以前の「ひとこと」 ： 2022年4月前半
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4月1日(金) 取り方を記録しなかったあやとり
4月になりました。久々にあやとりの話です。
過去のあやとりの画像を久しぶりに見ていたら、まだ未紹介のこんなあやとりがありました。(画像をクリックすると別窓で拡大します。)
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昨年6月の写真なのですが、なぜ掲載しなかったのだろうと思ってその日のメモをみると、取り方を記録していなかったのです。4本指の構えから四隅の小さな輪の処理、最後は「小さいアムワンギヨ」、ではなくてその手前の「焼け焦げた葉のククイ」の終了処理、ということはわかります。途中の処理がわかりません。復元できるでしょうか。
もう１つ、これも同じ日の写真でした。上のあやとりと似ている部分があります。こちらは普通の3本指の構え（人差し指の構え）から取っています。これも記録がありません。
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昨年の4月末くらいから、「あやとりのページ」を作り始めたのでした。ここ3か月ほどあやとりの掲載をしていませんでしたが、そろそろ再開しようかなと思って昨年のデータの見直しを始めました。
＜おまけのひとこと＞
職場のほうは今日から新しい部門に異動になります。朝の異動者の挨拶会で「ひとこと」あいさつさせていただけるそうです。何を話そうかなと思っています。自分が若いころ、在社年数の長い方の自己紹介で過去の仕事を列挙していただいても、その内容に馴染みが無いためほとんど覚えられなかったものでした。そういう伝わらない話はしないように、でも「この人はこういう人なんだ」という必要な情報が伝わるように、何をどう話そうかなと考えています。
4月2日(土) 立方体の連結とビリヤード軌道
以前ご紹介した立方体に関する２つの話題です。
2019年1月に、折り紙の立方体の１つの頂点をへこませる折り方から、立方体を順につないだ「輪っか」をつくる話をご紹介したことがありました。そのときに作ってあって、ファイルサイズが大きいため掲載していなかったCGアニメーションがあったので、それを載せておくことにしました。
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| 図 1 |
このときに、この12の立方体の並びはこんな関係になっています、という図を示していたのですが、
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これがどんなかたちなのかわかりにくいので、この折れ曲がった六辺形を、格子といっしょに回転させるCGも作ってみました。（当時のCGの定義ファイルの最後に、全オブジェクトを回転する指定行を1行追記するだけでできます。）
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| 図 2 |
このCGを作ったとき、「あれ、これと同じものをつい最近作ったような…」と思ったのです。
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これは立方体の内部のビリヤード軌道そのものだったのでした。3年前に立方体の連結モデルを考えていた時には、これがビリヤード軌道そのものだということは全く思い浮かんでいませんでした。
これが各面での跳ね返りの軌道になっていることは、六辺形の１つの頂点に注目して、その前後の線分を含む平面(下の図の青い面）が跳ね返る面（立方体の面）と直交していること、またその青い面の中で、入射角と反射角が等しいことから素直に納得できると思います。
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| 図 3a | 図 3b | |
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| 図 3c | 図 3d |
二種類の向きでCGを描画してみました。「なるほど、確かに」と思っていただけるでしょうか。
さらに、この六辺形の6つの頂点が等価であることを図（アニメーション）で示したいなあと思ってこんなものを作ってみました。
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| 図 4 |
六辺形の隣り合う頂点が、立方体に対してまったく同じ位置にあることがわかると思います。
＜おまけのひとこと＞
昨日の午前中、勤務先の新しい組織の発足会というのがあって、順番に自己紹介をしました。「１．これまでどんな仕事をしてきたのか、２．趣味や興味があること、３．最近うれしかったこと」という３つのお題で、一人1〜2分話をしてください、というものでした。他の方のお話がとても面白く、参考になりました。自分が話す時に特に困ったのが「３．最近うれしかったこと」でした。このサイトに毎日書いていることは、１つ１つが小さな「うれしかったこと」（正確には「面白かったこと」）ではあるのですが、そんな話はできないし、じゃあほかに何かあるか、と改めて考えると、「大きな不幸や病気、事故などがなくてよかったなあ」くらいしか思い浮かびませんでした。まあそれは幸せだ、ということだと思います。（ちなみに自己紹介の時には無難なトピックとして「浴室をリフォームしたら快適になった」という話をしました。）
4月3日(日) 箱の内側の三点透視図法(その1)
「立体箱」の話を始めます。
昔、立体箱とか像が立体に見えるBOXの作成とかで紹介されている工作を見かけて、面白いなと思ったのです。現物も、かなり大きく拡大された模型を図書館だったかで飾られていたのを感心して見たことがありました。色鉛筆で色が塗られて、素敵な出来栄えでした。
過去にご紹介したことがあったはずだと思って検索したり遡ってさがしてみたりしたのですが見当たりません。今回、改めて図などを作り始めたので、順次ご紹介してゆこうと思います。
