以前の「ひとこと」 ： 2022年2月後半
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2月16日(水) 三角格子の一目刺し(その1)
一目刺しのパターンの発展です。
先月、一目刺しのパターンをいろいろ研究してみたのですが、その三角格子版を検討してみることにしました。まずはCGで作成した図を２つほどご覧ください。
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| 図 1：X{0},Y{0},Z{0} |
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| 図 2：X{0},Y{0},Z{1} |
これ、どのように描画しているかというと、以下の図のようにして描いています。(画像はクリックすると拡大します)
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| 図 3 |
三角格子を用意して、それぞれの格子の線の上に２つおきに太線を描いていきます。正方格子のときは１つおきでした。正方格子の時にはX,Yの2方向に、0,1の列でコード化できました。三角格子の場合はX,Y,Zの3方向があって、それぞれ0,1,2の３文字の列でコード化することになります。
準備ができたので、いろいろなバリエーションを検討してみたいと思います。
2月14日の朝の写真です。（雪かきを2時間やってくたくただったのですが、このパズルの配置を記録しておきたくて写真を撮りました。）
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昨年の6月の父の日に子供たちから貰った A-Puzzle-A-Day を、妻か私のどちらかが毎日必ず（前日の夜に）やっています。右側の4x4の正方形の領域を3つのピースで作れたので、今週後半(18日〜21日)が非常に楽です。
昨年12月にも、3ピースの構成はちょっと違いますが同様に4×4の正方形を3ピースで作れて、とても便利だったのでした。
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この4×4の領域を回転・反転させることで、5,6,11,12,13,14,18,19,20,21,26,27 の12日の解がかんたんにわかります。
デイリーポータルZの灯油ストーブで調理する日々という記事を読んで、真似して焼き芋を焼いてみたのです。妻が焼き芋が好きでよく買ってきて食べているので、焼きたてのお芋は喜んでくれるかなあと思ったのです。
在宅勤務で、自室を灯油ストーブで暖めています。アラジンのブルーフレーム(というストーブ)を愛用しています。昔、雑誌「暮しの手帖」で評価が高く、実家でも使っていて、そのころからのファンです。ガードの無い古いデザインのものを使っています。サツマイモをアルミフォイルでくるんで、ときどき向きを変えながらじっくり焼きます。この技は昔、母からも教わりました。
上記の記事では2時間半と書かれていますが、1時間半くらいで充分でした。美味しく焼けました。ところが、妻は焼き芋が焼けるときのにおいがダメなのだそうです。焼き芋は好物なのに焼けるにおいが苦手というのは私にはよくわかりませんが、そういうこともあるんだなあと思いました。残念ながらストーブでの焼き芋は1回限りになりました。確かに好物の食べ物でも調理の過程を見たくない（生き物をさばくところとか）というのはあるよなあと思いました。こういう「生理的にダメ」というのは理屈ではないので、やむを得ません。
何度もやるつもりだったので写真を撮らなかったのだけが少々心残りです。
＜おまけのひとこと＞
玄関のひさしに積もった雪が危ないので、2階の部屋の窓から雪を落としました。
2月17日(木) 三角格子の一目刺し(その2)
一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
昨日のつづきです。三角格子の三方向の直線上に、2つおきに太線を描いてゆきます。昨日は下の図0aのように、三角格子の水平線(X方向とします)が1段上がるごとに（1時の方向）太線が始まる位置が常に変わらない（ずっとオフセットが0）の例を考えました。今日は図0bのように、1段あがるごとに太線が始まる位置が１つずつずれる場合を考えます。
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| 図 0a：X{0} | 図 0b：X{012} |
まずは3方向ともオフセットを揃えた場合です(図1)。
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| 図 1：X{012},Y{012},Z{012} |
六角格子になりました。
次に、X,Y,Z のうち1方向だけ、オフセットをずらしてみました。図2はYをずらしたものです。
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| 図 2：X{012},Y{201},Z{012} |
4時方向に連結なパターンになりました。２つが揃っていて１つだけずれているのですが、ずれているものがX方向だったりZ方向だったりすると、連結な方向が変わります。正方格子のときに X{0,1}:Y{0,1} は下図のようにマクロには右下がりの階段パターンになりましたが、オフセットを変えて X{0,1}:Y{1,0} とすると、マクロには右上がりの階段パターンになりました。それと同じです。
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また、正方格子のときには必ず2色で塗り分けられるパターンになりましたが、三角格子のときはこのように(図2)閉じた多角形領域にならない、太線の端点ができる場合があります。
さらに、X,Y,Zの3方向のオフセットを全て変えてみます(図3)。こんな小さな正三角形のパターンになりました。
