以前の「ひとこと」　：　2020年12月前半

12月1日(火)　２回折るだけの折り紙作品(その1)

　12月になりました。

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　こんなシンプルな折り紙作品を知ったので、自分でも折ってみました。

Fig.1 : Origami that has been folded only twice.

　これは、正方形の折り紙を下の図のようにたった２回折っただけの作品です。辺の長さが普通の折り紙用紙の半分の7.5cmの用紙で折っています。(昔、四つ葉のクローバーを折ろうと思って緑色の7.5cm角の折り紙100枚入りというのを買ったので、このサイズの折り紙を試すときは緑を使うことが多いです。)

　このかたち、何だと思いますか？

　工程(1)で折り紙用紙の左下の角を、上の辺のだいたい真ん中あたりに合わせて谷折りします。(2)で、右下の角を左下の角に合わせて山折りします。以上で完成です。

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　最初に折るときの位置を数値で指定して、出来上がるかたちをCGで描けるようにしてみました。下のFig.3は、工程(1)で上辺の中点に合わせたときにできるかたちです。

Fig.3

　工程(1)の頂点の位置をだんだん変えたときにできるかたちをアニメーションにしてみました。

Fig.4

　工程(1)で上の左の頂点に合わせると四つ折りの正方形になってしまいますし、右の頂点に合わせると四つ折りの直角二等辺三角形になってしまいます。

(つづく)

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　一昨日の日曜日に、モバイルルータの契約を変更しようと思って購入したお店に行ったのですが、契約変更や解約は電話かwebで手続きしてくださいとのことでした。（その手続きは昨日の月曜日に電話で無事終わりました。）せっかく出かけてきたので、近くの神社にお参りしてゆくことにしました。階段の上り下りが楽しくて運動にもなるかなあと思ったのです。

looking up		looking down

　200段ほどある階段を往復するのに10分くらいかかりました。ちょっと息が上がりました。運動不足です。

＜おまけのひとこと＞
　夜、よく眠れなくて睡眠不足です。まあいずれ何らかのかたちで平衡状態に落ち着くだろうと思っています。風邪をひくのもおなかを壊すのも身体が正常な状態に戻ろうとする働きなので、限界になったらいずれ何かそういう作用が働くはずだ、と思っています。（できれば病気になる前にしっかり眠れる日があるといいなあと思います。経験上、そういう日が来るので大丈夫です。）問題は、通勤で車を運転中にひどく眠くなると危険ですしつらいというところです。

12月2日(水)　２回折るだけの折り紙作品(その2)

　昨日、こんな簡単な折り紙作品をご紹介しました。

　これはサンタクロースを横から見た姿になっています。（色が緑なのが意地悪ですね。）改めて図を載せておきます。

Fig.1 : Easy Origami Santa

　Netで検索すると、こちらのEasy Origami Santa Folding Instructionsというページに折り方が解説されています。

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　この、わずか４つの図形(三角形３つと四角形１つ)が「サンタクロース」に見える、というのはすごいことだと思うのです。何かが顔に見える、とか、何かが文字に見える、というのは認知心理学におけるとても興味深い研究対象です。自分の目に見えている中から顔を見つけること、その顔が何を表しているのかを知ることは、生物が生き延びるためにとても重要なはずなので、顔を見つけて表情を読み取る機能が発達したのは、さもありなんと思います。

　文字を文字として認識できたり、本来は文字ではないものも文字だと解釈することができるというのも、ちょっとそれと似ています。今回のこのシンプルな図形がサンタクロースに見える、というのもその延長線上にある脳の機能だと思います。ただ、これは「こういうものがサンタクロースなんだ」という経験というか学習を積んできた結果、そのような解釈ができるようになるはずなので、文化的な背景が規定しているのは間違いありません。

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　このサンタのデザイン、色が重要なのは改めて言うまでもないと思います。例えば Fig.2 のように色を逆にしたり、Fig.3 のように全然違う色を使ってみたりすると、「サンタらしさ」は著しく阻害されると思います。

Fig.2		Fig.3

　また、これは図は載せませんが、見る「向き」も重要です。

　これはとても簡単な折り紙で、２回折るだけでできます。開いたり畳んだりもすぐにできるので、メッセージカードのように中に何か書いてもいいと思います。冒頭の緑の写真のように、自立してくれるのもいいです。ぜひ試してみてください。

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　今朝のこのサイトのアクセスカウンタがこんな値でした。

　繰り返し数字になっていて、しかも点対称になっていて面白いと思いました。（点対称になっているのは先頭にゼロがあるからですが。）　ちなみに690690を素因数分解すると 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 23 となって、素数の最初の6個(2,3,5,7,11,13)を1つずつ素因数として含んでいるのが面白いと思いました。

