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以前の「ひとこと」 : 2018年9月後半



9月16日(日) 縮小二層折り:ポリオミノを相似形に二重に畳む(その1)

 正方形の折り紙の4つの頂点を中心に集めるように折ると、一回り小さな正方形になって、かつ全ての箇所で折り紙の紙が2枚重なった状態になります(図1)。

図 1

 こんな風に「元のかたちと相似形で面積が半分、さらに全ての箇所で紙がちょうど二重になっている」ような折り方ができるのはどんなかたちでしょうか? ポリオミノについてそんな考察を行った論文を読んだので、ご紹介したいと思います。以下、説明のためにこの折り方を「縮小二層折り」と呼ぶことにします。(すみません、勝手な命名で、世の中で通じる用語ではありません。)



 ポリオミノというのは、正方形を辺で連結したかたちの呼び名で、つないだ正方形の数によって「ドミノ(2)」「トロミノ(3)」「テトロミノ(4)」「ペントミノ(5)」…といった名前で呼ばれます(図2)。

図 2

 上の図2の左下のテトロミノの、田んぼの田の字のようなかたちは、図1のように縮小二層折りができますが、それ以外のかたちはどうでしょうか? まず、簡単な「ドミノ」(正方形2つをつないだもの)から考えてみましょう。

 このかたちも、図3のように縮小二層折りすることができます。それだけでなく、まっすぐ帯状に伸びているタイプのポリオミノは、同様にくるくるとらせん状に折り畳んでゆくことで、3つでも4つでも任意の長さのものが縮小二層折りできます。

図 3

 さてそれでは、折れ曲がったかたちのポリオミノはどうでしょうか? これは難しいので、少し条件を緩和します。図4のように正方形を連結している部分の半分の長さだけは必要に応じて切っても良いことにします。でも、あくまでもパーツは「ひとつながり」になっていなければいけなくて、2つに分かれてしまってはいけません。

図 4

 目標のおおきさとかたちは図5のようになります。ただし、折った後の場所はこの図の通りになるとは限りません。

図 5

 折り線は45°になることは明らかだと思います。

(つづく)



 先日「自分のページをスマートフォンのブラウザで見たら、画面の2割くらいを占めるポップアップ広告が出て嫌だった」という話を書きましたが、これ、アクセス解析のために埋め込んだアンカーがいけなかったということがわかりました。PCのブラウザではごく小さなバナー広告があるだけでほとんど気にならないサイズだったので、気が付きませんでした。ということで自分のせいだったのですが、でも、こんなに邪魔なサイズの広告が出るとは思っていませんでした。

 こんな酷い広告が出るなら、アクセス解析はもう要らないと思って、昨夜、過去のページの数百あるhtmlファイルからアクセス解析用に埋め込んだコードを削除しました。ブラウザのキャッシュに残っている場合は広告が出てしまいますが、再読み込みすると消えることを確認しました。こういったページを公開するときの基本である、「できるだけ多くの種類の端末からどう見えるのかを確認する」というのを長いこと怠っていたのは良くなかったな、と反省しました。

<おまけのひとこと>
 きっと今の時代のコンテンツとしては、文字が多すぎるんだろうなと思います。






9月17日(月) 縮小二層折り:ポリオミノを相似形に二重に畳む(その2)

 正方形を辺で連結したポリオミノをうまく折り畳むと、元のかたちと相似で面積が半分かつ全ての場所で元の紙が二重になっている、という「縮小二層折り」の話の続きです。昨日も書きましたが、正方形が一列にまっすぐつながっているタイプのポリオミノは、長さにかかわらずこの縮小二層折りができます。

図 1

 昨日は正方形が1つの例(モノミノ?)と2つの例(ドミノ)についてご紹介しましたが、3つ(トロミノ)になっても同様です(図1)。これは図2のようにずっと伸ばしてゆくことができます。

図 2

 さて、昨日の出題のL型トロミノですが、どう折れば良いか、解説します。一応少し間を空けます。
























このくらい?























 ちょっともったいぶりましたが、こんな風に折ると縮小二層折りになります。

図 3

 gifアニメーションにしてみました。

図 4

 これがわかると、同様にT型テトロミノ(図5)も縮小二層折りできそうです。

図 5

 これは、1cm角罫のレポート用紙から1辺4cmの正方形を連結したテトロミノを切り出したものです。折って試すにはこのくらいのサイズがやりやすいです。折り紙を16等分したものから切り出してもいいかもしれません。

(つづく)



 東京に住む八十代の義父が、第5回筆文字コンクールの「酒ラベル部門」に応募していたのだそうですが、先日の結果発表で、1点が「秀逸」、もう1点が「入選」に選ばれたのだそうです。すばらしいです。昨日までの一週間、銀座で作品が展示されていたということで、最終日の昨日、妻が見に行ってきました。(私は作りたいものがいろいろあって、家でお留守番をしていました。) 人が多くて大変だったそうです。