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| 図 3：X{012},Y{201},Z{120} |
三角格子で、こんな風に背景の上に小さな閉領域ができて、かつ余計な線がないというのは珍しいのではないかと思いました。
1週間ほど前から、雪がたくさん降った後に日が照って雪が少し解けて、ということを繰り返しています。昨日の朝も少し雪かきしました。隣家の家の窓の外に、つららが成長しています。
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窓の縦方向の長さと同じくらいありますから、かなり長くて危険です。そのまま落下せずに消えてなくなってくれるのが一番いいのですが、落ちてきたら、場合によっては我が家の敷地に降ってくる可能性があります。しばらくその付近には近づかないようにしないといけないと思っています。
ここ数日、近所の飼い猫の茶色いトラ猫が恋の季節なのか、朝から夜中までのべつまくなしに大声で鳴き続けています。雪が降ったときにもその猫の足跡が家の周りにも残っていました。早朝も、午前中も、お昼頃も、午後も、夕方も、夜も、夜中も、未明の時刻にも、ひんぱんに「なあ〜ぉ、なあ〜ぉ、」という声が響き渡っています。
一昨日だったか、昼間に外の道を二匹で連れだって歩いているところの写真を撮りました(下左)。また、人間もたくさんしゃべると水を飲みたくなりますが、猫もそうみたいで雪解け水を舐めているところの写真も撮りました(下右)。
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私は猫が好きなので猫にはかなり寛大なのですが、さすがにちょっとこれはどうかと思っています。でも黙ってこの季節が過ぎ去るのを待つだけで、特に具体的に何かするつもりはありません。
＜おまけのひとこと＞
一番寒い時期を過ぎたので、軽く雪かきしておくだけで、昼間に日が照ると日なたの雪はだいたい解けてくれます。怖いのは雪解け水が凍っている日陰です。先日派手に転んで以来、特に慎重になっています。
2月18日(金) 三角格子の一目刺し(その3)
一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
三角格子版の一目刺しのパターンの表記法の説明がやや不十分だったと思ったので、最初に少し解説をしておきます。X,Y,Zは、正三角形の３つの頂点をそれぞれ原点(出発点)として、図1のように決めています。
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| 図 1：三角格子の座標定義 |
三角格子の一目刺しは、２つおきに太線を描きます。図2はXのオフセットが全て 0 の場合で、X={0,0,0,…} の例です。これを X{0} と表記することにします。図3はXのオフセットが 0,1,2 を繰り返すパターンで、X={0,1,2,0,1,2,0,1,2,…} の場合です。これを X{012}と表記することにします。(昨日の段階ではX{0,1,2}のように表記していましたが、X{012}に改めます。昨日の表記も更新しました。)
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| 図 2：X{0} | 図 3：X{012} |
また、X{0}、Y{0}、Z{0} のように、X,Y,Z のパターンが全て同じ場合は {0}3 と表記することにします。今日ご紹介するのはこの {…}3のパターンです。
というわけで３つほどご紹介します。
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| 図 4：{01}3 |
図4、2種類の3回回転対称パターンが面白いです。
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| 図 5：{0121}3 |
図5、繰り返し構造の単位がどこなのかわかりますか。これも面白いです。
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| 図 6：{012210}3 |
図6、これは周期構造がわかりやすいと思います。図4や図5は背景(図と地のうちの地のほう)の上に、樹状の3回回転対称パターンが点在していましたが、図6は背景は存在せず、合同なピース（ちょっと余計な枝がありますが）1種類によるタイリングになっています。
…ここまで書いたところで、この表記では不十分ではないかと思い至りました。もう少し考えます。
Wordle という英単語を当てるゲームの派生として、麻雀版のMahjong Handleというのをやってみました。オリジナルのWordleと同様、6回までの入力で麻雀の上がり形を見つけて下さい、というパズルです。（解を入力する欄が下の図では3行しかありませんが、その上は入力してしまったので隠しました。）
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麻雀牌は34種類あります。たった6回の試行ではとても解にたどり着けないのではないかと最初は思いました。でも、「牌を並べる順序は決まっている」「麻雀の上がり形になっていなければならない(手役がなければ上がれない)」という条件だけで、意外と解けるということがわかりました。3例ほどやってみましたが、初めてやったときには5回かかりましたが、2問めと3問めはいずれも4回の回答で解に到達できました。逆に、どんな解答パターンだと6回の試行だと厳しいのだろう？ と思いました。1回の試行で雀頭以外は全て牌の種類が異なる上がりパターンは簡単に想定できますから、1回の試行で最大で13種類の牌が使われているか否かをチェックすることができます。あとは正解の位置の情報をうまく使えば、かなりの確率で試行6回以内で解答を一意に絞り込むことができそうな気がします。
麻雀のルールや役を知らないとできないパズルですが、ご存じの方なら楽しめると思います。
＜おまけのひとこと＞
昨日は外部団体の会議で、すこし話過ぎてしまいました。反省…
