以前の「ひとこと」 ： 2021年8月後半
8月16日(月) キャストパズルG&G、双子のあやとり、他
8月後半です。今日はあやとりの話がメインです。
長野県内の本屋さんのチェーン店の平安堂で8月13日から15日の3日間、文具や雑貨が20％割引になるというチラシ広告が入ってきました。平安堂にはパズルも売っているので、雨が上がったところで行ってみることにしました。ハナヤマのキャストパズルもあるのですが、おそらく売れ筋の有名どころが15種類くらい置かれていて、ほとんどが持っているものでした。キャスト G&G は持っていなかったので、買ってきました。
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しばらくいじっているうちに外すことはできました。手順の印象が残っているうちに、なんとか初期状態に戻して妻に渡してみたら、やはりしばらくいじった後で「解けた」といって外れた状態で渡してくれました。
改めて戻そうと思っているのですが、まだ戻せません。ちなみに、銀色のほうのピースの回転を阻害する突起(4か所)のうちの1か所に、バリが残っていて触ると痛いのです。このバリだけはやすりで削ってしまおうかなあと思っています。キャストパズルは手触りが重要なので、この品質は残念です。過去にはそういうことはなかったのですが。
このような鏡面仕上げの対象物の写真を撮るのは難しいです。組み合わさった写真も撮ったのですが、映り込みがきれいでなかったので載せるのは諦めました。背景にしているハンカチは、デザインが立方体の斜視図みたいで好みの柄です。10年くらい前に家族から誕生日に貰ったものです。
たくさんの星 というナバホの伝承あやとり作品があります。今年の3月24日にご紹介した写真を再掲します。「たくさんの星」では最初の構えの直後に親指で取る糸は小指の手前です。そのかわりに人差指の向こうの糸を取ると、Fig.2 のように上段左右の糸の折り返しが単純交差になります。
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| Fig.1 : Many Stars | Fig.2 : Variation |
このFig.2 のほうの「たくさんの星もどき」を同じ糸から２つ取ってみました。全ての手順を省略せずに説明してみることにしました。
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| hh210816-1 双子の「たくさんの星(もどき)」 |
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説明が長くてすみません。これは今年の5月連休に作って、写真を撮って手順も書き留めておいたのです。当時撮った写真が気に入らなかったので、今朝この手順通りに取り直して、手順が間違っていないことを確かめて写真を撮り直しました。
この手順、よくあるあやとりの本のように各ステップごとに写真を撮って取り方を説明していたら、膨大なページ数になってしまいそうです。文字で取り方の手順を表記できるのはありがたいなあと思います。
昨夜も近所で花火が上がっていました。ちょうど一週間前の8月8日(日)とは少し方角が違いましたが、いずれも自分の部屋の窓からよく見えました。
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| Pic.1 |
雨はほとんど降っていなかったのですが、湿度は非常に高くて霧がかかったような感じでした。また、部屋の窓からだとちょうど電線があって、残念でした。比較的ましに撮れたものを3枚ほど載せます。花火の写真は難しいです。
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| Pic.2 | Pic.3 | Pic.4 |
8月15日は例年だと諏訪湖の花火大会があって、諏訪湖周辺は大混雑するのですが、今年は大きな花火大会は無いので例年よりはずっと人が少なかったです。
＜おまけのひとこと＞今日は送り盆です。私は今やお盆らしいことは何もしていないのですが、送り盆だけは毎年お墓参りしています。今年はお墓のあたりや、途中の山や道が心配です。
8月17日(火) キャストパズルG&Gを戻した、あやとりディスプレイの試み
キャストパズルの話の続きと、あやとりを飾る方法に関する考察です。
キャストパズル G&G を引き続きいじってみています。振る舞いがだいぶ理解できてきた気がします。パッケージの写真と同じ、初期状態に戻すことができました。
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| CAST Puzzle G&G |
こんな風に立ててみたりするのも楽しいです。
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初期状態に戻ったので、「また解いていいよ」と妻に渡したら、「1回できたからもういい」と言われてしまいました。そうかぁ…
あやとりの話です。昨日に続いて、双子の○○シリーズをご紹介しようと思っていたのです。でも、違うことを書くことにしました。
あやとりのかたちを整えて写真を撮ったり飾ったりするために、マグネットボードを愛用しています。すでに何百枚も写真を撮っていると思います。でも、この方法だと平面的なあやとり作品しか飾れません。立体的な作品を立体の状態で飾りたいな、とずっと思っていたのです。関節が可動する手の模型を購入しようか、とか、こちらの POSABLE HUMAN HAND MODEL みたいにLEGOブロックのようなもので作ろうか、とか、ブックエンドにマグネットでフックを貼り付けてみたらどだろう？ とか、工作用のフレキシブルクリップ（クランプ）を使ったらどうだろう？ とか、いろいろ考えたのです。でも簡単に入手できてコストもあまりかからない良い方法が思い付かなかったのです。
ところが昨夜、突然良いアイディアが浮かびました。針金（アルミの自在ワイヤー）を使って手のかたちを作ったらどうだろう？ と思ったのです。さっそくやってみました。
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残念なことに、工作材料のストックがあまりなくて、片手分しか作れませんでした。仕方がないので ほうき を取って飾ってみました。
うーむ、もうちょっと工夫が必要そうですが、悪くなさそうです。もう一つ、逆の手を作って飾ってみたいです。これを思い付いたのがよりによってお盆休みの最終日の夜で、もうお酒も飲んでしまって材料を買い足しに行かれない時間でした。次の週末までおあずけです。
