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以前の「ひとこと」 : 2020年12月後半



12月16日(水) 雪の結晶の折り紙(その1)

 12月も後半になりました。早いものです。今年もあっという間でした。



 1年ほど前に、A4のコピー用紙から切り出した正六角形の用紙を用いて折った雪の結晶の折り紙をご紹介したことがありました。

origami snowflake

 これは、確かYouTubeのこちらの動画を見て折ってみたものです。これを折ったのは2018年の12月のクリスマスの直後くらいでした。これをトレーシングペーパーで折って窓に飾ったら光を透過してきれいではないだろうか、と思ってトレーシングペーパーを買ってあったのです。そのまま2年ほど経過していたのですが、先日思い立ってトレーシングペーパーで折ってみました。

 こんな感じになりました。(写真をクリックすると拡大します。)

 …言い訳をすると、トレーシングペーパーは紙の縁や折り筋がちょっと見えにくかったりして、正確に折るのが難しいのです。なので誤差が出てしまって、中心がきちっと揃っていなくて残念な感じです。でもまあ普通の紙で折るよりは、窓に貼って飾るにはふさわしいかなと思っています。

(つづく)



 √i って何? という問題を見かけました。 i は虚数単位です。皆さんなら何と答えますか? 

 参考までに、「√2って何?」「2の平方根って何?」「二乗して2になる数って何?」という問い(の違い)を考えてみてから「√iって何?」という問いに答えようとしてみると、論点が少し明確になるかもしれません。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 1年前の自分のページを読んでいたら、トレーシングペーパーで雪の結晶の折り紙を作るのを「この週末にやってみようと思う」とか書いてありました。実際にやったのは1年後です。近いうちにやってみようと思っていることが平気で1年〜2年後になってしまったりして、我ながら呆れます。






12月17日(木) 雪の結晶の折り紙(その2)

 寒いです。掛け布団を1枚増やしました。



 昨日に続いて、1年ほど前に折ったもう1つのタイプの雪の結晶の折り紙もトレーシングペーパーで折ってみることにしました。

origami snowflake

 これは、YouTubeのこちらの動画を見て折りました。

 この折り紙は難しくて、うまく折れていません。(写真をクリックすると拡大します。)

 こんな感じにテラス窓に貼っています。遠目に見ると細部が見えないので雰囲気がいいです。背景に八ヶ岳が見えています。

 雪景色を背景にした写真のほうが似合うかなあと思っています。

 これ以外にも正五角形から同じ折り方をしてみたものとか、余った部分で小さくて簡単な六角形の雪の結晶の折り紙とかも折ってみたのですが、その紹介は省略します。



 昨日の√i って何? (i は虚数単位) という問題の話の続きです。 

 昨日、「√2って何?」「2の平方根って何?」「二乗して2になる数って何?」という問い(の違い)は…という問いかけをしました。「2の平方根」=「二乗して2になる数」です。これは解が2つあって、無限小数の書き方をすると、1.41421356… と、-1.41421356… になります。「√2」は、この2つのうち正の数を表します。

 同様に、「二乗してiになる数」を考えることが可能です。代数の基本定理 fundamental theorem of algebra が述べているように、「複素数係数の n 次方程式は複素数の範囲で(重複度も含めて)n 個の解を持つ」ので、「二乗してiになる数」(複素数)は2つ存在するはずです。

 まず、

と置いてみます。両辺を二乗して計算すると

 といった感じで、aとbを決めることができます。 今日は答までは書きませんが、得られる2つの解(根)のうち、どちらがプラス√iでどちらがマイナス√iなのか、という問いはナンセンスです。プラスとかマイナスというのは、数直線上でゼロをはさんでどちら側なのかを表す概念なので、複素平面上で、実数軸上でも虚数軸上でもない一般の複素数が「プラス」か「マイナス」かを問うのは意味がありません。(実数部、虚数部それぞれにプラスとマイナスはありますが。)

 こういうのは複素平面(ガウス平面)上で幾何学的に考えるのが好きです。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 何もこんな話題で何日も引っ張らなくてもいいような気がしますが、昔、自分が中学生のころに「2の平方根=√2」という誤った理解をしていたことがあったことを思い出したのです。それでこんなに丁寧に書いています。

