以前の「ひとこと」 ： 2018年9月前半
9月1日(土) 正三角柱12本組の模型
何度も挑戦している正三角柱の12本組ですが、最初から接着することを想定してパーツを設計して組んでみました。
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| 図 1 | 図 2 |
このかたちはとても好きで、いくつ作ってもいいなあと思います。図1が4回回転対称方向から、図2が3回回転対称方向から見た写真です。この２つの写真では床に対する立体の姿勢は同じで3点で接地していますが、4点で接地させることもできます。また、図2では３つの筒をちょうどのぞいた方向になっているので、下に敷いているカッティングマットが見えています。
このかたちは中心に菱形十二面体の空間があるのですが、それがわかるように、パーツ3本は外せるようにしてあります。図3、図4はそれぞれ斜めから見たところと、ほぼ真上から見下ろしたところです。
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| 図 3 |
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| 図 4 |
いかがでしょうか。
ふとした拍子にパズル“2048”を起動してしまうのですが、すぐに終わるように最近は３×３の盤面でしかプレイしないようにしています。256までは作れたのですが、512が次の目標です。
これ、下に動かして、次に4が出てくれないとゲームオーバーです。(ゲームオーバーになってしまったので、1手戻して写真を撮りました。)
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| 図 5 |
やっぱりこれは中毒性がある危険なゲームです。
＜おまけのひとこと＞先週は忙しくてなんだか疲れました。
9月2日(日) Stewart Coffin の Octo Burr(その1)
幾何学的な美しい組木をたくさんデザインされているStewart Coffin氏の作品のファンなのですが、昔から気になっている作品にOcto Burrという、四角柱を8本組み合わせた構造に見えるパズルがあります(図1)。(リンク先にはパーツ構成の写真も載っています。)
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| 図 1：Octo Burr by S.Coffin |
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| 図 2：菱形十二面体を囲む12本の正三角柱 by S.Coffin |
上記のページには、このかたちはキラル、つまり右手型と左手型があるということが書かれていて、そのためこの図では2タイプが並べて描かれています。
さて、図1のOcto Burrの話に戻ります。これはこんな構造なのかなあと思って、まずはCGを作ってみました。
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| 図 3 |
いつもの自分のCGとはちょっと雰囲気を変えて、Coffin氏の図に近いイメージのものを狙ってみましたが、あんまりうまくいっていません。でも、いかにもCGという感じではなく、なんとなく線画っぽい図にはできたかなあと思います。この図がアニメーションで動いているのはなんだか楽しいです。これはどうやって作っているかというと、細い黒い円柱オブジェクトでパーツの縁取りをして、強い照明を当ててパーツの面の色を背景と同じにする、ということをやりました。一部の姿勢で一部の面が影になっていますが、これも照明の数を増やせば消せます。でもまあこれはこのままでもいいかなと思って残すことにしました。
さてこのかたちはどのような構造でしょうか？
この土日は天気が悪くて、でも気温が下がって過ごしやすいです。家で模型を作ったり笛を吹いたりして過ごしています。買ってきたフランクのヴァイオリンソナタのフルート版、第一楽章だけ妻とやってみました。ピアノが難しい！です。
フルートオリジナルの近代のソナタというと、プーランクのものが有名です(図4)。
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| 図 4 |
妻に聴いてもらったら、「昔のNHKの少年ドラマシリーズの『なぞの転校生』のテーマ音楽みたいな、聴く人を不安にさせるような不思議な感じ」という感想でした。私は少年ドラマシリーズは「タイムトラベラー」「夕映え作戦」が印象に残っていますが、なぜか「なぞの転校生」はあまり記憶がありません。
＜おまけのひとこと＞今日9月2日(日)は、朝7時から住んでいる市の全域で総合防災訓練があります。今日の分の更新を朝3時から始めて、いろいろ調べたりCGを作り直したり余計なこと(2048パズルをなんとなくプレイしてしまったりとか)をしたりしながらだいたい書き終わったのが今5時半くらいなのですが、外は雨が降っています。傘をさしてヘルメットをかぶって出かけることになりそうです。
会社の防災訓練もそうなのですが、一般の参加者は、集合して点呼をしてもらったらあとはただひたすら待つだけなのですが、集計をしたり残留者確認をしたり報告を上にあげたりする担当の方はほんとうに忙しくて大変そうです。(私は今年は待つだけの楽をさせていただける立場です。)
9月3日(月) カードマジック(その2)
すみません、しばらく間があいてしまいましたが、8月8日のひとことでご紹介したカードマジックの話の続きです。A Personal Approach to the Art of Mathemagic with a Deck of Cards(1組のカードを用いた数学の芸術への個人的なアプローチ：Colm Mulcahy)という論文に書かれていた内容をご紹介するものです。
間があいてしまったので、これがどんなマジックなのかを再掲します。