　(ちなみに３桁ずつの繰り返しになっているので、この数は1,001の倍数です。7 x 11 x 13 = 1,001 なので、7,11,13が素因数に含まれることはすぐにわかります。また、末尾が0で10の倍数なので、2 と 5 を素因数に含むことはさらに自明です。)

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　サンタクロースの折り紙を他にも折ってみています。こんなのとか、

　こんなのとか。

　いずれも本来は平面的な作品なのですが、自立させるのが趣味なのでちょっとだけ手を加えたりして無理やり立たせています。でもそういうのってすぐに倒れてしまったりするので、何かに寄りかかるようにしたりして、家の中のそこかしこに飾ってあります。

＜おまけのひとこと＞
　だいぶ寒くなってきました。いよいよ冬らしくなってきました。

12月3日(木)　ゴムボック

　先日、フチモトムネジ氏の折り紙の本を探す旅に出たとき(←大げさです)、何冊か買った本のうちの１冊が数学が好きになる数の物語100話(コリン・スチュアート(著),　竹内 淳（監訳）,　赤池ともえ（訳）)でした。

　2020年10月15日発行という新しい本です。原書は“MATH IN 100 NUMBERS : A Numerical Guide to Facts, Formulas, and Theories” [Colin Stuart] で、 2016年に刊行された本のようです。

　独立して読める100個のコラムのようなトピックが集められた本で、各章はそのトピックに関係する数字が示され、その数字が小さい順に並べられています。（上記の Newton Press のサイトには、全目次が載っていますのでご覧ください。）「〇〇が発見された年」というような、西暦の数字になっている章もいくつもあってやや違和感がありますが、語られているトピックはいずれも面白いです。

　よく知っている話題もいくつもありましたが、特に今世紀に入ってからの話題はこの本で初めて知ったものもあって、とても面白かったです。

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　その中かから今日はGomboc(ゴムボック) というかたちをご紹介しようと思います。

　「おきあがりこぼし」(roly-poly toy)という伝統玩具があります。横倒しにしても、逆さにしても、勝手に起き上がってくるという玩具です。これは、重心が偏るように内部に「重り」を固定することで簡単に実現することができます。これがうまく働くのは、内部の密度分布が偏っているということが大前提です。

　それでは、全体が単一の素材からできていて、密度分布が一様な素材で「おきあがりこぼし」を作ることはできるのでしょうか？　1995年(ずいぶん最近ですね)にロシアの数学者ウラジーミル・アーノルドがこの問題を提起して、「そういう形状は存在する」と予想したのだそうです。この問題は2006年にハンガリーのガーボル・ドモコシュとペーテル・バルコニーによって肯定的に解決されたのだそうで、それが上の図のようなかたちなのだそうです。

　YouTubeに動画があったので貼っておきます。

　こちらのどんな体勢からも”ひとりで起き上がる”不思議な物体「Gomboc（ゴムボック）」という記事に丁寧に解説されていました。

　これはとても面白い動きをします。gomboc shopというところで購入できるそうですが、極めて高い精度で作らないと起き上がってきてくれないのだそうで、そのため値段もとても高いです。試しにちょっと買ってみよう、という感じではなさそうです。

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　ちなみに上の動画にも出てきますが、ある種のカメは類似の幾何学形状の甲羅を持っているそうで、そのためひっくり返ってしまっても簡単に起き上がれるようなのです。こちらのGeometry and self-righting of turtles(Gabor Domokos, Peter L. Varkonyi:2008)という論文で議論されていて、図だけちょっと眺めてみました。

　カメの場合は中身の密度は均一である必要はないはずですが、起き上がりやすいかたちというのがあるのだなあと感心しました。

＜おまけのひとこと＞
　子どものころに胸をときめかせて読んだ数学の面白い啓蒙書とかに書かれていたことの中で、最大の進歩は「フェルマーの定理が解けた」（その結果フェルマー・ワイルズの定理と呼ばれるようになった）ことだと思うのですが、一般にはもう少し有名でない、例えば正方形をすべて大きさが異なる正方形に分割する問題とか、自分が生きている間に新たに解決された問題があって、「長生きはするものだなあ」と思ったりします。
　今回の「ゴムボック問題」は、そもそも25年前にこの問題が提起されたことすら知りませんでした。こんな素朴な問いがいままで発せられていなくて、それが10年後(今から15年ほど前)に解決されていて、さらにそれが製品化されて販売されている、というのがなんだかとても楽しかったのです。
　これから自分が死ぬまでに新たにどんな面白いことが発見されるのだろう、知ることができるのだろうと思うとわくわくします。

12月4日(金)　多面体の面を合同な三角形に分割して2色で塗り分ける

　先月、合同な三角形の頂点だけを連結して多面体を作るという例をいくつかご紹介しました。

　その後、これらについてつらつらと考えていて、「多面体の面を合同な三角形に分割して2色で塗り分ける」ことはできないだろうか、ということを考えてみています。上記の例ではいずれも面を2等分していますが、分割数は２である必要はありません。