この技法を自分で試してみていたのは、2002年の6月ころだったのですが、そのときの図を使ってCGを作り直してみることにしました。オリジナルの「立体箱」は高層ビルを見下ろす感じのデザインになっていますが、まずはシンプルに立方体の骨格から考えることにしました。こんな展開図を作ってみました。
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| 図 1：展開図 |
オリジナルの立体箱は、視点を固定するために立方体の１つの頂点を小さく切り落として「のぞき穴」と作って、そこから箱の中をのぞくように設計されています。視点の頂点を含まない、互いに直交する3つの正方形の面（内側）に絵が描かれていて、それを決められた視点からみると三点透視図法で遠近感がある絵を見ることができます。
図1の展開図を、絵柄が描かれている面が内側になるように糊付けします。CGでテクスチャを貼って、意図した視点(図2)と想定外の視点(図3)からどう見えるか、描画してみました。
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| 図 2：正しい視点 | 図 3：間違った視点 |
さらに、「正しい視点から見ているなら視線の方向を変えても破綻しない」ことを示すために、アニメーションにしてみました。
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| 図 4 |
この例では左右に振っていますが、上下に振っても大丈夫です。
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| 図 5 |
このような「視線の自由度」があるからこそ、指定した「のぞき穴」から箱の中をきょろきょろ見回してみても遠近法が破綻せず、自然に見えるのです。たいへん面白いと思います。
今回のものに少し似ているな、と思い出したのは、2018年にご紹介した梯子のカードです。
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梯子とその影が描かれた2枚のカードを水平と垂直にあわせると、梯子が空中に斜めにかかっているように見える視点がある、というものでした。でもこちらは平行投影でした。今日ご紹介した「立体箱」は透視図法です。CGも透視図法で描画しています。上でご紹介した立体箱の原理の3面に描かれた立方体骨格のCGを平行投影で描画するとおかしなことになってしまいます。
＜おまけのひとこと＞
ガソリン高騰の折ではありますが、春になったので少し車で出かけようかなと思っています。
4月4日(月) 箱の内側の三点透視図法(その2)、他
「立体箱」の作図の話です。
昨日、立方体の箱の内側の3面に描いた絵が、あたかも立体のように見えるという「立体箱」をご紹介しました。これをどうやって作図しているのか、今日はご紹介しようと思います。
3つの面の境界の稜の部分を3次元座標系のx軸、y軸、z軸だとみなします。
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| 図 1：座標系 |
私はPovray派なので、いつもは左手系なのですが、今日は右手系にしました。
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| 図 2：展開図 |
3つの面をxy面、yz面、zx面と呼ぶことにします。右上のyz面でしたら、y軸方向とz軸方向は面内でそれぞれ水平と垂直になっていて、z軸方向だけが消失点が正方形の右上隅の1点透視図法になっています。その他の面も同様です。xy面はz軸方向の消失点を持つ1点透視図法、zx面はy軸方向の消失点を持つ1点透視図法になっています。
通常の画角のレンズを想定して描画したCGでは３つの消失点は画面の外にありますが、魚眼レンズのように極端に広角なレンズ特性を想定してCGを描画してみるとこんな風になります。
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| 図 3：魚眼レンズ |
詳しくは説明しませんが、描画された立方体の６つの面の中心に赤い点を打っています。これがそれぞれの面の中心になるように、図学の技法（もしくは透視図法の技法）を使って位置を決めています。
例えば、図2の右上のyz平面の場合、yz面と平行な正方形は歪みのない正方形として描画できます。なので、その面の中心は普通に正方形の中心になります。一方、消失点を持つx軸方向の稜の中点は図の上での稜の中点にはなりません。透視図法で奥行き方向を等分するときに使う基本的なテクニックを使います。
昨日と同様、この3面セットもCGで描画してアニメーションにしてみました。
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| 図 4 |
６つの赤い点がそれぞれの面の中心として違和感がないでしょうか。
こうやって3次元のCGで描画できてしまうと、現物を作ってみようという気にならなくなってしまうのが欠点といえば欠点かもしれません。でも、処分に困る「ガラクタ」が増えなくて済むというのは良いことかもしれません。
昨日の朝車でちょっと出かけたとき、通りかかった道のわきにこんな階段と鳥居が見えました。
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| 写真 1 |
階段、大好きなので、安全に車が止められる場所があったので車を置いて、ちょっと見に行ってみました。(写真は拡大できます)
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| 地図 1 |
場所はこのあたりです（地図１：拡大できます）。詳しくはblogのほうにはもう少しだけ場所がわかる情報を書きました。写真も5〜6枚載せてあります。
川が刻んだ谷に沿って道路が通っており、川の両側は耕作地になっています。山が少し南側にせり出した見晴らしがよくて日当たりの良いあたりに小さな神社（地図によると八幡神社という名前のようです）がありました。
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| 地図 2 |
日本中、どこにでもありそうな山村の風景です。そういうところがいいなあと思います。
