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以前の「ひとこと」 : 2021年3月後半



3月16日(火) トーラスの表面をエリアに分ける(その1)

 3月も後半になりました。新しいトピックにします。



 こんなCGアニメーションを作ってみたのです。トーラスの表面を2色で塗り分けてみました。

Pattern 1

 これ、トーラスをいくつのエリアに塗り分けているでしょうか。1つのエリアは何角形でしょうか(頂点の数と辺の数は?)



 こんなパターンも作ってみました。

Pattern 2

 こちらは、分割されたエリアの数、それぞれのエリアのかたち(何角形?)はどうでしょうか。

 パターン1とパターン2は何が同じで何が違うのでしょうか?

(つづく)



 シシドユキオさんの空飛ぶ円盤を取ってみました。

 3月7日にご紹介したあやとりサガリバナ のパターンの1つ分です。

 完成直前の平面的で規則的なパターンです。二段梯子を縦にしたようなかたちです。

 好きなのですがなかなか覚えられない、すぐ忘れるあやとりです。



 いろいろなあやとり作品を取ってみるとき、作品によって都合がいい長さがあります。最近はこんな風に4種類の長さの糸を使い分けています。

 いずれも輪を二重にする操作を3回やって八重にしています。ちなみに糸を載せている切稜立方体のようなデザインのクッションカバー、お気に入りです。



 だまし絵風の形状を持つ有機分子による 強い円偏光発光色素材料の開発に成功(近畿大学) という記事があって、興味深く読みました。

 感想を書こうかと思ったのですが時間切れです。

<おまけのひとこと>
 今朝暖房を入れたら、「燃料切れ」のエラーが表示されてショックを受けました。今日は在宅勤務なのですが、どうしようかな。(まあ他にも暖房の手段はいくつもあるので大丈夫なのですが。)






3月17日(水) トーラスの表面をエリアに分ける(その2)、あやとりのページ

 昨日の続きの話と、新しいページの話です。



 トーラスというのは、正方形(長方形でもいいですが)の上下の辺を貼り合わせ、さらに左右の辺を貼り合わせることで作ることができます。よく、こんな図を描きます。(この図は2014年5月にご紹介したものです。)

 昨日ご紹介したトーラスの回転するアニメーションは、こんなパターンをトーラスの表面にマッピングしたものでした。

 上下左右がそのままの向きでつながっているので、図形の「繋がり具合」はこんな風になります。

 昨日のアニメーションでは全体の状況がわかりにくいと思ったので、パターンを若干透過させてみました。

 いかがでしょうか。どちらもトーラス上に4つの円があって、トーラス面全体を4つのエリア(4つのトーラス面三角形)に分けています。とても面白いと思ったのです。

(つづく)



 新しく「あやとり」のページを作り始めました。石野さんのあやとりサイト あやとりしてみよう は本当に素晴らしくて、取り方を「ど忘れ」したときなどに閲覧させていただいているのですが、そこには載っていない、自分で作った取り方のメモも同様にweb上で見られると便利かな、と思ったのです。

 まだ暫定ですが、2つ、ページを用意しました。Super Dancing Stage(ダンスの舞台スペシャル)と、

Super Dancing Stage

 Super Inuit Netです。

Super Inuit Net

 画像を含め、あくまでも暫定です。何か問題があるようでしたらお知らせください。

<おまけのひとこと>
 こんなことをやっていると楽しくてすぐに時間が経ってしまいます。






3月18日(木) トーラスの表面上の円(その1)、Turning Turtles(カメ返し)

 トーラス面上の図形の話と、二人で対戦する簡単なゲームのルールの話をします。



 一昨日からトーラス面に図形を描いていくつかのエリアに分割するという話をしていますが、そもそもはこんな図を見たのがきっかけでした。

 これは、長さが等しい8個の部分的な円弧によって正方形が分割されている図です。これは、この正方形(1辺の長さを1とします)の左右の辺、上下の辺が繋がっている「周期的境界条件」だとしたときに、半径√2の円を描いたものなのです。

 ちなみに、ブラウザの機能で上の図をタイリングしてみました。こちらです。

 これをトーラス上にマッピングしてみたらどうなるでしょうか?

(つづく)



 ちょっと調べ物をしていたら、Turning Turtles(カメ返し)というゲームのことを知りました。H.W.Lenstra による、情報完全公開型の(=運の要素の無い)、偏りのない(impartialな)ゲームです。(偏りがないというのは、「相手のコマ」と「自分のコマ」といった区別がないゲームです。)有名な “Winning ways for your mathematical plays.” (Berlekamp, Conway and Guy : 1982)「数学ゲーム必勝法」という本で論じられています。

 Turning Turtles(以下、「カメ返し」と呼びます)はこんなゲームです。カメのかわりにコインを使います。コインを横一列に並べます。コインの表裏はランダム(でたらめ)です。

Turning Turtles(カメ返し)のルール
ランダムに一列に並んだコインを考えます。自分の手番でできることは
・表向きのコインを1枚選んで、それを裏返すこと
です。このとき、裏返したコインよりも「左側」のコインの任意の1枚を「表から裏」もしくは「裏から表」にひっくり返してもいいです。(この2つ目のコインを裏返すのは任意で、やらなくてもかまいません。)
自分の手番が終わったときに全てのコインが裏向きになっていたら勝ちです。