2月19日(土) 三角格子の一目刺し(その4)
一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
一目刺しというのは日本の伝統的な刺繍の手法の１つです。一定の間隔で同じ方向に刺してゆくのですが、三角格子の例では表側１に対して裏側２になるようにデザインしてみています。図1が3つの方向をそれぞれ別々に描画してみたものです。表側が濃い青で、裏側を薄青緑色で描画してみました。
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| 図 1x | 図 1y | 図 1z |
この3枚を重ねると下左の図2aになります。（これは先日もご紹介しました。）この図で、表側と裏側の糸の色を入れ替えると下右の図2bになります。
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| 図 2a：表 | 図 2b：裏 |
この右のパターン、籠目のパターンのように見えます。塗り分けてみました。
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| 図 2c：籠目パターン |
このパターン、鏡像対称性を持ちません。1つ上の図2a の歯車のようなかたちがありますが、これは鏡像対称性を持ちません。
一昨日にご紹介した六角格子のパターン {012}3 の「裏」です。菱形のタイリングパターンになっています。
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| 図 3a：表 | 図 3b：裏 |
小さな正三角形のパターン {012},{201},{120} の裏は、大きな正三角形のパターンになっていました。
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| 図 4a：表 | 図 4b：裏 |
Finding a Battleship of Uncertain Shape(未知の形状の「バトルシップ」をみつける)という論文を見かけました。紙と鉛筆で二人で遊ぶゲームの１つに「バトルシップ」というのがありますが、その艦船のかたちは通常は幅が１の長方形と決まっています。（もっと幅が広い「空母」とかを使うルールもあるそうです。）この論文では、船のかたちが長方形とは限らないことにしたら効率的な探索はどうなるのかを論じているようです。（すみませんまだ図を眺めたくらいで読んでいません。）
バトルシップとか海戦ゲームとか、この類のものを昔（中学や高校のころ）、友達とやったことがありました。Wikipediaに海戦ゲームというのが紹介されています。私が遊んでいたのはこちらに近いです。船舶は1マスしか占めておらず、そのかわり移動ができて、攻撃は船舶の位置の周辺にしかできない、というルールのものでした。
拡張ルールも含めて、一度ちゃんとルールを書いておきたいと思っていたのを久しぶりに思い出しました。昔、ラビリンスという紙と鉛筆で二人で遊ぶゲームのルールをご紹介したことがありました。(2001年ですから20年以上前です。) 学校で友達とこういうゲームをするのが楽しかったのを思い出します。でも今は電子ゲームがいくらでもできますから、こんな素朴な遊びはしないのだろうなと思います。逆にだからこそ記録しておきたいかなあと改めて思いました。
＜おまけのひとこと＞
2001年にこのサイトを開設したとき、サイト名を「あそびをせんとや」としたのはこういったあそびをご紹介したいと思ったからだったのでした。
2月20日(日) 三角格子の一目刺し(その5)、「あたまをつかった小さなおばあさん」
一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
三角格子の一目刺しのパターンの表記をこんな風に決めて、
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| 三角格子の座標定義 |
X,Y,Zの方向に2つおきに太線を描くいたものを用意して
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| x | y | z |
それらを重ねてみると、下の右のようなパターンや左のようなパターンができます。
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| 図 1a | 図 1b |
この２つの図、まるで違って見えますが、実はは水平方向の線の位置が1単位分だけずれているだけなのです。アニメーションにしてみました。
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| 図 2 |
太線が格子点の位置に来た時に一時停止させています。3単位分動くともとに戻りますから、３つのパターンができています。今、１つの方向だけを動かしていますが、Y方向やZ方向の線も動かしたとしても、これらの３つのパターン以外のものはできません。
ここでできている模様は鏡像対称性がなく、いくらずらしてみても、同じ回転方向のものしか現れないのです。それでは、下の図3のような図を描くためには、今定義している表記法ではどうしたらいいのでしょうか。
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| 図 1a(再掲) | 図 3：逆回転 |
参考までに、3方向全部の線を同じように動かすアニメーションも作ってみました。
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1単位分動くごとにちょっと静止させています。タイリングの単位図形ができる位置は少しずつ変わります。1単位ごと動かしたアニメーションも作ってみました。
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どこかの方向に平行移動しているというような見え方（仮現運動）の知覚は少なくとも私には生じませんでした。動いているのではなく、無関係な画像に切り替わったように見えます。