昨日は午前中は雨が上がっていたので、峠を越えて送り盆のお墓参りに行ってきました。車で片道1時間ちょっと、距離にして50キロくらいでしょうか。お盆休みの唯一の遠出でした。途中の道の駅でいつもの通りお墓に供えるお花を買ったくらいで、あとは誰にも会わずに往復しました。
峠は至る所で山から道路に水が流れ出していて、完全に山(森)の保水力の上限を超えている状態なのだとわかりました。数か所、路肩が崩れ始めそうな気配がある場所があって、工事用のコーンで近づかないように囲われていました。隣の峠は通行止めになっていて、私が通った峠が迂回路に指定されていたのですが、こちらもいつ通行止めになってもおかしくない感じでした。こういうとき危険を冒さずに引き返すという判断をするのは難しいことだなと改めて思いました。事故に遭ってまでお墓参りをしなければいけないと思う人は、私自身はもちろん親族にも故人にも誰一人いないはずなのですが。
＜おまけのひとこと＞15日(日) に続いて 16日(月) にも家の近くで花火が上がっていました。
8月18日(水) 立体パズル、双子のあやとり、他
木の立方体を接着して作ったパズルの話と、双子のあやとりの話です。
こんなパズルを自作してみました。
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| Fig.1 |
パーツはこんな3種類です。
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| Fig.2 | Fig.3 |
このパズル、2016年2月にアーテックブロックで作っていました。木で作ったものが気に入って飾っています。
「双子のあやとり」シリーズに話題を戻します。今日はもっとシンプルな二段ばしご です。
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| Two Diamonds |
これを同じ糸から２つ取ってみました。「はしご」系のあやとりは途中で「二本指の構え」になります。そこを出発点に取ることにします。今日は「二段ばしご」の取り方の詳細までは書きません。
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| hh210818-1 双子の「二段ばしご」 |
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頑張れば多分「三つ子」くらいまでは取れそうです。
なかなか晴れません。雨が小降りになったときにツバメが窓の外の電線に止まって身づくろいしていました。何枚か写真を撮ってみたのですが、あまり良い写真になりませんでした。ツバメは飛んでいる姿が美しいと思います。
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| swallow |
小鳥は食べ物を備蓄しないので、お腹が空いたら食べ物を取りに行かなければなりません。何日も食べないでいたら弱ってしまうでしょうから、多少雨が弱まったら食べ物を探しに出ないといけないのだろうな、と思います。無事に生き延びてくれるといいなあと思います。
パズル雑誌のニコリの創業者の鍜治真起さんが8月10日に亡くなられたそうです。こちらに掲載されていました。69歳だったそうです。まだそんなお歳でもないのに残念です。
＜おまけのひとこと＞わが身を振り返って、自分の健康寿命はあと30年あるのか、10年しかないのか、いやもっと短い可能性だってもちろんあるよなあと改めて思いました。やりたいことはできるうちにやっておかないといけないなあと思ったりしました。
8月19日(木) ペントミノ2D+3D(その1)、双子のあやとり
ハナヤマのパズルの話と、双子のあやとりの話です。
お盆休みに本屋さんで雑貨・文具が2割引きのセールをやっていたときに、ハナヤマのかつのうシリーズの、ペントミノ2D+3D を買いました。立方体を１つ、平面的につないだ12種類のピースのパズルです。いわゆるペントミノの厚みが１のもので、平面的にも立体的にも組めるというものです。
ペントミノはこの手のパズルでは基本で、すでにいくつも持っているのですが、厚みが１のものは確か持っていなかったはずと思ってつい買ってしまいました。テーブルの隅に置いておいて、何かの折になんとなくいじってみています。
8x8 の正方形に並べると4マス余ります。この4マスを中央に配置するパターンは確か65通りあるのですが、できるだけ同じ色のピースが接するようにしてみました。完全に成功はしていませんが、寒色系と暖色系で真っ二つになっているところがちょっと気に入っています。
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| Fig.1 |
逆に、同じ色のピースが接しないようにしたかったのですが、このパターン（8x8の中央4マスを空ける）だと解がなさそうです。
「同じ色が接しない」という条件で、8x8 の空きマスの位置を対称性を保ったまま変えてみたら解はあるだろうか、と思って見つけたのがこんなパターンでした。
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| Fig.2 |
これもいいなあと思っています。
ペントミノは便宜上、そのかたちに応じてアルファベット1文字の名前が付けられています。このハナヤマのペントミノのピースには、それぞれのかたちを表すアルファベットが刻印されていて、それも気に入りました。上の写真をクリックすると大きな(XGAサイズの)写真が開きますが、そうすると刻印が見やすいかと思います。
「双子のあやとり」シリーズ、四段ばしご でやってみました。
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| Four Diamonds |
これを同じ糸から２つ取ってみました。昨日の「二段ばしご」とほとんど同じです。 (2021年8月21日追記：当初記載した手順(黒文字)では不十分でしたので青文字で追記しました。）
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| hh210819-1 双子の「四段ばしご」 |
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かたちを整えるのが難しいかもしれません。マグネットボードを使うのがお勧めです。