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１．演者はトランプ1セットを数回シャッフルした後、上から5〜6枚のカードを、表が見えないように下向きのまま取り分けます。取り分けた5〜6枚のカードを完全に混ぜて順番がわからなくなるようにします。（目をつむったままだとより効果的です。）
２．会場から2名の協力者を募って、演者の手元の5〜6枚のカードからそれぞれ1枚ずつ引いてもらいます。 ３．演者は手元に残った数枚（2枚減っています）を見ずに最初に取り分けた残りのカードに加えて、完全にシャッフルしてわからなくします。 ４．二人の協力者はそれぞれのカードを見せ合って、その合計の数字だけを演者に告げます。このとき、A(エース)は1、J(ジャック)は11、Q(クイーン)は12、K(キング)は13とします。 ５．演者はその結果を聞くと、たちどころに2枚のカードが何なのか言い当てます。 |
通常、演者がカードを完全にコントロールしていないことを示すために、会場の協力者に最後に一度カットしてもらうことがありますが、今回はそれをしていないところがまず1つ目のポイントです。つまり、最初に取り分ける数枚は一見ランダムに見えるように演じますが、これは完全に演者のコントロール下にあるのです。
上記の論文では、最初に取り分ける6枚は、図1のセットにすることを勧めています。
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| 図 1 |
娯楽数学（Recreational Mathematics)に馴染みのある方でしたら気付かれると思いますが、これはフィボナッチ数列です。この6個の数字から2つを選ぶ選び方は15通りありますけれども、15通りの和はすべて異なっているのです。
実は先月、このマジックをご紹介したときに、先日の展開図が正方形の多面体の体積が最大のものは？という問題にもメールを下さったKさんから、1, 4, 7, 11, 12, 13という数字のセットをご提案いただいたのです。びっくりしました。
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| 図 2 |
「1〜13までの数字から6つを選んで、その中の2つの数字の和がすべて異なるようにせよ」という問題を考えると、Kさんのものも立派に成立する解になっているのですね。すばらしいです。
任意の2つの数の和が必ず異なるようにせよ、というのであれば、すぐに思いつくのは1,2,4,8,16,32,64…というべき乗の系列ですが、これだと2個の数字の和は、かなり「すかすか」になってしまっています。Kさんのご提案は、1,4,7、という公差が3の数列に、11,12,13を組み合わせているため、特に11から20までの和がすべてそろっているのが美しいですね。
一方、フィボナッチ数列を使った例では、3から21までの和の中で、出てこないのは12,17,19,20だけ、というのがすばらしいと思います。
ちなみに、和の数値がわかれば2枚のカードの数値がわかるのですが、クラブ・ハート・スペード・ダイヤという順番は暗記する必要があります。(もちろんこの通りでなくてもよいのですが、この並び順は少しでも不自然さがないように、色を含めてよく考えられていると思いました。)
論文の本文中にも出てきますが、このマジックはゼッケンドルフの定理(linkはwikipediaです)を基に考案されているそうです。
ゼッケンドルフの定理というのは次のようなものです。
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ゼッケンドルフの定理 任意の正の整数は、異なる、かつ連続しないフィボナッチ数の和として一意に表される |
たとえば、 6 = 5 + 1 とあらわされます。 6 = 3 + 3だと、同じ数を複数使っているのでダメです。 6 = 1 + 2 + 3 だと、連続するフィボナッチ数を使っているのでこれもダメです。
フィボナッチ数はかなり昔から研究されているのですが、このゼッケンドルフの定理はなんと1939年という、数学史の中ではつい最近になって初めて示されたのだそうです。
こちらの、その名もEdouard Zechkendorf(Clark Kimberling)という論文にそのあたりの話が紹介されているようです(ちゃんと読んでいませんが)。
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| 図 3:E.Zechkendorf |
こんなことが二十世紀になるまで知られていなかったなんて驚きです。カードマジックの話のネタがこんな定理に繋がっていて、とても面白かったので、ご紹介したいと思ったのでした。
昨日9月2日(日)の午後、妻がピアノの生徒さんのための楽譜を買わないといけないというので、一緒に車で出かけました。ちょうど駐車場に着いたのが午後2時過ぎで、NHK-FMの「きらクラ！」が始まりました。先週の「きらクラDON!」の出題は私も妻も月曜日の再放送を別々に聴いて、それぞれ答の心当たりがあったので、聴いてみましたが、予想通りベートーヴェンのピアノソナタ第8番「悲愴」の終楽章のロンドの冒頭でした。
今回はニアピン賞が3曲もありました。特に笑ったのが、サラサーテのツィゴイネルワイゼンです。ピアノ伴奏版で、調を含め最初の音型が同じなのですね。でも、軽やかなベートーヴェンと、情感たっぷりに「溜め」て演奏するツィゴイネルワイゼンではテンポ感が全く違います。この連想は気が付きませんでした。
今週の出題は、妻も私も同じ答が浮かびました。「枯れ木も山の賑わい」で、番組を応援する意味でも答がわかったら応募しようと思っているのですが、先週はすっかり忘れていました。
＜おまけのひとこと＞9月3日(月)の早朝(午前3時)に、9/3、9/4の2日分の更新をしています。明け方、もうひと眠りできるといいのですけれど。
9月4日(火) Stewart Coffin の Octo Burr(その2)