　たとえば５つの正多面体、立方体の例は上にありますが、それ以外の正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の面を合同な三角形に分割して、全体を2色で塗り分けられるでしょうか？

正四面体	正六面体	正八面体	正十二面体	正二十面体

　また、その他のデルタ多面体はどうでしょうか？

デルタ十面体	デルタ十二面体	デルタ十六面体

　さらに、菱形多面体だったらどうでしょうか？　今日の冒頭の一番右の図が菱形十二面体ですが、では菱形三十面体ではどうでしょうか？　こちらはすべての頂点の次数が奇数なので、菱形十二面体の時と同じ手は使えません。

菱形十二面体		菱形三十面体

(つづく)

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　12月1日(火)の朝、仕事が忙しくて会社に朝の6時半に着くように出勤したのですが、駐車場に着いたら、月がちょうど西の北アルプスに沈むところでした。写真を撮ってみました。(画像は拡大できます。拡大しても解像度は低いままですが。)

　寒かったせいもあって（気温は氷点下でした）、スマートフォンの撮影ボタン（タッチパネル）の反応が悪くて思ったように撮影できず、構図が決まりませんでした。

　常念岳も一緒に撮りたかったのですが、そうすると月が画面の端になってしまいました。

　2枚目は家や電線が写りこまないようにしたかったのですが、うまくいきませんでした。時間もないので諦めました。

＜おまけのひとこと＞
　今日も早く行かないといけないのです。もうすぐ5時です。珍しくメールを頂いているのに今朝はお返事が書けないです。ごめんなさい。
　今日の更新は昔の画像の使いまわしです。

12月5日(土)　デルタ十二面体のCGを作る(その1)

　昨日、デルタ多面体の画像をいくつかご紹介しました。デルタ多面体というのは、全ての面が正三角形の凸多面体で、デルタ四面体（＝正四面体）、デルタ六面体（正四面体2つ＝双三角錐）、デルタ八面体（＝正八面体＝三角反柱）、デルタ十面体（＝五角推2つ＝双五角推）、デルタ十二面体、デルタ十四面体（正三角柱の３つの正方形の側面に正四角推がくっついたかたち）、デルタ十六面体（四角反柱の上下に正四角推がくっついたかたち）、デルタ二十面体（＝正二十面体＝五角反柱の上下に正五角錐がくっついたかたち）です。デルタ十八面体は存在しません。（凸多面体にならない。）

　角柱、反柱、角錐を組み合わせたかたちで記述できるものばかりなのですが、唯一デルタ十二面体だけは、そういった立体のプリミティブ（基本部品）に分解できないというところがとても面白いです。実は今までデルタ十二面体のCGをちゃんと作ったことがなかったので、今回作ってみることにしました。

　この多面体は頂点が８つあります。対称性を利用して、h, a, b の文字で座標を表してみました。

　デルタ多面体なので、各面は正三角形であり、稜の長さは全て1です。その条件から a, b を h で表し、h が満たすべき式を求めてみました。

　このh の方程式、これ以上はどうしようもなくて数値計算になりました。h=0.78393…といった値でした。

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　念願のデルタ十二面体のCGを作ることができました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　机でのデスクワークがだんだん足元が寒い季節になってきました。足元に小さなオイルヒーターを導入しました。
　土曜日で、油断したら午後の更新になってしまいました。

12月6日(日)　デルタ十二面体のCGを作る(その2)

　デルタ十二面体の話の続きです。昨日、デルタ十二面体は各面が正多角形だけで構成された角柱・反柱・角錐に分割できないという話をしました。それではいったいどんなかたちなのか、簡単に説明をしてみたいと思います。

○

　デルタ十二面体は面の数が12、頂点の数が8、稜の数は18です。頂点の構造を調べてみると、次数(頂点に集まる稜もしくは面の数)が4の頂点が4つ、次数が5の頂点も同じく4つあります。骨格モデルの頂点を赤と青で色分けしてみました。

　次数5の(赤の)頂点は折れ曲がった等辺四角形になっていて、一つながりです。次数4の(青の)頂点は2つずつがペアになっていて、ペア同士は離れています。

○

　次に三角形の面の３つの頂点について調べてみましょう。次数が4-4-5の(頂点が青・青・赤の)三角形は４つあります。これも２つずつペアになっていて、２つのペアは離れています。

　一方、次数が4-5-5の(頂点が青・赤・赤の)三角形は８つあります。このタイプの頂点構造の三角形8枚は一つながりになっています。

○

　かたちがわかりやすいように、回転させてみましょう。

　（例によってblogのほうに画像ファイルを置いています。）

○

　さて、上の青い4枚の三角形を外して、赤い8枚の「ひとつながり」の三角形だけを残して隙間を閉じると正八面体になります。逆に、正八面体に切り込みを入れて、隙間をひらいていって、間に正三角形を2枚ずつ入れるとデルタ十二面体になるのです。変化する様子をCGにしてみました。