＜おまけのひとこと＞JR川岸駅付近で発生した土砂災害の影響で、中央高速道の岡谷ジャンクションと伊北インターの間が災害通行止めになっていて、復旧の目途がたっていません。その影響で一般道が大変混雑しているそうです。通勤でその区間を利用している方が職場にも何人かいて、苦労しているようです。役割上、どうしても出社しなければならない方は大変です。
8月20日(金) ペントミノ2D+3D(その2)、双子のあやとり、他
ハナヤマのパズルの話と、双子のあやとりの話です。
ペントミノ2D+3D で遊んでみています。こんなパターンを作りました。6x5 の長方形を2セットです。
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| Fig.1 |
いずれも同じ色のピースが接していないのがいいなあと思います。これを２つつなげることで、
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| Fig.2 | Fig.3 |
5x12 や 6x10 （の同色ピースが隣接しない解）を作ることができました。写真はありませんが2枚重ねにして 2x5x6 にしてもいいです。
2x3x10 を作ってみました。ピースの色は気にしていません。
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| Fig.4 |
なんだかえんえんと遊べてしまいます。
「双子のあやとり」シリーズ、７つのダイヤモンド です。
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| Seven Diamonds |
このあやとりの双子を取ってみました。
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| hh210820-1 双子の「７つのダイヤモンド」 |
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網目のようなパターンのあやとり作品が好きなので、これも面白いと思いました。
京都のUさんから、先日ご紹介した 4x4x1 の正方形の板3枚にそれぞれ異なる切り欠きを入れたものを組むパズルの解を美しい図にして下さったpdfファイルを送っていただきました。ありがとうございます。感激です。一部を抜粋して掲載させていただきます。
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| Drawing by Mr.U from Kyoto |
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| Drawing by Mr.U from Kyoto |
すみません、誤解があったようですが、これは私が考案したものではないです。由来を調べ切れませんでした。こういうとき大変頼りしている石野さんのちょいとパズルでもにも見当たらないようです。
＜おまけのひとこと＞8月16日までお盆休みだったので、曜日の感覚が一日ずれてしまって、なんとなく今日が今週の平日の4日目の木曜日のような気がしていました。一昨日(18日)と昨日(19日)の曜日の表記が間違っていることに気が付きました。失礼しました。
昨日「復旧の見通しが不明」と書いた、中央道の岡谷ジャンクションと伊北インターの間ですが、ようやく開通したようです。ただ、鉄道はまだ復旧されていない箇所が県内に何か所もあるみたいです。学校の夏休みが短い長野県は今週末〜来週あたりから学校が始まります。通学の手段がなくて困っているという報道がありました。当たり前に存在していたものがなくなってしまうと本当に困ります。
8月21日(土) ペントミノ2D+3D(その3)、双子の四段ばしご
ハナヤマのパズルの話と、双子のあやとりの話です。
ペントミノ1セット(5単位×12ピース=60単位)を 8x8 の正方形の枠に入れると4単位分の空きが出ますが、その位置を対称的に配置するときの解の数を調べてみるとこんな風になっています。
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| Number of Solutions to pentomino |
ハナヤマのペントミノ2D+2D の配色で、これらのパターンで、4色の同色のピースそれぞれが必ずお互いに辺で接しているパターンができないか、探してみたのです。A,B,C のパターンには解がなさそうでした。もともとの解の数の多い D は、かなり惜しいものがいくつも見つかりました。
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| Fig.1 | Fig.2 | Fig.3 |
この３つのうち、ほんの少しの部分的な変更で「同色のピースが必ず辺を共有してひとつながり(単連結)になっている」状態にできるものがあります。どれだかわかりますか？
「双子のあやとり」シリーズ、一昨日に「双子の四段ばしご」をご紹介しましたが、出来栄えが良くなかったのと、何より手順の説明が不十分だということがわかったので再度掲載します。この手順で取った場合、フリップ処理を2回ずつやらないとダメでした。
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| hh210821-1a 双子の「四段ばしご」 |
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未確認ですが、内側に向かって四段ばしごを作るのではなく外側に向かって作ると、フリップ処理は1回ずつで足りるかもしれません。
もう少し短い糸で同じものを取ってみました。
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| hh210821-1b 双子の「四段ばしご」 |
このパターン、気に入って飾ってあります。このあやとりひもは長さといいすべり具合といい柔らかさ(硬さ)といい写真写りといい、とても使いやすいのですが、こうして飾ってしまうと使えなくなるので残念です。この際この写真を印刷して飾ろうかなあと思ったりしています。
あやとりひも、同じブランドの色違いを買っているのですが、面白いことに色によって硬さや滑らかさ、ささくれやすさなどが違うのです。
A Massive Crocheted Canopy Provides Shade for a Shopping District in Malaga(編み物製の巨大な日よけがマラガの商店街に日陰をつくる) という記事がありました。これは華やかですね。
