[Home]-[以前のひとこと]-[2018年8月前半]

以前の「ひとこと」 : 2018年8月前半



8月1日(水) 展開図が正方形になっている多面体(最終回)

 7月25日のひとことからご紹介を始めた「展開図が正方形になっている多面体」の話ですが、情報源も含めていったんまとめておきたいと思います。



 CutOutFoldUp :紙で作る面白いもの 〜数学模型からおもちゃまで〜 というとても面白いサイトがあります。ご存知の方も多いのではないかと思います。この中に、Maximum Volume from a Square Net(正方形の展開図から作る体積最大の立体)というページがあります(図1)。

図 1

 先週からご紹介している一連のトピックは、このページがきっかけです。実はずっと以前に「いつか作ってみよう」と思って、展開図のpdfファイルをダウンロードしてあったのですが、先日、PCの昔のフォルダやファイルを整理していたらファイルが出てきて、「なんでこの展開図が体積最大なんだろう?」と思って考え始めたのがきっかけでした。

 上記のページに載っている展開図を見て、私はてっきり正方形の辺の分割は単純な整数比になるのかなあと思ったのです。でもそれをちゃんと納得したいなあと思っていたのですが、先日もご紹介しましたが、自分が計算する前に尾道市の大村さんから詳細な計算結果をいただきました(図2)。

図 2

 大村さんのご了解をいただいたので、送っていただいた計算過程のレポートのpdfを私のサイトで公開させていただくことにしました。

展開図が正方形の多面体の最大体積の計算(by大村さん)

 高校で習う数学のレベルをちょっと超えている内容かなと思います。また、数値計算をして求められていますので、若干違和感を感じる方もいらっしゃるかもしれません。でも、とても丁寧にかみ砕いて説明をしていただいているので、結果を追いやすいと思います。本当にありがとうございました。ぜひご覧になって下さい。



 いろいろ調べてみると、秋山仁先生もこの「正多角形から多面体を作る」という問題を調べておられるようです。こちらのMathematics for mass mediaという論文には、こんな図が掲載されていました。

図 3

 こんな風に実験的な手法で体積を比較された写真もありました。

図 4



 最後に、この系統の研究の基本の論文のご紹介をしたいと思います。The Foldings of a Square to Convvex PolyhedraRebecca Alexander, Heather Dyson, and Joseph O'Rourke です。 (この論文の最初のページに、愛媛大学の平田浩一先生の展開図生成プログラムについても言及されています。)

図 5

 上の図は、上記の論文のFig.2 の引用です。大小4つのマルで構成されている図で、それぞれのマルにはA,B,C,Dと名前が付けられています。この4つが、正方形から作られる多面体の一連の系列を表します。先週からの「ひとこと」で、3つほど系列をご紹介しましたけれども、それらがこの系列に相当しています。

 系列A,B,Dは正方形を平らに折り畳んだかたちを介して行き来できます。系列AとCは、下図の展開図のかたちでつながっています。

再掲図

 いろいろ調べてこの論文にたどり着いて、全体像が見えてとてもすっきりしました。非常に面白かったです。

<おまけのひとこと>
 珍しく週の途中、8月1日(水)の早朝にリアルタイムで更新ができました。
 こういった研究結果を誰でも見えるように公開して下さっている方々には本当に感謝しています。






8月2日(木) 2次元平面上の全ての「木」は平らに畳めるか?

 今週の月曜日、7月30日のひとことでお話した、線分をつないだ平面上の図形の話の続きです。



 長さや形を変えられない線分をつないだ典型的なかたちとして、「チェーン」「多角形」「木」という構造を考えました。

再掲図 1

 そして、これらがどんな初期状態からも、「チェーンは直線」「多角形は凸」「木は平らに畳む」ということができるでしょうか?という問いかけをしました。

再掲図 2

 結論を述べると、チェーンと多角形については、二次元内ならば成立しますが、「木」だけは平らに畳めない反例を示すことができるそうです。

図 1

 これがその反例です。([Biedl, Demaine, Demaine, Lazard, Lubiw, O’Rourke, Robbins, Streinu, Toussaint, Whitesides 1998])

 3本から成る三角形のようなチェーンが8つ、1つの頂点に繋がっています。どれか1つの三角形をまっすぐに伸ばせればなんとか平らになりそうですが、それができない構造なのがわかります。もちろん、この構造を3次元に持って行ってよいのであれば、重力があると仮定すると、任意の頂点を持って持ち上げれば、自然と1本に束ねられるのが想像できると思います。

 二次元ならではのロック機構が働いているのがとても面白いです。

 つまり、二次元上の任意の「木」が平らに束ねられるわけではないのです。

(つづく)



 妻が玄関に飾ってくれていた立方八面体の一輪挿しの大きいほうが、お役目をいったん終えて私の部屋に帰ってきました。

図 2

 2つの並べて写真を撮ってみました。うん、どっちもきれいです。

<おまけのひとこと>
 8/2の朝に、8/2,8/3の2日分の更新をしています。

 8月1日は東京に出張でした。ものすごく暑かったです。






8月3日(金) 3次元以上の全ての「チェーン」は一直線にできるか?