 昨日は勤務先で、社外の方とのリモート会議がありました。社外とのリモート会議のときは情報セキュリティの観点で個室から参加することになっています。(不用意に周囲の人の音声が聞こえたらまずいので。)会議室がなかなか確保できなくて、少し遠い建物のはずれにある会議室を予約しました。朝1番の会議だったのですが、部屋に入ると室温が9℃くらいでした。すぐに暖房のスイッチを入れたのですが、10分以上経っても「暖房:準備中」の表示のままなのです。これは何かおかしいのではないかと思って建物の管理部門に電話しました。すぐに見に来てくれたのですが、「あーこの設備は古いので、時間がかかるんですよ。待っていれば運転がはじまりますから。」と言われました。結局暖房が動き始めたのは45分後くらいで、部屋が温まってきたのはさらにそれから30分以上経過してからでした。すっかり身体が冷えました。なるほど誰も予約していないわけだ、と納得しました。






12月18日(金) Set Square Cubed再考

 先月、11月4日から何回か書いた、直角二等辺三角形6枚の頂点だけを連結させて立方体の構造を作るモデルの話の続きです。

Set Square Cubed

 三角定規のもう1つのかたちである直角三角形6枚で同じようなことをやろうとするとこんなことができるということを書きました。

 でも実は6枚も使わなくても4枚で同じようなことができる、ということに気が付いてしまいました。これを思いついたのは、以前作った模型を整理しているときにこの構成の正四面体モデルを帯を編む手法で作ったものを見かけたためです。(その模型の写真を探したのですが見つかりませんでした。)

 こちらは使っている三角形の数は4で、頂点の構造も異なります。でも正四面体を構成しているという点でオリジナルのSet Square Cubedと同じ系列であると言うことができます。前回は 6枚 使うということころと頂点の構造が同じというところにこだわったのですが、こちらのほうがきれいな構造かなあと思いました。



 この直角三角形4枚を頂点で連結したかたちの模型を作ってみたくなりました。部材は透明なものを使えるといいなあと思います。100円ショップで三角定規のセットを4つ買ってきて粘土か何かをジョイントにして作ってみようかなと思いましたが、大きすぎて邪魔になりそうです。クリアフォルダを切って作ろうかな。

<おまけのひとこと>
 すみません今日は簡単な更新です。






12月19日(土) 各面を二等分した正四面体の模型、clouds落下

 昨日のこのかたち、

 このように面が分割された模型を以前作ったことがあったのでした。(画像をクリックすると拡大します)

 拡大してみないと面の様子とかがわからないかと思います。

 これは多分、こんな型紙(帯2本)で編んであるのだと思います。

 以前ご紹介していないか探してみたのですがみつかりませんでした。型紙も見つかりません。仕方なく図を作り直しました。後で実際に作って確かめてみようと思います。



 今朝、珍しくリビングのテーブルで更新作業をしていたのです。妻から「何も家の中の複数個所を暖房で温めなくてもいいのでは?」という至極もっともな意見を言われて、それじゃあそうしてみようかと思ったのです。そうしたら、作業中に背中の壁から突然クラウドが降ってきてとてもびっくりしました。

 床の上に盛り上げておくと、不思議な存在感です。

 なんだかちょっと恐竜みたいにも見えます。

 細いテグス糸で吊っていたのですが、切れてしまったようです。

 よりによってなぜ私が作業しているときに落ちてきたんだろう?と思いましたが、自分がいるときだったので、すぐに対処できて良かったです。妻が「せっかくなのでお掃除しよう」といって掃除機掛けをしてくれました。季節柄すす払いができて良かったです。

 今度はもっと太くて丈夫なテグスで吊り直しました。

 これで大丈夫。良かったです。

<おまけのひとこと>
 「リスーピア」最終日のワークショップ、岡部先生と二人で担当させていただくということで11月に計画していたのですが、COVID-19感染の猛烈な増加で行くのが難しくなってきました。教材は準備していますし、新しいスライドも準備中です。最悪、岡部先生にお話いただくことになるかもしれません。






12月20日(日) 数学の問題、正月飾り

 今日(2020年12月20日)の算数検定カレンダーの問題が面白かったので、ちょっとだけ改変してご紹介します。

 長針と短針のある普通のアナログ時計があります。3時のとき、長針の先端(12時の位置)と短針の先端(3時の位置)と時計の中心の3点が成す直角三角形の面積が3でした。それでは5時のとき、長針の先端(12時の位置)と短針の先端(5時の位置)と時計の中心が成す三角形の面積は?