マラガってどこだろう？ と思ってちょっと調べてみました。スペイン南部の地中海に面した都市で、ジブラルタル海峡の近くのようです。「近くってどのくらい近いんだろう？」と思って、くらべ地図を利用して同じ縮尺の関東地方と比べてみました。(このページの他の写真等もそうですが、下の地図もクリックすると拡大します。)
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マラガからジブラルタル海峡までの距離は、だいたい東京から静岡(市)と同じくらいな感じです。よく聞く地名としてはセビリア(Sevilla)とかグラナダ(Granada)とかが地図の中に見えます。ちょっとだけわかった気になりました。
＜おまけのひとこと＞週末なのでのんびり更新をしています。
8月22日(日) ペントミノ2D+3D(その4)、「四段ばしご」もどき
ハナヤマのパズルの話と、あやとりの話です。
8x8 の正方形のかたちにペントミノのピースを配置するとき、ペントミノの「かつのう」のピースの色分けで、１．同色のピースが必ず辺で接する条件(Contact Solution)と ２．同色のピースが辺を共有してはいけない条件（Not Contact Solution）を考えて遊んでみています。昨日、「同色が必ず接する条件」で、3色までが条件を満たしている例をご紹介しました。実はこのうちの3つ目が、2ピースを入れ替えるだけで条件を満たすようになるのです。
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| Fig.1a | Fig.1b |
昨日、先日も立体パズルの解の美しい図を送って下さった京都のUさんから、下記の4パターンの「同色接触解」と「同色非接触解」の数と、解の図そのものを送っていただきました。ありがとうございます。感激です。
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| Number of "Contact", "Not Contact" Solutions by Mr.U. |
さらにUさんからは、鏡像対称性を失くして回転対称にした下記の3パターンに関しては「同色接触解」と「同色非接触解」も存在しないと教えていただきました。
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私も対称性を減らした別なパターンを作ってみました。これは「同色接触解」はなさそうですが、「同色非接触解」がみつかりました。
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| Fig.2 |
ペントミノは古くからたくさん調べられていますが、こうしてちょっと遊んでみるのは楽しいです。
「四段ばしご」つながりで、以前「二本指の終了処理１」というのを研究していた時にできたあやとりをご紹介します。
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| hh210822-1 「四段ばしご」もどき |
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これは一見「四段ばしご」そのものに見えると思います。同じなのか違うのかを調べようと思って、２つ並べて作ってみました。
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| 上：「四段ばしご」もどき 下：「四段ばしご」そのもの |
この写真の上側の大きいほう（赤い糸のもの）が、上記の手順で取ったオレンジ色のものと全く同じものです。写真下側の小さいほう（青い糸のもの）が、通常の「四段ばしご」そのものです。違い、わかるでしょうか。（写真をクリックして拡大するとわかりやすくなると思います。）
図形中央の x字型 の部分が、図形の外周（上下の水平の糸）の手前側にあるか向こう側にあるかの違いがあるのです。 今日ご説明した手順だとこのような違いが現れますが、「四段ばしご」と全く同じになるように手順を工夫することもできます。このアプローチだと、はしごの段数を増やしてゆく手順がより自然になります。
昨夜のNHKのテレビ番組の「ブラタモリ」で、「諏訪?なぜ人々は諏訪を目指すのか??」 というのをやっていました。妻が教えてくれて、めずらしく一緒にテレビを見ました。地質学や岩石の話など、大変興味深かったです。
番組の中で片岩(へんがん)というのが出てきましたが、私はこれは頁岩(けつがん)というのだと思っていました。改めて自分が頁岩と片岩の違いがわかっていないことに気が付きました。昔、宮沢賢治に憧れて岩石の知識を身につけたいと思ったことがあります。アーサー・ランサムの「ツバメ号とアマゾン号」のシリーズでも、6巻と11巻に採鉱や化学分析の話が出てきます。王水(濃塩酸と濃硝酸を3:1の体積比で混合した液体)が貴金属をも溶かすという話はアーサー・ランサムで初めて知りました。
でも結局、石に関する知識は身に付きませんでした。
＜おまけのひとこと＞今日も遅い時間の更新になってしまいました。
8月23日(月) 図形の問題、あやとりディスプレイ、他
図形の問題とあやとりを飾る話です。
Youtubeでこんな問題を見かけました。
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| Find the total area of the three yellow triangles. |
合同な正三角形を４つ底辺が一直線上になるように頂点を共有しながら並べて、一番左の正三角形の左下の頂点と、一番右の正三角形の上の頂点を直線で結びます。この直線で３つの正三角形が２つに分けられますが、そのうち上側の３つの領域の面積の合計を求めなさい、という問題です。ただし最初に並べる正三角形の面積を６とします。
面白かったです。ちなみに動画はこちらのTriangles In A Rowで、再生回数は26万回を超えています。私は自分で導いた解が合っているのかを確かめるために動画をほぼ最後まで飛ばしてみたので、動画の解き方は確認していません。(私は純粋に幾何の問題として解きました。)
先週、針金を曲げて手のかたちを作ってあやとりを飾ってみるというアイディアをご紹介しました。妻が材料を買っておいてくれたので、もう片手分を作ってみました。
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| Flexible Aluminum Wire |
材料は100円ショップのダイソーに売っている「アルミ自在ワイヤー」(径3.0mm、長さ2.1m)です。余長部分はコイル状のままにして、自立させるスタンド代わりにしています。