日曜日にご紹介したOcto Burr、これがどんなデザインになっているのか、考えてみました。
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| 図 1 | 図 2 | |
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| 図 3 | 図 4 |
このように作っているので、図1〜図4でいうところの上から見ると、4回回転対称になっているはずです。その視点から見てみました(図5)。
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| 図 5 |
いつもは平行投影で影なしでCGを作ることが多いのですが、図5は透視図法で、影も「あり」で描いています。ただしレンズを望遠側にして(視野角を狭くして)あまりひずまないようにはしています。
先日作って気に入った、手描きの線画風の図も作ってみました。右目と左目を想定した視点から見た画像を交互に表示する「ぷるぷる立体画像」にしてみました。2枚の切り替え時間はかなり遅くしていますが…
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| 図 6 |
このように、このかたちは4回回転対称軸が1本だけあるという構造ですので、対称性としては正方形の二面体群(正方形の板の持つ対称性と同じ)になっています。
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| 図 7 |
図7で、青い4本の軸は180°の2回回転対称軸、垂直の赤い軸は90°の4回回転対称軸です。Octo Burrもこれと同じ対称軸を持っています。
さて、この立体のかたちの考え方はだいたいわかったので、これを紙の筒を組む手法で作ってみることにしました。
台風21号が近づいてきています。気象庁の9月3日午前0時の予報だと(図7)、9月4日(火)21時の予報円の中心が能登半島あたりで、本州を突っ切っていく進路が予想されています。あまり大きくない(暴風域はそれほど広くない)ようですが、「非常に強い」台風のようです。
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| 図 8 |
昨日の段階で中心気圧は915hPaでしたが、現在の実況では935hPaになっていました。台風の大きさと強さは、気象庁のこちらのページに定義が説明されています。中心気圧は台風の強さの定義には直接は関係しないようですが、風速と強い相関があるのだろうと思います。
どうか大きな被害がありませんように、と思います。
＜おまけのひとこと＞格安のmicroSDカード(32GBで千円ちょっと)をタブレット端末に入れて使っていたのですが、1年もしないうちにデータがどんどん壊れるようになって、安いものには安いだけの理由があるのだな、と思いました。そこにしかないデータは１つもないのでいいのですが、不便です。6年前のAndroid 2.3 の古いタブレットなので、そろそろ買い替えようかなと思いつつ、なんとなくそのままになっています。
9月5日(水) Loopy Triangular：三角格子のスリザーリンク
以前から何度かご紹介しているSimon Tatham's Portable Puzzle Collectionというペンシルパズル系の数十種類ものパズルが遊べるサイトですが、最近はLoopyという、スリザーリンク系のパズルにはまっています。
Loopyの基本は、普通の正方格子のスリザーリンクです。格子に沿って線を描いて全体で１つのループ(輪っか)になるようにするのですが、そのとき格子の正方形の中に数字が書かれている場合、線はその正方形の辺のうちいくつを通るかを示している、というのがルールの概略です。いろいろな手筋やパターンがあって奥が深いパズルです。
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| 図 1 |
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| 図 2 |
これだけでなく、下から2番目の[More...]を選ぶと、さらに別なパターンを選べますし、一番下の[Custom]を選ぶと格子のサイズや難易度を変えることもできます。私が最近よくやっているのが三角格子(Triangular 10x12 Hard)というパターンです(図3)。
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| 図 3 |
基本の手筋がいくつか入っている小さな盤面の問題を解いてみたのをgifアニメーションにしてみました(図4)。
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| 図 4 |
ゼロの三角の回りには線はない、というのが一番基本の入り口です。次の基本は2が辺を共有して並んでいる場所で、正方格子における3の並びと同じく基本の入り口の１つになります。また、頂点を共有する2の並びも大切な入り口です。
ここでは手筋を詳しく説明しませんが、1への侵入、2への侵入も大切な手筋です。また、辺を共有する1の並びにも手筋があります。さらに正方格子のスリザーリンクよりも、「ある領域に入る線の数は偶数」というルールが有効な場合が多い気がします。(図4の小さなサンプルでは有効な場面はなさそうですが)
ふとした拍子にちょっとやってしまうパズルとして私の中では定着しました。スマートフォンにも同じアプリが入れてあるのですが、操作するときに自分の手で盤面が隠れてしまうことと、確定した線と消去する線の区別がPCでマウス操作ならば右ボタンと左ボタンですが、タッチパネルだとタップor長押し、というところが今一つ好きになれなくて、ほとんどPCでしかプレイしません。
モダンフルートについて検索していたら、ドイツで演奏家として活動されている方の音楽家が売れない理由を考えてみるというページに行き着いて、興味深く読ませていただきました。