順番としては、川があって、人が住み始めて耕作地ができて、そのうちに道ができて、人が集まって暮らすほうが便利なので道沿いの都合が良いところ（適度な耕作地が近くにあるとか、日当たりとか、氾濫しにくく水不足にもなりにくい適度な水とか、風とか土砂災害に合いにくいとか）にだんだん人が集まって…という風にして村ができてきたのだろうなと思います。地理院の地図はそういう情報が読み取れるので好きです。googleとかの地図は人間が作ったものしか描かれていないので、都会ではとても便利ですが自然が多いエリアでは読み取れる情報が少ないので見ていてもあまり面白くありません。
＜おまけのひとこと＞
気が付いたらだいぶ遅い時刻になってしまいました。
4月5日(火) 箱の内側の三点透視図法(その3)、他
「立体箱」の話のつづきです。
箱の内側の三点透視図法の作図と、それをCGで確かめるのが面白くていくつか試してみています。今日はすこし細長い箱を描画してみました。
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| 図 1：展開図 |
設計した視点から見たところです。
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| 図 2：想定視点 |
想定外の視点から見ると、直線になってほしい稜が折れ曲がって見えてしまいます。
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| 図 3a：想定外視点1 | 図 3b：想定外視点2 |
これもアニメーションにしてみました。
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| 図 4 |
先日車で出かけたとき、JRの信濃川島駅に立ち寄らせてもらったのです。大変申し訳ないことに、列車での訪問ではなく車での立ち寄りです。この駅は、北から南に向かって流れる小野川と、西から東に流れる横川川が合流する地点にある駅で、ホームが川の上にあるのです。
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| 地図 1/td> |
もうちょっと広い範囲の地図です（クリックで拡大）。拡大しないとわけがわからないと思います。
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| 地図 2 |
昔は中央本線は、諏訪湖のほとりの岡谷から塩尻まで行くのに大きく南に迂回して辰野経由のルートしかありませんでした。塩嶺トンネルができてかなり時間は短縮されました。この地図だけからでも、川が谷を刻んでできたルートに交通網ができていること、山が多いこと、特に西の木曽谷のほうは谷が深く平地がほとんどないことなどが読み取れます。
川の上のホームを道路側から見たところと
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| 写真 1 |
逆にホームから川や道を見下ろしてみたところ
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| 写真 2 |
の写真です。blog のほうにはもう何枚か、別の写真も載せました。
＜おまけのひとこと＞
昔、子供が小さかったころ（ということは20年以上前）に、横川川の上流の渓流に遊びに行ったことがあります。そのときにも信濃川島駅の前を通っているはずで、写真も撮ったような記憶があるのですが見つかりませんでした。
4月6日(水) 箱の内側の三点透視図法(その4)、他
「立体箱」の話のつづきです。
箱の内側の三点透視図法の作図をして、それをCGで確かめるというあそびにすっかりはまっています。今日は立方体の４つの垂直な稜を切り落とした、45度回転した細長い四角柱の描画をしてみました。45度の作図がちょっと工夫が必要です。
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| 図 1：展開図 |
設計した視点から見たところです。昨日までの図よりもテクスチャマッピングする図の解像度を上げてみました。
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| 図 2：想定視点 |
想定外の視点から見たところです。CGを描画するプログラムは同じで、貼り付ける3面の画像だけを変えているので、昨日とまったく同じ視点です。
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| 図 3a：想定外視点1 | 図 3b：想定外視点2 |
これもアニメーションにしてみました。
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| 図 4 |
これも三次元の錯視の一種です。
朝、ペットボトル入りの濃い野菜ジュースを飲むことがあります。今朝はちょうどマグカップ半分くらいの分量が残っていたのを全部飲みました。良く振ってカップにそそぐようにしているのですが、どうしても成分が沈殿して、開封直後は上澄みを飲む感じになり、最後は濃度が高い感じになります。最後、ペットボトルをしばらく逆さにしてカップの上に固定して、中身を注ぎ切るようにしているのですが、容器内部の壁面にどうしても残ります。少しだけ水を入れて容器をよく振って、いわゆる「共洗い」することで、中身を全部出し切るようにしています。共洗いしてできる薄まったジュースももちろんカップに注ぎます。ペットボトルもきれいになるし、無駄に排水に栄養分を流さずに済むし、最後の濃くなったジュースが本来の濃度に近く薄まるし、良いことづくめです。
元化学屋なので、こういうことをやっていると化学実験の定量分析を思い出します。定量実験では、今やっている実験手順においては扱っている液体の「濃度」を変えてはいけないのか、それとも「容器の中の溶質の量」を変えてはいけないのか、を意識するとわかりやすいのです。そんなことを考えながら野菜ジュースを飲みました。
＜おまけのひとこと＞
4月1日付の組織変更で所属が変わったのですが、まだいろいろ混乱しています。
4月7日(木) 箱の内側の三点透視図法(その5)
「立体箱」の話のつづきです。