<おまけのひとこと>
 妻は、東京で就職している娘と一緒に見に行ったそうなのですが、娘が東京出身でない(東京に自宅が無い)ことのハンディキャップを嘆いていたそうです。気持ちはわかりますし、親としては可哀想な、複雑な気持ちになります。私だって若い頃は、自分が天から与えらえた能力や才能や環境がもっと優れていたらよかったのに、と思ったことは何度もあります。でも、与えられたものが負債なのか財産なのかは後になってみないとわからないし、お金も才能も、なまじ中途半端にあると不幸になる場合が少なくないということもこの歳になると実感できます。与えられたものを負債だと思った人は負債としての重荷を背負ってゆくし、財産だと思った人は財産として生かせるのではないかなあと思います。与えられたものに感謝して前向きに生きたいです。






9月18日(火) 縮小二層折り:ポリオミノを相似形に二重に畳む(その3)

 一昨日からご紹介している「縮小二層折り」の話の3回目です。正方形が一直線に並んだ、いわゆるI型ポリオミノと、L型のポリオミノは「縮小二層折り」ができることをご紹介しました。今日はT型とX型の話です。

 昨日のこのかたち(再掲図)からうまく折り畳むと、

再掲図

 図1、図2のように、元の形と相似形で面積が半分、かつどの部分もちょうど紙が2枚だけ重なっているように折ることができます(縮小二層折り)。

図 1 図 2

 一応図も作りました(図3)。

図 3

 太い赤線をカットして、赤い点線を谷折すると表裏が図1、図2のようになります。



 十字型の場合はもっと対称性が高くて、図4のようなきれいなパターンになります。

図 4

 これは折ったところの図や写真は載せませんが、手裏剣の折り紙をちょっと彷彿とさせます。

 さて、図4の十字型はおまけですが、ドミノ(正方形2つ)からトロミノ(正方形3つ)、テトロミノ(正方形4つ)のパターンのうち、残るはあと1つになりました(図5)。

図 5

 さて、これは縮小二層折りできるのでしょうか?

(つづく)



 ニュースで樹木希林さんが亡くなったという報道がされています。味のある素敵な演技をされる方でした。ニュースで「俳優」と紹介されていたのがちょっと驚きました。今は「女優」という言葉は使われないのでしょうか。(めったにテレビをみないので、今更何を言っているのか、というコメントなのかもしれません。) 昔、看護婦さんが看護師さんになって、婦長さんが師長さんになったときにも違和感がありました。(今、「婦長さん」はカナ漢字変換で一発で変換されましたが、「師長さん」は変換候補に出てきませんでした。)

<おまけのひとこと>
 連休明けの更新です。毎週火曜日の朝8時から、一週間の仕事の報告をしているのですが、この更新をしている月曜日の夜の時点でまだ全然準備ができていません。明日の朝早く起きて準備するつもりです。家は6時には出たいので、3時くらいから作業を始める予定です。(それでも前夜にはやらないところがずうずうしいというか…)






9月19日(水) 縮小二層折り:ポリオミノを相似形に二重に畳む(その4)

 さて、テトロミノで最後に残ったかたちの二層折りについて考えてみました。まず、このかたちは切り込みを入れなくても二層のI型のテトロミノのかたちに畳むことができることがわかりました(図1)。

図 1

 さらに、図2左の赤い太線のところをカットすると、二層の2×2のO型テトロミノのかたちにも畳めることがわかりました(図2)。 ここでば図示しませんが、二層のL型テトロミノのかたちにもできることもわかりました。でも残念ながら縮小二層折りの折り方が見つかりません。

図 2



 逆に、縮小二層折りができるI型テトロミノも、適切に折ることで二層のL型テトロミノやO型テトロミノを作ることができることにも気が付きました(図3)。

図 3

 明日は最後に情報源の論文をご紹介して、今回の一通りの話題をクローズしたいと思います。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 といいつつ、9月18日(火)の朝に9/18〜9/20の3日分の更新をまとめてしてしまうのですけれども。






9月20日(木) 縮小二層折り:ポリオミノを相似形に二重に畳む(その5)

 9月下旬、9/16から5日間ご紹介してきた「縮小二層折り」ですが、今回が最終回です。この話題は自分で思いついたのではなく、こちらのRules for Folding Polyominoes from One Level to Two Levels(Julia Martin and Elizabeth Wilcox)という昨年の論文を読んだことがきっかけです。

 上記の論文のFigure 1を引用します。

"Rules for Folding Polyominoes from One Level to Two Levels" Fig.1

 もともとは、2011年のFolding Polyominoes from One Level to Two(Greg N. Frederickson)という論文があって、そこで著者のFredericksonが、どんなポリオミノが縮小二層折りできるのかを発表しているのだそうです。(Fredericksonの論文は有償のようなので入手できていません。)