 昨日の話の続きです。「チェーン」

再掲図1

は、二次元上のものであれば全て一直線にできます、という話をしました。それでは3次元であればどうでしょうか。

再掲図 2

 二次元であれば、上の再掲図2の右側の赤枠のような位置関係は許されませんでしたが、三次元であれば、右のような位置関係は当然生じます。すると、こんな例が考えられるのです。

図 1

 これはシンプルな結び目のかたちになっています。結び目理論で言うところの「結び目」ではありませんが、線分(棒)が変形できないため、この結び目は解くことができません([Cantarella & Johnston 1998; Biedl, Demaine, Demaine, Lazard, Lubiw, O’Rourke, Overmars, Robbins, Streinu, Toussaint, Whitesides 1999])。

 つまり、二次元では任意のチェーンは一直線にできるが、三次元では一直線にできないチェーンが存在するのです。

(つづく)



 先日行った歯医者さんのメガネスタンドです。

図 2

 このメガネスタンドがかけているのが私のメガネです。もう30年以上使っています。

<おまけのひとこと>
 家の前の畑の方から、最近何度も野菜をいただいて恐縮しています。






8月4日(土) 追悼:Koo Verhoeff氏

 過去に何度かご紹介しているBridgesというカンファレンスがあります。数学と、芸術や音楽、建築や教育や文化などの「架け橋」をテーマとした国際会議で、今年はスウェーデンのストックホルムで7月25日から29日に開催されていたようです。いつか行ってみたいです。

 昨夜Bridgesのサイトに行ってみたら、すでに論文が公開されていました(こちら)。わくわくして見に行ったのですが、冒頭の招待論文Some Memories of Koos Verhoeff (1927-2018)を見て、「えっ! あのKoos Verhoeff氏が亡くなられたの!」と衝撃を受けました。

図 1

 これは、上記の招待論文「Koos Verhoeffの思い出」の冒頭にまるまる1ページ使って載せられている、故人の油絵の肖像画です。(縮小しているのでわかりにくいかと思いますが)

 Koos Verhoeff氏は、上記を寄稿されたTom Verhoeff氏と共著で Bridgesにたくさんの論文を寄稿されています。独創的でとてもすばらしい造形作品がたくさんあるので、密かにファンでした。

再掲図1 再掲図2

 2013年の論文の上記のようなかたちを知って、自分でも紙で作ってみたり(再掲図1、2)、三葉結び目を作ってみたりしました。

再掲図 3

 今年の6月に担当させていただいたリスーピアのワークショップでは、この一連のかたちを作れるユニットを設計して紹介したりもしました。そのときに、下記のようなスライドで、もともとのアイディアは Tom & Koos Verhoeff氏の発案だということもお話させていただきました。

図 2

 ちなみに冒頭の肖像画(図1)で、パイプの煙のかたちにご注目下さい。

 これは、Three Mathematical Sculptures for the Mathematikon(Tom Verhoeff and Koos Verhoeff)のFigure.5 に載っている、数学彫刻のかたちですね。

図 3

 追悼論文の最後は、こんな文章で閉じられています。

He considered himself not a creative artist but rather a discoverer, who explores mathematical spaces, and only selects interesting and intriguing structures that somhow had always existed. Besides showing the beauty of mathematics, his main goal was to make people wonder and think.

 おおよその意味は、「彼は自分自身を、創造的な芸術家ではなく、数学の世界にすでに存在している興味深い構造を探し出す発見者だと考えていた。 数学の美しさを示すことで、人々に不思議さや何らかの思いを持ってもらおうということを目指していた。」といったところでしょうか。

 Koos氏は今年2018年の3月19日に91歳で亡くなられたそうです。これまで、たくさんの興味深く美しい形を示していただいたことへの感謝と共にご冥福をお祈りいたします。



 Bridges2018の他の論文も少しずつ見始めています。日本からは今年は明治大学の阿原一志先生が参加されているようです。

<おまけのひとこと>
 昨日は妻の新しい車の納車でした。この週末は歯科通院があったり地区の草刈りの共同作業があったり、細かい予定があるのですが、その合間を縫って車に乗ってみようと思っています。






8月5日(日) 正方形で立方体を包む問題(その1)

 こんな問題を知りました。どこかで見たことがあるような気がするのですが、どなたかオリジナルなのかわかりません。

 1辺の長さが1の立方体を、1辺の長さが3の正方形で包むことを考えます(図1)。正方形には折り線や切り込みをいれてもかまいませんが、必ず「ひとつながり」になっていなければいけません。

図 1

 包むための正方形は3×3のサイズで、単位長さの格子の線が引かれています(図2)。この格子線(図2の青い点線)以外のところは折るのも切るのも禁止です。正方形は9枚ありますから、立方体の6つの面のうち、何カ所かは面が重なることになります。

図 2

 例えば、こんな風に4カ所をカットして折ってみます(図3、図4)。

図 3 図 4

 意味もなく途中までアニメーションにしてみました。

図 5

 これだと、立方体の上の面を覆うことができません。失敗です。

図 6 図 7

 パーツを2つに切り分けてもよいのであれば、3枚重ねになっている側面の1枚を切り取って上の面に載せればいいのですが、それは禁じ手です。

 ではどうしたらよいでしょうか?