「立体箱」の内側に透視図法で作図するやり方をご紹介しておこうと思って、ルービックキューブ（3x3x3）の例を描いてみたのです。途中経過の図の体裁を整える時間がなくなってしまったので、今日は結果だけ簡単にご紹介します。
こんな風に、透視図法で立方体の各面を3×3に分割します。
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| 図 1 | 図 2 |
これをPovrayで三次元CDにしてみました。
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| 図 3 | 図 4 |
３つの正方形を互いに直交するように配置しているということがわかりやすいように、光源の位置を敢えて対称ではない配置にしているので、3面の地の白の色が違います。そのため、ルービックキューブをイメージして着色した面の色が、複数面に分割されているところで色が変わってしまって、「透明感」が出てしまいました。
光源の位置を対称な位置に変えてみました。描画している３つの面の境界線が見えなくなります。
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| 図 5 | 図 6 |
面白いなあと思います。
＜おまけのひとこと＞
すみません今日はごく簡単な更新です。（でも、この準備のために作図をしたり色付けをしたりいろいろな条件でCGのレンダリングをしてみたり、2時間くらいはかかっています。）
4月8日(金) 箱の内側の三点透視図法の作図例
4月8日(金)の記事は準備していたのですが、早朝に並行して慌ただしくいろいろなことをやっていたら、サーバにアップするのを忘れてしまいました。9日(土)に2日分、トップページにまとめて載せたいと思います。失礼しました。
「立体箱」の作図法のご紹介です。
今週は、箱の内側の3面に三点透視図法で立体を描く例をずっとご紹介してきています。これをどんなふうに作図しているのか、手順を説明しておこうと思いました。目標は、立体にするとこんな風に見える、内側の三面図を作ることです。
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| 立方体 |
最初に、大小2つの正方形をずらして配置して頂点を結びます（一点透視図法）。以下の説明では、新たに描き加えた線を赤で示します。
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| Step.1 |
次に、この中のどの部分を三面図に配置するのかを決めます(Step.2)。
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| Step.2 |
使うのは右上の部分だけなので、不要な補助線は消して、採用する線を黒い太線にします(Step.3)。
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| Step.3 |
次に、隣の面に続く線を伸ばします。繋いだ線が、それぞれの面において水平に伸ばすのか、垂直に伸ばすのか、それとも新しい面の奥行き方向に伸ばすのか、を考えて伸ばします。新しい面の中で交差した点が、新しい頂点になります。
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| Step.4 |
左の面、下の面で決まった線（立方体の稜）を黒い太線で確定します。新しい頂点から、3つ目の稜を伸ばします(Step.5)。
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| Step.5 |
さて、最後の頂点を決めなければなりません。最後の頂点は左側の面にあるのか下の面にあるのか、どちらでしょうか？ それぞれの線を隣の面まで伸ばすとしたらどこから伸ばすのか、コンパスで位置を調べます(Step.6)。
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| Step.6 |
下側の面の水平な稜線を左上の面から伸ばそうとすると、立方体の外側にはみ出してしまっています。伸ばしすぎです。ということは、左上の垂直な線の続きが右下の面に伸びているはずです。その線は下の面では消失点の方向に伸びるはずですから、その方向に補助線（赤い線）を引きます(Step.7)。
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| Step.7 |
確定した稜を黒い太線にします(Step.8)。
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| Step.8 |
最後に、不要な補助線を消します(Step.9)。
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| Step.9 |
これで作図できました。
この手順、方眼紙などに鉛筆と定規で作図して、確定した線を墨入れして（ペンなどでなぞって）、切り取って折り曲げて模型を作ってみて下さい。面白いと思います。
＜おまけのひとこと＞
今日は新しい組織の方針大会があります。どんな話を聴けるのかなと思っています。
4月9日(土) 「数字のない数学」
昔の本のご紹介です。
今週は「立体箱」の中に描く透視図法の話をご紹介していますが、自分がそもそもこういった一点透視図法、二点透視図法というのがとても面白いと知ったのは、「数字のない数学」（ジーン・ベンディック/マーシャ・レヴィン(著)、 本多清雄(絵)、福富和子(訳)、福音館書店：1972）という本からでした。復刊ドットコムでも取り上げられていますが、7票しか入っておらず、望み薄です。
この本の出版は1972年なので、ちょうど50年前です。子どものころに愛読していたのですが、今は手元にはありません。以前にもご紹介したいと思ったことがあったのですが、当時(今から20年前くらい)はwebで検索しても全く情報が得られませんでした。今回検索してみたら、上記の2サイトがみつかりました。コトノハブックス(オンラインの中古絵本屋さん)のほうのページには表と裏の表紙と、サンプルの画像が載っています。