 上記の図1で、左と中央の図は良型な(well-formed)ポリオミノで、右は悪型な(nonwell-formed)ポリオミノと書かれています。「良型」のほうが縮小二層折りができるほうで、「悪型」のほうができないほうです。

 この2つの見分け方を説明します。図の中にHVと描かれた正方形があります。Hは「水平」(horizontal)を表し、Vは「垂直」(vertical)を表しています。HVと描かれた正方形は、水平方向と垂直方向両方に隣接する正方形があるのです。

 HV正方形が隣接しているのが「悪型」で、それ以外が「良型」です。(唯一の例外は2×2のO型テトロミノです。) 元論文に当たっていないので、どうしてこれが正しいのか理解できていませんが、これが正しければ、図1、図2のテトロミノは縮小二層折りはできない、ということになります。



 今回、偶然みつけた論文が面白くて、いろいろ考察したり実験したり図を描いたりCGを作ったりしてとても楽しかったです。

図 2

 この「至る所で二層になる折り方」というのは、二面体を作る操作になっています。北陸先端大の上原先生とかが研究されている、同じ多角形から複数の多面体を構成するといった研究のうちの体積がゼロになる特殊な例なのだと思います。

 上記の論文では、さらにポリオミノが輪になっているような構成のものについても考察されており、興味深い内容でした。このアイディアは他にも派生や発展が考えられそうですが、今回のご紹介はいったんここまでにしたいと思います。

<おまけのひとこと>
 最近、Androidのゲームのピーターラビット 小さな村の探しものというゲームをのんびりやっています。2分間で指定された品物を画面の中から探す、というシンプルなゲームなのですが、なんとなく癖になっています。






9月21日(金) 仮現運動(その1)

 Netで見かけた短い動画におもしろいアニメーションがあったので、自分でも作ってみました。

図 1

 これ、どんなふうに見えますか? おそらく赤い正方形が向きを変えずに周回運動しているように見えるのではないかと思います。(この動きを表す言葉がすぐに出てこなくて、しばらく考えました。「歳差運動」は違うし、「回転運動」も違うし…)

 このページをご覧いただいている皆さんが、どんな表示装置でこのアニメーションをご覧になっていらっしゃるのかわかりませんが、図1のアニメーションで、赤の縦棒を2本の指で隠して横棒だけが見えるようにしてみてください。また、横棒のほうを隠して縦棒だけが見えるようにしてみてください。どんな運動が見えるでしょうか?




























 指などで図1を隠すほうが効果的ですが、CGで横棒だけ、縦棒だけにしてみました。(CGだとどうしても「やらせ」っぽくなります)

図 2 図 3

 いかがでしょうか。今度は周回運動には見えず、平行移動しているだけのように見えませんか。

 もとの図1と、4つの白い正方形を取り除いてみたもの(図4)を並べてみましょう。

図 1(再) 図 4

 いかがでしょうか。四隅を隠すことで、現実にはない周回運動が見えてくるところが面白いと思います。

(つづく)



 このように、本来はないはずの動きが知覚されることを「仮現運動(apparent motion)」と言います。心理学の用語です。錯視(視覚の錯覚)の1つです。錯視というのは人間の目(視覚情報処理系)が不完全なために起こる現象ではなく、その反対で、目から入ってきた情報に基づいて、モノがどこにあってどのように動いているのかを知るための高次の情報処理系の仕組みが生み出す知覚なのです。この高度な目の機能があるからこそ、人間の祖先は外敵を逃れ、生きるのに必要な食糧を手に入れ、生き延びることができたのです。

 部分的に隠されていても知っているものを見つけられる能力は、生き残るためにはとても重要だったはずです。上記の例でゆくと、赤い棒がばらばらに動いているのではなく、ひとつながりの正方形が動いている、と知覚することで、それがどちら方向に動いているのか、近づいているのか遠ざかっているのかを知ることができます。敵だって獲物だって用心深く身を隠しているでしょうから、全体のごく一部分しか見えない、というのはむしろ当たり前の状態でしょう。敵だったら近づいてきたら危険ですし、獲物だったら遠ざかっていたら追いかけないといけません。いちはやくそれに気が付けることが生存にとって有利でしょう。

 話を強引に昨日ご紹介したピーターラビット 小さな村の探しものというゲームに持っていくと、この「さがしもの」ゲームはよくできていて、遠くになると単にサイズが小さくなるだけでなく、ちょっとかすみがかかったような、彩度がが低い白っぽい絵になります。(なのでみつけにくいです。)また、手前のものに部分的に隠れて一部分しか見えていない場合もたくさんあります。このゲームがシンプルに面白いと思えるのは、こういった「さがしもの」で、探しているものが見つかった時に純粋に楽しいからかな、と思っています。