(つづく)



 この問題のオリジナルはどなたなのかなあと思って少し検索してみているのですが、みつかりません。いわいまさか氏の正方形から立方体という記事の解答ページ(リンクは出題ページです)に、関連する情報がいろいろありましたが、私もこの解答のパターンは見たことがあったのです。(この問題の場合、ハサミで切るのは禁止ですが、折り線の位置は格子線に拘束されず、任意です。)

<おまけのひとこと>
 正解ではない手順を説明するための図をたくさん作ってしまいました。

 8月5日(日)の午前2時半過ぎに更新をしています。今日は7時から公民館周辺の草刈りです。昨日の土曜日は草刈り日和だったようで、午前中はそこかしこでエンジン草刈り機の派手な音が聞こえました。窓を開けているので、さすがに家のすぐ前の土手とかの草刈りの音はうるさいです。でも、そういう民家に近いところは朝8時とかまではやらないでくれています。(皆さんだいたい朝5時くらいには畑で仕事をされています。) なのでお気遣いいただいているのはよくわかります。

 今日8/5は息子の誕生日です。インターンシップで企業に行ったりしているようです。






8月6日(月) 正方形で立方体を包む問題(その2)

 3×3の正方形の格子線に沿って切ったり折ったりして1×1×1の立方体を隙間なく覆う話の続きです。今日は私が最初に考えた方法がうまくいかなかった、という内容のご紹介になります。

 格子線に沿ってひとつながりになるように切るやり方として、最初に思い付いたのが図1のような切り方です。黒い太線の部分をカットします。

図 1

 これだと9つの正方形は、中心から渦巻きのように枝分かれせずに「ひとつながり」になっています。ここで、切らなかった点線の部分をすべて90度になるように折って行ったらどうなるでしょうか? まずは最初の状態(図2)から右側2枚の正方形を立てるところから始めます(図3)。

図 2 図 3

 (昨日のCGは適当に試行錯誤しながら作ったのですが、今日のCGは8つのジョイントの角度を指定すると全体のかたちが決まるようなプログラムを組んでみました。なので、いろいろなかたちを角度の指定だけで描けるので楽しいです。)

 この後の4つの図(図4〜図7)はgifアニメーションです。次に2番目のジョイントをほぼ90度になるように折ります(図4)。これで立方体の1つの頂点に集まる3面ができました。さらに、4つ目のジョイントを折ります(図5)。これで立方体の4面ができました。

図 4 図 5

 残った正方形を素直に立方体に沿って折り曲げてゆくと(図6、図7)、あれ、すでにある面に全て重なってしまって、2つの面はあいたままでふさがりませんでした。失敗です。

図 6 図 7

 図1のスタートの切り方が間違っていたのでしょうか?

(つづく)



 昨日8/5(日)の朝4時前くらいに昨日の更新をサーバに転送したのですが、ちょうどその作業をしているとき、まだ外は真っ暗なのに何かパチパチと遠くで音がするのです。いったいなんだろうと思って窓から外を見ると、火が燃えていました。

図 8

 この写真はもっと明るくなってから、4時半過ぎくらいに撮ったものですが、畑の隅で草刈りで刈った草を燃やしているようでした。確かに早朝ならば気温も20℃くらいなので、暑い昼間に燃やすよりはましなのかなと思いました。煙が来る方角ではなくて助かりました。

<おまけのひとこと>
 8月6日(月)の朝に、8/6〜8/8の3日分の更新をしています。次の更新は週末かな…

 「立方体を覆う正方形」の話、解答は次回の更新になります。

 8月5日(日)の朝は地区の草刈りに行ってきました。






8月7日(火) リスーピア紹介動画

 リスーピアのサイトの冒頭に、リスーピア施設紹介という動画が公開されていました。こちらのコンテンツのページや、こちらのYouTubeのサイトhttps://www.youtube.com/watch?v=H70kI97gUEMにも同じ動画があるようです。

 全部で2分30秒くらいのこの動画の1分53秒付近から6秒間くらい、先日6月16日のワークショップの様子を入れていただいてありました。(当日、「リスーピアの紹介のための動画に用いるためのビデオ撮影をさせていただきます」と伺っていました。)