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| 表紙 | 裏表紙 |
翻訳された本なので、原著があるなら手に入らないかなと思いました。まず、著者名の綴りがわかりません。国会図書館のサイトで検索して、「数字のない数学」のページから、Jeanne Bendick(1919-2014)、Marcia Levin(1918-2006)のお二人だということがわかりました。翻訳者の方も、この本以外の著書はないみたいです。
特徴的な絵がたくさん描かれていて、それもとても印象に残っています。今回調べてみて改めて驚いたのは、この絵は日本で出版されたときに描かれていたのだ、という点でした。
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確かに上のページ（クリックすると拡大します）の左側の糊の容器には「糊」という漢字が描かれていますし、竹の30cm物差しは当時の日本の小学生だったらみんな持っていたものです。右上のイラストには
| ぼたくーのえなつまくえすはでみーすす |
と書かれていて、これは後の「暗号」の章で解読法が解説されていました。このあたり、確かに日本で翻訳されたときに工夫されたとしか考えられません。
小学生向けの本なのですが、絵本というよりは普通の横書きの論文のような体裁で、随所に図やイラストが交えられながら解説が書かれています。
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当時はこれが翻訳された本だ、ということは全く認識していませんでした。
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「割りピン」って何だろう？ と疑問に思った覚えがあります。上の左ページの下のイラストを見て、こんなかたちでは刺さらないし、こんなの役に立たなそうだなと思ったのです。後に割りピンというものの使い方を理解したときには「そうだったのか！」と感動しました。
この本、まだ実家にあるかもしれません。もうないかもしれません。また手に取って中身を見てみたいなあと思いました。
原著者のお名前がわかったので、検索すれば「数字のない数学」の原著にたどり着けるだろうと思ったのです。ところが、「これだ！」という本が見つからないのです。Amazonのサイトでこの二人の著者名で検索して出てきたのはこちらなのですが、どれもなんだか違う気がするのです。日本語版の本の奥付を見れば何か書いてあるかもしれません。
デイリーポータルZの揚げパスタには結局スパゲッティが一番いいという記事を読んで、やってみたいなあと言ったら妻が作ってくれました。確かに何もつけなくてもおいしいです。ただ、たくさん食べるにはちょっと硬いかなと思いました。短く折ってスープに入れてみました。とても良かったです。
でも、考えてみるとその方向は「皿うどん」「袋めん」の方向だなあと思いました。やっぱり「揚げパスタ」は居酒屋とかで最初にすぐにでてくるおつまみで、みんなでそれぞれ1〜2本ずつ食べたらなくなるくらいがちょうどよいのかもしれないです。
高速道路の飛び石に懲りて、制限速度80km/h を絶対に超えないように走っています。それなのになんと、昨日の帰りにまた飛び石が当たってフロントガラスにゴマ粒くらいの小さなキズが残ってしまいました。修理するほどではないのですが悲しいです。先月、10万円もかかって修理したばかりなのに…（任意保険を使ったので現時点で出費があったわけではありませんが、保険の等級が下がってしまうのでトータルで数万円の損失です。）ここ3〜4年で3回、修理しています。もう高速道路を走るのは嫌だ…
＜おまけのひとこと＞
今日は我が家の車2台のタイヤ交換をそれぞれのディーラーに予約しています。タイヤ交換を自分でやらなくなってもうだいぶ経ちます。地下室からタイヤを出してきて車に積んで、交換したタイヤを地下室に戻して、という作業を午前と午後に行います。少しは運動になると思います。今日は天気が良くて助かります。前回は雨天だったので、交換してもらったタイヤはいったん玄関に置いて、晴れた日に干して乾かしてからしまいました。今日は大丈夫そうです。
4月10日(日) 平行投影と透視投影
平行投影と透視投影の話です。
三次元空間にあるもののかたちを二次元である平面上に描画するための投影法にはいくつかの手法が知られています。代表的な平行投影法と透視投影法を比べてみます。下の２つの図は、CG描画ソフトのPovrayで、対象物のものの定義は全く同じにして、視点と視野を変えて描画してみたものです。
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| 図 1：平行投影 | 図 2：透視投影 |
立方体の12本の稜は、平行な4本ずつの3組に分けることができます。図1のほうは平行な4本は図の上でも平行です。ただし実際の立方体と異なり、図の上では稜の長さや角度がすべて同じにはなりません。図2のほうは、本来平行なはずの4本の組は、それぞれ遠くにある1点で交わります。また、稜を円柱で表現していますが、その円柱の見かけの太さも遠くになるほど細くなっています。
この２つの投影法は全く違うものというわけではなく、透視投影法の極限が平行投影法なのです。透視投影法には焦点とか消失点と呼ばれる、平行な線が無限遠で交わるように見える点を設定しますが、この消失点が（文字通り）無限遠ににあると考えるのが平行投影法なのです。
カメラのレンズで言うと、望遠側にすると消失点が遠く、奥行き方向の平行な線は画面上でも平行に近づき、広角側にすると消失点が近づいて、奥行き方向の平行な線は画面上での角度が平行ではなくなってゆきます。
広角側から望遠側に徐々に視野角を変え、同時に対象物の大きさがあまり変わらないように視点を徐々に近づけてみました。（画角のarctan()関数の逆数で視点位置を決めています。）
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| 図 3 |
視点を変えてしまっているため、ズームアウトしている感じはしないですね…
「立体箱」は、3つの面それぞれを透視図法で描画していました(図4)が、仮に3つの面を平行投影で描画したらどうなるでしょう？ 図5のように、それぞれの面の奥行き方向を45度にして、図を作って試してみました。