　仮に正八面体ではなくて球面だったとすると、こんな風に切り込みを入れるイメージです。

　世界地図でいうと、こんな感じでしょうか。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　デルタ十二面体、すっかり気に入ってしまいました。
　今日は妻が乗っている車の十二か月点検です。

12月7日(月)　デルタ十二面体の模型作成の検討

　今日もデルタ十二面体の話です。もともとは「各面が合同な多面体のそれぞれの面を合同な三角形に分割して、その三角形を同じ色が接しないように2色で塗り分ける」という問題を考えていて、その自明ではなさそうな多面体としてデルタ十二面体を考えていたのですが、デルタ十二面体そのものの話が続いてしまっています。

○

　デルタ十二面体が気に入ったので模型を作ってみようと思ったのです。過去にJOVOブロックなどの多角形ブロックで作ったことは何度もありますが、紙できれいな模型を作ったことは実はなかったので(多分)、この機会に作ることにしました。そのときに気が付いた話です。

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　デルタ十二面体は頂点が８つあります。身近な多面体で頂点が８つといえば立方体です。

Cube

　立方体は面が６つで、頂点の次数は3です。６つの面に適切に1本ずつ対角線（筋交い）を入れてやると、合同な直角二等辺三角形が12枚になります。頂点の数は8で変わりません。稜の数は、もともとの立方体の稜が12本に新たに6つの稜を追加したので18本です。12面18稜8頂点で、デルタ十二面体と同じになります。

Added one diagonal to each side of the cube		Delta dodecahedron

　赤い頂点が次数5、青い頂点が次数4です。

　対応する面に同じ色を付けてみました。

○

　変形する様子をアニメーションにしてみました。

　（例によってblogのほうに画像ファイルを置いています。）

　こうして見ていると、合同な鋭角二等辺三角形12枚で同様な等面十二面体が作れそうです。（このCGは途中経過は不正確です。）鈍角二等辺三角形でもできるような気もしますが、凸多面体にはならないかな、という気がしました。ちゃんと考えてみようかな…

　それはともかく、糊や粘着テープなどを使わずにデルタ十二面体を作るとしたら立方体を作る手法が使えそうだということがわかりました。

(つづく)

○

　冬の自宅でのデスクワークで足元が寒かったので、ミニオイルヒーター（アイリスオーヤマ：IOH-505K）という製品を買ったのです。(たぶんこういうリンクは数年後にはリンク切れになりそうです。) on/offスイッチと温度調節のダイアルがあるだけという、こたつと同じような操作性の製品です。

　これを机の下に入れて使ってみたのですが、期待したほどあたたかく感じられません。やはりこたつのように囲ってやらないとダメかと思って、ホームセンターに行って手軽に囲う手段を考えてみました。机の下の空間の広さはW900/H620/D560(mm)くらいでした。

　いろいろ考えて、ジョイントブロック式で連結できる30cm四方のフロアマットを使うことにしました。

　図のように床、奥、天井は2x3で6枚、左右は4枚ずつでフロアマットを繋いでやれば「箱」ができそうです。この「箱」を机の下に押し込んでやれば、ミニオイルヒーターでも十分にあたたかくなるはずです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　12月の最終週(12/28〜12/31)はお休みを取ることにしたので、年内の最終出勤日は12月25日(金)の予定です。年内の仕事もあと3週間です。(今日は夕方に気が進まない会議があって、週明け早々ちょっと憂鬱です。)

12月8日(火)　デルタ十二面体の模型を作る

　デルタ十二面体の模型を作ってみました。今回は面が連なった帯を編む手法で、接着剤などを使わない方法です。

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　昨日、デルタ十二面体は三角形2枚による(折れ曲がった)菱形6面から成る多面体だとみなせることを示しました。この６つの菱形がどのように連なっているのかを図示してみました。

type.1		type.2

　上の図の type.1 のようにジグザグに巡るパターンと、type.2 のように帯がまっすぐになるパターンがあります。 type.2 は2か所に現れます。

　立方体や菱形六面体を帯で編むときには帯が3本必要でした。デルタ多面体を帯状のパーツを編んで作るためには、下の図のようにジグザグな帯が1本とまっすぐな帯が2本必要です。

　これを編むことで、デルタ十二面体を作ることができます。

○

　実際に作ったものの写真を載せておきます。(画像をクリックすると大きなサイズで表示します。)

　改めて「おもしろいかたちだなあ」と思います。こうしてみていると、合同な二等辺三角形12枚の模型も作ってみたくなってきました。

(つづく)