昨日、図書館に本を返しに行って、新たに本を借りようと思ったのです。ところが緊急事態宣言を受けて、図書館ではカウンターまでしか入場できず、カウンターでの返却手続きとあらかじめ予約した本の貸出しかできませんでした。知らなかったので予約などしていなかったため借りることはできませんでした。せっかく出かけたので、先延ばしにしていた床屋さんに寄って散髪をしてきました。さらに、茅野駅前の今井書店さんに寄ったのです。ここは良い本屋さんで、娘が中学生のときに職業体験でお世話になったこともありました。
この本屋さんは以前「暮しの手帖」で特集に取り上げられたこともあり(地方の小さな本屋さんが「暮しの手帖」で6ページもの記事になったというのは大事件だと思うのです)、特に児童書の品ぞろえが素晴らしいのですが、今回店頭でこんな本を見かけて思わず買ってきました。
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あたまをつかった小さなおばあさん がんばるとあたまをつかった小さなおばあさん のんびりする です。（ほかにも新書を1冊買いましたが、それはまたいずれ。）2冊とも2019年11月15日初版です。
あたまをつかった小さなおばあさんは1970年の本で、子どものころ愛読していました。よもや50年も経って続編が読めるとは思いませんでした。読み切りの数ページのエピソードが1冊あたり数話載っています。子供向けの大きな活字の本なので、一話あたりの長さは新聞の連載小説くらいかなあと思います。もったいないので一日に一話ずつ、ゆっくり楽しもうと思います。最近は気が長くなって、そういう楽しみ方ができるようになってきました。
ちなみに3冊並んでいたのですが、新しい2冊だけ買ってきました。今考えるとせっかくなので1冊目も買えばよかったかも、と思いました。
＜おまけのひとこと＞
今朝もまた雪かきをしました。湿った重たい雪でした。放っておいても大丈夫なくらい気温が上がりそうでしたが、運動にもなるしと思って1時間ほど汗を流しました。玄関に置いておいた手袋を、妻が暖房の前で乾かしてくれています。手袋を乾かすというと「ぐりとぐらのおきゃくさま」という絵本を思い出します。
2月21日(月) 三角格子の一目刺し(その6)、本
一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
昨日、下の２つのパターンをご紹介しました。先に答を書いてしまうと、左はX{0000…},Y{0000…},Z{0000…}（これを{0}3と表記したのでした）ですが、右は{210}3なのです。
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| {0}3 | {210}3 |
下の図をご覧ください。この表記法の定義は、X軸は右上がり方向でした。なので、鏡像対称のパターンを作ろうとすると、{0000…} が {210210…} と表記しなければならないのです。
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| X{0} | X{210} |
表記の定義の仕方がそもそも回転方向を持っていたのでした。でも、{0}3 の対称パターンが {210}3 というのは美しくありません。もうちょっとうまい表記方法がないか、考えてみたいと思いました。(すぐにはつづきは書けないと思います。)
昨日、この3フレームのアニメーションをご紹介したときに、「仮現運動の知覚はできなかった」と書きました。
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その後ずっとこれを眺めていたら、「画面の上方向にパターンが流れている」という知覚が生じてきました。さらにちょっと努力すると、画面下方向への流れも見えてきました。そう思って見る、というのがだいじです。
土曜日に茅野駅前の今井書店さんで買ったもう1冊は、講談社現代新書のフォン・ノイマンの哲学 人間のフリをした悪魔（高橋 昌一郎：2021）です。
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まだ半分くらいまでしか読んでいませんが、ノイマンの凄さが伝わってくるエピソードが満載です。あの時代（20世紀前半）にハンガリーが多数の天才を輩出したのだということがよくわかりました。ノイマンとは全く異なった生涯を送った同世代の数学の巨人であるあの放浪の数学者エルデシュも同世代で同じハンガリー出身であることから、第一章ではエルデシュの話も出てきました。
上記のサイトの「試し読み」から、この本の「はじめに」の13ページほどの全文を読むことができます。ここだけでも読んでみて下さい。読む価値のある面白い本だと思いました。
＜おまけのひとこと＞
昨日の夕方 book off で何冊か本を買ったのですが、そのなかのSF小説が面白くて、夜10時過ぎまでかけて最後まで読んでしまいました。いつもならとっくに寝ている時刻です。おかげで今日は少し遅くまで眠っていることができました。
2月22日(火) 三角格子の一目刺し(その7)
すみません、もう1日、一目刺しのパターンの三角格子版のつづきです。
先日、一目刺しパターンの「裏」のパターンをご紹介しました。以前掲載したパターンの「裏」がどうなっているか、ご紹介したいと思います。それぞれの図の左側の「表」パターンは、2月18日にご紹介したものです。
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| 図 1a : {01}3 表 | 図 1a : {01}3 裏 |
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| 図 2a：{0121}3 表 | 図 2b：{0121}3 裏 |
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| 図 3a：{012210}3 表 | 図 3b：{012210}3 裏 |