 解説、解答は載せません。



 今年はお正月飾りは自分で折り紙を折った飾りを縄に貼り付けて作ろうと思っています。

 まだ固定していませんが、こんな感じに「鶴」「亀」「鯛」などを配置してみようと思っています。



 久しぶりにスノーマンの絵本(楽譜付き)を出してきて、弾いてみました。

 中はこんな感じになっています。

 音楽がとてもいいです。

<おまけのひとこと>
 すみません、更新が午後になってしまいました。
 地域の市町村の3つの図書館を回って、全部で30冊以上の本を借りてきました。年末年始休みの楽しみが増えました。






12月21日(月) 正四面体を六等分する(その1)

 しばらく前に考えていた、正四面体の六等分、紙で模型を作ってみたくなりました。先にCGでイメージ図を作ってみました。今日はCGが主役です。



 六等分なので、正四面体の6つの稜の1つ分と考えるのが自然です。素直に分割すると、六分の一の多面体はこうなります。

 同じ正四面体の向きで、分割された各々の多面体を描画してみます。全部別々だと図の数が増えてしまうので、向かい合う2つずつを描画してみることにしました。

 全部まとめるとこんな感じです。CGだとこういう図が正確に描けるのでとても気持ちがいいです。

 1つだけを取り出してみました。(この図だけスケールがちょっと大きいです。)

 これはどんなかたちでしょうか。面の数はいくつでしょうか。頂点の数はいくつでしょうか。面は何種類あるでしょうか。それぞれの面の形はどんなかたちでしょうか?

(つづく)



 年末年始休み用に図書館で借りた本を立ててみました。

 楽しそうです。



 YAMAHAのピアノで楽しむ クリスマス・ソング Best Selection2020という楽譜を買いました。

 上記の公式ページでは、いくつかの音源にリンクしています。最近ジャズ風のアレンジが気に入っていて、良い曲がいくつもあって、買ってよかったです。

<おまけのひとこと>
 今日も寒そうです。さあ仕事仕事。






12月22日(火) 正四面体を六等分する(その2)

 昨日考えた正四面体を六等分する多面体ですが、模型を作るために面の形を計算しました。CGを作るために、こんな風に座標系に入れています。

 座標軸も描画したほうがわかりやすかったですね。(今朝は時間がなくて図をつくりなおすことができません。残念…)

 この青い立体を構成する面は2種類あって、4枚と2枚を使います。できるのは六面体です。背の低い三角錐を2つ貼り合わせたかたちをしています。

 鈍角二等辺三角形のほうは、正三角形を3等分したものなので120°-30°-30°です。もう片方の4枚使っている三角形はどんなかたちでしょうか?実はExcelで余弦定理の数値計算をしてみたのです。そうしたら1つの角のコサインがゼロになって、「あ、これ直角三角形だ!」とびっくりしました。

 でも上の図の向きで考えているから気が付かなかっただけで、普通に正四面体の1つの面を床に接する向きにしてみれば、立体の中心と面の中心を結ぶ線は面に垂直ですから、ここが直角になるのは当然で、びっくりすることは何もありませんでした。



 まあそれはともかく上の三角形から今回は「のりしろ」付きの普通のペーパーモデルの展開図を作って、

 それをA4の用紙に6つレイアウトして、印刷して折り筋をつけて切り出して組み立ててみました。

(つづく)



 このお正月の松飾を自作しようとしているということを書きましたが、しめ縄などについている白い長方形が連結されたような紙、あれを付けたいなと思っています。名前を思い出せなくて、「しめ飾り 白い紙」で検索してみると「紙垂(しで)」という名称であることがわかりました。

 高校の担任の先生(矢羽勝幸先生:wikipediaに載っていてびっくりしました)が神主の資格(と言って良いのでしょうか)をお持ちで、この「紙垂」の折り方を高校の授業で教えてくれたのですが、そのときに覚えたはずの「紙垂」という言葉、忘れてしまっていました。

<おまけのひとこと>
 来年度の予算を計上する時期になってきました。来年の出張の計画を作ってくれと言われたのですが、果たして実際に移動するような出張がどのくらいあるのか、まるで予想が付きません。






12月23日(水) 正四面体を六等分する(その3)

 昨日のペーパーモデルの展開図を印刷して模型を作ってみました。今日はその写真のご紹介です。それぞれの写真はクリックすると拡大します。



 折り筋を付けて切り抜いたところです。A4の用紙にこんな風にレイアウトしています。

 組み立ててみました。6つをそれぞれいろいろな向き、姿勢にしてみています。といっても面は2種類しかないので、そのどちらを床に接するように置くか、という選択肢しかありません。

 4つと2つに分けてみたところ。内部の様子がわかるこの状態が気に入っています。

 完成品の正四面体から1つだけ外してみたところ。

 完成した正四面体です。軽い中空の紙模型ですが、意外とかたちを保ってくれています。

 イメージ通りのものができました。

(つづく)