 二人のプレーヤーが交互にプレイします。自分にとっても相手にとっても「左側」は同じ側です。なので、ある時点での表向きの一番右側のコインよりもさらに右側にある裏側のコインは一度もひっくり返されることはありません。

以下、表をH(head)、裏をT(tail)と表記します。例えば13枚のコインが以下のように並んでいたとしましょう。

 T  H  T  T  H  T  T  T  H  H  T  H  T
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13

 この状態からできる手の1つとして、例えば 9の場所にあるコインを表(H)から裏(T)にひっくり返し、4の場所にあるコインを裏(T)から表(H)にひっくり返す、というプレイが可能です。

 これが、この手のゲームでは有名な nim (ニム:3山くずし) と原理的には同じなのだそうです。なので nim の必勝法が適用できるということなのです。

(つづく)



 ワークマンから、「着る網戸」というコンセプトの製品が発表されたのだそうです。こちら(ギズモード)とかこちら(ITメディア)とかに掲載されていました。「着る網戸」という表現が良いなあと思いました。

<おまけのひとこと>
 1年前、2020年の4月後半から勤務先で在宅勤務が運用され始めてそろそろ1年になります。






3月19日(金) トーラスの表面上の円(その2)、他

 トーラス面上の図形の話の続きです。



 昨日ご紹介したこの図、

 これをトーラス面にマッピングしてみました。上の図では8つの部分的な円弧になっていたものがひとつながりになっています。

 少し面を透過させてみました。同じフレーム数のgifファイルにすると、ファイルを置かせてもらっているFC2の単一ファイルサイズの上限を超えてしまったので、フレームを間引いています。そのためカクカクしたアニメーションになってしまいましたがご容赦ください。

 このパターン、頂点の次数がすべて偶数で、区分されたエリアを2色に塗り分けることができます。エリアの数は19です。素数なところがちょっと意外で面白いです。



 こんなマッピングもしてみました。今度は3色です。

 トーラス面の上の多角形、何角形がいくつあるでしょう?

(つづく)



 石野さんのあやとりサイトの エイディオウィナゴ というナウルのあやとりを取ってみました。

 これ、かたちを整えるのが難しいのです。空中ではなかなか気に入ったかたちにならなかったので、コルクボードに留めてみました。真ん中の部分のパターンが美しいと思うのです。(上の画像はクリックすると別フレームで拡大します。)

<おまけのひとこと>
 今日は時間がなくて簡単な更新です。






3月20日(土) 春分の日 トーラスの表面上の六角格子、あやとり「エガラウィナゴ」→「エイディオウィナゴ」

 トーラス面上の図形の話と、あやとりの話です。



 昨日、おまけに載せておいたCGアニメーションは、こんなパターンをトーラス面にマッピングしたものでした。

 六角格子です。2種類の方向にマッピングしてみます。(要は上の図の正方形のパターンをトーラス状にするときにどちらを先に巻くか、ということです。)

 最初は上の左側(昨日ご紹介したもの)が美しいなと思ったのですが、右のパターンもなかなかです。



 トーラス面へのマッピング、楽しくてこんなものもやってみました。

 これは、こんな円弧三角形のタイリングパターンのマッピングです。

 8領域です。

(つづく)



 昨日のエイディオウィナゴ を取る途中で、エガラウィナゴというパターンが出てきます。

 下の図左が「エガラウィナゴ」で、そこから1手順だけ先に進めると下の図右になります。(指先側が上になるようにパターンをそっと外して床に置いてあります。)

 この2つのパターン、どこがどう変わったのかわかりますか? 糸の形状は変わっていますが、問題はそこではなく糸の「重なり具合」です。

(つづく)



 自分が覚えているあやとり作品の一覧を作ってみたいと思っているのですが、なかなか進みません。

<おまけのひとこと>
 今日 3/20(土) はお彼岸で午前中にお墓参りに行ってきました。今日はその後での更新になってしまったため、午後の更新です。すみません。






3月21日(日) あやとり作品の糸の交差の上下関係、アケルエ

 あやとりのパターンの射影図の話です。



 昨日、エイディオウィナゴ を取る途中で、エガラウィナゴというパターンが出てくるという話をして、「エガラウィナゴ」完成後の次のステップの操作の説明が難しいという話をしました。昨日は画像で示したものを、今日は射影図にしてみたいと思います。

 さて、この違いがわかりますか? 2枚の画像を交互に表示する gif アニメーションを こちらに作ってみました。(別窓で開きます。)こうしてみるとすぐにわかります。

 この操作をするのに、今は以下のように取っています。

  1. 両手の親指の手前の糸が通っているルート(両手の中指の手前のそれぞれの糸の下をくぐっている)を覚えておく。
  2. 右親指の輪を手前に1回ひねる。
  3. 左親指をそっと外す。
  4. 左親指と左人差指を先ほど覚えておいたルートに入れ、右親指の根元の輪の左側をつまむ。
  5. つまんだ糸を引き出す。その他の糸の姿勢は変わらないようにする。