私は今も昔も音楽を演奏することが好きですが、音楽の演奏を職業にしようということを間違っても思いつかないくらい演奏技術が無かったため、アマチュアとしてひっそりと楽しむスタイルで生きてきました。 昔は自分のあまりの音楽の才能の無さを残念に思ったりしたこともありましたが、間違って音楽の道を目指さなくて済んだという点で、自分に与えられたのが演奏技術の才能ではなく、どんなに下手でも「演奏して楽しい」と思える能力(?)だったことに、今ではとても感謝しています。
考えてみると、数学とかもプロではなくアマチュアとして楽しんでいて、無責任にいろいろな分野を気が向くままに勉強したり本や論文を読んだりして楽しんでいて、これも音楽と同じかなあと思いました。私はやりませんが、スポーツとかもきっと同じなのでしょうね。プロのレベルに到達できる人は世界中のほんの一握りですが、その中に入れないからと言ってやる価値がないわけではなくて、自分の技術なりに楽しめることは幸せなことだと思うのです。
＜おまけのひとこと＞9月3日の週は結局ウィークデーには更新ができませんでした。9月8日(土)に、9/5〜9/7の3日分の更新をしています。この一週間は台風が上陸して大阪の空港が大変なことになっていたり北海道に大地震があって大規模な停電になっていたり、大変な一週間でした。日本の中のどこにいても危険なのだな、という気がします。
9月6日(木) 2048パズル：その後
先月くらいから時々書いている「2048」パズルですが、これも空き時間とかになんとなく始めると終わらなくなって危険です。基本の4×4マスの盤面で、8192まで行きました。
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| 図 1 |
翌日の夜、タブレットをonしたときになんとなく[2048]アプリのボタンに触れてしまって、なんとなく続きを始めてしまいました。前夜の図の状態から、使える盤面の広さが1マス少ない([8192]のタイルの分は使えない)状態で、もう１つ[2048]のタイルを作るところまではやりました。
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| 図 2 |
次にこれを[4096]にして、もう１つ[4096]を作れれば[8192]の次に行かれるのですが、そのためには3マス少ない状態で[2048]を作らなければなりません。これはちょっと厳しいかな…と思って、今度こそやめることにしました。
この「2048パズル」をやっていると、「チャイニーズリング」とか「九連環」とか呼ばれるパズルを連想します。ここでは解説しませんが、[2]→[4]→[8]→[16]→[32]→…と作ってゆくプロセスが、「連環」を解く手順によく似ているのです。
私がこの「連環」の系統のパズルを初めてやったのは、確かテンヨーの「エレクトロパズル No.2」という、こんな「ひもを外す」パズルでした(図3)。
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| 図 3 |
この図はこちらの「知恵の輪の環」というblogのものです。先月でblogの更新を終了されたそうで、残念です。
この「エレクトロパズル」、小学校の頃に家にありました。最初は全くもって全然わかりませんでした。でも、何かの拍子に最初の輪から隣の輪に紐を移すことが偶然起こって、「あれ、いったい何が起こったんだろう？」と思っていろいろ調べてみて、そこで初めて構造がわかったのです。そして、あとは再帰的に同じ操作を繰り返せばできるんだということに気が付いたときにはとても嬉しかったです。(もちろん「再帰的」なんていう言葉を知ったのはもっとずっと後のことですが。)
＜おまけのひとこと＞市内の大型小売店が店内改装で来週2日ほどお休みするようなのですが、その前に売り尽くしセールをやるそうで、妻と「行ってみようか」と話しています。先日、そのお店で“タングル”というおもちゃが半額になっていて、悩んだ挙句買わなかったのですが、もしまだあったら買ってもいいかなと思い始めました。でもそう思って行くと無かったりするので、あまり期待せずに行ってみようと思っています。
9月7日(金) おてがみメモ：通勤列車
本屋さんの文房具や雑貨が置かれたコーナーを見ていたら、鉄道関係のグッズが集められたテーブルがありました。そこを見ていたら、こんなメモ帳がありました。
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| 図 1 |
図2が、山手線のタイプの用紙と、六角形に折ったものの写真です。
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| 図 2 |
この折り方は布施知子さんの「おりがみ つつむ」という本に載っていて知っていました。2006年1月7日のひとことで、折り方の手順を写真で説明しています。身の回りの普通の長方形の用紙から正六角形の「つつみ」ができるので、気に入って記憶している手順です。
きれいに折るにはちょっと用紙が小さいかな、と思わないでもなかったですが、良いデザインだと思いました。
ちなみに324円だったので、てっきり300円＋消費税なんだと思って３つで972円だろうと思って、千円札と1円玉2枚を用意してレジに並んでいたら、1,049円ですと言われて「えっ！」と思いました。（声は出しませんでした。）確かに商品に貼られていた値札を見ると(図3)、
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| 図 3 |
ちゃんと「\324 ＋税」と書かれていますね。でも324円のところしか目に入っていなくて、この金額ならばてっきり税込だと思ってしまいました。べつにその差額が惜しいわけではないのですが、ちょっと「騙された感」がありました。それならむしろ「330円(税別)」とかで売ってくれたほうがまだ気分が良かった気がします。