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| 図 4 | 図 5 |
図4、各面を透視図法で描画したものを互いに直交するように3面に配置してCGを描画します。図6a が平行投影、図6bが透視投影です。図6aの白く見える3枚の縁がきれいな正六角形になっていることがわかります。
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| 図 6a：平行投影 | 図 6b：透視投影 |
各面を透視投影法で描画しているものを平行投影してみると、立方体には見えません。
同じように図5の各面を平行投影法で描画したものを互いに直交するように3面に配置してCGを描画します。図6a が平行投影、図6bが透視投影です。
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| 図 7a：平行投影 | 図 7b：透視投影 |
今度は、図7aの平行投影が自然な立方体の見取り図として見えます。
平行投影と透視投影は異なる概念なわけではなく、透視投影の極限が平行投影なのだ、ということを書きましたが、結局、３つの面を描画したときに想定した消失点の位置と整合性がとれるようにCGを描くと意図通りの画像が得られる、ということなのです。
昨日、「数字のない数学」という本の話を書きました。2008年9月に「勝手にパース検定」という本をご紹介していたのですが（10年以上前だったのでびっくりしました）、そこでもこの本にコメントしていました。
いつも情報を下さるMさんから、この「数字のない数学」を中古で入手できそうなところを教えていただきました。ありがとうございました。早速手配をしてみています。入手できたらまたご紹介したいと思います。
＜おまけのひとこと＞
昨日はうちの車2台のタイヤを無事交換できました。今日は馴らしを兼ねて（そんな必要はないのですが）またちょっと遠出してこようかなと思っています。
4月11日(月) カラーパズルのCG再び(その1)、他
昔作ったCGを作り直した話です。
昔、2001年の7月にカラーパズルというテンヨーのプラパズルの１つをご紹介したことがあります。ピースを箱に詰めるのは簡単ですが、いろいろなデザインができて楽しいパズルです。
これをCG化したことがありました。こちらです。このころは極力画像のファイルサイズを小さくしようとがんばっていたのです。しかも、表示する画面のほうも下手をするとVGA(640x480)くらいの解像度しかなかったりしたため、画素数の小さな画像ばかり載せていました。
PCの中の昔のファイルを整理していたら、そのころのシーン定義ファイル（Povrayのソースコード）が見つかったので、ちょっと手直しをして描画してみました。各画像はクリックすると拡大します。
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| 図 1a | 図 1b |
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| 図 2 |
もともとのカラーパズルが、デザイン性を重視していて角が面取りされていないので、非常にかっちりした図案ができるのです。以前は小さい画像でイメージが伝わるように、敢えて隙間を大きくした設計にしていたのですが、今回は詰めてみました。当時はピースの隙間の大きさを直値でコードの中に埋め込んでいました。使い回しがしにくいダメなプログラムの典型です。
面白かったのでいろいろ再現してみることにしました。
日曜日の午前中、思い立って身延線（山梨県の甲府駅と静岡県の富士駅を結ぶ路線です）の富士川沿いの静岡県に入るくらいまでのあたりを車で走ってきました。いかに縮尺が異なる３つの地図の画像を載せています。いずれもクリックすると拡大します。拡大しないとわからないと思います。
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| 地図 1 |
富士川は山梨県の面積の大部分を占める甲府盆地の水が集まって太平洋に注ぐ川で（「大部分」というと叱られるかもしれませんが）、その富士川沿いに身延線と国道52号線が通っています。最近は中部横断自動車道が開通しました。
道路と鉄道と川が並走するところは全国至る所にあると思うのですが、そういうところが好きです。もちろん川が一番最初で、徐々に人が集まる集落ができて、道ができて、鉄道が通り、車が通る道が整備され…というふうに発展してきたはずなのですが、「どうしてここに集落ができたんだろう？」とか「橋が遠くて大変そうだな」とか「なぜ鉄道や国道は川のこちら側を選択したんだろう？」とか、地図を眺めたり現地で見てみたりするのが楽しいです。
車だとおいそれとは停車して写真をとったりしにくいので（変なところに車を停めると迷惑ですし危険です）、ただ通り過ぎるだけなのですが、それでもいろいろ考えます。（一応車にはドライブレコーダーはあるのですが、動画を取り出すのも面倒で、上書きしてしまいました。）
国道52号は身延線とは対岸を通っているところもあって、そういうところは身延線に沿った県道を走るようにしました。途中、確か寄畑駅と井出駅の間にとても短いトンネルがあるのが県道からよく見えました。多分このあたりです。
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| 地図 2 |
短いトンネルの付近を拡大してみました(地図3)。
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| 地図 3 |
見ることができたので満足です。きっとNetを検索すれば写真を撮っている人がいるだろうな、と思ったのですが見つけられませんでした。「一番短いトンネル」というわけではないので、興味を持たれないのかもしれません。
＜おまけのひとこと＞
結局7時間くらいのドライブだったのですが、そのうち6時間は運転していました。お昼過ぎには帰宅しました。
4月12日(火) カラーパズルのCG再び(その2)、身延線の短いトンネル
昔作ったCGを作り直した話のつづきです。