いかがでしょうか。パターンの対称性や構造が、表側だと比較的直感的に把握できるのに、裏側だとよくわからないと思いませんか。
周期性やパターンの構造がよくわからないので、同じかたちの領域に色を塗ってみました。
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| 図 1b：{01}3 裏 | 図 1c： 着色 |
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| 図 3b：{012210}3 裏 | 図 3c： 着色 |
こうしてみると、これらもきれいなパターンなのだな、と気が付きます。
デイリーポータルZに レイチェルクーのチョコミントがそのまんますぎるので真似するという記事がありました。レイチェル・クーの番組は妻がファンで、私も一緒に見る数少ないテレビ番組です。いつもものすごく鮮やかな色のワンピースを着ていたり、調理器具が微妙に日本と違っていたり、見ていて楽しいです。昔実家で使っていたガスオーブンはマッチを擦って点火していたな、などと懐かしく思い出したりしています。
＜おまけのひとこと＞
明日23日は週のど真ん中の祝日(休日)でありがたいです。
2月23日(水) 等周定理問題(その1)
今日は祝日なので、朝からのんびり数学の問題を考えたりしています。
コーネル大学が最新の論文を無償で公開してくれているarXivにはいつも大変お世話になっています。いろいろな論文を眺めて、面白そうな話題があると、それをきっかけにいろいろ調べたりしています。今朝、Finite variations on the isoperimetric problem(等周定理問題の有限のバリエーション) という論文が面白そうで、読み始めてみたのです。
論文の冒頭に、凸な平面図形の４つのパラメータとして a:area（面積）、p:perimeter（周の長さ）、w:width（幅）、d:diameter（直径）という４つの量を考えて、これらのうちのどれかを固定したときに別の量が最大もしくは最小になるような図形はどんなかたちか、という問題を考えてみよう、と書かれています。
実は私はここでいきなりつまづきました。「幅(width)」と「径(diameter)」って何が違うんでしたっけ？ “width and diameter” で検索してみると、自動車のタイヤの話がたくさんヒットします。タイヤは円柱のかたちをしていて、径といったら円の大きさのことですし、幅といったらタイヤの太さのことです。平面図形の width と perimeter の話とは違います。
調べてみると、「径(perimeter)とは、平面上の凸図形に対して、図形の両側から接する二本の平行線の間の最長距離である」「幅(width)とは、平面上の凸図形に対して、図形の両側から接する二本の平行線の間の最短距離である」ということでした。(こんな基本もわかっていなかったです。) 感覚的に言うと、「幅」というのは、平面図形がどこか狭いところを通り抜けようとしたときどこまで狭いところを通れるか？ という量です。「径」というのは、例えば平行光線をさえぎろうとしたときどのくらいの幅をさえぎることができるか、という量だと思うとわかりやすいです。
等周定理問題というのは「周の長さが一定の図形のうち面積が最大のものは何か？」という問題で、答は円だということは有名です。この論文で言うと、a,p,w,d のうち、p(周長)を固定したときのa(面積)の最大値を求めるという問題になります。
紀元前2世紀ころのギリシャの数学者のゼノドロス(Zenodorus)による等周図形に関する研究が残されているのだそうです。ゼノドロスは、
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ということを示しているのだそうです。ただし、数学的に厳密な証明は19世紀になるまで示されていなかったのだそうです。
まず、周の長さが等しい正多角形の面積がどのように変化するのか、グラフを描いてみることにしました。もちろん単調増加して、円の面積に収束するはずです。正N角形の中心から辺の中点に垂線を下ろします。この二等辺三角形の高さhは、下の図のようにNで表すことができます。
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| 図 1 |
ここから、周の長さが1の正N角形の面積をNで表すことができるので（上の図の赤い二等辺三角形N個分です）、Excelでグラフを描いてみました。
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| 図 2 |
周長1の円の半径を r とすると、2πr=1 なので r=1/(2π)です。これを円の面積の公式 S=πr2に入れると、周長1の円の面積は0.079577… となります。
さて、「周の長さが等しい正多角形は、辺の数が多いほど面積が大きい」こと（上のグラフが単調増加すること）はどうやって示したらよいでしょうか？
Webで公開されている4コママンガの『魔王軍はホワイト企業』のファンで、楽しみに読ませていただいています。このシリーズの始まりはこの回からだと思うのですが、人柄の良い「魔王」とその部下たちのエピソードが楽しいです。毎日1話ずつ公開されているのですが、数回から数十回に渡ってストーリーが語られることが多いです。最近だと、1か月以上続いた 大剣をすごく持て余している重剣士 が良かったです。
＜おまけのひとこと＞
お休み、ありがたいです。別に仕事が嫌だとか辛いとかいうわけではないのですが（むしろ最近は楽しいです）、でもやっぱりお休みはありがたいです。
2月24日(木) 等周定理問題(その2)
等周定理問題の話のつづきです。
紀元前のギリシャの数学者ゼノドロスが