ちなみにお店からはこの買い物で、次回使える文房具50円券をもらいました。でも、こういう「気分の悪さ」というのは商品やお店にとってはマイナスな気がします。せっかく良いデザインの素敵な製品なのにもったいないなーと思いました。
＜おまけのひとこと＞3日分の更新、簡単に済ませる予定だったのに、けっこう時間をかけてしまいました。
9月8日(土) Octo Burrを紙で作る：パーツのデザイン編
先日ご紹介した Octo Burr という組木の構造を紙で作ってみたいと思いました。そこでまず、構造を理解するためにもう一度CGを眺めてみました。
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| 図 1 |
ということで、水平な面の1本に注目して、それの交わっている垂直な２つのペアとの干渉の様子を観察してみることにしました。こういうときにCGは大活躍してくれるのです。
どのパーツがどのように干渉しているかわかりやすくするため、改めて色遣いを変えて、注目している水平面に平行なパーツを白にして、そこに干渉する垂直面の2ペアの4本を全部色を変えてみました(図2)。いろいろな考え方ができるのですが、切り欠きは組み上がった模型の内側になるようにしたほうが出来栄えが良さそうですし、8つのパーツはすべて合同にできたほうが美しいと思います。
注目しているこの白いパーツにとって、赤と緑のパーツは組み上がった模型の内側になりますが(図3)、青と黄色のパーツは外側になります(図4)。そこで、白のパーツからみて赤と緑のパーツの部分を切り欠くことにしました(図5)。
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| 図 2 | 図 3 | |
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| 図 4 | 図 5 |
図5は、白いパーツから赤と緑を引き算した残りの部分になります。これを、いつもの筒を組むパターンのパーツとして設計してみました。
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| 図 6 |
断面が長さ１の正方形で、筒の長さは５としました。折り曲げて筒にするので、1面を重ねるため、側面が5面分あります。なのでパーツはちょうど正方形になります。
蛇足ですが、1面を重ねて四角柱にするところをCGのアニメーションにしてみました。
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| 図 7 |
これをA4の用紙に8枚レイアウトして印刷して切り出して模型を作ってみました。
6年前、2012年の1月にLenovoのAndroidタブレットを買ってずっと使っていました。Android OS のバージョンが2.3.1というとんでもなく古いもので、最近いろいろと不安定になってきたので、新たにもう1台買いました。持ち歩いてpdfのドキュメントを読んだり、楽譜を表示したり、ちょっとしたパズルゲームをやったりしたいだけなのですが、だいぶ快適になりました。
今までは話題になっているアプリとかが動かなかったりすることも多かったのですが、そういうのも試せるようになって嬉しいです。
＜おまけのひとこと＞この更新は9/9(日)の朝に書いているのですが、9/8(土)は夕食に魚屋さんの天ぷら盛り合わせを買ってきたのです。単品だと100円台の値付けがされているエビとかアジとかアナゴとかキスとかの天ぷらが10品＋大葉の天ぷらとかが付いて700円と大変お得だったのです。１つ１つが大きくてとても美味しかったのですが、私が３つ、妻が２つ食べてギブアップしてしまいました。残りは翌日です。
9月9日(日) Octo Burrを紙で作る：完成写真
昨日、パーツまでご紹介したOcto Burrですが、実際に切り出して組み立ててみました。
まず、図1と図2が一般的な視点から見たところです。この２つは接地のしかたが違います。図1のほうは4回回転対称軸が垂直ですが、図2のほうは傾いています。
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| 図 1 | 図 2 | |
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| 図 3 | 図 4 |
図3は対称軸方向から見下ろしたところ、図4は接地のしかたは同じで、視点を変えて筒を覗き込んだところです。
このかたちを実際に作って、ようやく納得した気がしました。美しい構造だと思います。模型としては、切り欠き部分をカットするときに紙の厚みをどう考慮するかによって出来栄えが大きく左右されるので、きれいに作るのは難しいです。今回のものはあまりうまくいっていないですが、作り直そうかどうしようか考えています。
この模型を眺めていたら、これのバリエーションを考えてみたくなりました。
私は自分のサイトは Windows PC と Linux PC の環境からしか確認していないのですが、スマートフォンやタブレットのブラウザからアクセスしてみると、ページの下とかに全く無関係な広告が表示されたりします。正直、気分が悪いです。これはブラウザが勝手にやっているのかなあと思っていますが、そもそもこういった広告ってコストをかけて出す価値があるのですね。
「広告収入モデル」というのはテレビの時代からあるものですが、今のネット社会がどのように成立しているのか、通信インフラや端末、OSやソフトウェア、そしてその上に流れる情報であるコンテンツ、それぞれを誰が何を目的に作って流通・運用しているのかを考えてみると、ネットの世界も黎明期のようなのどかな時代ではなく、世界中のたくさんの人の仕事を生み出し、生活を支えるものになっているのだなあと思います。