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| Hand models with wire |
まずは日本の伝承あやとりの 網 を作って飾ってみました。
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| Decorate a string figure |
うーむ、いろいろ課題は多いです。もう少し立体的な作品を飾ってみることにしました。
ハナヤマの「かつのう」シリーズのペントミノ2D+3D の最終回です。 8x8-4 のパターンの同色接触解、同色非接触解の探索からちょっと離れて、こんなパターンの同色非接触解を作ってみました。
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| Fig.1 |
ポリオミノは楽しいです。
＜おまけのひとこと＞月曜日になりました。今週もがんばらないと。
8月24日(火) 最大・最小の問題、あやとりディスプレイ(その2)
数学の問題と、あやとりを飾る話の続きです。
Pinterest だったかでこんな問題を見ました。
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a,b,c は自然数（正の整数）だとして、1/a + 1/b + 1/c = 1/4 のとき、 a+b+c が最大になる場合と最小になる場合の値を求めなさい、という問題です。見かけたのは「最大値」のほうの問題でした。最小値も考えるといいよね、と思ったので両方出題することにしました。解は明日ご紹介します。
ちなみに自然数N、整数Z、有理数Q、実数R、複素数Cという集合はよく使われますが、独特の白抜き文字で表記されることが多いと思います。私は数式を描くときは PowerPoint の数式機能を使うことが多いのですが、あれをどうやって表示したらいいんだろう？ と思って調べてみました。
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| How to draw with PPT’s math editor |
こんな風にやると出せるということがわかりました。
昨日ご紹介した針金を曲げて手のかたちを作ってあやとりを飾ってみるというアイディアですが、チャマの家 を取って飾ってみました。今年の2月20日に写真をご紹介しています。奇しくも使ったあやとり紐も同じな気がします。
「家」の屋根の部分を引き上げる糸は、本来指定されている人差し指ではなく中指に掛けました。また、輪が指の先端にかかるように、中指の先に透明な輪ゴムを巻いています。
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| Fig.1 |
わりと感じが出ている気がします。ある程度左右に力をかけないとあやとりパターンがきれいに張らないので、タコ糸でちょっと左右に引っ張ってみています。
斜めから見下ろしてみました。
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| Fig.2 |
視点を下げて、より立体的に見えるようにしてみました。
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| Fig.3 |
輪ゴムを掛けてみたり土台を引っ張ってみたり、見栄えをよくするために地味に工夫をしています。立体的に見えるようになったのは進歩なのですが、もう少しなんとかならないものか、と思いました。
昨日の４つの合同な正三角形に1本の直線を引いてできる３つの小さな三角形の面積の和を求める問題、京都のUさんから「面白いですね」というコメントと共に解の解説のドキュメントを送っていただきました。ありがとうございます。私が解いたのとほぼ同じアプローチでした。「おもしろい」というのが共感してもらえるのはとても嬉しいです。
＜おまけのひとこと＞先週だったか、朝の出勤の車内でFMラジオをつけたらC.Ph.E.Bach（エマヌエル=バッハ）のフルートとヴァイオリンのトリオソナタをやっていました。この曲そのものは実際にやってみたことはありませんが、トリオソナタいいなあ、楽しそうだな、と思いました。ギャラント様式と言って、重厚なバロックのポリフォニーに対して優美で明快なホモフォニーの音楽様式です。エマヌエル=バッハは、あのJ.S.Bach（セバスチャン=バッハ、いわゆる大バッハ）の次男なのですが、当時は大バッハより音楽家としてずっと有名だったそうです。
8月25日(水) 最大・最小の問題(解説)、あやとりディスプレイ(その3)
数学の問題と、あやとりを飾る話の続きです。
昨日のこの問題（a,b,c を正の整数として、1/a + 1/b + 1/c = 1/4 のとき a+b+c が最大になる場合と最小になる場合の値を求めなさいという問題）、
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まず、変数を１つ減らして「a,b を正の整数として、1/a + 1/b = 1/4 のとき、a+b の最大値と最小値を求めなさい」という問題を考えてみます。2変数なので、グラフを描いてみることにしました。
青い双曲線が陰関数 1/x + 1/y = 1/4 を描いたものです。（x軸(y=0)やy軸(x=0)に極めて近いあたりに絶対値が非常に大きな解が存在しますがそれは今回は無視します。）この陰関数はxとyを入れ替えても同じですから、 y=x に関して対称になっています。双曲線の漸近線は x=4 と y=4 のところにあります。
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今回は a+b の値に注目していますから、双曲線 1/x + 1/y = 1/4 上の格子点を通る直線 x+y=p （y=-x+p）を考えてみます。グラフの緑色の傾き -1 の直線がそれです。
a+b の最小値は明らかに a=b=8 のときです。a+b=16 が最小値です。
一方、グラフから明らかなように、a>0 かつ b>0 になるのは x>4, y>4 のときです。さきほど x=8 を考えたので、格子点としては x=5, 6, 7 の3つの候補があります。この中で a+b の値が一番大きくなるのは x=5 のときであることは明らかです。計算してみると x=5 のとき y=20 となって、格子点を通っています。従って a,bが正の整数のとき、a+b が最大となるのは a+b=25 のときです。
同じことを三次元でやれば解が求まります。（すみません、時間切れです。）
