| カラーキューブパズルのCG |
当時、カラーキューブというページを作ってアプリが動くようにしていたのですが、セキュリティ等の関係でサポートが終わり、もはや動かす環境はありません。ソースコードも紛失してしまいました。まあこのくらいならすぐ書けるよね、と思っていますが新しい環境に対応するのが面倒でほったらかしになっています。上記のページではご連絡いただいた手数などを表にして掲載しています。まだまだwebもこれからという時代で、スマートフォンもまだ普及しておらず、PCのブラウザベースのこういったサイトも盛んだった時代です。懐かしいです。
突然こんな古い話を書いたのは、「ニューセブンパズル」について情報交換させていただいているJuananさんから「カラーキューブパズル」に関するコメントと情報をいただいたためです。Puzzle It Out : Cubes, Groups and Puzzles(By John Ewing, Czes Kosniowski : 1982) という本に、このパズルを解析したページがあって、そのページを送っていただきました。上記のリンクはGoogle Books なのですが、ここで11ページほどプレビューできます。（全部で68ページらしいですが、カラーのページが多くて品質の良い本のように思います。）
google books でプレビューできるページから、表紙とこのパズルの絵が載っているページをご紹介します。（解析したページは未公開でした。）
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左下の不可能物体のようにみえるもの、これは何でしょう？
昨日のこの創作あやとり、りんごみたいだなあと思ったのです。
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| hh221006-1(再掲) |
もう少し「りんご」に寄せてみようと思いました。まずは赤い糸を使います。
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| hh221007-1：りんご |
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うーん、もう一工夫必要かな。
＜おまけのひとこと＞
この季節、雨が降ったりして天気が悪いととても寒いです。いよいよ冬が近づいてきた感じがします。
10月8日(土) ローリングキューブ（カラーキューブ）に関する情報、あやとり
すみません、10/8(土)と10/9(日)の2日分をまとめて更新しています。
このところご紹介している「カラーキューブパズル」ですが、
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付属の説明書の画像を載せておきます。（一応、住所や電話番号の部分は読めないようにしました。）
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| ツクダ「カラーキューブ」付属説明書 |
もはや入手は困難だと思いますので、情報として価値があるかもしれません。
カラーキューブパズルの発想、私が初めて知ったのはマーチン・ガードナーの「数学ゲームI」の第2章「ゴム棒から立方体ころがしまで」からでした。
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| マーチン・ガードナー「数学ゲームI」 |
上の画像は私が持っている本の表紙を今朝(10/9の朝)写真に撮ったものです。この本の15ページ上にはこんな図が載っています。
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| 図 1 |
空所に立方体をすべらずに回転させて移動して、８つの立方体すべての上下の面を逆にしなさい、という問題でした。
これが最初に発表されたのは、オリジナルはサイエンティフィックアメリカンの1975年3月号のガードナーのコラムです（Martin Gardner. Mathematical games column. Scientific American, 232(3):pp112-116, March 1975. Solution in April 1975 column. “From rubber ropes to rolling cubes, a miscellany of refreshing problems.”）
情報源はジョン・ハリスの1974年の論文だそうです。（John Harris. "Single vacancy rolling cube problems." Journal of Recreational Mathematics, vol.7(3):pp220-223,1974.）ハリスの論文には、以下の38手の解が示されているそうです。フォントの色を白にしているので、選択していただくと読めると思います。（これだと検索にひっかかってしまうので、画像にすべきだったか…）
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URDL,DRUL,LDRR,UULD,RUL; LDR,ULDD,RRUL,LDRU,LURD |
Uが上(up)、Dが下(down)、Lが左(left)、Rが右(right)を表します。2行で書かれていますが、移動は対称的です。面白いです。（書き写し間違いがないことを確かめるため、上の枠内のテキストの手順で手元の「カラーキューブ」を実際に動かしてみて、全て裏側の面になることを確認しました。）
この「カラーキューブ」については、秋山久義さんの素晴らしい本「キューブパズル読本」でも紹介されていました。
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| 秋山久義「キューブパズル読本」 |
ツクダオリジナルの製品の紹介と、ガードナーのコラムの話が紹介されています。