図 1

 私も2秒間くらい映っていました。

図 2 図 3

 こんな工作をしてくれた参加者の作品も載せていただきました(この写真では手元の作品だけの画像にしました)。

 楽しそうにやっていただいた方が多くて良かったです。



 たくさんいただいた枝豆をさやから外しました。私が3分の2くらいやって、後は妻がやってくれました。

図 4

 枝豆ごはんにしてもいいし、浸し豆にしてもいいし、サラダにトッピングしてもいいし、うーん、嬉しいです。

<おまけのひとこと>
 日曜日の夕方、私が余計なことを言ってしまって残念な週末の終わりにしてしまいました。物言えば唇寒し…。






8月8日(水) カードマジック(その1)

 今日から始める話題は、Bridges2018の論文がネタ元です。



 最初に、どんなマジックなのかを観客の視点から言葉でご説明します。

1.演者はトランプ1セットを数回シャッフルした後、上から5〜6枚のカードを、表が見えないように下向きのまま取り分けます。取り分けた5〜6枚のカードを完全に混ぜて順番がわからなくなるようにします。(目をつむったままだとより効果的です。)

2.会場から2名の協力者を募って、演者の手元の5〜6枚のカードからそれぞれ1枚ずつ引いてもらいます。

3.演者は手元に残った数枚(2枚減っています)を見ずに最初に取り分けた残りのカードに加えて、完全にシャッフルしてわからなくします。

4.二人の協力者はそれぞれのカードを見せ合って、その合計の数字だけを演者に告げます。このとき、A(エース)は1、J(ジャック)は11、Q(クイーン)は12、K(キング)は13とします。

5.演者はその結果を聞くと、たちどころに2枚のカードが何なのか言い当てます。

 例えば「合計の数値は14です」と告げられたら、演者はただちに「それはクラブのエースとハートのキングですね」と言い当てるのです。これは大変不思議なことです。合計が14になる組み合わせはたくさんあります。7と7かもしれないし、2とクイーンかもしれません。また、ハート・ダイヤ・スペード・クラブのどのスーツ(マーク)かもわかりません。

 もちろんこれはマジックですから、タネも仕掛けもあるのです。少なくとも演者が自分で取り分ける最初の5〜6枚、これが完全にランダムであれば、上記のマジックは成立しないのは明らかです。そこにタネと仕掛けがある、と考えるのが自然です。

 では、どんなタネと仕掛けがあれば、このマジックを実現できるでしょうか? 2名の協力者が選んだカードを裏から識別するような仕掛けは必要ありません。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 日曜日に本屋さんに行って、本をたくさん買い込んできました。その後で雑貨屋さんに寄って、ノートとコースターまで買ってしまいました。






8月9日(木) 正方形で立方体を包む問題(その3)

 3×3の正方形の格子線に沿って切ったり折ったりして1×1×1の立方体を隙間なく覆う話の続きです。この話題に関して2通ほどメールをいただいていて、感激しています。ありがとうございます。



 前回の更新で「このパターンから始めたらうまくいかなかった」という例をご紹介しました(再掲図)。実はこれはカットするパターンが悪いのではなく、その後の折り方が悪かったのです。

再掲図

 答を書いてしまいますが、これは図1のように折ってゆくと立方体の展開図の1つのかたちにすることができます。(赤い点線で谷折りします。90度ではなく180度折るのがポイントです。)

図 1

 ここまでくれば頭の中だけで立方体が組めるイメージが作れると思います。この展開図は表と裏の色が混在していますが、裏返すと色は全部そろっていますので、単色の立方体を作ることができます。



 実はこの問題、解がたくさんあります。いったい解はいくつあるんだろう?と思って考えてみました。

 まず、何カ所切ればよいのかを考えます。正方形は9枚、その間をつないでいる点線は12本ありますが、それを頂点(点)と、頂点をつなぐ線の表現(いわゆる「グラフ表現」)に変えてみました(図2)。

図 2

 そうすると、正方形の間に切り込みを入れるのは、グラフにおいて辺を取り除くのと同じことになります(図3)。

図 3

 条件は「ひとつながり(単連結)になっていること」です。頂点の数が9なので、辺の数は少なくとも8なければ単連結にはなりません。また、辺の数が9本以上だとループができてしまいます。従ってカットするのは4カ所、ということになります。

 では、カットする場所の候補12カ所のうち、4カ所を切るパターンは何通りあるでしょうか? もちろん回転したり裏返したりすると同じになるものは同じと考えます。また、必ず単連結になっていなければなりません。単純に12カ所のうち4カ所を選ぶ選び方は17,820通りありますが、この中には条件を満たさないものや、回転や反転で同じになるものがたくさんあるはずです。