 最近また「あやとり」をやってみています。改めて「あやとり」や「折り紙」は「音楽」に似ているな、と思っています。いずれも再現芸術なのです。(芸術なんていうと大げさですが。)創作した人(音楽でいうと作曲家)がいて、それを再現する人(音楽でいうと演奏家)がいます。古典的な伝承作品は誰が作ったのかわからない、人から人に伝えられて作り上げられたものがあるというのもよく似ています。大部分の人は誰か親しい人から直接教えてもらって覚える、というのも似ていますし、それを記録するのが簡単ではない、というのも似ています。(最近は簡単に動画が撮れるようになったので、だいぶ変わりましたが、それも今世紀に入ってからのことだと思います。)

 子どものころに覚えたあやとりは今でも手が覚えているのですが、大人になってから本で学んだあやとり作品は自分の中に定着していなくて、久しぶりにやってみようとしても忘れていて、もう一度本を見て勉強し直しています。

<おまけのひとこと>
 最近、日付や曜日の変更し忘れが続いています。いつも前日の分をまず丸ごとコピーしてから編集を始めるのですが、今日は何を書こうかということに意識を集中して作業していると、日付とか曜日とかを更新するところがおろそかになってしまうのです。






12月24日(木) 正四面体を六等分する(その4)、幾何の問題

 昨日のペーパーモデルの写真の続きです。それぞれの写真はクリックすると拡大します。



 同じ多面体があると、ブロックのようにくっつけてみたりしてみたくなります。2つずつ、面を合わせてみました。

 こんな風に並べてみました。もう6つあると六角星のように並べられそうです。

 反対側から見たところ。

 こんなデザインのホールとかがあったらかっこいいかもしれません。



 YouTubeに5 Rectangles Puzzleという幾何の問題とその解説が紹介されていました。こんな問題です(図は自分で描き直しました。この図もクリックすると拡大します。)

 正方形を面積が等しい5つの長方形に分割しました。図の長方形Bの高さが4のとき、この正方形の面積を求めなさい という問題です。動画の解説を見る前に、ぜひ考えてみて下さい。

 私が考えた筋道を blog のほうに載せておきました。よろしければご覧ください。

<おまけのひとこと>
 「再現芸術」という言葉で検索してみると、思いがけないページが上がってきたりして面白いです。再現芸術と惑星科学という記事が面白かったです。






12月25日(金) 正八面体を十二等分する(その1)、他

 正四面体の六等分が面白かったので、他の正多面体でも同じことをやってみたくなりました。立方体でやってもあんまり面白くなさそうなので(主観です)、正八面体でやることにしました。 



 「同じこと」と書きましたが、ここで考えている正多面体の等分割で得られるのは、正多面体の稜に注目して、その稜を含む双三角錐(六面体)です。多面体の中心と稜の両側の面の中心と稜の両端の頂点、あわせて5つの頂点から成る双三角錐です。正八面体の場合、CGで描くとこんな感じです。

 正八面体には球面でいう「大円」に相当する閉路が3つあります。それぞれの稜を含む分割多面体4つずつを描画するとこんな感じになります。

 12個全部を描画するとこうなります。

 以上の図は全て視点は同じです。美しい、面白い、と思うのですがいかがでしょうか。



 なぜこれが興味深いと思ったかというと、正四面体の六等分の六面体と合同な面を合わせるとこんな凸多面体になるのです。

 このかたちが非常に興味深いと思ったのでした。これ、何面体でしょうか? どんな多面体でしょうか?

(つづく)



 北大の石川剛郎(いしかわごうお)先生のサイトが非常に面白いのです。特に問答集が素晴らしいのです。面白くて読みふけってしまいます。たいへんお勧めです。

 面白いと思った話の引用を始めたらきりがないので書きませんが、1つだけご紹介すると、やや数学の本論とは離れた話題ですが、幾何学の「幾何」はなぜその言葉なのか(理由:中国語で「幾何」を発音すると“geo”に近い音なので)という話とか、なるほど、と思いました。この疑問自体が新鮮でした。

<おまけのひとこと>
 今年もあと一週間です。いやはや。






12月26日(土) 立方体を十二等分する(その1)、他

 正多面体を、それぞれ1本だけ稜を含む合同な双三角錐に分割する話をしています。昨日「立方体でやってもあんまりおもしろくなさそう」と書いたのですが、そんなことはありませんでした。いきなり寄り道ですが立方体の話をします。