<おまけのひとこと>
 9/20(木)の朝に、一日前倒しで更新をしています。






9月22日(土) 仮現運動(その2)

 さて、昨日の仮現運動のCGアニメーション(再掲図)ですが、

再掲図

 横棒は上下、縦棒は左右に動いているだけなのに、棒の端が見えないように隠すとあたかも全体がつながった正方形のように認識されるため、周回運動をしているように見えます。

 では、棒に目印をつけてみたらどうなるでしょう? まずは上の横棒にだけ、中央に赤い球を追加してみました(図1)。

図 1

 いかがでしょうか。どんなふうに見えますか? 別にこれはどう見えるのが正解とかいうことではありません。私には上の横棒だけが上下に運動していて、残りの3辺はつながっていて、相変わらず周回運動をしているように見えます。

 次にもう1つ、下の横棒にも目印を追加してみましょう(図2)。

図 2

 こうすると、周回運動は消えて、横棒は上下、縦棒は左右に動いているように見えませんか。でも、「正方形が周回運動をしていて、横棒にはソロバンの玉のように左右に自由にスライドできる赤い球がついていて、赤い球だけは上下にしか動かないようになっている」と思ってみてください。頑張って意識してみると、そういう風にも見えませんか?

 「ソロバンの玉と正方形」がイメージしやすいように、球がスライドするガイドというかレールをイメージしたCGも作ってみました(図3)。

図 3

 こうすると、球は上下・4本の棒は連結した正方形で周回運動、と見えやすくなったように思います。

 最後に、四隅の白い「目隠し」を取り除いて、本当に正方形になっているCGも作ってみました(図4)。

図 4

 これを見た後で、図3、図2、図1とさかのぼって見てみてください。今度は図1も、周回運動する正方形と上下に動く球、に見ようと思えば見えませんか?(ちょっと無理があるかな)

(つづく)



 何度も書いていますが、パソコンを使ってこういうアニメーションを本当に手軽に作れるようになって、こういう実験があっという間にできるというのは本当にありがたいことだなあと思うのです。例えば本日の更新でも、最初に球を1つ追加したもの(図1)の次は、図2として球を4つ付けたCGを用意していました。でも、今日の原稿を書きながら「球が1つの次は球が2つが自然だよな」と思い直して、球オブジェクトを2つ消したCGを作り直しました。(CG作成ソフトのpovrayのシーンファイルを2行コメントアウトしただけです。)

 さらに、2つの球が上下方向にしか動かないように拘束されたイメージの図が欲しいなと思って、大きなブロックに溝を掘った(彫った?)イメージのオブジェクトを追加したCGも急遽作りました(図3)。

 コンピュータグラフィックスの入門用の教材としても、この「仮現運動」のCGは向いているのではないかなあと思いました。基本中の基本の直方体(box)と円柱(cylinder)と球(sphere)を座標軸に平行に配置しているだけなのに、こんなに面白いアニメーションが作れるのです。お勧めです。

<おまけのひとこと>
 三連休です。天気は中日の日曜日だけは良さそうです。






9月23日(日) 仮現運動(その3)

 1回限りのごく軽い話題のつもりで始めた、正方形の周回運動に見える錯視のCGアニメーション(再掲図)ですが、このページの紹介文や説明を書きながら、次々と派生するCGを作って試したくなって、思いがけず3日目です。とはいえこの話題は今日でいったんおわりにするつもりです。

再掲図

 昨日は2本の横棒に左右には動かない球を配置して、見え方がどう変わるのかという実験をしました。今日は、そういう目印をつけるのではなく4本の棒の性質を変えたらどうなるだろう? という実験をしたくなってCGを作ったので、それをご紹介します。



 上記の再掲図では、画像上では四隅の白い正方形がじゃまで、赤い4本の棒がつながっているのかいないのかはわかりません。でも、同期して動いているので、おそらく一体のものだろうというふうに知覚されるのです。

 そこで、4本の棒が別々のものだ、という印象を持ちやすくしてみることにしました。最初は色を変えてみました(図1)。

図 1

 いかがでしょうか。縦棒は左右に、横棒は上下に、それぞれ独立して動いていると思い込んで見てみると、そのよに見えないでしょうか。また、正方形だと思って見れば、そうも見えるのではないかと思います。

 次に、色は同じに戻して、かわりに棒の太さを変えてみました(図2)。

図 2

 いかがでしょうか。この図は、私には太さを変えてもタテヨコがばらばらになりにくくて、頑張って意識してみても、相変わらず正方形の周回運動にしか見えないように感じられます。