 これが適切な操作なのかわかりませんが…



 ダンスの舞台 というあやとりと、というあやとりを比べてみました。(リンクはいつものように石野さんのあやとりサイトです。)

Dancing Stage Oreon (Rain)

 石野さんのサイトにも「糸のかかり方が異なります」と書かれていますが、どう違うのか調べてみました。

Dancing Stage

 図の赤丸部分の上下を入れ替えるとになるのだ、と思います。

 最後のまとめ方は同じですが、最初のアプローチが全然違います。



 昨年12月末に閉館してしまったパナソニックセンター内の理科と数学のミュージアムリスーピアですが(リンク先は今は「リスーピア アーカイブズ」になっています)、その後継となるミュージアム「AkeruE(アケルエ)」というのが、来月4月3日にオープンするのだそうです。こちらに"ひらめき"をカタチにするミュージアム「AkeruE(アケルエ)」 2021年4月パナソニックセンター東京内にオープン というニュースリリースが出ていました。

 AkeruE(アケルエ) という言葉がどうも覚えにくいなあと思ったのですが、Eureka(エウレカ) を逆に綴った言葉なのですね。アルキメデスのエピソードを思い出しました。

 ひょっとするとこの新しいアケルエでもワークショップを担当させていただけるかもしれない、という話をいただきました。こういったイベントも以前と同様に実施できるようになるといいなあと思っています。

<おまけのひとこと>
 あやとりの射影図を描くのが楽しいです。






3月22日(月) トーラス面上のK7完全グラフ、あやとり「ナウルの構え1」

 トーラスの話に戻ります。



 いつもCG作成に愛用しているPovrayで、トーラスに画像をマッピングすることができるということを知って、面白がってトーラス面に様々な周期的なパターンをマッピングしてみています。トーラス面といえば、7彩色グラフが存在するというのが有名です。平面上の任意の地図は4色で塗り分けられる、という「四色問題」という定理がありますが、トーラス面だと塗り分けに7色が必要になる地図があるのです。

 トーラスをちょうど7領域に分けて、その全てがお互いに接する状態になるように塗り分けてみることにしました。こんな図になりました。

 この図を上下左右にタイリングするとどうなるか、ブラウザの機能で表示してみました。 こちら です。



 この周期的境界条件の7彩色の図は、こんな完全グラフから作ってみたものです。

 上のグラフには頂点(黒丸)が7つあります。周期的境界条件なので、上下左右の辺の上にある点は区別しません。同じ番号がついている点は「同じ点」なのです。

 たとえば、頂点1は、他の全ての頂点(2〜7)と隣接しています。

 全ての頂点が隣接していることを確かめてみて下さい。

(つづく)



 あやとりを取るときに、共通でよく使われる初期状態を「構え」(Opening)と呼びます。よく使われる「人差指の構え」はこんなパターンです。

Opening A

 最近、4本指にかかる構えをよく使います。先日ご紹介したSuper Dancing Stage(ダンスの舞台スペシャル) を取るときに、「人差指・中指の構え」から始めるよりも「ナウルの構え1」から始めたほうがかたちが整いやすい気がしました。

 そこでこの2つは何がどう違うのかなと思って糸の重なり具合を調べてみました。

人差指・中指の構え ナウルの構え1
  1. 人差指の構え。
  2. 小指の糸を外す。
  3. 小指で人差指向こうの糸を取る。
  4. 中指で人差指から小指にかかる掌の糸を取り合う。(右手から)
  1. 人差指の構え。(右手から)
  2. 人差指の糸を中指に移す。
  3. 親指の糸を人差指に移す。
  4. 右親指背で上から右人差指手前の糸を取る。
  5. 右親指で左親指手前の糸を根元で取る。

 なんと完全に同じでした。「ナウルの構え1のほうがかたちが整いやすい」というのは単なる気のせい、もしくは他の要因でした。



 四段ばしごのバリエーションとして、4つのダイヤのかたちの連結部分の構造を変えてみる、というのをやってみています。単に糸がまっすぐ交差しているのか、引っかかって折り返しているのかの2種類があります。

 下の左が通常の四段ばしごです。右は全てが単純な交差になっているものです。これは1月16日にご紹介したものです。

 下の左が通常の四段ばしごです。右は今度は3か所すべてが「折り返し」になっているものです。

 これは単純に「人差指の構え」の直後に人差指の輪を交換して、後は通常の四段ばしごを取るとこうなります。

<おまけのひとこと>
 あやとりの話ではない話題も入れながら更新したいと思っています。






3月23日(火) トーラス面を互いに接する7領域に分ける、他

 昨日の7領域7色の画像をトーラス面にマッピングしてみました。



 昨日のK7完全グラフから作成した7色7領域の画像をトーラス面に貼り付けてみました。正方形のマップのどちらの対辺を先に連結するかで2通りのマッピングをしました。

 7領域の1つに注目して(1つの色を選んで)、選んだ領域が他の6つの領域(他の色)と辺を共有していることを確かめてみて下さい(遊び方1)。あるいは、任意の2つの色を思い浮かべて(例えば「濃い青」と「ピンク」)、それが接している場所を見つけてください(遊び方2)。