「サケ網(3つのダイヤモンド)」からの拡張を考えてみました。
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| サケ網(3つのダイアモンド) |
人差し指と薬指の2本指の状態から、親指・小指で4本指の状態に拡張する手順をTTF拡張処理(Two to Four)と勝手に呼んでいますが、この別バージョンを考えてみたのです。従来のTTF拡張処理は、人差し指の手前どうし、薬指の向こうどうしを結ぶ糸の中央付近をひねって取る操作でした。「サケ網」はちょうど中央に糸が掛かっています。この場合は、その中央部分の左右の糸を左右の手でそれぞれ取れば対称性が保たれるのではないか、と思ったのです。
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| hh221008-1 |
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「サケ網」そのものの左右の非対称性の悪影響が出てしまいました。でもまあこの技も使える場面はありそうです。
＜おまけのひとこと＞
2日分まとめた更新の上に、いろいろ書きたいことがあって時間がかかっています。
10月9日(日) カードのパズル、鉱石標本「蛍石」、あやとり
すみません、10/8(土)と10/9(日)の2日分をまとめて更新しています。
カードを使ったこんな遊びを知りました。1から3のカードを2枚ずつ用意します。マーク（suits)はなんでもいいです。
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| 図 1 |
この6枚を1列に並べます。ただし条件があって、2枚のAの間にはちょうど1枚の別のカードがあるように、2枚の2の間にはちょうど2枚の別のカードがあるように、そして2枚の3の間にはちょうど3枚の別のカードがあるように6枚を並べて下さい、というものです。
簡単なので答を示してしまいます。
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| 図 2 |
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| Aどうし |
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| 2どうし |
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| 3どうし |
それでは、カードが1~4を2枚ずつの8枚になったら同じことはできるでしょうか？ 上の条件に加えて、2枚の4の間にはちょうど4枚の別のカードがあるようにするのです。
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| 図 3 |
たぶんこれも、そんなに苦労せずに解を見つけることができるのではないかと思います。
さらにカードの数を増やしたらどうでしょう？ 1からNまでのカード2枚ずつの2N枚を用意したとき、このような配置が可能なのはNがどんな値のときでしょうか？
ちょうど一週間前にも鉱石標本の写真をご紹介しましたが、その時に一緒に購入した「蛍石」の標本です。こちらは350円でした。
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| 鉱石標本写真.1 | 鉱石標本写真.2 |
美しい正八面体の構造です。今も机の上に飾ってあります。きれいだなと思います。
久しぶりに「エイト展開」（シシドユキオさんの考案された手法です）のあやとりです。
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| hh221009-1 |
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すみません、今日は途中の手順についての解説やリンクは「無し」です。時間が無い…
＜おまけのひとこと＞
トランプ（カード）の画像はフリー素材を利用させていただいています。若干デザインに違和感があるかと思いますが、フリー素材ですのでありがたく利用させていただいています。
10月10日(月) 「ボードパズル読本」、立体的なあやとり、他
パズルの本の話とあやとりの話です。
ニューセブンパズルについて、Juananさんという方とメールのやりとりをさせていただいています。秋山久義さんが「キューブパズル読本」の他にも様々なジャンルのパズルについて何冊も本を書かかれているのです、とお伝えしたところ、「それらの本の中にニューセブンパズルについて書かれていませんか？」と御返事をいただきました。改めて調べてみたら、ありました。すっかり忘れていました。「ボードパズル読本」です。「第7章：玩具の体裁で登場する現代の駒移動パズルのルールと課題」の冒頭の4ページにわたってたっぷり論じられていました。
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| 秋山久義「ボードパズル読本」 |
この本によると、河田からニューセブンパズルが販売開始されたのは1987年だそうです。
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| ニューセブンパズル 秋山久義「ボードパズル読本」p.198より |
JuananさんのNEW SEVEN PUZZLEというページにも載っている「アジーク」にも言及されていました。
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| ラッキーセブンパズル、アジーク 秋山久義「ボードパズル読本」p.199より |
上の写真の左の「ラッキーセブンパズル」というのは旧ソ連製だそうで、これもパズルのロジックは同じだそうです。