Internetのインフラを支えるためのハードウェアを製造、販売する人、運用する人、情報を受け取るための機器(今や多くはスマートフォンでしょう）を企画・設計・製造・販売する人、その上のOSやソフトウェアを開発する人、お金を取るためのビジネスモデルを考えて運用する人、またその環境を自分の本業のために活用する企業や組織、そのためのコンテンツを考える人、作る人、運用メンテナンスする人…、とちょっと考えただけでもたくさんの人や企業、組織がかかわっています。
情報を受け取る人の環境（端末やOSやソフト、いつどこで見るのか、それにはどんな費用がかかっているのか）もどんどん変わっていて、それに応じて受け入れられるコンテンツの書式もどんどん変化しています。 これからどうしようかなあ、と思っています。
＜おまけのひとこと＞まあなので「自分のサイトの最大の読者は将来の自分」と思って、できることをやっているのですが。情報の提供の仕方を変えるのは、その程度にもよりますがかなり準備が必要です。本業ではないので、なかなかそんな時間が確保できないというのが正直なところです。
9月10日(月) 数字を決めるパズル
本日ご紹介するのは、自己言及型の文に関するパズルです。まずは図をご覧ください。
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| 図 1 |
5か所の下線の部分に数字を入れて、この文が正しくなるようにしてください、というパズルです。 青い文字の数字もカウントしますし、下線部分に書いた数字も数えます。例えば「１が１個」と書いた時点で１は２個あることになりますから、この文は誤りになってしまいます。
たぶん試行錯誤でもがんばれば答にたどり着けるかなあと思いますが、この手の問題にはうまい解き方があるのです。ご存知でしょうか。
先日、外出先の事業所から別な外出先に移動するとき、いつもなら裏道から高速道路のインターチェンジ抜けるのですが、時間に余裕があったのと天気が悪かったのとで、珍しく国道を走ることにしました。そうしたらこんな看板を見かけました。
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| 図 2 |
インパクトのある看板だったので「相撲は御嶽海、車はムラカミ」というフレーズを覚えてしまい、帰宅後にこのフレーズで検索してみたらこの看板の画像があったので、縮小してトリミングさせていただきました。ちなみにこちらがこの看板の主のムラカミ自動車のサイトです。
先場所で優勝した御嶽海は９月場所の初日は白星発進でした。今場所も楽しみです。
＜おまけのひとこと＞9月10日(月)の朝に３日分の更新をしています。今週は週の途中で１回は更新できるようにしたいなあと思っています。（できないかもしれません。）
9月11日(火) 『ヘンデルが駆け抜けた時代』
本日は本のご紹介です。先日、本屋さんの音楽関係の棚を見ていたら、「ヘンデルが駆け抜けた時代」（三ヶ尻正著：春秋社）という本を見かけて、すぐに買いました。
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| 図 1 |
バロック時代の音楽家が何を考えて曲を作曲していたのか、生身の人間として自分の待遇や環境に悩んだり、実はそれをなんとかしたくていろいろな狙いで曲を作ったりしていたのではないか、という議論がとても説得力があって面白い本でした。
著者の三ヶ尻さんは、私が大学１年生のときに古楽の合唱のグループに誘ってくれた方で、昔から「ヘンデルマニア」でした。もうだいぶお目にかかっていませんが、こうして本を書かれたりされているのはすばらしいなあと思います。
日曜日、久々に自宅の庭の手入れをしました。先日の台風で倒れてしまったバラの枝を切ったり、通路がわからなくなるほど茂っていた雑草を抜いたり、枯れてしまった生垣のキンメツゲの１本を抜いて、庭の隅に勝手に生えてきた新しい株をその場所に植えたりしました。午前中にやった庭仕事で疲れてしまって、その日はなんにもできませんでした。
＜おまけのひとこと＞9月2日(日)放送のNHK-FMの「きらクラ Don!」に応募していたのですが、メッセージは読まれませんでした。
9月12日(水) 数字を決めるパズル：解き方解説
一昨日にご紹介した自己言及型の文に関するパズルの解き方をご紹介します。問題は「下の図の5か所の下線の部分に数字を入れて、この文が正しくなるようにしてください」というものでした。
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| 再掲図 |
この手の問題は、しらみつぶしに探索するのではなく、「とりあえず数えた結果を記入してみて、それが正しくなければ再度数え直して更新する」という手順を繰り返すほうがはやく解答にたどり着けるのです。どういうことか、具体的に説明します(図1)。
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| 図 1 |
まず、出題分には1〜5が１つずつありますから、下線部に全部１を入れます（図1-(1))。そうすると、１は全部で６個あることになりますから（もともとの青文字の１と、新しい赤文字の１が５個）、改めてこれらを数えた結果を記入します(図1-(2))。今度は１が１つ減りましたので、さらに更新します(図1-(3))。新たに２つ目の５が登場です。そこでまたこの(3)のカードの数を数え直します(図1-(4))。今度は２が出てきて、１がさらに１つ減りました。 …この手続きを繰り返すのです。
１枚のカードを１つの状態だとみなすと、図1の緑の矢印は状態が移り変わること(状態遷移)を示しています。一般にこのような離散状態の状態遷移は、
| (1). | 安定点にたどり着く |
| (2). | 周期解になる |
| (3). | 無限大に発散する |
のいずれかになります。 この問題の例の場合、正解のカードの行先は自分自身です（正しい文になっていれば、数字を数え直しても変化しない）ので、安定点というのが正解の状態ということになります。（周期が１の周期解だ、と言うこともできます。）