 トーラス面では、塗り分けに7色必要な地図が存在するということは知っていましたが、こうして実際に図を作ってみると楽しいです。



 石野さんのあやとりサイトのエオンガツバボを取って写真を撮ってみました。 (石野さんのサイト、公開されている作品がまた1つ増えて560になっていました。すごいです。でも何が増えたのかすぐにわからない…) 

 これは「ナウルの太陽」を5回取って、最後に「エオンガツバボ」操作をして終わっています。手順がパターン化されているので覚えやすいです。長くてあまり太くない糸を使ったほうがきれいにできます。きれいな斜めの格子パターンにするために、かたちを整える必要があります。最後、親指と小指の糸がかなり余ります。ここではカロリン展開をして整えるのではなく、単に親指と小指に余ったひもを巻き付けて調整しています。(邪道かもしれません。)



 ギリシャ文字、ラテン文字(英語で使われている、おそらく多くの人にとって一番馴染みのあるアルファベット)、キリル文字(ロシア文字)の3種類の文字について、ベン図で整理した図があって面白いと思いました。

 これを面白いと思う人は多いようで、検索すると同様な図がたくさんありました。

<おまけのひとこと>
 あやとりの糸、当初は100円ショップで購入できる太めのひもを使っていましたが、それだとちょっと複雑なパターンになると隙間がなくなってしまって編み物みたいになってしまうのです。なので最近は手芸屋さんで買った細いひもをいろいろな長さの輪にしたものを愛用しています。






3月24日(水) あやとり「SuperInuitNet」の終了処理の研究、他

 今日はあやとりの話がメインです。



 以前から何度かご紹介していますが、たくさんの星 というナバホの伝承あやとり作品があります(Fig.1)。「たくさんの星」では最初の構えの直後に親指で取る糸は小指の手前です。そのかわりに人差指の向こうの糸を取ると、Fig.2 のように上段左右の糸の折り返しが単純交差になります。

Fig.1 : Many Stars Fig.2 : Variation

 一方、Super Inuit Net

Super Inuit Net

 の終了処理を行っても、ダイヤのかたちが2行4列のパターンを作ることができます。

Fig.3 : SIN ending

  1. (人差し指の構え)
  2. 親指で人差し指の向こうの糸を取る
  3. 中指で親指の向こうの糸を取る;親指を外す
  4. 親指を人差し指の輪に上から入れ、人差し指の向こうの糸と中指の輪の下を通って小指の向こうの糸を取る;(小指を外さない
  5. 中指の輪を小指に移す
  6. 人差し指の糸を外す
  7. 小指の2つの輪をそのまま人差し指に移す
  8. 中指薬指小指を下から親指の輪の中に入れ、親指の手前の糸を手のひらに握りこむ;親指を外す
  9. 親指を中指薬指小指の握りこんだ輪の中に下から入れ、「中指にかかる糸から中央に向かう2本の糸」の下から、人差し指の向こうの糸を親指の腹で引き下げ、親指の背で小指の向こうの糸を取る。親指の腹で引き下げた糸は自然に外れる。
  10. 中指薬指小指を離す。
  11. 薬指小指を下から親指の輪の中に入れ、親指の手前の糸を手のひらに握りこむ;親指を外す
  12. 親指を人差し指の2つの輪の中に下から入れ、人差し指の2つの輪を親指に移す
  13. 親指でナバホ取り
  14. 親指の手前の糸を人差し指で取り、親指を外して広げる

 実は Super Inuit Net は、「ナウルの太陽」を1回やってから終了処理(今後はSINの終了処理と呼ぶことにします)を行っているのです。

Fig.4 : Super Inuit Net

 ということは、最初の「ナウルの太陽」を何度も行うと、斜めの格子状のパターンを増やすことができるはずです。やってみました。昨日ご紹介したのは終了処理が「エオンガツバボ」でしたが、今日のものは「SINの終了処理」です。画像を並べてみました。

Fig.5 : SIN ending Eongatubabo

 オープニング直後のいろいろな簡単な手順の後に「エオンガツバボ」という終了処理を行うことで豊かなあやとり作品の世界が広がっているのですが、SINの終了処理もいろいろと試してみたくなりました。



 Iceberg Simulatorという、海に浮かぶ氷山のシミュレータというページがありました。3次元ではなく2次元のシミュレーションのようなのですが、様々な国のかたちが準備されていて、その国のかたちの氷を水に落とすとどんな姿勢で安定するのかが表示されます。図は日本の例です。

 面白いです。

<おまけのひとこと>
 大相撲春場所、地元力士の御嶽海は相変わらず五分の星で、昨日時点で5勝5敗です。いつもやきもきさせられます。
 選抜高校野球、地元の上田西高校は延長12回、0-1 でサヨナラ負けでした。残念ですが良い試合をしてくれたと思いました。