 昨日ご紹介をした正八面体の場合と同じく、立方体の中心、稜の両端、その稜を含む2面の中心、の5点を頂点とする双三角錐を考えます。

 これを立方体の12本の稜に1つずつ配置すると、ちょうど立方体を隙間なく重なりなく充填します。このかたちがどんなかたちなのか、補助線というか格子線を入れてみました。

 これは、ちょうど立方体を三等分する四角推を2つ貼り合わせたものになっています。

 この双三角錐をいくつか連結して、立方体を等分割するモデルを考えてみることにしました。

(つづく)



 図書館で借りたおりがみペットアイランド(フチモトムネジ:2015)に載っていた「クラゲ」を折ってみました。

 残念ながらこの本は絶版らしいです。ちなみに先日、作成中のお正月用のしめ縄飾りの写真を載せましたが、そこに載っているカメの折り紙もこの本に載っていたものでした。



 blogに書いた正方形を面積が等しい5つの長方形に分割するの記事に、昨日コメントをいただきました。ありがとうございます。テキストだけで書かれているのですが、動画の解法でも私が書いた解法でもない解き方(考え方)が書かれていてとても感心しました。ありがとうございました。



 東京で就職している娘と息子から24日(木)にクリスマスプレゼントが送られてきました。もう10年以上前から毎年もらっている来年の手帳と、室内用のとても温かい靴下をもらいました。嬉しいです。

<おまけのひとこと>
 多面体系の話をするときに、参照する図をどうしようか、過去に類似の図を紹介したのはいつだったっけ、と毎回検索したりしています。googleが検索してくれるので良いと言えば良いのですが、系統的に整理をしようかなと思い始めました。まとまった時間が取れそうなこの機会に、日々の更新とは別に過去のコンテンツの中の代表的なものをまとめてみようかと思います。問題はそのデータをどのサーバに置くか、です。まあまとまったら考えるか…






12月27日(日) 正方形を面積が等しい長方形N個に分割する、他

 昨日の話からさらに脱線して別の話題です。クリスマスイブの日にこんな問題をご紹介しました。

 正方形を面積が等しい5つの長方形に分割しました。図の長方形Bの高さが4のとき、この正方形の面積を求めなさい という問題です。 この問題を解いてみながら、面積5等分ではなくてN等分にしたらどうなるだろう、と思ったのです。今日はその話を書きたいと思います。



 この問題は、面積が1/5の長方形を順番に1つずつ切り取ってゆく操作をしているように見えます。一番最初(図のA)は正方形から切り取りますが、2つ目(図のB)以降は、残った長方形の長辺をカットするように面積1/5の長方形を切り取ってゆきます。この操作を渦巻状にやっていると見なすことができます。同じことを面積11等分でやってみました。

 いかがでしょうか。与えられた正方形の1辺の長さを1とすると、各長方形の縦・横の長さはどうなるでしょうか。

 渦巻き状にカットするのではなく、必ず右側と上側を切るようにすると、こうなります。

 これ、すべての長方形のかたちが違っていると面白いのですが、最後の2つが同じかたちになってしまうのが残念です。「ほとんどすべての長方形のかたちが異なるようにN等分せよ」という問題の解にはなっているのですが、「すべての長方形のかたちが異なるように正方形をN等分せよ」の解ではありません。

 また、N等分のNを大きくしてゆくとどうなるでしょうか。



 昨日は車の定期点検の日でした。点検が終わるのを待っている間に、N等分のNを増やしていくとどうなるのかというのを持参したノートで計算してみました。

 N等分したときのk番目の長方形のタテヨコの長さは規則的に記述できそうです。(ちなみに上の手書き、書き間違いがあります。載せた後に気が付きましたが、面倒なので修正はしません。すみません。)

 ちなみに私は古い人間なので、こういう計算は手書きでないと効率よくできません。私にとってパソコンは「数式を清書するマシン」であって、書きながら考える道具にはなっていません。タブレット端末やスマートフォンのユーザインタフェースならば、できる人はできるのだと思うのですが、どうも馴染めません。

 昔、ワープロ(ワードプロセッサー)という製品が使われ始めたころ、あれは清書マシンだということで紙の上に手書きで原稿を作ってから最後にワープロ入力する、というスタイルで使われていたこともあったらしいです。そんな使い方を「なんてもったいない、無駄なんだ」と思っていましたが、それと同じことを数式では自分がやっているのが残念です。



 地元の応援の意味も含めて、蓼科高原 バラクラ イングリッシュガーデン に行ってきました。まだ早い時刻だったのでとても寒かったですが、完全に貸し切り状態でゆっくりお散歩ができました。