立体的なあやとりを飾ってみる話のつづきです。針金のシルエットとあやとり紐だけというのは素敵なのですが、ちょっとわかりにくい感じもします。また、本来は手の甲の側の糸は手に隠れて見えないはずなのが見えているのが良くない場合もあります。
妻が「針金の手に手袋をはめさせてみたら？」と提案してくれて、白と黒の手袋を出してきてくれました。白い手袋をはめてみて、再び 網 を作って飾ってみました。
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| Fig.1a | Fig.1b |
人差し指から薬指の甲側を結ぶ糸が見えなくなった分だけ、より「網」らしくなったのは狙い通りです。でも、人間の手なら左右にしっかり引いてピンと張ったり、各指ごとに糸の長さを自然に調整したりしやすいのですが、このディスプレイだとかたちを整えるのが大変ですし、張力を高くしようとすると倒れてしまうのです。
この状態から甲の糸を掌側に落として「琴」にしてみました。
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| Fig.2a | Fig.2b |
自分の手の中で取るなら両手を左右に引いて糸の張りを調整すれば簡単にできるのですが、この場合はそれができないので、内側に落とした糸の余長を少しずつ引っ張って他のところに分配するという地味な作業が必要でした。
出来栄えは気に入らないですが、それでも立体的にあやとりを飾れるというのは面白いなあと思ったのです。もう少し別なあやとり作品でもやってみることにしました。
本日ご紹介したグラフはGRAPESというグラフ作成ソフトを使って描いています。2016年6月2日にご紹介していたのですが、そのときのリンクはNOT FOUNDになってしまっていました。私が使ったのは当時の ver.7.14 ですが、今は ver.7.77 になっていました。また、webブラウザ上で動作する GRAPES-light Web版 というのも公開されていて、公開作品がたくさんありました。インタラクティブにパラメータを操作できるようになっているものもあって楽しいですし便利です。これはお勧めです。
＜おまけのひとこと＞朝、外が明るくなる時刻がだいぶ遅くなってきました。今日は GRAPES をいじっていて思いのほか時間がかかってしまって、いま朝の5時過ぎなのですが、天気も悪いせいか外はまだ薄暗いです。
8月26日(木) 最大・最小の問題(解説つづき)、あやとりディスプレイ「ブロスバードの家」、他
数学の問題と、立体的なあやとりを飾る話の続きです。
一昨日にご紹介した「a,b,c を正の整数として、1/a + 1/b + 1/c = 1/4 のとき a+b+c が最大になる場合と最小になる場合の値を求めなさい」という問題、
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昨日は変数を1つ減らした「a,b を正の整数として、1/a + 1/b = 1/4 のとき、a+b の最大値と最小値を求めなさい」という問題をグラフを使って考察してみました。同じことを3変数（3次元）で考えます。
まず、a+b+c が最小になるのは a=b=c のときです。1/a が 1/4 の 1/3 であるということですから(ちょっとややこしい？)、a=b=c=12 のとき、a+b+c=36 が最小値です。
逆に a+b+c を最大にするのは、まず a が最も小さくなるときで、これは昨日の考察から a=5 でした。 このとき、 1/b + 1/c = 1/20 でした。 ここで、1/n = 1/(n+1) + 1/n(n+1) という恒等式が活用できます。
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続いて b が最小になるときは b = 20+1 = 21 です。このとき c は 20 × 21 = 420 となります。最終的に a=5, b=21, c=420 で a+b+c = 446 が最大値になります。
手袋をはめた針金フレームの手のモデルで立体的なあやとりを飾ってみました。取ったのは ブロスバードの家 です。
最初に、3月にご紹介した「ブロスバードの家」の写真を再掲します。
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改めてこのあやとりを取って、それを昨日の白手袋をはめた針金フレームの手に掛けてみました。
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| Fig.1a | Fig.1b |
残念ながら、完成したパターンをピンと張ることが難しいです。人間の手は両手の間に強い張力をかけることもできますし、それぞれの指の位置を立体的に微調整することも簡単です。また、指にかかる輪の位置を指の根元から先端までの間の任意の位置に変えたりすることも簡単です。でもこのディスプレイだとまず土台が安定しませんし、手の姿勢を変えるのもちょっと大変です。
下に敷いているのをカッティングマットではなくコルクボードに変えて、土台がずれないようにピンを打ってみました。
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| Fig.2a | Fig.2b |
若干安定度が増したかな、という感じです。Fig.1b と Fig.2b を比べてみると、若干張力を強くかけられるようになって、四角推の稜線の部分のあやとり紐が直線に近づいた感じがします。
改めて写真に撮ってみると、「小学生の夏休みの工作みたいだなあ」と思います。でも楽しいからいいのです。この「ブロスバードの家」、今週前半はずっと飾っておいたのですが、写真を撮って満足したのでまた別の立体的なあやとりを飾ってみることにしました。
また別の数学の問題です。XとYの２つの数（実数だと思ってください）を考えます。この２つを足しても（X+Y)、掛けても(X×Y)、割っても(X÷Y) 同じ値になるとき、XとYはどんな数でしょうか？
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今週ご紹介してきた逆数の和の問題は「正の整数」という条件が付いていましたが、この問題は整数とは限りません。
自宅内LANで、有線ネットワークと無線ネットワークの通信帯域や安定性の差が想像以上に大きかったため、在宅勤務時のネットワーク接続は完全に有線ネットワークに移行しました。これまでは毎回、朝ケーブルをセットして夜は撤去していたのですが、面倒になってきたので少し長いケーブルを再度買ってきて常設を前提に配線し直しました。快適です。