適当にあやとりひもをいじっていたら、こんなものができました。「テーブル」と名付けてみました。
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| テーブル(写真1) |
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| テーブル(写真2) |
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| テーブル(写真3) |
手順はこんな感じです。下のようにホワイトボードに平面的に固定すると、わかりやすいですが面白くないです。
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| hh221010-1 |
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立体的なあやとりをどのように記録するか、課題です。
昨日の早朝の東の空がとても美しかったのです。
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| 朝焼け(1) |
カメラで色や風合いをうまく記録するのは難しいです。
スイングパノラマで広い範囲を撮影してみました。
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| 朝焼け(2) |
＜おまけのひとこと＞
三連休ありがたいです。
10月11日(火) 迷路、あやとり
迷路の画像のページの話とあやとりの話です。
Artist Creates Mind-Boggling Mazes And Here Are 27 Of Them(アーティストが創作した気が遠くなるような迷路27作品)というページがあったのです。とても面白かったのでご紹介します。大きな画像は上記のサイトでご覧ください。
こういう階段がたくさんあって廊下が基本的には直交しているパターンは好きです。
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| Image #11 from the above site |
これは原理的には「折り紙建築」の手法で1枚の紙を90度に折ることで作ることができるはずです。やってみたら面白いかもしれないと思いました。(高さが単調増加でないところや、橋とトンネルのところなどは工夫が必要ですが。)
下の#17、とても気に入りました。
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| Image #17 from the above site |
左上の、道も橋もつながっていない水の中の建物に [END] と描かれています。水面を隔ててすぐ隣の建物に [START] と描かれています。スタートからエンドまで、どうやって行ったらいいでしょう？
これは1枚の迷路ですが、二重の迷路なのですね。目で追ってルートを確かめました。楽しかったです。
こういった迷路の画像を集めた大判の絵本とかがあります。子供向けのものもありますし、大人も楽しめるものもあります。このサイトの迷路は趣向を凝らして美しく描かれていて、素晴らしい作品がたくさんあります。こんな風に公開して下さっていて大変感謝です。迷路は好きなので、いくつかの問題はルートを目で確かめました。楽しませていただきました。
しばらく前に取ったあやとりをご紹介しそびれていました。
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| hh221011-1 |
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中央の正方形の開口部の縁の部分が装飾のある額縁みたいで面白いなと思ったのでした。真ん中に写真を飾って「あやとりの額縁」にしても面白いかも、と思いました。
＜おまけのひとこと＞
時間がなくて簡単な更新です。
10月12日(水) 階段の遊具、あやとり、他
海外の階段の遊具の話とあやとりの話です。
こんな写真を見かけて「これは！」と思ったのです。
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| 3D printed model of the concrete labyrinthine 10-cal tower |
これはタイの公園にある 10-cal tower という遊具なのだそうです。supermachine studio crafts the concrete labyrinthine 10-cal towerとかSUPERMACHINE STUDIO 10 CAL TOWER, THE LABYRINTHとかのサイトにたくさんの写真があります。建設中の写真も公開されていて、こんな足場を組むのか、と感心しました。
これは遊具であり展望台でもあるのだそうです。多くの公園の遊具は子供が楽しんで大人は見ている、という風になりがちですが、この 10-cal tower は親子連れが公園に遊びに来た時、大人も子供も一緒に楽しめるようにというコンセプトでデザインされたのだそうです。上の2つ目のページの下のほうに、平面図や側面図、断面図が載っていました。平面図と断面図を縮小して引用させていただきます。
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| 平面図 |
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| 断面図 |
LEGOブロックとかで模型を作ったら楽しそうです。
堅牢な素材で作られているため、柱は塔の内側に2本あるだけのようです。非常に興味深い構造です。設置されている場所が場所だけに、残念ながら行ってみることは一生なさそうです。遠い将来、素材が劣化してきて危険になってきたら怖いなあとか余計な心配をしてしまいました。