 次に、色も太さも両方とも変えたものも作ってみました(図3)。

図 3

 これも、タテヨコ独立にも正方形にも見えますが、パッと見てどちらに見えるかというと、もはや私には先入観無しで見ることができないので、「わかりません」。



 今回の一連の実験では、棒の両端が集まっていそうなあたりに白い正方形で「目隠し」をしましたが、逆に、棒の中央付近に覗き穴を作ったらどう見えるだろう? と思ってそんな実験もしてみました(図4)。

図 4

 このほうが、タテヨコが独立に動いているように見えやすいでしょうか。いろいろ見すぎてなんだかよくわからなくなってきたので、ここ3日間ほどご紹介してきた「正方形の仮現運動」の話は今日でいったん終わりにしたいと思います。



 三連休の初日の昨日9月22日(土)は近所の小学校は運動会が計画されていたのですが、午前中は天気が悪くて順延になったようです。今(9月23日(日)の朝6時です)、運動会が実施される合図の花火の音が聞こえました。今日は運動会ができそうな天気になりそうでよかったです。

 ここ20年ほど、妻が近隣の子供たちにピアノを教えているのですが、ありがたいことに口コミで途切れることなく生徒さんが来てくれています。我が家は学区のはずれにあるのですが、今も3つの小学校から生徒さんが通って来てくれているようです。その3つの小学校がいずれも同じ運動会の日程なのだそうです。

 小学校の運動会は、長女が入学する前の年(来入児の競技)から長男が卒業するまでの11年間、毎年見に行きました。一度だけ順延の年もあった気がします。お昼近くに雨風が強くなっていくつかの競技を飛ばして急遽12時半くらいで終わりになった年もあった気がします。「順延になるとお弁当が大変なんだよね」というのが妻のコメントです。 小学校低学年には「祖父母競技」というのもあって(都合や事情で祖父母が出られない家庭は父母や兄弟の参加も可)、今年の春に亡くなった妻の母も15年ほど前には来て参加してくれました。

<おまけのひとこと>
 今日は秋のお彼岸の中日です。暑かった夏も終わって、これから長い冬に向かいます。






9月24日(月) 仮現運動(その4)

 正方形の周回運動が見える錯視のCGアニメーションの話、「昨日でいったんおしまい」と書きましたが、メールでコメントをいただいたのです。その内容が面白かったので、本日はその内容をご紹介します。



 コメントを下さったのは、昨年の4月30日のひとことで、“AB×CC=AABB”型の覆面算の問題文用の単語の例をたくさん送って下さったMさんです。いただいた内容の趣旨は、正方形の周回運動の回転方向に関するもので、「掲載図の正方形の周回運動は左回り(反時計回り)に見えますが、縦棒と横棒の初期位置(位相)を変えたら右回り(時計回り)に見えるのでしょうか、また、そうであればその途中の段階ではどうみえるのでしょうか?」といった内容でした。メールをいただいて、興味を持って下さった方がいらしたことがわかってとても嬉しくなりました。本当にありがとうございました。

 もう一度、最初に作ったCGを載せます(再掲図)。

再掲図

 これは確かに左回り(反時計回り)です。ちなみに、時計回りのことをcw(clockwise)、反時計回りのことをccw(counterclockwise)なんていう呼び方をすることがあります。

 今回のアニメーションでは、棒のペアの往復運動は不自然な感じにならないように正弦波で動かしています。なので、回転運動が見えるのは自然なのですが、その方向に関してコメントをいただけてとても嬉しく思いました。さっそく初期値(位相)を変えたアニメーションを作ってみました。

図 1

図 2

図 3

図 4

 いかがでしょうか。再掲図では反時計回り(ccw)に回っていた正方形が、図1では少しつぶれた楕円軌道を描くようになり、図2では右上から左下を往復するナナメの直線の往復運動になり、図3では時計回りの楕円軌道になり、最後の図4できれいな時計回り(cw)の円軌道になっているのがおわかりいただけますでしょうか。

 図2の状態が、これが右回りと左回りのちょうど中間になります。この先のCGは用意していませんが、位相をさらに回してゆくと、今度は左上から右下につぶれてゆきます。この変化はシンプルなリサージュ図形そのものです(図5)。

図 5

 リサージュ図形というのは、縦方向と横方向の2つの単振動の位置をプロットした図形で、単振動の振動数(周波数)と位相を変えることで、さまざまな美しい曲線が描けるのですが、今回のものはその中でも一番シンプルな、タテヨコの単振動の振動数を同じにして位相だけを変えたものです。

 私は「リサージュ図形」という日本語表記が最初に頭に浮かびますが、検索してみると「リサジュー図形」のほうが標準的な表記のようです。リサージュ図形は、大学一年生のときの物理演習実験のときにオシロスコープで位相や周波数を変えて描いてみたのが実体験としては初めてで、面白いものだと思った記憶があります。

 いかがでしょうか。面白いと思います。



 この話題に戻ったついでに、棒の両端を隠すパターンではなく、棒の中心付近だけが見える「覗き穴」の仮現運動のパターンをもう1つご紹介します。まず準備として「覗き穴」を小さくします(図6)。

図 6

 次に、覗き穴そのものも、棒と同じ運動をさせてみます(図7)。どう見えるでしょうか?