3月25日(木) 周期的境界条件で円を大きくしてゆく動画、あやとり「SINの終了処理」の研究

 YouTubeの動画に面白い幾何学的パターンがあったのでご紹介します。



 先週、周期的境界条件で大きな円を描画したものをトーラス面にマッピングしてみる、ということをやってみました。ちょっと検索してみたら、Growing circles on a flat torus (square lattice)(David Madore:2019)という動画がありました。ここにも埋め込んでみます。

 適当なところで止めてパターンを切り取ってみました。

 上の画像の白黒を反転させて、トーラス面にマッピングしてみました。

 トーラス面上で円がどんどん大きくなってゆくアニメーションを作ったら面白いだろうか、と思いました。やってみるかもしれません。(上記の動画も充分に面白いと思うのですが、でも2年前に公開されて視聴数は今朝時点で431件です。まあそんなものなのかな。)



 昨夜、お酒を飲みながら昨日のSINの終了処理をいろいろ試してみました。完成した写真は現時点では撮ってありませんが、「もう一度作ってもいいかな」と思えたものの操作手順を記録しておきます。

一部が二重化されたパターン
  1. ナウルの構え1(人差指・中指の構え)
  2. 中指の輪を人差指に移す
  3. SINの終了処理

一部が三重化されたパターン
  1. ナウルの構え2(人差指・中指・薬指の構え)
  2. 中指の輪を人差指に移す
  3. 薬指の輪を人差指に移す
  4. SINの終了処理

2行4列のダイヤの中段両側の交点の間に二重ループができる
  1. ナウルの構え2(人差指・中指・薬指の構え)
  2. 中指の輪を手前に半回転ひねって人差指に移す(=人差指で中指の向こうの糸を取り、中指を外す)
  3. 薬指の輪を人差指に移す
  4. SINの終了処理

 特にこの例は、ダイヤのパターンに重畳して複数の糸が水平に横切っているもので、タイガーショベルノーズキャットフィッシュや(すごい名前ですね)、死人(これもすごい名前です)を彷彿とさせるパターンです。

 最初の構えをいろいろ変えてみたり、それぞれの輪をひねってみたり、ひねる方向や回数を変えてみたり、どこかの指の左右の輪を交換してみたり、たくさんのバリエーションが考えられます。それをひとつひとつ楽しみに試してみました。そうすると嫌でもSINの終了処理は身に付きますし、バランスを取るためにはどの工程において、どの程度の強さで引っ張っておくべきかとか、各指の糸の長さをどんな配分にしておくべきかとか、だんだんわかってきます。

 こんなこともやってみました。

エイディオウィナゴをSINの終了処理で作ってみる
  1. エガラウィナゴ
  2. (エガラウィナゴ→エイディオウィナゴと同様に)中央下の交差の上下を入れ替える
  3. 中指の輪を人差指に移す
  4. SINの終了処理

 エオンガツバボで仕上げるよりもSINの終了処理で仕上げるほうが、エイディオウィナゴの中央の美しい花のようなパターンが決まりやすいと思いました。

 あやとり作品は、「オープニング」→「そのあやとり作品の独特な処理(中間処理)」→「エンディング」という3工程で記述できることが多いです。オープニングとエンディングを一度理解できると、本当に豊かな世界が広がっています。こんな簡単なメモで、出来上がりはかなり複雑になるあやとり作品を簡単に記述できて、再現できるのです。勉強してみる価値があると思います。



 協調して動く球体ロボット群「FreeBOT」 くっついたり離れたり、転がったり壁を登ったりという記事がとても面白かったのです。現時点では人間が外から操作しているみたいなのですが、これが自律的に動作するようになったら(そういう方向に研究は進んでいるそうです)本当にすごいと思いました。

<おまけのひとこと>
 あやとりのトピックの内容があまりにもマニアックになってきてしまいました。せめて完成形の写真を撮らないと、何が何だかわからないですね。






3月26日(金) あやとり「SINの終了処理」の研究の写真、他

 昨日言葉だけで説明したあやとり作品の写真を撮りました。



 普通に「人差指の構え」から「SINの終了処理」を行うとこうなりました。

Opneing A : SIN ending

 これを、「ナウルの構え1」から「SINの終了処理」にするとこうなりました。新たに「8の字型」を横にしたパターンが重複しています。

Nauru opneing 1 : SIN ending

 さらに、「ナウルの構え2」から「SINの終了処理」にするとこうなりました。先ほど二重になっていた部分が三重になっています。

Nauru opneing 2 : SIN ending

 上のパターンは、「ナウルの構え2」で中指・薬指の輪をそのまま人差指に移して「SINの終了処理」をしましたが、中指の輪を移すときに半回転手前にひねるだけで、全く違ったパターンになるのです(下図)。それがとても面白いと思いました。

Nauru opneing 2 : M tw : SIN ending

 このパターンを見て連想した死人というあやとりはこんな作品です。



 昨日はエイディオウィナゴを「SINの終了処理」で終わってみるというのを言葉でご紹介しましたが、ダンスの舞台で作ってみました。

エイディオウィナゴを「ダンスの舞台」で作ってみる
  1. エガラウィナゴ
  2. (エガラウィナゴ→エイディオウィナゴと同様に)中央下の交差の上下を入れ替える
  3. 中指の輪を人差指に移す
  4. ダンスの舞台を取る