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　昨日簡単な図でご紹介した、仕事机の下にヒーター用の保温箱を設ける話、実際に作ってみたのです。ブロック玩具で多面体を作るのと全く同じ感じで、作るのは楽しいです。

　作ってみると、まあ当然なのですが真ん中がかなり垂れ下がってしまいました。

　細い角材を買ってきて簡単な枠を作ろうかなと思ったのですが、とりあえず家の中で余っている木の箱とか「すのこ板」とかを使ってアーチを作ってみました。すのこ板を2枚入れているのは、高さの調節のためです。

　なんだかこれで十分な気がしてきたので、当面はこれで使ってみようと思います。今も使っているのですがとても快適です。このような囲いがないと、ヒーターは常に通電して発熱しているのにあまり温かい感じがしなかったのですが、こうして囲って手前にも布を掛けると、中がすぐに温まってサーモスタットで電源が頻繁に切れてくれます。たぶん消費電力量も下がると思います。とても良かったです。

○

　世の中には机の下に後付けする「こたつユニット」の製品もあるようなのですが、ジョイントマットやオイルヒーターは状況に応じて別の用途にも使えるので（というかこのような使い方のほうが変則的でしょう）、その汎用性というか使いまわせるところも気に入っています。

＜おまけのひとこと＞
　デルタ十二面体が大好きになってしまいました。

12月9日(水)　鋭角二等辺三角形12枚による凸多面体(デルタ十二面体もどき)を作ってみる(その1)

　昨日の最後に書いておいた、二等辺三角形12枚の多面体を作ってみました。

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　正三角形12枚の凸多面体であるデルタ十二面体の各面を合同な二等辺三角形に変形してみたくなりました。最初に、以前ワークショップ(第2回)で用いた教材の余りのパーツがあったので、それを転用して作ることにしました。

　（このパーツを使った菱形多面体については、2009年3月くらいにコメントしています。）

　菱形に切り分けて、二つ折りにしたものを6枚用意して、木工用ボンドを使って貼り合わせてみました。

　この写真からだとよくわからないかもしれませんが、このかたち、もともとの（各面が正三角形の）デルタ十二面体ととてもよく似ていて、一見しただけでは見分けがつかないくらいなのです。なぜかというとこの二等辺三角形の頂角はだいたい63.4°くらい、底角が58.3°くらいで、正三角形の内角(60°)にかなり近いのです。

　もっと、一見して明らかに面の形が違うとわかるものを作ってみたくなりました。

(つづく)

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　昔、コンピュータというものが世の中に登場したとき、なんて便利で面白いものなんだろうと感動したものです。（40年以上昔です。）容量が1MBのフロッピーディスク1枚を自分の書いたテキストやプログラムコードで一杯にするのにはどれほど時間がかかるのだろうと思ったことを覚えています。

　最近は職場で Microsoft の Teams という情報共有のためのアプリケーションを使っています。Teamsはあくまでも刹那的な情報共有のツールで、たくさんのデータやファイルを格納して長期間保管しておくような用途は想定していないと思います。私は特に職場でIT系のツールなどの担当をしているわけではないのですが、いまだにこういうものは嫌いではないのでなんとなく管理者を引き受けたり、問い合わせに答えたりしています。(定年まであと数年という年齢になりましたが、ありがたいことに一応まだこういったことには職場では詳しいほうだと思っていただけているようです。ソフト開発の職場なので腕に覚えのある人はもちろんたくさんいるのですが。でもスマートフォンののユーザインタフェースはあまり得意ではありません。)

　Teamsは１つのチームのデータの使用容量の上限が10GBと決まっています。私が管理者をしているいくつかのチームのうち一番人数が多いところの使用容量を昨日ちょっと確認してみると、4.35GB使っているということになっていました。内訳を調べてみると、とあるチャネルが3.7GB使用しています。ところが各ファイルのサイズをみると、大きくてもせいぜい10MB程度のものが数十個くらいしかありません。計算が合わないのです。

　さらに調べてみると、原因がわかりました。デフォルトの動作として編集履歴をすべて保存しているため、10MBくらいのファイルであっても100回くらいの編集履歴を保存すると、すぐに1GBくらいになってしまうようなのです。

　いつでも過去のどこかの時点の状態に戻せるというのはとてもありがたい機能です。そのためにぜいたくに記憶領域を使っているということに改めて進化を感じました。

＜おまけのひとこと＞
　ビール系飲料の税金が見直されて以来、ビール(系飲料)を飲まなくなりました。最近は日本酒ばかり飲んでいます。昨日、ちょうど一升瓶が空いたなあと思っていたら(一升瓶は1週間持ちません)、妻が気を利かせて買ってきてくれました。嬉しい…

12月10日(木)　鋭角二等辺三角形12枚による凸多面体(デルタ十二面体もどき)を作ってみる(その2)