図 7

 赤い線が入った黒い円盤が上下、左右に往復運動をしているように見えます。どんなに頑張っても、もはや正方形には見えません。

 実は、上記の図7を作ろうと思って最初に間違ってできてしまったのが下の図8です。これは何でしょう?

図 8

 これは怪我の功名で、ものすごく面白いものができたなーというのが感想です。パッと見てどんな運動が見えますか?

 この図をどうやって作っているのかを説明しておくと、赤の横棒は上下の往復運動、赤の縦棒は左右の往復運動、上下の黒丸(覗き穴)は左右の往復運動、左右の黒丸(覗き穴)は上下の往復運動をするようにしました。

 覗き穴が固定ならば図6のように正方形の周回運動が見えました。図8でも頑張れば周回運動が見えると思います。私がパッと見て「見えた」と思ったのは、赤い正方形が左右に往復運動をしている、という印象でした。でも、上下と左右はデータの作りとしては特に差はありません。なので、意識して「正方形が上下に往復運動をしている」と言う風に頑張って認識しようとしてみました。そうすると不思議なことにそんな風にも見えてきました。

 この「覗き穴」と対象物をそれぞれ別個に動かしてみるというのは、仮現運動の実験として面白いのではなかろうか、と思いました。調べればそういった研究もありそうですけれども、とりあえず今日はここまでにします。

<おまけのひとこと>
 昨日はお彼岸の中日でお墓参りに行ってきました。その前の日がほとんど眠れなくて疲れていたので、夕方すごく早い時間に寝てしまって、夜10時半くらいに目が覚めたらメールをいただいていることに気が付きました。それから上記のCGを1時間くらいかけて作って実験しました。






9月25日(火) 梯子のカード

 錯視つながりでもう1つ、これもNetの短い動画を見て、自分でも試してみたくなったものをご紹介します。



 まずは図1のCGをご覧ください。

図 1

 白い床から垂直な白い壁に黒い梯子が立てかけてあるように見えると思います。床と壁に梯子の影がうつっています。

 …と言う風に見てほしいのですが、実はこれ、下の図2、図3を水平と垂直に置いたものを適切な視点から見てみた図なのです。

図 2 図 3

 2枚とも水平な面に置いた状態から、上半分の図2のほうを徐々に起こすCGを作ってみました(図4)。

図 4

 このgifアニメーションの最後のフレームは図1そのものです。

 これが立体的なものでなく、単にカードの表面にそれらしい梯子と影が描かれているだけだということを確かめるために、視点を変えたCGも作ってみました(図5)。

図 5

 いかがでしょうか。面白いと思います。図2と図3を印刷して、実際に立ててみて適切な視点から見た写真を撮ってからご紹介しようかなと思っていたのですが、プリンタの黒インクがほとんどなくなっていたため、その前にCGだけでご紹介してしまうことにしました。

 このアイディアもいろいろ応用が考えられそうで楽しいです。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 9月25日(火)の午前1時くらいに、9/25,9/26の2日分の更新をしています。明日というか今日の仕事は大変そうです。






9月26日(水) 貨車を入れ替えるパズル(その1)

 1ヶ月に1回か2回程度、娯楽数学の論文や文献を検索して、面白そうな話題を探すのが習慣になっています。先日、Interesting Topics for Bachelor Theses(学士論文の興味深い話題)というpdfファイルを見つけて眺めていたら、なつかしいこんな問題が出ていました(図1)。

図 1

 右下の機関車(エンジン)を使って、貨車A(赤)と貨車B(青)を入れ替えて、機関車は元の位置に戻っているようにしてください、というパズルです。円環状になった線路の途中には橋がかかっていて、貨車はその下を通れますが、機関車は通れません。

 この手の「線路と機関車と貨車のパズル」はいろいろなパターンがあったよなあ、どこかにまとめてあるサイトはないかなあと思って調べ始めているのですが、そうこうするうちにShuntingというAndroidのパズルがあることを知って、インストールして遊んでみました。

図 2

 分岐(ポイント)が2つある貨車のヤードがあって、5台+3台、計8台の貨車と、黄色い機関車が配置されています。ゲームの目的は、画面の左下の「目的の貨車の配置」を実現して、画面右上から指定の編成の貨物列車を発車させることです。

 画面中央の水色の矢印が描かれた2つのボタンはポイント切り替えのボタンで、機関車がまっすぐ進むのか斜め右下に進むのかを切り替えることができます。画面右下の2つのボタンは、それぞれ機関車を左(West)と右(East)に進めるボタンで、押している間機関車が進みます。また、貨車をタップするとその貨車の左隣の貨車か機関車に連結したり解除したりできます。

 図2の例題では貨車5台を指定通り並べるという問題ですが、目的の編成の貨車の数は5、6、7、8台から選ぶことができます。いずれの場合もヤードの形や大きさ、初期配置の貨車の台数は同じです。

 たとえばこんな例題を考えてみましょう(図3)。今、A〜Eの5両、F〜Hの3両が別々に収まっています。これを、A,B,C,D,E,F,G,H の順に8両連結して発車させたいのですが、どうすればいいでしょうか?