 こんな風にいくつかの基本操作を習得すると、その組み合わせて次々と面白いパターンを作ることができます。つい夢中になってしまいます。



 あやとりひもを買いに手芸屋に行ったときに、入口のワゴンセールのワゴンの中にリボンの端切れが売られていました。10cmくらいの短い端切れで、12円という値段がついていました。点字が刻印されていたので、興味を持って買ってきました。

 コントラストが低くて読み取りにくいですが、ピンク色の文字で Thank you と書かれており、点字のほうは「ありがとー」と記されていました。

 点字といえば、図書館で除籍になった子供向けの点字の本3部作を先月もらってきていました。

 あやとりも点字も楽譜も、何かを表現したものを「読み解く」というのが好きです。でも語学は苦手です。

<おまけのひとこと>
 4月の予定が聞いていたのと違っていた、という電話が昨夜遅くかかってきて仰天しています。どうしたものか…






3月27日(土) あやとり「SINの終了処理」の研究の写真、他

 「ナウルの構え1」、「ナウルの太陽」、「SINの終了処理」の組み合わせを試してみました。



 4本指のオープニングである「ナウルの構え1」というのがあります。

Fig.1 : Nauru Opening 1

 この構えから、中指の向こうの糸(上の図の赤丸の糸)を親指で取って「ナウルの太陽」を取ると、こんなパターンになります。

Fig.2

 今日はこのパターンを出発点としたあやとり作品のご紹介です。



 Fig.1「ナウルの構え1」から「SINの終了処理」をするとこうなりました。(写真を撮り直しました。)

Nauru opneing 1 : SIN ending

 このパターンは、左右の人差指を結ぶ上辺の糸に、左右3か所ずつ糸がかかっています(Fig.3)。以下、この数に注目してください。

Fig.3

 次に、Fig.2「4本指のナウルの太陽」の後に中指の糸を人差指に移してから「SINの終了処理」をしてみました。

Nauru opneing 1 : SUN(Nauru) : SIN ending

 中央の交差が1つ増えて、上辺の糸にかかる糸の数も左右4つずつに増えているのがわかります。

 さらに、「ナウルの構え1」の直後に中指の糸を人差指に移して、人差指の向こうの2本の糸で「ナウルの太陽」を取ってから「SINの終了処理」をしました。糸の長さが足りなくなったので、色の違う長い糸で取りました。

Nauru opneing 1 : M to F : SUN(Nauru) : SIN ending

 中央の交差がさらに増えて、上辺の糸にかかる糸の数も左右5つずつに増えているのがわかります。

 「ナウルの太陽」を取ってから糸を二重にするか、先に糸を二重にしてから「ナウルの太陽」を取るか、可換ではないことがわかります。

 これも膨大なバリエーションの可能性のうちのごく一部です。



 これも忘れないうちに取り方を書いておきます。(自分用のメモです。)

 上のFig.2 の「4本指のナウルの太陽」から中指の糸を人差指に移した後、「SINの終了処理」ではなく「ダンスの舞台」を取ると、こんな面白いパターンになりました。「ダンスの舞台」は最初に全ての指の輪を向こうへひねりますが、ここでは人差し指の2つの輪はいっしょにひねります。

 ダイヤのかたちが2行6列になっているパターンに、横長の大きなX字型が重畳しています。面白いですし美しいと思います。



 実は、通常の「人差し指の構え」から「ナウルの太陽」を取って「ダンスの舞台」を取ると、美しい2行6列のダイヤ型のパターンになるのです。(通常の「ダンスの舞台」は2行4列のダイヤ型のパターンです。)そもそもこれをご紹介していなかったかもしれません。

<おまけのひとこと>
 すみません今日は時間がなくてあやとりのトピックだけになってしまいました。






3月28日(日) 創作あやとり「三つの太陽」、Lexen rober、他

 あやとりの研究の話と、面白い動作機構の移動ロボットの話です。



 世界各地で知られている太陽というあやとり作品があります。(リンクはいつもの通り石野さんのあやとりサイトです。)私は「ナウルの太陽」と呼んでいます。世界各地でいろいろな名前で知られているあやとり作品だそうです。これとよく似た伝承あやとり作品にというガイアナのあやとりがあります。「星」というあやとり作品もたくさんあるので、「ガイアナの星」と呼ばせていただきます。

 下の写真の左が「ナウルの太陽」、右が「ガイアナの星」です。

Left: Nauru's Sun
Right: Guyana Star

 この2つのパターンがどう違うのか、写真をトレースして図を描いてみました。左の赤い図が「ナウルの太陽」で右の青い図が「ガイアナの星」です。

Nauru's Sun Guyana Star

 通常の人差し指の構え

Opening A

 で始めるかわりに「ナウルの太陽」で取り始めると面白いあやとり作品ができることがあります。例えば最近何度かご紹介している「SINの終了処理」ですが、「人差し指の構え(opening A)」から取ると下の左のようになりますが、「ナウルの太陽」から取ると下の右のようになりました。