　昨日の続きです。一目見て明らかに正三角形ではない、とわかる二等辺三角形で十二面体を作ってみました。

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　まず、少し細長い鋭角二等辺三角形で十二面体を作ってみました。(画像をクリックすると少し大きな画像が開きます。)

　もともとの正三角形12枚のデルタ十二面体も若干細長い多面体ですが、さらに細長い立体になっています。「鑿(のみ)」か「マイナスドライバー」の先端のような感じがします。

　これは普通の「のりしろ」のあるペーパーモデルの手法で作っています。こんな展開図から作りました。

　三角形12枚の多面体で、稜の本数は18本です。展開図は12の面が「ひとつながり」になっているので、接している稜の本数は12-1=11本、残りが7本ですから「のりしろ」は７つ必要です。のりしろをもっと対称性が高くなるように配置することもできるのですが、組み立てやすさを考慮して、こんな偏った「のりしろ」配置にしました。

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　逆に、正三角形よりもかなり直角二等辺三角形に近い鋭角二等辺三角形で十二面体を作ってみました。

　こちらは立方体を歪めたかたち、という印象があります。これもおもしろいかたちです。

　この多面体の展開図はこちらです。

　上の細長いほうの展開図と同じレイアウトにしていますが、立方体の派生らしさを出した展開図にしても良かったかもしれません。ちなみに立方体の展開図でも、のりしろの数は12-(6-1)=7で７つ必要です。

○

　今回は普通のペーパーモデルの手法で作ってみましたが、そうすると重心が偏ったり、若干強度が心配だったりしました。前回のデルタ十二面体の模型のように「面が連なった帯を編む」手法で作るほうが丈夫で重心の偏りが少ない模型ができて良いです。その手法で作り直そうか、どうしようかと思っています。

　いずれにせよこの多面体が作れて満足しました。

＜おまけのひとこと＞
　実は今日ご紹介した写真、昨日のうちにblogのほうに載せてしまっていました。昨日は時間がなくてこちらのサイトでは言及できませんでした。

12月11日(金)　円弧三角形(tricurves)２つをユニットとした模様づくり(その1)

　久しぶりに円弧三角形(tricurves)の話題です。前回は11月前半に何回か記事を書いています。その前は10月下旬でした。

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　円弧三角形は今年知った新しい概念の中でもとりわけ面白いと思ったもので、思い出しては図を作ったりして遊んでいます。いろいろ試す中で、こんな、レンズ状のピースがあったらタイリングパターンの種類が増やせるかなと思って試してみたのです。

　でもなかなか面白いパターンは見つかりませんでした。

　先日、円弧三角形の考案者の Tim Lexen 氏から、円弧三角形２つをこんな風に組み合わせたものをユニットにして並べてみると面白いですよ、という提案をいただきました。

Dual unit of Tricurves by Tim Lexen

　たとえば5つを円環状に並べてみたり(中央に円弧五角形ができます)、

　たとえば10個を円環状に並べてみたり(小さなレンズ型の隙間ができます)、

　これらの周囲に同じユニットを広げていったりした画像をいただきました。（後日ご紹介します。）

　隙間もできますし、ある一定の範囲までしか並べられないのですが、「模様をつくる」という意味ではとても楽しいです。

(つづく)

○

　これまでほぼ毎年ワークショップを担当させていただいていた、パナソニックセンター東京のリスーピア、なんと今月末で閉館になるのです。　最終日に最後のワークショップを担当させていただくことになりました。

　この時期に東京に行くことは不安もありますが(この予定が決まったのは最近急激に感染者が増えるよりも前でした)、リスク対策として、今年の年末年始は会社のお休みに有給休暇をつなげて取得して、リスーピア最終日の12月27日(日)から14日間は出社をしないで自主的に自宅に籠ることで対処することにしました。

　理科や数学に関するミュージアムを一企業が開設して社会貢献してきたということは素晴らしいことだと思うのです。来年度以降のことはまだ何も聞いていませんが、かたちを変えて、何かこういった活動が継続するといいなあと思っています。そして、可能であれば協力させていただけたらいいな、とも思っています。

＜おまけのひとこと＞
　私がボランティア活動として多少なりとも世の中のためになることができるとすれば、こんなことくらいしかないかなあと思うのです。そういった機会をこれまで頂けたことに、とても感謝しています。

12月12日(土)　円弧三角形(tricurves)２つをユニットとした模様づくり(その2)

　昨日の円弧三角形のDualユニットのパターンの話の続きです。

Dual unit of Tricurves by Tim Lexen

　（ちなみにこれは36-72-108°の円弧三角形ですが、30-60-90の円弧三角形でも同様なユニットを考えることができます。）

○

　早速ですが図のご紹介です。昨日のこのかたち

　から広げていったパターンです。左がTim Lexen氏の写真、右が私がトレースして作った図です。

　私は鏡像対称を色分けしているので、外側が鏡像対称パーツになっていることがわかって面白いです。このユニットで外側に広げてゆこうとすると、隙間がとても大きくなってしまいました。