     

 天気が良くて風もなく、比較的穏やかでした。

<おまけのひとこと>
 この春東京で就職した息子と相談して、この年末年始は帰省はしないということになりました。賢明な判断だと私は思うのですが、一方で、一人での年越しはわびしいのではないかな、かわいそうだな、とも思っています。(当然ですが、妻もとてもがっかりしていて、こちらもとてもかわいそうです。)






12月28日(月) 立方体を合同な4つの立体に分割する(その1)

 正多面体を稜の本数分の合同な双三角錐に分割する話の続きです。立方体の場合だと、与えられた立方体の12分の1になるこんな双三角錐(六面体)になりました。

 今日はこれを3つ組み合わせて、立方体を合同な4つの多面体に分割することを考えてみます。



 まずは、立方体の1つの頂点に集まる3つの稜に上記の双三角錐を配置してみました。わかりやすいように格子も描画しています。

 6面体を3つ、それぞれ2つずつの面が接するように貼り合わせています。もともとの6つの面のうちの4つずつが外側に残ることになるので、単純に考えると4×3で12面体になるかと思いきや、隣り合う面が同一平面上にあるため、実際にできるのは六面体です。

 色を変えて、2つずつを描画してみます。理解の助けになるかと思って格子も描画しました。

 4つ全部を描画してみました。格子あり(左)と格子なし(右)です。

 「1辺の長さが2の立方体を合同な4つの凸六面体に分割しなさい」と言ったら、普通は 1 x 1 x 2 の直方体4本に分割すると思います。でもこれも解の1つなのですね。これはこれでとても素直で自然な分割だと思います。

 これ、模型を作って「4つで立方体を作ってね」というパズルにしたら簡単でしょうか。模型、作ってみようかな。

(つづく)



 地元の「今井書店」という本屋さんのファンです。地方の小さな本屋さんですが、品揃えを工夫されていて、行ってみると面白そうな本があって楽しいのです。

 昨日、出かけたついでにちょっと立ち寄ったときに何冊か買ったのですが、そのうちの1冊が日本こままわし協会というところから出版されている「まるごとこままわし教室 公式日本こままわし協会BOOK こま技BEST45 初心者でもマスターできる!」という本でした。

 こままわしの遊びのテクニックのいくつかは、小学校の担任の先生や私の両親から少しだけ聞いたことがありましたが、こんなにたくさんあるとは知りませんでした。いわゆる「スキルトイ」の1つとして、様々な技(トリック)があるのですね。私が聞いたことがあるのは「回っているコマを手に載せる」「ひもを伝って左右の手の間を移動させる」「床で回っているコマをひもで跳ね上げて手に載せる」とかです。手に載せるのはさんざん挑戦して、数回できたことがあります(成功率は多分100分の1以下くらい)。

 私は左利きなので、通常とは逆にひもを巻かないといけないはずなのですが、右利き用の巻き方で内側から投げるやり方しかできません。子供のころに初めてこままわしをやってみたとき、教えてくれた人がひもを巻いてくれたのですが、それが右利き用の巻き方だったのです。変な癖がついてしまいました。(左利きだとよくある話です。)

 この年末年始休みに、久しぶりにこまを回してみたくなりました。でも、上記の本にも注意書きが書かれていますが、家の中で回すと床が傷むし、ガラスを割ったりしたら大変です。うーむ。

<おまけのひとこと>
 いい加減年賀状を書かないと… 今年は何をメインコンテンツにしようか…






12月29日(火) 立方体を合同な4つの立体に分割する(その2)、他

 立方体を、12本の稜1本分の合同な双三角錐に分割したこんな双三角錐(六面体)

 を3つ組み合わせて、立方体を合同な4つの多面体に分割することを考えてみています。



 立方体の稜を3本×4色に塗り分けてみました。同じ色の稜は連結していること、4色のかたちが合同であることが条件です。

 昨日ご紹介したのは、上のAのパターンでした。今日はBのパターンのCGを作ってみました。格子ありと格子なしです。

 上の図でBと書いたものとは向きが違います。この立体4つで立方体ができる、というのはちょっとしたパズルになるかもしれません。そんなに難しくはないかな。

 2つ目のパーツも描画してみました。

 2つを合わせてみると、これが立方体のちょうど半分になっているのがよくわかります。

(つづく)