この問題の場合、数字を入れる空欄が５つありますので、自然数５個の組の離散５次元空間全体が解の探索空間ということになります。どんなに大きな数字を書いても、状態遷移を辿ってゆくと急激に値は小さくなるので、おそらくこの問題の場合、どんな初期状態から始めても必ず唯一の安定点（正解）にたどり着くような気がします。（ちょっと試した感じだと周期解もなさそうです。）
とても面白いと思うのですがいかがでしょうか。
数字の入った自己言及文について、以前書いたことがあったよなあと思って検索してみたら、2009年4月1日に書いていました。このときは二進法でした。 これもいろいろ派生が考えられそうな面白い話題です。
＜おまけのひとこと＞過去のページの検索は、googleのsite検索にすっかり頼り切っています。
9月13日(木) 数字の自己言及文をExcelで解く
数字の入った自己言及文の解き方をご紹介しました。仮に、登場する数字の種類をもっと増やしてみたらどうでしょうか(図1)。
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| 図 1 |
これは、登場する数字が1,2,3,4,5,6,7,8,9ですので、[1-9]問題と呼ぶことにしましょう。 これはちょっと試行錯誤では解きたくない問題です。また、昨日ご紹介した「とりあえず仮の答(仮説)を入れてみて、その結果を数えて更新する」という方法でも、手作業ではちょっと大変です。うまい初期値を選ぶと数回で正解にたどり着くのですが、初期値の条件がちょっと厳しいのです。
この問題は自分で解きたい方はそんなにいらっしゃらないと思うので、先に答を載せてしまいます。こんな答にたどり着きました。
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| 図 2 |
この自己言及文が正しいことを、1〜9までの数字を数えて確かめてみてください。
一方、こんな周期解に収束してしまう初期値もたくさんありました。
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| 図 3 |
図3の左を数えた答えが右になっていて、右を数えた答えが左になっていることを確かめてみてください。
これをどうやって試したかというと、自分で指定した初期値から計算を始めるとどうなるかを自動で計算してくれるExcelシートを作ってみたのです。こんな具合です(図4)。
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| 図 4 |
これはどうやっているかというと、例えばC4のセルの中身は図5のようになっています。
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| 図 5 |
簡単に解説すると、COUNTIF()という関数を使って、区間C3:K3の１つ上の９つのセルの中にある数字がC2のセルの値（この場合は1)の数を数えています。それに、問題文に登場する分の数字１つ分を足しているのです。
こうしておくと、これ以下の全部のセルに同じ関数をコピーしてやれば、自動的にその上の行の数字の数を数えてくれるようなシートになるのです。
また、収束を判定する判定欄ですが(図6)、
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| 図 6 |
下図のように上下のセルの値が全て同じだったときにのみ"○"、それ以外のときは"×"を表示するようにしています。(ある区間の対応するセル同士が全て等しい、というのをもっと簡単に記述する方法がわかりませんでした。）
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| 図 7 |
細かいことを言うと、セルの値が"○"のときは色が変わるように条件付き書式の設定をしています。
これで、例えば初期値を全部1にすると（10が出てきますがこの中の1は無視しています)、図9のように周期解になってしまいます。
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| 図 8 |
このExcelシートでいろいろと初期値を変えてみるととても面白いです。
上記のExcelシート、Excelを使ったことのある方ならばすぐに作れると思います。たぶん、ものの数分もあれば作れるのではないかと思います。作った後でいろいろ試すのが楽しいので、作る時間の何倍もの時間、楽しめます。ぜひやってみることをお勧めします。例えば、[1-6]問題には正解はなさそうで、全ての初期値は同じ2状態の周期解に収束すると思われる、と書きましたが、これを愚直に確かめるには10の6乗（100万通り)の初期値を試す必要がありますが、もちろんそんなことをしたわけではありません。上記のシート（と紙とペン）だけを道具に、30分くらいの検討でそのように推測しました。
日本で稼働しているPCの多くに、Word と Excelは入っているのではないでしょうか。求人情報などのスキル欄にもWordやExcelが書かれるくらいですから、良くも悪くも標準ツールになっていると思います。でも、新興国の（オフィスではなく）現場に行ったりすると、ExcelなどインストールされていないPCもあったりするそうです。
＜おまけのひとこと＞9月13日の朝に9/14,9/15の2日分の更新をしています。急に寒くなりました。 勤務先で、10月1日からの新しい組織の示達がありました。とりあえず自分自身の処遇に直接は関係しそうな変化はありませんでしたが、日常的によく話をしている職場の課長さんが交代されるようで、なぜだろう、どうしたものかと思っています。
9月14日(金) いろいろな数の範囲の数字の自己言及文