Opneing A : SIN ending Nauru's Sun : SIN ending

 これを、「ガイアナの星」からやってみたのです。思いがけずこんなパターンになりました。驚きました。

Guyana Star : SIN ending

 これを見つけることができてとても嬉しいです。「三つの太陽」と呼ぶことにしました。

(つづく)



 ちょうど1年ほど前、円弧三角形のタイリングの話を始めました。これがまた大変面白くて豊かな世界でした。この円弧三角形を思い付いて研究されているTim Lexenさんが、10年ほど前にこんな移動体ロボットの動画を公開されていました。lexen rover(2011)、lexen rover 2: on the beach(2012)です。

lexen rover

 実に面白いです。オムニホイールとかメカナムホイールといった、任意の方向への平行移動や回転移動ができる車輪の機構が知られていますが、これらはいずれも適度な摩擦のある平らで凹凸の無い床面を想定しています。lexen rover は動画にもあるように砂地でもカーペットの上でも動いています。

 駆動ユニットが3つで、3自由度で制御しています。これで任意の平行移動と回転移動ができるというのは理にかなっています。極めて合理的です。実に面白いです。



 やはり1年ほど前の昨年の4月ころ、DRT(Dual or Double Right angle Trapezoids)と名付けたピースのセットでの箱詰めパズルを研究していたことがありました。その時にピースのセットや解についていろいろ教えていただいたMさんから、このDRTのピースを利用したパズルを送っていただきました。ここでは公開はしませんが、大変興味深い、素敵なパズルでした。ありがとうございました。楽しみに遊んでみたいと思います。

<おまけのひとこと>
 自宅のトイレのペーパーホルダーが壁から取れそうになっているのです。実はかなり以前からそういう状態だったのですが、さすがになんとかしたいなあと思って、妻と相談しています。






3月29日(月) 三等辺四角形のタイリング、あやとり「小さいアムワンギヨ」と「聖なる円」の関係

 図形のタイリングの話とあやとりの話です。



 任意の四角形は平面をタイリングできることが知られています。

 凸四角形でなくても大丈夫です。

 ここまでが前置きです。こんな三等辺四角形を考えます。「三等辺四角形」という言い方は耳慣れないですが、「二等辺三角形」と似た言葉です。三等辺四角形ってどんなかたちだろう? どんな性質があるだろう? と思って考えてみるとちょっと面白いです。(二等辺三角形は底角もしくは頂角を決めればかたちが一意に決まります。形状に関しては1自由度です。三等辺四角形は何自由度でしょうか?)

A quadrangle with three sides of equal length

 この四角形、パズル的にとても面白い性質を持っているのです。この四角形のタイルをいくつも用意して凸多角形を作ることを考えます。裏返してもかまいません。タイル1枚が凸多角形(四角形)になっているのは自明です。タイル2枚で凸六角形ができます。

convex polygon

 実はこのタイル、3枚でも4枚でも5枚でも6枚でも凸多角形を作ることができるのです。(その後は 8, 10, 11, 12, 16, 18…と続きます。)大変面白いです。ぜひ試してみることをお勧めします。

(つづく)



 ちょっと前に小さいアムワンギヨというあやとり作品と、聖なる円というあやとり作品をご紹介したことがありました。

small amwangiyo sacred circle

 この2つ、同系列のあやとり作品なのだということに今さらながら気が付きました。

 「小さいアムワンギヨ」で終了処理をする前の段階のあやとりが焼け焦げた葉のククイでした。これは「人差し指の構え」から始めました。

 同じ操作を「ナウルの構え1」からやってみるとこうなります。

Nauru Opening 1 two branches

 さらに、同じ操作を「ナウルの構え2」からやってみるとこうなります。

Nauru Opening 2 three branches

 これで終了処理をすると「聖なる円」になるのです。3つとも同じ糸を使って取っているので、糸の長さが足りなくてどんどん幅が狭くなっています。

(つづく)



 この1年くらいは、「地元応援」「いつかは行ってみようと思っていて、今まで行ったことが無かったお店やなかなか行けないお店に行ってみよう」というのをテーマに、ごくたまにですが外食をしています。お店に行く、というのは選挙の投票と同じでそのサービスを支持する、継続を応援するという行動だと思うのです。もちろん感染拡大を防ぐために用心深く行動しています。

 昨日は長年行こうと思っていて行く機会のなかった甲州ほうとう 小作に行ってみました。開店時間の11時に行ったのですが、すでに駐車場には車が7割くらい入っていて、お客さんもたくさん入っていました。これは応援なんかしなくても人気があって繁盛していて大丈夫そうだな、と思いました。

 「ほうとう」は他所では食べられない郷土料理ということで、素朴なのですがそれなりのお値段でした。でも、良い材料を使って丁寧に作っているのか、たいへん美味しくいただきました。またすごいボリュームでした。妻と二人で行って、それぞれが別の「ほうとう」を注文したのですが、とてもおなかがいっぱいになりました。

 もっと若くてたくさん食べられた年代のころに来ておけばよかった、と思いました。今度二人で来るとしたら、1つは「ほうとう」にして、もう1品は軽いご飯ものか何かにしてシェアするのが良いかもしれないと思いました。