テンヨーのカラーパズルで作ったデザインをCGにしてみました。画像をクリックすると拡大します。
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| 作例 1 |
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| 作例 2 |
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| 作例 3 |
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| 作例 4 |
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| 作例 5 |
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| 作例 6 |
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| 作例 7 |
大きな画像を作り直すことができて嬉しいです。
昨日ご紹介した身延線の小さなトンネル、自分が県道10号線を車で走ったときに運転しながら見えたので、車載動画があればそこに映っているのではないかと思って探してみました。YouTubeに 【県道シリーズ】静岡県道・山梨県道10号富士川身延線【等倍】 という動画がありました。これは静岡側から入って、富士川を左に見て川を遡る方向に走っている動画です。私が通ったのとは逆向きです。
この動画の38:20あたりから、画面の右側にトンネルが見えました。画面をキャプチャしてトンネルのところに○印をつけてみました。
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動画だとトンネルの向こうを見通した景色の動きからトンネルであることがわかりやすいのですが、静止画だとよくわからないと思います。自分が車で走ったときに見たときにはとても短いトンネルだと感じたのですが、この車載動画を見ると、川のほうに張り出した大きな岩をくり抜いているトンネルで、極端に短いというわけではなさそうです。
この動画は2015年の3月に公開されたもののようで、私が見たときには 2,126 view でした。川の水が濁っているので、大雨が降った後なのかもしれません。対岸に、国道52号の洞門が見えています。こういう動画は将来資料的な価値がありそうだなと思いました。
上の動画とは逆方向、自分が走ったときに見えたトンネルの画像も見たいなと思って、google のストリートビューで見てみることにしました。このあたり(リンク先はストリートビューです)でトンネルがよく見えました。（下の2枚の画像はクリックすると拡大します。）
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| ストリートビュー |
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| ズーム |
こちら向きだとトンネルの向こうに遠景の山や空が見えるのです。そのため、ものすごく短いトンネルに見えたのでした。車載動画やストリートビューを見て納得・満足しました。岩を全部取り除くのではなく、迂回するのでもなく、トンネル工事をするのが鉄道としては合理的だったのですね。車道（県道）のほうは迂回しています。車道のほうが後なのかな。
＜おまけのひとこと＞
本当に、自宅に居ながらにしてこういうことが調べられる時代になったのだ、ということが改めて恐るべきことだと思うのです。車で偶然通りかかったときに見えた道の脇の鉄道の短いトンネルについて、国土地理院の地図を調べることができて、その地点に立った時に見える画像や動画を見ることができる世界、というのは子どものころは想像もできませんでした。それほどの技術や情報を使って調べていることがとってもしょぼいのがまた何とも言えません。こういうつまらない、些細なことが調べられるということがまた良いのです。
4月13日(水) カラーパズルのCG再び(その3)、身延線「十島駅」
昔作ったCGを作り直した話のつづきです。
以前カラーパズルのCGを作ったとき、こんなアニメーションを作りたかったのです。
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| 図 1 |
4つの色のピースが連結していて、かつ合同になっています。ピース１つずつを入れ替えながら、直角二等辺三角形の4等分から正方形の4等分に切り替える手順になります。
5段階の各ステップの画像を大きなサイズで描画してみました（画像をクリックすると拡大します）。
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| Step.1 |
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| Step.2 |
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| Step.3 |
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| Step.4 |
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| Step.5 |
先週末に山梨県の富士川沿いの身延線に沿った県道を走ったときの話の続きです。今回の目的地は「十島駅」だったのです。なぜここを目的にしたかというと、JR在来線の県境駅を訪ねるという紙上検討を2017年12月にしているのですが、そのときに地図を見て現地に行ってみたいなあと思ったのがきっかけです。（つい先日のことだと思ったら5年も前でびっくりしています。）
当時は別サーバに大きな画像を置かせてもらうという発想がなくて、地図画像のファイルサイズを小さくするために四苦八苦していました。（下の画像や地図はクリックすると拡大します）
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今回、川の上流側（上の地図の西側）から十島駅前に車で入ったのですが、道がとても狭くてちょっと心配になりました。駅の前は広くて車が楽々止められるスペースがありました。車を置いて、駅舎やホームの写真を撮らせてもらいました。立派な二面式の島型のホームで、屋根もありました。上り下りの列車の行き違いができる立派な駅でした。