 日曜日に今井書店で買ってきた本の2冊目です。茅野市の今井書店 本店 のほうではなく、今井書店ふじみ店 のほうで買いました。

 買ったのはものがたりの家−吉田誠治 美術設定集−(パイ・インターナショナル 2020年7月:2,200円) という本です。とても美しい、いろいろなことを想像させる楽しい本でした。

 空想の家が33点収録されています。左側のページにイラストが、右側のページには建物の内部の俯瞰図や間取り図が描かれています。ちゃんとトイレやシャワー、キッチンなどが考察されて、建物の保守管理などにもコメントされているのがとてもリアルです。 上記のリンクの公式ページに行くと、太っ腹なことに7点の建物の見開きページを見ることができます。

 たいへんお勧めです。こんな本を店頭に置いてくれて、本屋さんに感謝です。

<おまけのひとこと>
 昨日のお昼過ぎから体調が悪くなって、昨日の午後から今日の午前中にかけてずっと寝ています。といっても眠りはずっと浅くて、続けて1時間程度しか眠れません。26日(土)、27日(日)、28日(月)と毎日出かけて疲れているのかなと思っています。それとも28日の朝に自分で髪をカットしたのですが、例によって調子に乗って切りすぎて頭がちょっと寒いのです。それもいけなかったか…。 いずれにせよ少しペースを落とします。(といいつつ少し回復したので早速更新をしています。)






12月30日(水) 立方体を合同な4つの立体に分割する(その3)

 立方体を、稜3本を含む4つの合同な立体に分割することを考えています。

 昨日までに、上の図のAのパターンとBのパターンをご紹介しました。今日はC,Dのパターンです。(ちなみにCとDのパターンは何が違うかわかりますか?)



 このユニットは上下・左右・前後の稜を1本ずつ含んでいる構造です。凸多面体ではありません。立方体の中心のところが特殊な頂点です。視点を固定して、格子あり、格子なしの図と、透明度を下げた図の3種類を描画してみました。どんなかたちなのかイメージできますでしょうか。

 同じものを鉛直軸回りに180度回転させたものも載せておきます。

 もう2つ、色を変えたものを作ってみました。

 これらを2つずつ合わせるとこうなります。

 4つすべてを描画してみました。

 この模型は作ってみてもいいかも、と思っています。

(つづく)



 自宅の買い物圏の中に八ヶ岳リゾートアウトレット があります。(自家用車が交通手段となる地方では、車で1時間以内は買い物圏内です。)我が家にあるブロック玩具やパズルのうち、少なくとも半分以上はここにあったボーネルンドで買いました。ボーネルンドはなくなってしまいましたが、先週末、久しぶりに訪問してみました。

 ここ数年は一時期のような賑わいがなくなってきて心配していたのですが、今年はさらにコロナ禍の影響で来訪者が減っているようで、お店が少なくなっている感じがします。ボーネルンドの後に、toi toi toy(トイトイトイ)という木製玩具や知育玩具のお店ができていて、いつも必ずそこには寄っています。今回そのお店の場所が閉鎖されていてショックを受けたのですが、下のほうに下ってゆくと別の建物で営業していました。(サイトに移転のお知らせがありました。) ボードゲームの名作「スコットランドヤード」の東京版が20%割引で売られていたので買ってしまいました。

 ボードゲーム「スコットランドヤード」は、1983年のドイツボードゲーム大賞受賞作で、ボードゲームの古典の1つだと思います。怪盗ミスターXがロンドンの町中に現れて、6人の刑事が逮捕のためにミスターXを追ってゆくというゲームです。ミスターX役が一人、残りのプレーヤーが刑事役になって、刑事役が相談しながら追いつめてゆきます。通常は刑事役が複数いるほうが盛り上がりますが、個人的には1対1のプレイが白熱する頭脳戦になって、疲れるのですがとても楽しいです。

 1対1でも、刑事側は推理している内容を口に出して次の行動を説明すると、ミスターX側の動揺を誘います。今回は東京版なので、地域に馴染みがあって面白いのではないかと期待しています。

<おまけのひとこと>
 年賀状、ようやく書き終わりました。これから出してきます。






12月31日(木) コンウェイのライフゲーム、今年最後の満月

 世の中が激変した2020年も今日が大晦日です。今年この世を去った偉大な人々の中でも特に衝撃を受けたのは4月に亡くなったJ.H.Conwayでした。ニューヨークタイムズの12月28日のThe Lasting Lessons of John Conway’s Game of Life(ジョン・コンウェイのライフゲームの永続的な教訓) という記事が素晴らしかったので、今年最後の更新ではその簡単なご紹介、というかページ冒頭の動画の解説をします。