あやとりの話です。以前ご紹介しそびれていたサンフィッシュからの派生の創作です。
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| hh221012-1 |
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途中の状態の写真もクリックすると拡大します。手順5.のところを言葉で説明するのが難しくて、写真に頼っています。（このあやとりは6月に取ったものなのですが、手順の記載が不正確で再現できなかったので、今朝、正しい「途中の状態」の写真を取ったものが手順5.の画像です。）そうまでして記録したいというほど気に入っているわけでもないのですが、ここからの派生もあるかもしれないので記録のために公開します。
昨日（10月11日）の夕方の西の空の鱗雲の夕焼けがすごかったのです。家の前から写真を撮ってみました。
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| Sunset on Oct. 11th |
きれいというのを通り越してちょっと怖いというか不気味なくらいでした。もう少し広い視野で撮ってみました（↓）。
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| Sunset on Oct. 11th |
画面下中央やや左寄りに写っているのは用水路です。空が映っています。画面右の下側は太陽光発電パネルです。ここにも空が映っています。画面中央は地域の神社の鎮守の森です。空がこんな風に見えているのはほんの数分間だけで、明るさや色合いはどんどん変わって、数分後にはもっと薄暗く暗い青になって、あっという間に夜になりました。
田舎に暮らしていると景色が良いのが長所だという意見もあれば、どんなに美しい風景も3日も見れば飽きるみたいな意見もあります。どちらもごもっともです。でも、季節や天候や時間帯によって、見える景色（空）は驚くほど変わります。こんな、現実とは思えないような空を見ることができて良かったと思っています。
＜おまけのひとこと＞
このところ軽いトピックが多くなってしまっています。
10月13日(木) 周の長さと面積が等しい三角形、あやとり、他
図形の話とあやとりの話です。
周の長さ（辺の長さの合計）も面積も等しい２つの三角形は合同だと言えるでしょうか？ これはもちろん合同条件ではなくて、反例を示すことができます。例えば(20,21,29) という直角三角形（直角二等辺三角形にかなり近い直角三角形ですね）と、(17,25,28)という三角形（これは鋭角三角形です）は、いずれも周の長さが70で、面積は210です。
後者の（直角三角形ではない）三角形の面積はヘロンの公式で求められますし、これが鋭角三角形であることは一番長い辺に相対する角の余弦定理でコサインの値が正であることから確かめられます。
3辺の長さそれぞれが整数で面積も整数になる組み合わせは他の三角形でもあるのだろうか、と思いました。いかにもありそうですね。また、周の長さと面積を固定したとき、条件を満たす三角形は連続的に変化するのだろうか(もちろん辺の長さは整数や有理数とは限らないとして)、とも思いました。これもいかにも連続的に変化できそうですね。ちょっと考えてみたいと思いました。
昨日の「サンフィッシュ」からの派生、もう少し工夫してみました(終了処理を「ダンスの舞台」にしてみた)。
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整えるのは大変でしたが、こちらのほうがきれいかなと思いました。
先月、十日町に行ったときに途中で寄った姨捨SAにあったカプセルトイマシンで、こんなピンバッジを入手しました。
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| ピンバッジ |
アルピコ交通のバスです。私の住んでいる地域の路線バスがこのデザインなので、バスが出るといいなと思ってやってみたら1つ目でこのバッジが出て良かったです。
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| 一覧 |
＜おまけのひとこと＞
会社の新しい勤怠管理システムが10月21日から運用開始されるのですが、これが面倒なのです。早く慣れないと…
10月14日(金) 周の長さと面積が等しい三角形(その2)、あやとり、他
図形の話のつづきとあやとりの話です。
昨日の(20,21,29) という直角三角形と(17,25,28)という鋭角三角形は、いずれも周の長さが70で、面積は210でした。三角形の3辺をa,b,c とすると、ヘロンの公式
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により、確かめられます。ここで、x=a, y=b とすると、a+b+c=70 ですから c=70-(x+y)となります。このとき、面積が210になるのはx,yがどんな値の時なのか、ヘロンの公式に代入して条件を満たすxとyの関係式を求めてみました。(x-35)(y-35)(x+y-35)=1280 となりました。これを陰関数として描画してみました。(以下のグラフはクリックすると拡大します。)
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| (x-35)(y-35)(x+y-35)=1280 |
なるほど、こんな風に連続的に変化するのですね。ちゃんと格子点を通っていること（三角形(20,21,29)と三角形(17,25,28)を含むこと）を確認してみました。
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| (x-35)(y-35)(x+y-35)=1280 |
ちなみに、x,y,70-(x+y) が三角形を構成するという条件を外すと（例えば負の値になっても良いとすると）、この陰関数は外側にこんな風に広がっています。