 どうやって数えようかなあと思ったのですが、中央の正方形の4つの辺のうち、何本をカットするかで場合分けすることにしました(図4)。

図 4

 中央の正方形の辺は1本も切らないパターン、1辺だけ切るパターン、2辺を切るパターンは2種類、3辺を切るパターン、の5通りが考えられます。(4辺を切ると真ん中の正方形がくり抜かれてしまって「ひとつながり」ではなくなってしまいます。)

 最初に中央の正方形の辺は0本の場合です(図5)。4通りありました。

図 5

 次に、中央の正方形の辺を1本だけカットするパターンです。図6、図7の8通りみつかりました。

図 6
図 7

 意外と数が少ないです。手作業で探索してもなんとかなりそうな感じです。

(つづく)



 中央の正方形の辺はカットしないパターンが4つしかないことは、こんな風に図示してみるとわかりやすいです。

図 8

 4本の青いカット線のうち、1本の位置を変えてみましょう。4隅の正方形を切り落とすことになるような配置はできませんし、中央の正方形の辺を切ることもできません。そうすると、どの青線も、移動できる先は1つしかないことがわかります。図8は、どれか1つの青線を移動したときにどのパターンになるのかを示しています。

 これと同じ構造になっている「首飾り順列」の例を考えてみました。図9のような、オセロの駒のように表が白で裏が黒の平たい円柱を考えます。

図 9

 これを4つ、首飾りのようにつないで、4カ所それぞれの表裏を変えた時、本質的に異なる配置が何種類できるかを考えてみると、図7とまったく同じになっていることがわかります。

図 10

 図10右は4つとも黒ですが、この裏側は4つとも白になっているので、全黒と全白は同じです。また、中央の「黒3白1」は、「黒1白3」と同じです。

 これ(図9、図10)は、「中央の正方形の辺を切らないパターンは本当に4種類しかないんだよね」ということを確かめているときに連想したので、ご紹介しておこうと思いました。

<おまけのひとこと>
 8月11日(土)の朝に、8/9,8/10の2日分の更新をしています。ちょっとくどくどと図の多い回になってしまいました。






8月10日(金) 正方形で立方体を包む問題(その4)

 3×3の正方形の格子線に沿って切ったり折ったりして1×1×1の立方体を隙間なく覆う話の続きです。昨日の「ひとこと」から、カットするパターンを全部数え上げてみよう、という試みをご紹介しています。

 昨日は、中央の正方形の辺のうち、1辺も切らないパターンと1辺だけ切るパターンをご紹介しました。今日は残りのパターンをご紹介します。

 まずは中央の正方形の隣り合う2辺をカットするパターンです。6通りあります。

図 1

 このパターン(固定の中央の正方形の2辺)は左上から右下の対角線が鏡像対称になるので、それを意識しながら残りの2本の配置を考えます。「ひとつながり」というのがとても強い拘束条件になっているため、かなり数が絞られます。

 ちなみに、先日の「展開図が正方形の凸多面体」について最大値の予想をメールで下さったKさんから、図1の右上のパターンから立方体ができますね、というメールをいただきました。ありがとうございます。その通りですね。

 次に中央の正方形の向かい合う2辺をカットするパターンです。これも6通りあります。

図 2

 最後に、3辺をカットするパターンです。これは4通りあります。(左右対称なのでわかりやすいですね。)

図 3

 以上、昨日の分も含めて全部で28通りありました。(おお、完全数だ! ま、意味はないですけれども。) この中で折り曲げて立方体になるパターンはどのくらいあるでしょうか? この問題を考えるとき、立方体の展開図(図4のように11通りあります)を見ながら考えると多少楽かもしれません。

図 4

 今のところ、28通りのパターンのうち半分以上は立方体ができそうだということがわかりました。「できる」というのは1つ例を示せればOKなのですが、「できない」ということを言うにはどうすればいいでしょうか? ヒントになりそうなのは、図4の11の展開図のうち、3×3マスにおさまっているものは1つもない、ということかなあと思っています。

(つづく)



 お盆休みのラッシュを少しでも緩和するための試みとして、高速道路の休日割引適用が、本来の8月11日(土)、12日(日)から 9日(木)と10日(金)に変更されているそうです。そのせいか、8月10日(金)の高速道路はいつもより交通量が多い気がしました。

<おまけのひとこと>
 歯医者さんで、新しく作っていただいた詰め物を詰めてきました。今度は取れてしまわないといいなあと思っています。






8月11日(土) 正方形から立方体:Kohfuhさんの作品

 このところご紹介している「3×3の正方形を格子線に沿って切ったり折ったりして1×1×1の立方体をつくる」話に関して、パズルデザイナーの(とご紹介してよいのでしょうか)佐藤洸風(Kohfuh Satoh)さんから、Kohfuhさんご自身の過去の作品についてなど、いくつか情報をいただきました。ありがとうございます。本日はその話をご紹介しようと思います。