 上記のページを開くと、ライフゲームのアニメーション動画が流れています。これをぜひ見ていただきたいのです。

 ライフゲームというのは、1つのセル(マス)が生きている状態(1)と死んでいる状態(0)の2つの状態を取ることができて、周囲の8つのセルのうち、生きているセル(1)の数によって次の時刻のそのセルの生死が決まる、というモデルで、セル・オートマトンの一種です。コンウェイの定めた「周囲が3の時に生まれて、周囲が2か3のときだけ生き残る」という規則が素晴らしくて、予測不能な精緻なパターンが生成されます。

 初期のライフゲームの研究では、固定された安定なパターン、移動するパターン(最もシンプルで代表的なのがグライダーです)、増殖し続けるパターン(グライダー・ガンと呼ばれるグライダーを生成し続けるパターンが発見されました)などが見いだされました。また、これらを部品として利用することで、論理回路が生成できるとか、様々な発展がありました。

 また、セル・オートマトンのルールを様々に変えたり、フィールドを変えたり、空間や時間を連続量に変えたり、様々な研究が行われました。本当に豊かで面白い世界です。(上記の記事の中ではそういったことも簡単に紹介されています。)



 前置きはこのくらいにして、上記のページの冒頭の動画についてです。最初に画面を移動するグライダーが現れます。少しカメラを引いてみると、複数のグライダー・ガンからグライダーが打ち出されている様子が見えます(Fig.1)。さらにカメラが引くと、グライダー・ガンの左右に何やら構造が見えてきます(Fig.2)。

Fig.1 Fig.2

 さらにカメラを引くと、右側に大きな縦線と横線が見えてきます(Fig.3)。これは、大きな格子のマス目になっていることがわかります(Fig.4)。この時点で、もともとの(Fig.1の)グライダーがこの画面の中ではいかに小さなものなのか、思い出してください。

Fig.3 Fig.4

 さらに驚くべきことに、この巨大な格子に「グライダー」が現れます(Fig.5)。そして、その新しい巨大な格子の上で、ライフゲームの規則の通りにグライダーが移動してゆくのです(Fig.6)。

Fig.5 Fig.6

 動画はここで冒頭に戻って、この新しい格子の上のライフゲームが単位となって、さらにスケールの大きなライフゲームが構成されることを示しています。そして、この構造が大きなほうも小さなほうも無限に続いていることを暗示しています。

 私たちのこの現実の世界において、ミクロな原子物理学の世界では原子核の周りを電子がまわっていると言われています。また、マクロな天体物理学の世界では惑星が恒星の回りを、衛星が惑星の回りをまわっています。全くスケールの異なる階層において、同じ(と言ってもいいでしょう)幾何学的・運動学的な現象が観察されるというのは奇跡のような感動的なことです。

 この動画を飽きずにずっと眺めながら、何十年も前の若いころにこういった自然科学の基本的なことを初めて学んだときの驚きと、ライフゲームを初めて知ったときの「こんなおもしろいものがあるんだ!」という衝撃を思い出していました。改めてこのライフゲームを生み出したConwayの偉大さと、多くの派生研究の素晴らしさに感動しています。



 毎年12月31日の朝、お年越しの御馳走の買い物に行きます。例年は朝5時前に家を出るのですが、今年は少し遅くなって、朝6時前に家を出ました。いつも買い物に行く角上魚類というお店は、31日だけは朝3時(!)から開店しているのです。

 この日ばかりは日の出前からお店の周辺は大渋滞になって、周辺の店舗の駐車場が貸し出されていたりするのですが、それでも車をとめるのが大変でした。例年だと明るくなる前に買い物を終えて帰宅するのですが、今年はあたりがだいぶ明るくなってから帰ってきました(それでも自宅に帰り着いたのは朝7時前でした。)

 前の晩は満月で、ちょうど西の空に月が沈むところでした。カメラを持ってきて写真を撮ってみました。(画像をクリックすると拡大します)

 手持ちのコンパクトデジカメでこの程度には月の写真が撮れるのですから驚きです。(もはや当たり前で誰も驚かないとは思うのですが) 



 いろいろなことがあった、そしていろいろなことが出来なかった2020年でした。いろいろな価値観が変わり、生活が変わらざるを得なくなりました。どうか来年は少しでも良くなりますように、と思っています。皆様よいお年をお迎えください。

<おまけのひとこと>
 2020年は生涯で最大の体重を更新してしまいました。家にいる時間が長くなったので、運動量が減ったのだと思います。このお休みはこれ以上体重を増やさないようにしないと…と思っています。






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