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　次は、陰陽のような2回回転対称のパターンです。

　「陰陽」（Yin and yang：英語のWikipediaにリンクしておきます）というのは、神羅万象あらゆるものを「陰」と「陽」の観点からみる思想です（だと思います）。

　これももっと広げてみようと思ったのですがなかなかうまくいきませんでした。

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　横方向に繰り返されるパターン。（これは自分では図を作っていません。）

　Tim Lexen氏ご自身がコメントされているのですが、これらは隙間を許容していますし、同じ規則で無限に広げてゆけるわけでもありません。でも美しいし面白いと思うのです。

○

　こんな図も作ってみました。10回回転対称です。

　とても面白いです。

(つづく)

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　このところ、クリスマスシーズンらしい折り紙を見かけると折ってみています。こちらのOrigami:Santa's Heart という動画を見て、真似して折ってみました。

　ハートの左側のふくらみにサンタの帽子をかぶせたイメージです。

＜おまけのひとこと＞
　ふかわりょうのエッセイ世の中と足並みがそろわないがちょっと気になっています。

12月13日(日)　数楽工作倶楽部

　数楽工作倶楽部　―多面体の工作で体験する美しい数学の世界― （廣澤史彦：共立出版 2020）という本を買いました。

「数楽工作倶楽部」

　これは、山口大学理学部数学科の数楽工作倶楽部というページでずっと以前から公開されていた工作集を本にまとめられたものです。私も以前からときどき見せていただいて、参考にさせていただいていました。こんな風に本にまとまったのはとてもいいなあと思います。

　この手の工作がお好きな方ならば、持っている価値がある本だと思います。お勧めです。

○

　今年一年、毎朝「算数検定カレンダー」と「数学検定カレンダー」のその日の問題を暗算で解くのが楽しみでした。

　ちょっと面倒な連立方程式とか二次関数の問題とかを計算するのが楽しかったり（よく間違えました）、緻密に問題の条件設定がされているのにその条件をほとんど使わない設問になっていて「質問はそれかぁ…」と拍子抜けしたり、毎朝とても楽しいのです。

　ちょうどこのカレンダーを掛けてあるところに小さな机を置いて、その上にパソコンを置いて妻が使っているのですが、その机の中に私が毎朝服用している薬の箱が入れてあるのですが、カレンダーの問題を解いて答が正解だと嬉しくなって、何をしに行ったのか忘れて（薬を飲むのを忘れて）別のところに行って他のことを始めて、「あれ、薬飲んだっけ？」となったことが何度もありました。

　このカレンダー、来年の分をぜひ購入したいと思って探してみているのですが、見当たりません。今年は出版されないのかな…

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　こちらの折り紙。サンタクロース（オリジナル折り紙）　折り図有りというblogに掲載されていた、サンタクロースの折り紙を折ってみました。

　シンプルで立体的で多面体っぽいところが素敵です。

＜おまけのひとこと＞
　手元の折り紙(用紙)の「赤」がなくなってしまって、赤に近い色で折っていますが、それもそろそろ底をつきます。

12月14日(月)　さわって遊べる木のおもちゃ展

　週末のお出かけの記録です。

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　長野県塩尻市の、塩尻市立自然博物館の特別企画展「さわって遊べる木のおもちゃ展」というのを見てきました。矢野憲司さん、藤森和義さん、西牧伸悟さんの3名の作家の方の合同展です。

　今年の11月21日(土)から年明けの2月7日(日)の2か月半ほどの期間のようです。検索してみると、3年前にも同じ会場で同じ3名の作家さんの企画展があったようですが、このときには気が付きませんでした。

　塩尻市立自然博物館は長野県の塩尻峠を塩尻側に下ったところにある小坂田公園 道の駅の中にある小さな博物館です。「蝶の博物館」とも呼ばれているようで、入口の扉もチョウのデザインになっていました。階段を登って2階が受付で、入ったフロアが常設展示の昆虫の標本がたくさんあるフロア、階段を下りた1階が特別展のフロアでした。

　少し広い会議室といった広さのフロアの四方の壁に長机が置かれ、その机の上に作品が展示されていて、自由にさわって遊べるようになっていました。写真撮影も特に禁止されていなかったようなので、いくつか写真も撮らせていただきました。

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　特に気に入ったのが、「動物積み木　ワニ　バランス」（矢野憲司）でした。7体のワニを使って、自由に積み上げて遊んでくださいという積み木です。2例ほど写真が置かれていて、「これ以外の積み方も試してみてください」と書かれていたのでやってみました。