8月27日(金) 足しても掛けても割っても同じになる2数、あやとりディスプレイ「三角プリズム」、他
昨日の数学の問題の解説と、立体的なあやとりを飾る話の続きです。
昨日ご紹介した「２数X,Yを足しても（X+Y)、掛けても(X×Y)、割っても(X÷Y) 同じ値になるとき、XとYを求めなさい」という問題の解説です。
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まず、xy=x/y を変形してゆきます。
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x=0 (ただしy≠0)、y=±1 という条件が求まります。これを x+y=xy に順に入れてみます。x=0 を入れると 0+y=0 となって、y=0 になってしまうので題意に反します。 y=1 だと x+1=x となって、どんな x でもこの式は成立しません。最後に y=-1 のとき、x-1=-x となって、 x=1/2 という解が求まりました。
これも GRAPES でグラフにしてみました。
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ちなみに、x+y=xy を陽関数表示(y=f(x)のかたちに)するとこうなります。
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反比例のグラフ y=1/x を (1,1)だけ平行移動したかたちになっていることがよくわかります。
手袋をはめた針金フレームの手のモデルで立体的なあやとりを飾ってみる話、今日は 二人の男の戦い をちょっとアレンジした「三角プリズム」です。昨日に続いて3月にご紹介していたものです。
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改めてこのあやとりを取って、それを昨日の白手袋をはめた針金フレームの手に掛けてみました。
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| Fig.1 |
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| Fig.2 |
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| Fig.3 |
やはりピンと張るのは難しいですが、今もこのまま本棚の上に飾っています。
この手法で立体的なあやとりを飾るのは、親指小指が低くて人差し指もしくは中指が高いというパターンのものは相性が良いのですが、手首にかかる輪が重要だったり、小指を掌に握りこむような立体的なあやとりはうまくいきません。そういうものをディスプレイするにはもう少し工夫が必要そうです。
香りでスピード感が変わることを発見 〜レモンは遅い、バニラは速い〜というプレスリリースがNICT(国立研究開発法人情報通信研究機構)から出ていました。心理物理実験や生体計測実験(fMRI)によって、映像の主観的スピード感が香りによって変わることが示されたのだそうです。たいへん面白い現象です。
近年「錯視現象」というのが有名になりましたが、「香り」の環境をコントロールするのは難しいので、「香り」が認知にどのような影響を及ぼすのかという研究はあまりなされてこなかったと思います。面白い研究だと思います。
＜おまけのひとこと＞昨日妻がコロナワクチン接種の1回目だったのですが、私と同様、注射した側の肩が痛くて大変なようです。おそらく2〜3日でおさまると思いますが…
8月28日(土) 連立方程式、他
今日は小ネタです。数学の問題のご紹介と、雑談が２つです。
こんな問題を見かけました。
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上記の２つの式を同時に満たす xとyの組み合わせを全て求めなさい、という問題です。
昨日はワクチン接種の日だったので「特別休暇」（通常の有給休暇とは別に取得できる休暇）をもらって自宅にいました。ふと窓のほうを見ると、天井に窓とカーテンの影が映っていました。
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こんなところにこんな影ができたのを見たのは初めてな気がします。光源はもちろん太陽光ですが、何に反射しているんだろう？と思いました。 外を見ると、いつもとは違う向きに停めた車のフロントガラスに反射した光でした。
ちなみに写真左側には、収納の扉にホワイトボードを掛けてあるのが写っています。このうち３つはご紹介したものですが、ひとつはまだです。気に入ったパターンはこうして飾っておいて、それを上回る「飾りたいあやとり」ができたら、それと入れ替えるという方式にしています。
今朝、窓の外で鳩がさかんに鳴いていました。妻が「電線にとまっているよ」と教えてくれたので見てみたのですがみつかりません。どこにいるか教えてもらいました。窓に近づいて見上げないと見えない、高い位置にある電線に止まっていました。
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鳩は珍しくもない鳥ですが、でもこうして部屋の中からいろいろな鳥の声をきいたり、窓からいろいろな鳥を眺めるのは好きです。
＜おまけのひとこと＞今日も少し更新が遅くなってしまいました。ワクチン接種の2回目の翌日は副反応が出る場合があるということで警戒していたのですが、今のところ発熱等はありません。1回目と同様に注射した側の肩に筋肉痛のような症状は出ていますが、いまのところそれで済んでいます。
8月29日(日) Triangles in a row の発展、星型多角形あやとり(その1)、他
今日は先日の数学の問題の発展と、あやとりの話題です。
先週の月曜日に、こんな幾何の問題をご紹介していました。
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| Triangels in a row |
合同な正三角形を４つ、底辺が一直線上に並ぶようにかつ隣の正三角形と頂点を共有するように並べて、一番左の正三角形の左下の頂点と一番右の正三角形の上の頂点を直線で結んだ時、その直線で切り取られる左側３つの正三角形の上側の部分の面積の和を求めなさい、という問題でした。
いつも有益なコメントを下さる京都のUさんがこの問題をいろいろ調べて下さって、正三角形でなくても成立することや、この問題の発展形の問題を考案されたものを送っていただきました。本当にありがとうございます。