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| (x-35)(y-35)(x+y-35)=1280 |
なるほど、と思いました。三角不等式（三角形の2辺の和は残りの辺より大きい）に基づく3本の漸近線が見えます。周の長さを固定して、面積が小さくなればなるほど青いグラフは漸近線に近づくのですね。こういうグラフをすぐに描いてみることができるというのはとてもありがたいです。
「サンフィッシュ」からの派生、また別のパターンです。
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| hh221014-1 |
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整えないときれいなかたちにはなりません。
日本で鉄道が開業したのが1872年10月14日、ちょうど150年前なのだそうです。YouTubeに鉄道開業150年 記念映像という12分ほどの動画がありました。話題になっていたのですでにご覧になった方も多いかもしれません。10月14日にご紹介しようと思ってリンクを保存していたら、今朝アクセスしてみると「この動画はプライベート設定で視聴できません」と表示されてびっくりしました。JR東日本の公式チャンネルを見に行ってみたら、10月6日から公開していた動画を一部修正して再公開されたのだそうです。6日から13日の1週間で45万回以上の再生回数だったそうです。
動画の9:26あたりに見える斜張橋、これは北陸新幹線が上田駅の近くで千曲川を越えるところの映像ではないかなあと思いました。7:10あたりでアルピコ交通（新島々線）が映るのも嬉しいです。こんな風に一瞬だけ映るたくさんの路線、たくさんの車両や駅のどのシーンも、それを見て「あっ」と思う方が全国にたくさんいらっしゃるのだろうなと思いました。
＜おまけのひとこと＞
日の出前、外は濃い霧でしたが、日の出と共に視界が開けました。今日は天気が良いようです。
10月15日(土) 余った紙で折る袋、あやとり
折り紙の話とあやとりの話です。
出先でティッシュなどを使ったとき、捨てる場所がなければゴミはもちろん持ち帰るのですが、そのゴミを入れておくものが無くて困ることがあります。壁に掛けてあるカレンダーをめくったとき、古いものをとりあえず撮ってあるのですが、それでちょっとした袋というかふたのない封筒のようなものを折ってみました。
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| Step.1 |
Step.1：横幅の全体の3分の1より少し短いくらいになるように折ります。
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| Step.2 |
Step.2：封筒の底をふさぎます。
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| Step.3 |
Step.3：最初に折ったのと同じ幅でもう一度折ります。
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| Step.4 |
Step.4：左側の余った部分を折ります。
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| Step.5 |
Step.5：左下の内側に折られた部分に、Step.3で折った封筒の手前の部分を差し込みます。これで折り目が開いてこなくなります。
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| 完成 |
袋を少し広げてのぞいてみました。これをジャケットのポケットに入れておくと、ちょっとしたゴミを入れたときにジャケットの裏地やポケットの生地を汚さずに済みます。しばらく使って汚れてきたら廃棄します。
カレンダー用紙は適度に丈夫で外から見ると真っ白い無地なので、使い勝手が良いです。
今日はちょっと違った系統のあやとりです。サンフィッシュのひねりのないものを別手順で取ってみています。
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さらに、人差し指の輪を外して整えるとこんな感じになります。
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これも何かの装飾のベースに使えるかもしれません。
地元の駅前の小さな本屋さんが頑張っているので、応援したいと思っています。そのあたりでは買えない本で、取り寄せに時間がかかってもかまわない本をお願いするように しています。2週間前に頼んだ本、「10日から2週間ほどかかります」ということだったのですがまだ連絡がなかったので電話で問い合わせてみたら、まだのようでした。お店の方がとても恐縮されていました。Amazonだったらきっと翌日には届くのでしょう。でも、時間をかけて手に入れるほうがありがたみがあって、入手した後で自分の中でその本の存在の重みが増す気がするのです。（自分がマイノリティだということは自覚しています。）
先日どこかで目にした記事で、観光旅行に行ったときにお土産は現地では買わず、どれを買うかは現地で見て決めておいて、ネットで発注して自宅に届くようにする、という話がありました。「わざわざ荷物を増やして自分で運ばなくて済むし、ネットで調べれば値段が安いものが買えるから合理的」なのだそうです。なんだか釈然としませんが、身近な小売店舗をどんどん駆逐していった「ネットで買う、通販で買う」文化や価値観が進むと当然そうなるのか、と思いました。
＜おまけのひとこと＞
「継続してほしいサービスは積極的に利用する」という方針で生活していますが、少数派になってしまうと世の中の流れには逆らえないなとも感じています。それでも意思表示は続けるつもりです。