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| 十島駅舎 | 十島駅ホーム |
川を渡って、川が大きく屈曲しているところを見たいなと思って川沿いの細い道におそるおそる車で入ってみました。すぐに行き止まりになってしまったので、そこで車を転回して戻りました。切り返すスペースが狭くてちょっと大変でした。下流側から万栄橋の写真を撮ってみました。
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| 万栄橋 |
地図を見ながら想像したのとはちょっと違っていました。
＜おまけのひとこと＞
急に暑くなってきました。
4月14日(木) k√2の小数部(その1)
数の話です。
今週はカラーパズルのCGを再描画したものをご紹介してきましたが、類似のものとして、モザイクタイルという木製のものをご紹介したことがありました。これを見たときに思い出した話を書きます。
モザイクタイルの頂点の位置は、p, q を整数として p+q√2 （ p + q√2, p,q∈Z ）と表すことができました。これは稠密だと言っていいんだろうか？ と当時考えたのですが、それについて言及せずに後回しにしたら、気が付いたら18年経っていました。
まず、kを自然数だとして、k√2、つまり √2、2√2、3√2、4√2、5√2、6√2 … の小数部がどうなっているのか調べてみます。
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k=100 まで散布図を描いてみました。
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| k√2の小数部 |
当たり前ですが、きれいに格子状に点が並びます。
さて、kをどんどん大きくしていったとき、k√2の小数部がぴったりゼロになることはあるでしょうか？ もしくは、例えばぴったり0.5（2分の1）になることはあるでしょうか？ もし「そういうことは無い」（ぴったりゼロになったりしない）ならば、ゼロにどれだけ近づけるでしょう？ 例えば k=99 のとき、99√2=140.0071… で、小数部は0.007143… となって1パーセント以下です。
また、この無限に続くk√2の表の中で、たまたま a√2の小数部とb√2の小数部が完全に一致するような整数 a,b の組は存在するでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
今日は時間がなくて簡単な更新です。
4月15日(金) k√2の小数部(その2)
昨日の数の話のつづきです。
√2、2√2、3√2、4√2、5√2、6√2… という系列の数字の小数部がどうなっているのかということを考えてみています。昨日、この小数部がぴったりゼロになったり、ちょうど0.5になったりすることはあるでしょうか？ という問いかけをしました。これは「ゼロや0.5にはならない」というのが正解です。√2は無理数で、２つの整数の比にはなりません。
k√2 を超えない最大の整数を Pkと表記することにします。√2 = 1.4142…なので、P1 = 1, 2√2 = 2.8284… なので P2=2、という具合です。仮に k√2 の小数部が 0 だったとすると、k√2 - Pk = 0 ということですから、√2 = Pk/k ということになって、√2が有理数になってしまいます。なので、ぴったりゼロにになる k は存在しないことがわかります。
k√2 - Pk = 0.5 のときも同様です。それだけでなく、この小数部は有理数にはなりません。仮に有理数になったとすると、√2が有理数になってしまいます。
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さらに、２つの整数a,b があって、a√2の小数部とb√2の小数部が同じになると仮定すると、
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これもまた√2は有理数ということになってしまうため、そのようなa,bの組は存在しない、言い換えると無限に存在する全ての√2の倍数の小数部は全て異なるということがわかります。
というわけで、√2の倍数の小数部は、区間(0,1)の中に無限に存在し、それは全て異なる値だ、ということまではわかりました。また、(0,1)の間に無限に存在するどの有理数とも１つも一致しないということもわかりました。では、「稠密性」についてはどうでしょうか？ (0,1)の区間の中のどんな小さな区間を選んでも、その中に無限の点があるでしょうか？ (0,1) の間に全て異なる無限の点がある、というだけでは「稠密」（どんな小さな区間にも無限の点が存在する）だとは言えません。ただ、昨日の格子のグラフからも想像できるかもしれませんが、k√2の小数部の数列は、任意の点の任意の距離の中に無限に存在します。
区間(0,1) の中に無限個の稠密な有理数があって、それとは１つも重ならない、無限個の稠密なk√2の小数部の集合があるのです。さらに、そのどちらとも重ならない、無限個の稠密な集合はいくらでも考えることができます。本当に面白いです。
現実と記憶の色の違い−現実と空想の境目を示す脳活動を発見−という新潟大学のニュースリリースを興味深く読みました。現実の色を見るときと、色を思い出すときの脳活動の計測結果が異なるという実験です。そもそも、脳活動の計測によって、「見ている色」「思い出している色」を解読できる、というところが驚きです。また、この研究が中国の大学の研究者（でもお名前からすると日本人の研究者でしょうか）との共同研究である、というところも驚きです。
国立理化学研究所の研究者の雇い止めの話が話題になっていたりしますが、日本は技術者や研究者をもっと大事にしてほしいなと本当に思います。
＜おまけのひとこと＞
妻が昨日3回目のワクチンの接種をしてきたのですが、昨夜私が寝てからものすごい寒気に襲われて、今は熱が出てきたようで辛そうです。心配です。