 こちらがPaper Puzzle Packという、2012年〜2013年にデザインされた作品だそうです。パズルショップ・トリトのこちらにも掲載されています。残念ながら現在は品切れのようです。

図 1:PaperPuzzlePack(by Kohfuh)

 トリトさんのページの画像を掲載させていただきます。4枚重ねになっていますが、そのうちの2枚が3×3の正方形からサイコロを作る、“Flat Dice”というパズルだそうで、今回の「3×3の正方形を格子線に沿って切ったり折ったりして1×1×1の立方体をつくる」問題の発展形のデザインになっています。

 このパズルの場合はすでに必要な部分はカットされていて、問題は「指定の6面が表になるような立方体にするにはどこをどう折ったらよいか」というフォールディングパズルのジャンルの問題になっています。

 通常のフォールディングパズルは指定された面だけが表になるように平らに折り畳むというものですが、このようにゴールが立体になっているフォールディングパズルというのは珍しいのではないかなあと思いました。

 Kohfuhさんのデザインはエレガントで美しくて洗練されていて、とてもセンスが良いのです。こういうのを「才能がある」と言うのだろうなあと思います。教えて下さってありがとうございました。



 Kohfuhさんからのメールで、上記の“Flat Dice”のルーツ(?)も教えていただきました。

これの発端となったのが、中央の空いた3x3から立方体を作る問題で、
これも一部に切り込みがありました。
芦ヶ原伸之さんの『究極のパズル』に載っています。

 このメールを拝見して、「ああそうだった!」と思いました。あわてて自分の『究極のパズル』の冊子を持ってきました。

図 2

 ああ、確かに46ページの「問題61」、記憶にあります(図3の左下)。

図 3

 この本は30年以上前に入手して、それ以来何度読み返したかわかりません。この「あそびをせんとや」で十数年にわたってご紹介している様々な話題の多くがこの本に載っている情報に関係しているのではないかと思います。あらゆるジャンルのパズルの基本となるトピックが押さえられている本だと思います。

 この問題は、真ん中の正方形は切り落とした8つの正方形の輪(1箇所切り離されています)をうまく折り畳んで立方体を作りなさい、というものです。

図 4

 久々にこの『究極のパズル』を取り出したので、またざっと目を通しました。改めてこれは本当に良い本だと思います。Kohfuhさんありがとうございました。



 ちなみに、図4のかたち、端から順に90度ずつ折り曲げてゆくのではうまくいきません。

図 5

(単にこのCGを作りたかっただけです。)

<おまけのひとこと>
 8月12日(日)の朝に、8/11と8/12の2日分の更新をしています。ようやく更新のタイミングの日にちの遅れがなくなりました。今週は毎日更新できるといいなと思っています。






8月12日(日) 正多面体を包む:正方格子から三角格子へ

 3×3の正方形から立方体を作る問題、これを他の正多面体に置き換えたらどうなるのかなあ、とぼんやり考えてみました。どうなると思いますか?

 まずは正四面体です。これは1辺の長さが2の正三角形の中央に1辺の長さが1の正四面体を置くと、そのまま包むことができます。簡単すぎてパズルになりません。

図 1

 その次、というと(立方体は考慮済みなので)正八面体ということになります(図2)。

図 2

 新しい図を作らなくても良かったのですけれども…

 「正方形から立方体」のとき(再掲図)の発想をそのまま拡張してみます。

再掲図

 素直に考えるとこうかなあ、と思いました(図3)。ルールは正方形の時と一緒で「全体がひとつながりになるように単位正三角形の辺に沿って切って、残った辺を折って正八面体を隙間なく覆って下さい」です。

図 3

 これだと、大きな正三角形(1辺の長さが4)は、16枚の単位正三角形を持っているので、正八面体の8面に対してちょっと余裕がありすぎるかなあと思いました。そこで、正方形の時を参考にしながら、いくつか変化を考えてみました(図4)。

図 4

 図4の(a)に対して、穴を開けてみたり(b)、大きな正三角形の3頂点を切り落としてみたり(c)したらどうなるかなあと思ってちょっと考えてみました。(a)は解がありそうですが、(b)や(c)は解があるでしょうか? 問題としてもっと面白い案はあるでしょうか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 このお盆休みは、買ったはいいが「積読」になっている本を読もうかなあと思っています。






8月13日(月) 三角格子の用紙を作る

 1辺の長さが4の正三角形の用紙の格子に切ったり折ったりして正八面体を作る、というのを試してみています。頭の中だけで考えると見落としが起こりそうなので、実際に紙を用意して試行錯誤してみることにしました。

 用紙はどうしようか、三角方眼紙から切り抜こうか、それともプリンタで印刷して準備しようかなあとも思ったのですが、そんなことをしなくても折り紙の手法で作ればいいと気が付きました。その辺にある余っているA4サイズの用紙から、下の図のようにして折り出すことにしました。(画素数の大きい図で申し訳ありません。ファイルサイズはそれほど大きくないと思います。)