図 3

 本線側(図の左側)が十分に長ければ、この問題は簡単です。機関車を直進させて貨車Aに連結し、5両を引っ張って本線を進んでから、今度はポイントを3両のある側線に切り替えて連結すれば完了です。

 ところがこの問題、現実に存在する(存在した?)鉄道をモデルにしているのだそうですが、図4のように貨車が置ける数が決まっています。

図 4

 そのため、そんなに簡単にはいかないのです。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 これ、頭の中だけで解けたらすごいと思います。






9月27日(木) 木霊(KODAMA)パズル(その1)

 7月に飛騨高山に行ったのですが、そこで、建築家の隈研吾氏がデザインされた木霊(KODAMA)というパズルを見て、すてきなデザインだなと感心しました。上記のページから図を(縮小して)引用させていただきます(図1)。

図 1

 さすがの質感です。ただ、シンプルな直交座標系のスリット式ブロックなので、これはまあ買って飾らなくてもいいかなあと思って購入は見送りました。でも、紙で作ってみようと思って帰宅しました。

 とりあえず覚えているうちにと思ってパーツの設計だけをしておいて、実際に作ってみたのは1ヶ月ほど後の8月くらいでした。こんな型紙にしました。

図 2

 板状のパーツなのですが、切り欠きの部分以外の厚みの部分は二重になるようにして、そこをすべて接着することで、紙で作ってもそれなりに丈夫になってくれることを期待して作りました。

 図3は6パーツを作ったところです。

図 3

 組んだ時に安定させるコツは、切り欠きの幅をすこし狭いくらいにしておくことです。そうすることで摩擦で安定します。実はこの色の用紙で作る前に水色の用紙で作ってみたのですが、これは切り欠きの幅を若干広めにして作ってしまったため、組んだものの姿勢が安定しませんでした。

 このパーツを使っていくつかのかたちを組んで遊んでみました。

(つづく)



 昨日の「ひとこと」の貨車の入れ替えパズル、「これ、頭の中だけで解けたらすごいと思います。」と書いておいたのですが、さっそくメールで解答を送っていただきました。今年の7月27日のひとことでご紹介した、展開図が正方形の多面体にも解を送って下さったKさんです。いつもありがとうございます。ここでは答は書きませんが、正解です。Kさんのスタイルの、簡単なテキストだけで簡潔かつ明快に解を書かれているテキストが気持ちがいいです。

 この話の解説や続編は、頭の中にはあるのですがまだ図などが用意できていないので、続きはもう少し後になります。すみません。

<おまけのひとこと>
 9月29日(土)の早朝に、9/27,9/28の2日分の更新をしています。






9月28日(金) 三項間漸化式(その1)

 今日はまた別の話題です。とある娯楽数学のサイトを見ていたら、こんな漸化式が出題されていました(図1)。この漸化式で定義される数列の極限を求めよ、という問題です。一般項をnで表せ、という問いではありません。すみません、パズルというよりはかなり数学寄りの話です。

図 1

 高校の数学などに出てくる三項間漸化式とはずいぶんと見かけが違います。(漸化式は高校数学の中でもパズルっぽくて好きなジャンルでした。) 通常、三項間漸化式を解くときには、隣り合う2項で定義される別の数列を定義してその二項間漸化式に持ち込む、というのが定番の解法です。でも闇雲に式変形してみる前に、これもよくやる手ですが「収束する解 a が存在するとしたら、それは何か」を知るために、漸化式の全ての項にaを入れてみる、というのをまずやってみました。

図 2

 あれ、これでは解に関して何も情報がありません。初項と第2項が同じ値なら、第3項以降も全て同じ値になってしまいます。私はここで早々に「ずる」をすることに決めて、図1の漸化式をExcelに入力して、いろいろな初項・第2項で試すことにしました。

(つづく)



 妻が床を見て、「あ、 がある!」と指さしたのでびっくりしました。

図 3

 確かに数字の2に見えます。夏のイグサの敷物の縁の糸くずがそのようなかたちになっていたようです。ちなみにこの画像、カメラがフォーカス合わせに失敗したようです。このような繰り返しパターンは苦手なようです。