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ということを示している、という話を昨日ご紹介しました。どんな論法でこれが示されているのか、少し調べてみました。こちらのThe Evolution of the Isoperimetric Problem(等周定理問題の進化：Victor Blasjo, 2005) という論文に、それに関して載っていたので簡単にご紹介したいと思います。
周の長さが一定(この場合は1とします)の正多角形を考えます。正多角形の辺の中点と中心を結ぶ線分hを高さと考えると、正多角形の面積は h/2 になります。
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| 図 1 |
ちなみにこの「多角形の中心からある辺までの距離h」は、英語では特定の単語 apothem(辺心距離) があるようです。(新しい単語で名付けるよりも、漢字で辺(Edge)心(center)距離(distance) と記述するほうが意味がわかりやすくて良いと思います。漢字文化の良い点だと思うのです。)
ゼノドロスの論理を説明している上記の論文によると、「正多角形の辺の数Nを増やしてゆくと、(周長は一定なので)1辺の長さは短くなってゆき(1/N)、下の図の二等辺三角形の頂角は小さくなってゆく(2π/N)。なので、Nが大きいほどこの三角形(図の赤い部分)の高さが高いのは自明である。」と述べられています。
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| 図 2 |
あれ、これって自明で良いのでしたっけ？ 周の長さが一定の正N角形の外接円の半径(上の図の赤い二等辺三角形の斜辺の長さ)は、だんだん小さくなるはずなのです。これもExcelで計算してグラフにしてみました。
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| 図 3 |
極限は周長1の円の半径ということになりますから 1/(2π) = 0.159155… です。結論(周長が一定の正N角形は、辺の数が多いほど面積が大きい)は正しいですけれども、この論理は不十分ではないかなと思いました。（私が参照した論文が読めていないだけかもしれません。）
2つ目の「円は、周の長さが等しいいかなる正多角形よりも面積が大きい」は、ゼノドロスはなんと上の結果(周長が一定の正N角形は辺の数が多いほど面積が大きい)を用いずに示しているのだそうです。アルキメデスが円周率を求めるときに用いた、正多角形の内接円と外接円を用いて説明しています。
3つ目の「任意のN角形のうち、面積が最大なのは正N角形である」は、まず「底辺の長さが同じで周長が同じ三角形のうち、面積が最大なのは二等辺三角形である」
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| 図 4 |
ということを示してから、それを一般のN角形に拡張してゆくという論法を取っているようです。これも面白いです。
今年の元日に、「科学者の目」という本をご紹介しました。昨日、本屋さんに行ったらこの本があったので喜んで買ってきました。
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書棚のスペースが限られる地方の本屋さんで、この本を置いてくれているのは素晴らしいなと思いました。子どもの本のコーナーではなく、科学書のコーナーにありました。一通り読んでみました。忘れている内容もけっこうありました。
＜おまけのひとこと＞
夜中に起きていて、明け方眠ってしまったため、今朝は遅くなってしまいました。まずい…
2月25日(金) 等周定理問題(その3)
等周定理問題の話のつづきです。
周長定理（平面上の閉曲線で囲まれた領域の周の長さと面積の関係）というのは、以下の不等式で表されます。
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この不等式が等号になるのは、領域が円のときに限られます。(if and only if Ω is a circle) (← “if and only if” という言い回しが数学の本や論文でよく使われます。)
これは、ラグランジュの未定乗数を使って変分法(calculus of variations)で示されます。領域Ωの周の曲線をCとします。Cをパラメータtを用いて(x,y)座標で表すことにして、tが0から1でちょうどΩの周囲を一周することにします。閉曲線なので、最初(t=0)と最後(t=1)は同じ座標になります。
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線積分とグリーンの定理から、周長Lと面積Aは次のように表されます。
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すみません、私のサイトは数式は高校生でもわかるレベルまでということを暗黙の前提にしているのですが、ちょっとはみ出しているかもしれません。
このあたりの話は検索するといくらでもわかりやすい解説が出てくるのでこの辺でやめますが、この結果、
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が示されます。この２つは、同じ L2≧4πA の条件のうちの L と A のどちらを固定するか、という話です。水面に浮かぶ油の膜の縁が円になるのはこの原理ですし、１つ次元が上がってシャボン玉が球になるのも同じ原理です。
ここまでは領域が１つの場合の話でした。では、領域が２つになったらどうでしょう？２つがくっついたシャボン玉を見たことがあると思います。あのかたちはどんなかたちなのか、同じ原理で計算することができるのです。
結論だけご紹介しますが、２つのシャボン玉の断面は、３つの円弧になります。そして、交点Pでは3つの円弧の成す角は120°になります。２つのつながったシャボン玉の境界面が球面であること、それもどちらのシャボン玉の半径とも異なる（どちらよりも半径が長い）球面になること、というのは必ずしも自明ではないと思います。