図 1

(1).  最初に縦に4等分します。
(2).  4等分した縦の細長い帯をさらに二等分するように折り筋を付けます。
(3).  (2)で付けた折り筋に長方形の角が合うように、いわゆる“30°― 60°折り”をします。
(4).  今折った直角三角形の短辺に合わせて、図の赤線を谷折します。
(5).  赤丸印のところが合うように折ります。
(6).  いったん広げます。
(7).  今つけた折り線(青い線)に、長方形の右上の辺が合うように折ります。
(8).  これで大きな正三角形ができました。これをハサミやカッターで切り取ります。
(9).  最初に付けた縦に4等分した折り線が残っています。
(10).  縦の折り線を利用して、他の2方向にも4等分する折り線を付けます。
(11).  1辺の長さが4の正三角形の格子ができました。

 こうやって作ったものの写真です(図2)。折り線だけいれたもの(左)と、大きな正三角形の頂点の3つの小さな三角形を切り落としたパターンのものと、切り落とさずに切り込みだけ入れて正八面体のかたちに組んだものを写真に撮ってみました。

図 2

 A4サイズの用紙から作ると、正三角形の1辺の長さはだいたい6cmくらいになります(A4サイズの短辺の長さは210mmですので、計算上は約6.06cmになります)。切り込みを入れて試行錯誤するには適切な大きさだと思います。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 こういう図を描くのが楽しくて、ついつい1時間近くかけて図を作ってしまいました。今ならYouTubeとかに動画で投稿というのが主流の方法なのだと思いますが、動画は手順の全体を俯瞰できないのが今一つ好みではありません。






8月14日(火) 三角格子上の正三角形の中心/正三角形を格子に沿って折って正八面体をつくる

 昨日、A4の用紙から正三角形を切り取るための補助線を折る方法をご紹介しました。その用紙を使っていろいろ試していたら、三角格子の上の1辺の長さが5の正三角形から、切り込みを入れず、折り線は三角格子に沿ったもののみでしっかりした正八面体が作れることがわかりました。今日はそのあたりのご紹介です。



 三角格子の上にいろいろなサイズの正三角形を描いたとき、その中心はどうなるんだろう? とちょっと疑問に思いました。1辺の長さが2の正三角形の場合(図1左)、中心は下向きの単位正三角形になります。また、一昨日にご紹介したように、1辺の長さが4の場合は(図1右)、中心は上向きです。

図 1

 では、それ以外のサイズだとどうなるでしょう? 普通の正方格子の上の正方形ならば辺の長さが偶数なら中心は頂点になりますし、奇数ならば中心は正方形になります。三角格子だとどうでしょうか?

















































































 1辺の長さが3から8の6パターンの図を作ってみました。

N=3 N=4 N=5
N=6 N=7 N=8

 ご覧のように、1辺の長さが3の倍数の時(N=3,6,9…)は中心は頂点になります。3で割って1余る数の場合(N=1,4,7…)は中心は上向きの三角形になります。そして3で割って2余る数の場合(N=2,5,8…)は中心は下向きの三角形になります。いかがでしょうか、頭の中だけで当たり前にわかりましたか? 私はN=5以上のときの中心が頭の中だけでイメージできなくて、実際に三角格子を眺めながら考えました。Nが大きくなってくると直感的に中心がわかりにくくなるのです。



 三角格子上の正三角形から正八面体を作る試みですが、5単位25個の正三角形から始めると、切り込みを入れなくても、格子線に沿って折るだけでしっかりした正八面体を作れることがわかりました。

図 8
図 9

 もちろん、外に出る面は8面なので、残りの17面は内側に折り込まれます。可能な折り方はたぶんものすごくたくさんあると思いますので、適当に折ってゆくだけでもなんとかなります。ただ、最後に開いてこないようにロックするように折るのはちょっと工夫が必要かもしれません。上の図のものは適当に折っているので、作り方は再現できません。

 こういった試みは、『折り紙の幾何学』(伏見 康治,伏見 満枝 著)にあったような気がするなあ、でもあの本に載っていたのは正六角形から出発していたような気もするなあ、などと連想しました。まあでもきっとすでにどなたかが発表されているだろうなあと思います。

 この方法(三角格子で切り込みを入れずに格子線に沿って折るだけ)で正二十面体は作れるでしょうか? できるとしたら、どんなサイズの用紙から始めればいいでしょうか? できないとしたらそれはなぜでしょうか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 大学三年生の息子が帰省してきました。約一週間、滞在する予定のようです。私は17日から仕事です。






8月15日(水) 神之峰城を訪ねて

 今日はいつもとはちょっと違う話題(単なる日記)です。



 13日の夕方から帰省してきた息子は日本史を専攻しているのですが、ゼミの先生から神之峰城というのが面白いと言われたのだそうです。お盆休みなので一緒に行ってみることにしました。