<おまけのひとこと>
 週末はまた台風のようですね。被害がないことを祈ります。






9月29日(土) 三項間漸化式(その2)、他

 昨日の三項間漸化式ですが、

 まずはExcelで初期値をいろいろ変えて、どんな値に近づくのかを計算してみました。その結果が下の表です。

表 1

 たいていの場合、わずか3〜4回の計算でExcelの表示上は値が変化しなくなります。とても収束が早いです。昨日考察したように、最初の2項の値が同じ場合、(1,1)→1、(2,2)→2 というようにそれ以降の全ての項の値は同じになります。(1,2)は√3、(1,3)は√5っぽい値になっているようです。

 ここまで実験して、さてもともとの漸化式をちょっと変形してみようと思いました。まず、分母に項があるのがいやなので、両辺に 2xn を掛けます。するとこうなります。

・・・ 式 2

 これを最初から順番に書き並べてみると、

図 3

 これを全部縦に足し算すると、ほとんどの項は打ち消し合って最初(青マル)と最後(赤マル)だけが残ることがわかります。これで三項間漸化式ではなく、二項間漸化式になりました。

 この式に初期値を代入し、昨日と同様に、仮に特定の値 a に収束するとして、全部の項を a で置き換えると、

図 4

 aはマイナスにはならないですから、答は3、ということになります。後は「これ、本当に収束するの?」ということを確かめてみたいです。

(つづく)



 先週のいつだったか、通勤途上の長い信号待ちの間、前の車のナンバーを見て、なんとなく2桁ずつの掛け算をしてみたら答の数字の並びがちょっと面白かったのです。図5のような覆面算になっていました。

図 5

 この覆面算、答が1つしかないかどうか、その場ではわからなかったのですが(信号が青に変わったので頭からその問題を振り払いました)、お昼休みに思い出してちょっと考えてみたところ、おそらく解はユニークだろうという結論になりました。

 それならば、ひらがなとかカタカナとかで意味のある言葉の問題にできないかな、と思ってちょっと考え始めました。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 1日遅れで9/30(日)に今週末の2日分を書いています。






9月30日(日) 三項間漸化式(その3)、覆面算の検討

 下記の三項間漸化式の話の最終回です。

 昨日はこれが二項間漸化式に変形できることを示しました。変形して得られた式はこうでした。

 これを(x,y)の関数だとみなしてグラフをプロットすると図2のようになります。普通の正比例と反比例のグラフの和ですね。

図 2

 第2項の5をxに入れると、第3項の3.4がyの値として出てきます。横軸の5から垂直に青いグラフに当たった点がその値です。その値を再びxにするために、その点から今度は水平にy=xの緑のグラフに赤い矢印を伸ばします。ここが第3項です。再びそこから縦に青いグラフに線を伸ばします。この点のyの値が第4項です。

図 3

 以下同様に繰り返してゆくと、この区間(3以上)で青いグラフは単調増加しているので、この数列は必ず単調に減少してゆくことがわかります。単調な数列は(振動しないので)無限大に行くかどこかに収束するかどちらかです。

 2日前にご紹介したようにこの問題は娯楽数学のpdfに載っていたのですが、私のアプローチが平凡過ぎてあんまり娯楽数学っぽくない話になってしまいました。個人的には楽しかったですが、興味のない方はすみませんでした。



 昨日の覆面算の、“○△□□” という後ろの2文字だけが同じになる4文字の単語を少し考えてみました。

 私が最初に浮かんだのは「アリババ」で、それから少し考えて、「ほしいい」「きんとと」「ふらここ」「こけもも」なんていう言葉が浮かんできました。

 「ほしいい」(漢字1文字で“糒”と表記するのですね)は、保存食や旅の携行食として用いられた、炊いたご飯を日に干したもので(干し飯)、お湯や水で戻すとすぐに食べられるものだそうです。高校の古典の時間に松尾芭蕉の旅の話のときに聞いたのが最初だった気がします。自分でも作ってみようと思って失敗したのでよく覚えています。 「ふらここ」はぶらんこのことで、これも中学か高校の国語の時間に聞いたのだと思うのですが、こちらは明確な記憶がありません。

 「こけもも」は、大昔にUNIXの上に実装されていたゲームの“Rogue”というのがあって大好きだったのですが、その日本語版で主人公のお気に入りの食べ物として登場したのが印象深いです。

 さらに考えて「そらみみ」「ウクレレ」「ワイキキ」「わがまま」なんていう言葉も出てきましたが、「○□」の2文字の言葉として素直なものになりません。うーむ。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 今日から明日にかけて、台風24号が日本列島を縦断しそうだという予報になっています。今(9月30日午前7時)中部地方は雨雲はかかっておらず、曇っています。予報円を見ると直撃されそうで心配です。自宅も心配ですが、実家は建物が古いのでさらに心配です。






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