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これも等周定理問題の考え方で導くことができるのです。こちらのTHE STANDARD DOUBLE SOAP BUBBLE IN R2 UNIQUELY MINIMIZES PERIMETER(JOEL FOISY, MANUEL ALFARO GARCIA, JEFFREY FARLOWE BROCK, NICKELOUS HODGES AND JASON ZIMBA : 1993) で議論されています。
また、こちらのDouble bubblesというページには興味深いCGの図が載っています。はるか昔、このページにリンクしたことがあった気がするのですが、みつかりませんでした。
このあたり、調べていくとどんどん面白い話が出てきます。
＜おまけのひとこと＞
もう１つトピックを書こうと思っていたのですが、時間切れです。
2月26日(土) 球の細密充填(その1)
径が同じ球をたくさん、3次元空間内に詰め込む話です。
同じ大きさの球をきっちり積み上げたり箱に詰めたりすることを「球の充填問題」とか「球のパッキング問題」などと呼びます。果物屋さんの店頭でオレンジのような丸い果物をきれいに積み上げたり、お月見の「おだんご」を三角錐のかたちにきれいに積み上げたりするのが良い例です。西洋では「砲弾問題」(cannonball problem)と呼ばれて、球状の大砲の弾丸をきれいに積み上げるパターンについての研究が16世紀くらいからあるのだそうです。
結晶学では「面心立方充填」(FCC:face-centered cubic)とか「六方最密充填」言われるパターンが有名です。１つの球に注目すると、周辺には12の球が接しています。FCCの構造をCGにしてみました。中央の球を赤にしています。
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| 図 1 |
手前の３つの球を１つずつ外してみましょう。
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| 図 2a | 図 2b | 図 2c |
さらに、赤い球も外してみましょう。どんな構造なのかイメージできますでしょうか。
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| 図 3 |
さて、この図1の状態で、中心の赤い球は12の周囲の球と接していますが、周囲の１つの球に注目してみると、赤い球以外の周辺の４つの球と接していることがわかります(図2a)。どの球も違いはありません。さて、この状態で、全ての球の接触状態を維持したまま、周囲の球の相対的な位置関係を変えることはできるでしょうか？ 言い換えると、「接触している球とは離さずに、接触していない球との距離を変えることはできるでしょうか？」
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| 図 4 |
具体的に言うと、上の図4で、青い球は緑の４つの球と中心の赤い球の５つに接しています。この5つの球とは接している状態で、直接接していない黄色い球との距離を変えることはできるでしょうか。もちろん、注目している青い球だけでなく、全ての球は同様に接触状態を保たなければなりません。全体を一様に回転させても、位置関係は変わらないのでダメです。
これを実験してみたくて、ジオマグを引っ張り出してきてこんな模型を作ってみました。
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| 図 5a | 図 5b |
これ、どこのマグネットの連結も外さずに、かたちを変えられるでしょうか？ この球の大きさと黄色いマグネットバーの太さを考えると、そもそも変形できる余地は少ないですが…
ちなみに私はこのジオマグを和菓子の箱に入れてしまっています。
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| 図 6 |
ジオマグはけっこう重たいので取り扱い注意です。
＜おまけのひとこと＞
週末なのでついつい遅い時間の更新になってしまいました。今日のトピックはその筋では有名な話らしいのですが、私は知らなかったので載せることにしました。
2月27日(日) FFCは安定(リジッド)か
1つの球に12個の球が接している状態は安定なのか、という話のつづきです。
「面心立方格子」(FCC:face-centered cubic)の１つの球の周囲に接する12球の位置は安定なのか（接触状態を保ったまま動かせるのか、それとも動かないのか）という話をご紹介しています。
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互いに接している球の中心どうしを結ぶとこんな構造になっています。（昨日はこれをジオマグで作ってみたのでした。）
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| 図 1 |
三角形は変形しませんから、三角形の面を張ってみます。そうするとこれは、互いに稜を共有する８つの正四面体の構造になっていることがわかります。単に面を張ったCGだとよくわからないので回転させてみました。
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| 図 2 |
この8つの正四面体は安定ではなく、相対的に少し変形可能なのだそうです。つまり「安定ではない」ということになります。Configuration Spaces of Equal Spheres Touching a Given Sphere: The Twelve Spheres Problem(Rob Kusner, Woden Kusner, Jeffrey C. Lagarias, Senya Shlosman : 2016) という論文の48ページに言葉で説明されています。簡単に説明すると、
まず、上下の２つの正四面体（図3の赤い部分）を固定します。