1〜5までの数字を使った自己言及文（[1-5]問題）と、1〜9の数字が全部出てくる自己言及文（[1-9]問題）をご紹介しました。昨日ご紹介したExcelシートをそのまま使って、登場する数字の範囲を変えた問題をいくつか試してみました。順番が逆なような気もしますが、数字の範囲を変えて、[1-8]問題、[1-7]問題…とだんだん数を減らした問題を解いてみました。（昨日のExcelシートで、右側の列を単に消去してしまって、その中身を空欄のままにしておくだけでこれらの実験をすることができます。）
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| 図 1 |
一般論として、これらの問題は「どんな初期値から始めても同じ最終状態になる」か、「初期値に応じて異なる最終状態になるか」のどちらかです。今回、Excelを使って試行錯誤的に調べてみたところ、
| (1). | 任意の初期値から、必ず同じ正解に到達する |
| (2). | 任意の初期値から、必ず同じ周期解になる |
| (3). | 初期値に応じて、１つの正解か、もしくは１つの周期解になる | (4). | 初期値に応じて、２つの正解のどちらかになる |
の４つのパターンになるようです。（今回のアプローチは「解がある場合、それを手っ取り早く見つける」手法なので、全ての初期値について検討はできていませんが、ちょっと実験してみると、全数探索をする必要は全くないことがわかります。）
ちなみに図1の問題の答として図2のようなものが見つかりました。
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| 図 2 |
[1-6]問題については（4,2,2,2,1,1)⇔(3,4,1,2,1,1)の周期解しか持たないようです。[1-3]問題は、途中で数字の４が登場してしまう周期４の解になります。[1-2]問題は、途中に３が出てくる周期３の解になります。[1-3]問題と[1-2]問題は範囲を逸脱する数値が出てくるため図1、図2には載せませんでした。
答に到達したパターンを見ると、なんとなく類似性を感じます。グラフにしてみました。（普通の折れ線グラフにするとほとんど重なってしまってわかりにくいので、3D折れ線グラフにしてみました。）
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| 図 3 |
これ、どんな法則性があるでしょうか。
先週のNHK-FMの「きらクラ！」のゲストに、作詞家の松本隆さんが出演されていたのですが、ライフワーク(？)として、シューベルトの三大歌曲集の全曲の日本語の歌詞を作られたそうです。その中から“白鳥の歌”の“ドッペルゲンガー”を聴きました。なるほどすごかったです。
放送の中の松本さんの
| ドイツ語は叩き付けるような感じでごつごつした言語だが、日本語はのっぺりしている。正反対。 |
| 言語の中に文化がある。文化の中に言語があるのではない。 |
といったコメントが印象に残りました。私も昔(30年くらい前)、バッハの受難曲や教会カンタータを歌うグループに所属していたことがあって、ドイツ語で歌う指導を受けていたことがありますが、子音を思い切り強調しないと聴こえないのです。「叩き付けるような感じ」という表現はさすが言葉の専門家、と感心しました。
＜おまけのひとこと＞このところ書いている数字の自己言及文の問題、当初は[1-5]問題の出題と答だけの単発のトピックのつもりでした。それが、解の探索をExcelで自動化して、問題の数字の範囲を変えられるようにしていろいろ実験してみると、次々と面白いことが見つかりました。今週のプライベートな時間はこの問題のおかげで本当に楽しかったです。
いつもは「過去のページ」の最下段になる毎月14〜15日と月末付近は軽い話題にするのですが、今回は思いがけずボリュームのある内容になりました。
9月15日(土) 多治見市モザイクタイルミュージアム
今日はお出かけの記録です。
今週は天気が悪くて急に涼しくなりましたが、先日、まだとても暑い八月後半ににわざわざ暑い多治見市に行ってきました。目的地は多治見市モザイクタイルミュージアムです。主に写真でご紹介します。
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| 図 1 | 図 2 |
建物の遠景と少し近づいたところです。この日は37℃もあって、このような石畳の日なたはとても暑かったです。この特徴的な建物は、地元出身の建築家である藤森照信氏の作品だそうです。「いかにも」という感じがします。建物の内部構造などは、上記のリンク先のミュージアムの公式サイトに載っています。
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| 図 3 | 図 4 |
内部の長い階段を上って(図3)、４階のフロアから見学しました。４階には、かつて実際に使われていたタイル作品が展示されています(図4)。なつかしい感じがします。昔、自分が小さい頃の家のお風呂はこんな感じでした。
下のフロアに行くと、もっと新しいタイル作品がいろいろと展示されています。
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| 図 5 |
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| 図 6 | 図 7 |
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| 図 8 |
１階のミュージアムショップと体験工房はものすごい賑わいでした。8月下旬ということで、夏休みの宿題に良さそうな工作ができそうな体験工房のプログラムがとても人気のようでした。 ショップのほうにも面白そうなものがたくさんありましたが、今回は特に買い物はせずに帰ってきました。
建物も展示もお勧めです。私は、エンドレスで流れていたタイルの製造工程を説明したビデオがとても気に入って、立ったままずっと見入ってしまいました。
＜おまけのひとこと＞昨日の大相撲秋場所6日目、御嶽海は豪栄道に負けて初日からの連勝がストップしてしまいました。残念…