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| Triangels in a rowの発展形：問題作成 U氏(京都) |
直線が1本だけだったのが左右対称に2本になっています。同様に色のついた３つの領域の面積の和を求めて下さい、という問題です。図が美しくて、なんだか江戸時代の算額の問題みたいです。楽しく解かせていただきました。前回の問題の答えも含め、別途、ごく簡単な解説を用意しようと思っています。
五芒星のパターンを取ってみました。
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| hh210829-1 五芒星 |
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あやとり大全集（主婦の友社：野口とも）に「お星さま」というあやとり作品が載っていますが、それとは取り方の手順がちょっと違います。私のやり方は、普通のあやとりの手順に近いかなあと勝手に思っています。
五芒星ができたので、七芒星も取ってみることにしました。
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どんな取り方がいいでしょうか。
妻が、家の中で持ち歩ける読書灯が欲しいと言ってこんな製品を取り寄せました。品薄でなかなか入手が難しいのだそうです。USBケーブルで充電して使うのだそうです。
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雰囲気があって素敵です。
＜おまけのひとこと＞地元産のミョウガが安かったので(一袋あたり小さなものが15個くらい入っていて125円)、ふた袋買ってきて、一袋分を全部浅漬けにしました。数年前に単身赴任をしていた頃からいろいろな野菜の漬物を作るのが好きになって、味噌漬けにしたり塩もみにしたりして楽しんでいます。2日間であらかた食べ終えてしまいました。食べ切ったらもう一袋のほうも漬けようかなと思っています。今度は別のものに漬けようかなとか考えると楽しいです。
8月30日(月) 連立方程式の解、星型多角形あやとり(その2)、他
先日の連立方程式の話とあやとりの話です。
土曜日にこんな連立方程式をご紹介していました。
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今日はこの話の続きです。
x3+y3、x3-y3 の因数分解は有名です。分母がゼロでないことに注意しながら(x-y≠0、x+y≠0) 変形してゆくと、この連立方程式は円と反比例(双曲線)の交点を求める問題になります。
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式の１と２をプロットしてみると、それぞれが楕円であることがよくわかります。
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解は(x,y) = (2,3), (3,2), (-2,-3), (-3,-2) です。たいへんきれいな解です。
ちなみに t=x+y, s=x-y と変数変換して式を整理すると、 t と s に関して、良く見慣れた楕円の方程式 ( x2/a2 + y2/b2 = 1 )のかたちになります。
七芒星のパターンを取ってみました。こんな取り方にしました。
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| hh210830-1 七芒星 |
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短い糸で取ってがんばると、中央の七角形が正七角形に近いかたちにできます。写真のようにマグネットボードに固定するとかたちの調整ははるかに楽です。
また別の小鳥が電線に止まってさえずっていました。
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なんという鳥なのかはわかりません。
＜おまけのひとこと＞妻に「電線鳥日誌みたいだね」と言われました。確かに。
8月31日(火) プレゼント、星型多角形あやとり(その3)、他
月末なので軽い話題です。
独立して家を離れた子供たちから、妻と私に誕生日プレゼントが送られてきました。嬉しいです。私も妻も8月生まれで誕生日は2週間ほど離れているのですが、息子の誕生日が私の3日前、娘の誕生日は妻の1日前で、みんな同じ8月なのです。
私がもらったのは soil というブランドのFRESHENという珪藻土を用いた調湿脱臭機能を持つ置物です。
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かたちがとてもいいです。喜んで机の上に飾ってあります。（機能的にはこんなオープンな空間に置いてもあまり意味はないかも。）回転体で、陰影が美しいです。眺めていて飽きません。
もう１つ、星型七角形のパターンも取ってみました。
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| hh210831-1 星型七角形 |
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短い糸で取ると、中央の七角形がきれいにできます。
比較のために、一昨日と昨日にご紹介した五芒星と七芒星も再掲しておきます。
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| hh210829-1 五芒星 |
hh210830-1 七芒星 |
こういうのも楽しいです。
昔、何かに使おうと思って買ってあった細い角材があったので、付鴨居のように壁に軽く固定してみました。小さな「あやとりフレーム」を飾ってみました。
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しばらく前に取ったパターンあやとりは、パッと見て自分でも取り方がわからないものが増えてきました。全部記録は取っているので調べればわかるのですが、ちょっとそれも情けないかなと思いました。ちゃんと復習しないといけません。
＜おまけのひとこと＞月末なので軽い話題にしました。今日は燃えるゴミが出せる日で、妻が朝5時前から私の朝食のサンドイッチを作ってくれた後で庭の草取りをしてくれています。私は新聞紙でゴミ箱のインナー（中身のごみごと捨てられる、ゴミ箱にフィットした紙袋）の替えを作りました。これからシャワーを浴びて出勤です。6時には家を出られるかな。