 神之峰城というのは長野県の南部、飯田市にあります(図1)。

図 1

 もうちょっと拡大するとこんな感じです(図2)。中央高速道の飯田ICから、JR飯田線と天竜川を越えて東に車で30分程度です。

図 2

 目的地付近の地理院の地図です(図3)。山頂の三角点は772メートルという表示があります。等高線は10m間隔なので、南側と西側の川の谷底までは150mくらいの標高差がある感じです。独立峰で見晴らしがよさそうです。頂上付近まで車で上れそうですが、おそらく道は険しいのだろうな、と思いました。

図 3

 神之峰城は山城です。戦国時代に武田信玄に攻め落とされた後は再建されなかったようです。山城なのにそこに屋敷も構えて城主が住んでいたというのが珍しいのだそうです。戦に有利で見渡しがきく地形ですので、普段の生活はしにくい場所です。不思議なことに独立峰の頂上付近だというのに湧水が出る池もあったそうです。

 神之峰城が落城した際の武田方には武田軍の軍師として有名な山本勘助もいたのだが、神之峰城が堅固な城だったため、「兵糧攻め」ならぬ「水攻め」をした、といったことが書かれているサイトもありました。(こういう話は、今も昔も尾ひれがついて広まったりするので真相はよくわかりませんが、歴史の専門家ではない自分は素朴に「ふーん、なるほど」と思ってしまいます。)

 頂上付近の案内板に載っていた城跡略図を写真に撮ってみました(図4)。 見晴らしの良い場所なので、NHKや民放のテレビ塔がたくさん建っています。そのメンテナンスのためにもアクセス道路が必要なのだろうなと思いました。

図 4

 本丸の北側にある、「上久堅郷土歴史資料館」の前に車を停めました(図5)。 想像通り道路は車1台分の幅しかなく、小さい車で来て正解でした。

図 5

 「上久堅郷土歴史資料館」は、月・火・金がお休みで、お盆とお正月もお休みということで閉館中でした。高床式のデザインの建物で、今度は入館できる日に再訪してみようと思いました。

 城跡は公園になっているのですが、訪れる人はあまりいない感じです。図6の左に上ってゆく道や、図7の斜面に張り付くような自然石の石段など、とても楽しいですが、それなりの装備で来ないとちょっと危険な感じです。

図 6 図 7

 そこかしこにクモの巣があって、それを払いながら進む感じでした。

 出丸や南小屋のあたりから、南〜西〜北西と見渡してみました(図8、図9)。

図 8
図 9

 この後、1時間ほど城郭の中を歩き回りました。この日は午前中は比較的気温が高くなく、25℃くらいだったのですが、それでも汗だくになりました。今度は秋とか春とか、もっと気候が良いときに再訪したいと思いました。



 ちょっと検索してみると、神之峰城 〜伊那の城〜というページがありました。このページはすばらしいです。 



 昨日は午前1時くらいに目が覚めて、そのまま昨日の三角格子の図を作ったりしてこのページの更新をして、午前4時くらいから30分ほど仮眠をとって(もっと寝ていたいのですが年齢のせいかすぐ起きてしまうのです)、朝5時前から6時半くらいまで妻と庭仕事をしました。別に一緒にやると決めていたわけではないのですが、それぞれ勝手に起きてきて、妻は前庭のバラの剪定、私は裏庭の隣の家に入りかけている木の枝を落として片付ける作業をしました。伸び放題の雑草を抜いていたら、庭にハチの巣があって、10匹くらいのハチがせっせと巣を増築中でした。危険なので殺虫剤でハチを追い払って巣を撤去しました。

 火曜日はゴミ収集日なので、雑草や木の枝などの園芸ごみ(4袋ありました)を出しに行って、それからシャワーを浴びて、起きてきた息子と朝ご飯を食べて、朝7時半過ぎに家を出ました。飯田ICが午前9時過ぎ、神之峰城に着いたのが9時半くらいで、10時半過ぎまで城郭巡りをしました。

 息子が、神之峰城の城主の知久氏ゆかりの「文永寺」にも行きたいというのでそこにも行きました(図10)。

図 10

 午後は飯田城址に行って柳田國男館を見学したり長姫神社にお参りしたりした後、家に戻りました。途中岡谷ジャンクションあたりで交通事故があったらしく、13km渋滞といった情報があったため、伊那ICで降りて高遠から杖突峠経由で帰りました。

 なかなか盛沢山の一日でした。

<おまけのひとこと>


 今日8/15は諏訪の花火大会があって、諏訪地方は大変混雑します。こういう日は遠出はしないに限ります。






[←2018年7月後半]  [↑表紙へ]  [2018年8月後半→]

[Home]-[以前のひとこと]-[2018年8月前半]
mailto:hhase@po10.lcv.ne.jp
2001-2018 hhase