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| 図 3 |
北半球側の青い３つの正四面体(図4a)と、南半球側の緑の３つの正四面体(図4b)を動かすことを考えます。
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| 図 4a | 図 4b |
赤道面上にある６つの頂点を東西方向に動かすことを考えます。正四面体のかたちを維持するため、それぞれの頂点は1つおきに南北に少し動きます。
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| 図 5 |
実は私は最初、全部の正四面体が同じ方向に一斉に回転するという案を考えたのです。
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| 図 6 |
ところが計算してみると、これだとうまくいかないということがわかりました。それぞれの正四面体は厳密には離れていってしまうのです。たとえば、立方八面体の８つの正三角形を同じ方向に回転してゆくと正二十面体になるのですが、このとき、中心までの距離は小さくなってしまうのです。（下のアニメーションでは、中心までの距離を一定にして、逆に正三角形を徐々に拡大しています。）
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| 図 7 |
このかたちが安定ではないということがとても面白いと思ったのでご紹介しました。
昨日ジオマグで作ったこの構造、実はきれいにかたちを整えるためには正方形(正四角形)の4頂点を床にぎゅっと押し付けて同一平面上になるようにする必要がありました。
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裏を返せば、適当にこの形を作ると、一般には正方形の4頂点が平面上にない（つまり折れ曲がっている）ということになります。それでも成立するかたちがあるのです。かなり誤差の大きいいい加減な推測ですが…
もうちょっと変形の余地があるようにするには、頂点に相当する鉄球の径を大きなものに変えればいいかなと思うのです。ホームセンターとかに行けば鉄球が買えるかなと思いました。でも、この実験のためだけに13個の鉄球を買うのもいかがなものかと思い始めています。値段もそれなりにするでしょうし、重いでしょうし、後々邪魔なだけかな。ストローで骨組みの模型を作る、というのもありかもしれませんが、頂点間の距離が安定しなそうで、あんまり面白くないかもしれません。
＜おまけのひとこと＞
今日はCGをたくさん作ったので更新に時間がかかってしまいました。外ではまた雪が舞っています。幸い積もるような感じではないです。
2月28日(月) FFC構造をストローで作る
昨日の構造をストローで作りました。
昨日のこの構造が安定ではない、というのを体感したくて模型を作ることにしました。
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ジオマグで作ったこの構造の、金属ボールを大きくするという選択肢もあったのですが、
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もっと軽い力でかたちが変わるほうがいいなあと思ったので、ストローとタコ糸で作ることにしました。作るのに2時間ほどかかりました。
完成した模型を、正方形の面が床に接するように置いてみました。この向きで置くとかたちが安定します。
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| 図 1 |
一方、正三角形の面が床に接するように置くと、かたちが安定しません。図2aは大円(赤道面)に相当する六角形ができるだけ水平面になるようにした写真です。（でもうまくいっていないです。）
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| 図 2a |
図2bと図2cは逆に大きく変形してみたものです。連続的にかたちが変わります。
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| 図 2b | 図 2c |
思った通り、この構造がある程度動く（安定しない）ということを体感できました。昨日のアニメーションを再掲しておきます。
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図2bと図2cを交互に表示するとこうなります。
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| 図 3 |
この模型を作れて満足です。北欧のヒンメリというモビールがありますが、それに似ています。モビールはこんなふうにかたちが不安定だと良くないですけれども。
ちなみにこのストロー模型ですが、ちょっと太めの丈夫なストローとタコ糸で作っています。途中経過の写真は撮りませんでした。作り方は、1本のタコ糸で正四面体を順次作ってゆきました。
昔、ビーズの多面体を作ったときの考え方を使いました。2002年6月にビーズ多面体の糸の通し方：正四面体という記事を書いています。そのときの考え方にもとづいて、こんな図を作っておいて、それを見ながら糸を通してゆきました。図の左下の頂点が始点であり終点です。
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| 図 4 |
この通し方はあくまでも一例です。もう少し対称性が高い手順がありそうですが、これで良いことにしました。
ビーズのときは硬いテグス糸を通していたので簡単でしたが、長いストローに柔らかいタコ糸を何度も通すのは大変です。試行錯誤した挙句、糸の先を軽く結んでセロテープをちょっと巻いておいて、アルミの自在ワイヤー(こちらで使ったもの)で押すとうまく通りました。自在ワイヤーはふたたびコイル状に巻いてしまってあります。便利です。
＜おまけのひとこと＞
暗いニュースが多くて気持ちが沈みます。