<おまけのひとこと>
 トイレのペーパーホルダーはいったん外して強力な両面テープ(後できれいに剥がせるタイプ)で補修してみました。一時的な対応ですが、当面はこれで充分かなと思っています。妻も喜んでくれました。






3月30日(火) 三等辺四角形のタイリング(その2)、あやとり「聖なる円」の拡張、他

 図形のタイリングの話のつづきとあやとり「聖なる円」の話のつづきです。



 昨日のこの「三等辺四角形」、

 まずはこんな風に並べてみました。

 次にこんな風に並べてみました。

 この図を眺めていると、3ピースの凸多角形、4ピースの凸多角形、10ピースの凸多角形が見えてきます。

 指定された枚数で凸多角形を作れ、というのも面白いですが、回転対称形のタイリングをしてみても面白いピースです。

(つづく)



 昨日、聖なる円に至る一連のステップをご紹介しました。「人差指の構え」→「ナウルの構え1(人差指・中指の構え)」→「ナウルの構え2(人差指・中指・薬指の構え)」と、内側の指の輪の数を1,2,3と増やしてゆくことで「聖なる円」を作ることができました。

 仮に内側の指の本数がもっと多かったとして、同じ操作をしたらどうなるだろう? と思ってこんなものを作ってみました。

7 finger's sacred circle

 仮に片手の指が7本あったとして、素直に「聖なる円」の操作をすればこうなるはずです。これを5本指で取るときには、操作対象ではない輪を別の指に退避して取ってゆきます。パズルみたいで面白いです。



 昨日の朝、まだ日の出前に妻が「竜が横たわっているみたいな雲が見える」と教えてくれました。写真を撮ってみました。

dragon-shaped clouds (Mar.29, 2021)

 カメラを用意するわずか1分間くらいの時間でだいぶかたちが変わってしまって、この写真では竜には見えないかもしれません。最初に見たときには左側(ちょうど鉄塔と重なっているあたり)はもっと竜の頭らしいかたちをしていたのです。

<おまけのひとこと>
 今日は夜中(午前1時半)から起きてしまっています。今は午前4時過ぎです。この更新作業が終わったら、明け方もうひと眠りできるといいなと思っています。






3月31日(水) 三等辺四角形のタイリング(その3)、あやとり「小さいアムワンギヨ」」の拡張

 60-105-45-150の三等辺四角形のタイリングの話のつづきと、あやとり「小さいアムワンギヨ」の話です。



 すでにお気づきの方も多いと思いますが、一昨日からご紹介しているこの「三等辺四角形」、

 実はこれはなじみ深い2つの特別な三角形を連結したものなのです。

 昨日のこの図(下左)を正三角形と直角二等辺三角形に分けて、正三角形を白、直角二等辺三角形を赤く塗ってみました。

 正方形と正三角形の有名なパターンですね。タイリングというページを20年前くらいに作っていましたが、そのときの骨格がこれでした。

 昔はPCの画面の画素数がとても少なくて苦労したものでした。最初のころはVGA(640 x 480)で、SVGA(800 x 600)になってずいぶん広く感じたものです。多分そのころに作っているページです。



 このピース、なんとなくランダムっぽくタイリングしてみると面白いです。色は適当です。

 4辺の長さは 1:1:1:√2 なので、√2の長い辺どうしが接する必要があります。規則的にならないようにランダムに並べるのはなかなかむつかしいです。



 通常の「人差指の構え」から「ナウルの太陽」を取ると(最初に親指で、人差指の向こうの糸を取ります)、下の写真の左のようになりました。(短い糸を使っています。)

 これを、「ナウルの構え1」(人差指・中指の構え)から「ナウルの太陽」を取ると(親指で、中指の向こうの糸を取ります)上の写真の中央のようになりますし、「ナウルの構え2」(人差指・中指・薬指の構え)から「ナウルの太陽」を取ると(親指で、薬指の向こうの糸を取ります)上の写真の右のようになります。

 これらのパターンを「人差指の構え」の代わりにして「小さいアムワンギヨ」を取ってみることにしました。

 比較のために、普通の「小さいアムワンギヨ」です。

 「(人差指の構えからの普通の)ナウルの太陽」から「小さいアムワンギヨ」を取るとこうなります。中央部の二重のダイヤが2つになっています。

 さらに、「ナウルの構え1からのナウルの太陽」から「小さいアムワンギヨ」を取るとこうなりました。中央部の二重のダイヤが2つになっていることに加えて、左右に二本、人差指・中指由来の糸が伸び、中央で1か所クロスしています。

 見かけを考慮して、それぞれ長さの違う糸で取っているので色が違います。色ごとに糸の長さを変えておくと、「もう少し長い糸で取ってみたい」とか思ったときにどれを選べば良いかすぐにわかるので便利なのです。

 「ナウルの構え2からのナウルの太陽」からの「小さいアムワンギヨ」も取ってみたのですが、写真が見当たりません。写真を撮っても良いと思えるところまで、うまくかたちが整えられなかったのかもしれません。またやってみます。

<おまけのひとこと>
 3月も今日で終わりです。明日から4月です。






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