　安全のために面取りされていて、手触りはとてもいいのですが積み上げてゆくと少し滑りやすくてバランスさせるのはちょっと大変です。でもそれも楽しみのひとつです。

　逆立ちさせて高く積んでみました。

　崩れると積み木を傷めてしまうので、気を付けて積んで、崩すときも１つずつそっと取り除きました。

　朝早かったせいか、私と妻以外の来館者がいなかったので、30分近く「貸し切り状態」でいろいろな玩具を試させていただきました。楽しかった…

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　こういった木のバランス積み木は好きで、昔ネコの自由積木というのをご紹介したことがありました。

　これは上田市の銀河工房というところの製品なのですが、「赤ちゃん積木」「ネコの自由積木」をご紹介したことがあったと思います。これ以外にまだご紹介していない「とっておき」のセットをもう2セット持っているのですが、いつかこのページに書くネタに困ったら使おうと思っていたのです。でもそんな機会がないまましまい込んで忘れてしまっていました。そのうちご紹介したいと思います。

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　地元関係の記事を２つほど。

　まるで宝石箱のよう…　長野県で撮影された『２枚』に心奪われる。上記の小坂田公園のある塩尻峠から北東の方向にある「高ボッチ山」から撮影された朝の写真のようです。（記事の中に「明け方の『一瞬』をとらえた2枚」と書かれていますが、星が流れているので長時間露光だと思います。ごめんなさい、記事が言いたいことはわかります。）　雰囲気のあるとても美しい写真だと思いますが、朝にしては街の灯が明るすぎる気がします。

　もう１つ、上の記事の写真の中央に写っている諏訪湖に関する記事です。冬の諏訪湖を一周するのに適した靴は「サンダル」でした(デイリーポータルZ：地主恵亮)。　私は自転車で一周したことはありますが、歩いて一周したことはありません。私の勤め先の会社では、4月の新入社員の集合研修の最後に「諏訪湖を一周歩く」というイベントをやっていたような気がします。（私が入社したころはそんなイベントはありませんでしたし、そもそも私は中途採用なので新卒の研修は受けていませんが。）割と楽しいのではないかと思います。

＜おまけのひとこと＞
　企画展の話はblogのほうにももう少し書きました。よろしければご覧ください。

12月15日(火)　モザイクの看板

　15日なので(過去のページの最下段の日なので)単発の軽い話題です。

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　昨日ご紹介した塩尻市立自然博物館のある、道の駅「小坂田公園」にこんな看板がありました。

　モザイク画のように小さな正方形のユニットで作られた看板なのですが、遠くから見るとそれぞれのピースが不規則に角度を変えてゆらゆらと揺れているように見えるのです。近くまで行ってみることにしました。

　近くでみるとかなり大きいです。１つ１つのユニットは、黒いメッシュにカラビナのように引っ掛けて取り付けられていました。これが風であおられて角度が変わって、遠くから見ると角度によって色合いが変わって見えていたのだということがわかりました。

　空間解像度は粗いですが、風を逃がす分、ただ色を塗るだけの看板よりも強風には強いのかなと思いました。補修も簡単そうです。面白がって写真を撮っていたら、通りかかった黄色いユニフォームを着たちょっと年配のスタッフの男性の方から「これ、珍しいですか？」と声を掛けられました。「いや、とても面白くて」と答えると、「これ、私どもが作ったんです。季節によって表示を変えたりするんです。」と教えてくれました。なるほどピースは付け替えが可能ですからそんなこともできるわけですね。

　でも、この看板全体のピースを入れ替えるとなるとかなり大変だと思いました。足場も必要でしょうし、1画素ずれていたりしたら悲惨です。でもちょっとやってみたいかも、と思いました。

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　ここ1年くらい、バッハの平均律クラヴィーア曲集の特に2巻が好きになって、ひたすら聴いたり弾いたりしています。いい曲、面白い曲がたくさんあって飽きません。

　最近は2巻の21番のB-dur(変ロ長調)がお気に入りです。プレリュードとフーガの冒頭の楽譜を載せておきます。

　途中の手の交差と跳躍がちょっと大変です。基本は三声で、ところどころ一番短い音符だけが連なる対位法の二声になります。特に後半のフェルマータの後が印象的です。

　この淡々としたフーガがとても好きです。こういう曲をゆっくり静かに弾いていると気持ちが落ち着く気がします。じんわりと心の中にしみ込んでくる感じがします。この味わいは若いころには全くわかりませんでした。

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　検索してみると、YouTubeでシフ や アンジェラ・ヒューイット の演奏を聴くことができました。

＜おまけのひとこと＞
　今週は全国的に寒くなるようです。雪も心配されています。今（朝4時です）、窓の外を見るととりあえず雪は降っていないようです。（まだ真っ暗ですが）
　今日は終日いくつかの委員会に参加し続けるのですが、ネットワークが安定しているといいなと思っています。