以前の「ひとこと」2019年6月前半

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以前の「ひとこと」　：　2019年6月前半

6月1日(土)　正八面体をねじって畳む模型

　正八面体を畳む模型を作ってみました。何度か畳んだり広げたりを繰り返した後なので、若干ヨレヨレになっています。最初は畳む前の正八面体の状態です。図1が斜めから見たところ、図2が上から覗き込んだところです。

図 1 図 2

　一気に畳むこともできますが、最初に側面の正三角形のうちの２つだけを畳んでみました。そうすると、正四面体を２つ貼り合わせた双三角錐型のデルタ六面体になります(図3)。

図 3

　さらにもう2面を畳み込むと、正四面体になります(図4、図5)。

図 4 図 5

　残った2面も畳むと、平らな正三角形になります(図6)。

図 6

　いつも作っている模型と違って、畳んだり開いたりする模型は出来栄えがあまりきれいではありません。実物をいじってみるのは面白いのですが、あまり耐久性もありません。きちんと部材の厚みやジョイントも考慮した設計をしないとなめらかに変形できません。ここは課題だなあと思いました。

○

　正多面体をねじって平らに畳むといえば、2016年9月13日のひとことで、立方体を畳んでいました。

　本日、正四面体と正八面体は１つの面(正三角形)になるところまで平らに畳めることを示しました。先日は正十二面体を正五角形になるように畳みました。上記のように立方体を正方形になるように畳むこともできました。残る正多面体は正二十面体です。これもやってみましょう。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　このところ、昼間は真夏のように暑かったかと思えば、朝方は初冬のように冷え込んだりして、やや体調がすぐれません。

6月2日(日)　目を使わずに多面体を作る

　いつも、会社では少なくとも8時間くらいはパソコンのモニターを見ています。往復2時間の車の運転でも目は重要です。家でもタブレット端末やPCを見ています。休日に楽器を演奏するときも、私は暗譜ができないので楽譜を凝視しています。

　相変わらずアトピーで体のいろいろな部位が痒いのですが、最近は目の周辺と耳が痒くて、ついついこすってしまったりしているのもいけないのかなあと思っています。痒いと思ったら極力こすらずに目薬をさしたりするようにはしています。

　先日、疲れたときに視野が変だったという話をしたら妻が大変心配をしてくれて、少し目を休めるようにしたほうがよいのでは、と提案をしてくれました。でも、なんにもしないでいるのは苦手ですし、夜も目が覚めてしまうのです。では、目を使わずにできることは何かないかな、と思って、ブロックで何か作るというのは目を使わなくてもできるのではないかな、と思って試してみることにしました。

　昔、確かアイマスクを持っていたはず、と思って妻に話をしてみたら、たぶんピアノの楽譜棚の下の引き出しにあるのでは？と言って持ってきてくれました。（なんでそんなことを覚えていてくれるのでしょう。すごい。私にはできません。）

図 1

　30分ほどいろいろ作ってみました。最初にデルタ多面体をいくつか作ったのですが、それは次に作りたいもののために壊してしまいました。今、手元に残っているのはこの２つの多面体です(図2)。いずれも凸多面体ではありません。

図 2

　左のものは正四面体の対称構造を持つかたちです。正三角形のまわりに3枚の正方形をくっつけて、その間を正三角形2枚の菱形で埋めたような等辺九角形を作って、それを4枚で作りました。

　右のものは三角柱の対称構造を持つかたちです。正五角形を３つ集めたものを２つ用意して、その間を正方形と正三角形6枚の六角形（ただし折れ曲がっている）でつないだものです。

　手が痛くなりましたが面白かったです。目を使わないので、色はバラバラです。手先の感覚が鋭敏になって、これはこれで面白いなあと思いました。でも、当たり前ですが目を使わないというのは厳しいです。あらためて目を大切にしないといけないなあと思いました。

○

　先週の朝のNHK-FMの「古楽の楽しみ」で、バッハの最愛の兄の旅立ちに寄せて(BWV992)を聴きました。第1曲目の後半に、こんなところが出てきて「いいなあ」と思いました（楽譜はこの2小節だけ、今朝自分で打ち込みました）。

図 3

　何がいいかというと、旋律（右手）部分はまったく同じパターンを繰り返していて、バス（左手）が１つずつ下降しているところがいいのです。上がまったく同じパターンを繰り返して、下が１つずつ変わってゆくというのはバロックではそんなに珍しくはないですが、私はとても好きです。

　下降ではなく上昇ですが、ヘンデルのフルートソナタにもこんなパターンがあります。

図 4

　伴奏の右手はヘンデル自身が書いているものではありませんが、この和声進行も大好きです。
＜おまけのひとこと＞
　今朝は7時から地区の草刈りの出払いがあります。楽譜を作ったりしていたら時間がなくなってしまいました。

6月3日(月)　凸十二面体(その1)

　昨日、こんなかたちをJOVOブロックで作ってみました、という写真を掲載しました。

　この右側のかたちは、正五角形3枚をつないだかたちを２つ用意して、それを上下に配置して、側面を正方形と正六角形でつなごうとしたら、正六角形の部分が2つ折りになってしまった、というものです。言葉でくどくど説明するとわかりにくいですね。

　この構造を凸多面体にしてみたくなりました。少なくとも五角形の面は正五角形のままだとダメなのは明らかなので、側面は正方形と正六角形だという条件をつけて、五角形をどのように変形すれば凸の閉じた多面体になるのか、計算してみました。今日はまずCGでのご紹介です。

　面を張ったモデル(図1)と骨格モデル(図2)です。3回回転対称形になっています。回転対称軸に対して横から見ている感じです。

図 1 図 2

　回転対称軸に対して斜め上から見下ろしている視点です。同様に面を張ったモデル(図3)と骨格モデル(図4)です。

図 3 図 4

　ファイルサイズを小さくするために減色処理をしているのですが、面を張ったモデルのほうをカラーのまま減色したら面のグラデーションのところに変な疑似輪郭が出てしまったので、モノトーンにしました。面の半透過のCGも作ってみたのですが、今回は透過しない面モデルと、骨格モデルに分けてみました。

　ちなみに面の形はこうなっています(図5)。正方形と正六角形の辺の長さを１とすると、五角形のほうは左右対称形で、3つの辺の長さが１と少し長い辺が２つになります。(この条件だけだと五角形のかたちが一意に決まりません。私はこの五角形の高さを計算しました。)

図 5

　これは実際に模型を作ってみることにしました。

(つづく)

○

　昨日(6/2(日))は朝7時から地区の共有地の草刈りがありました。いつもなんとなく持ち場が決まっていて、そのあたりをやります。多くの家にはエンジン式や電動の草刈り機があるのですが、機械を持っていない人は鎌などで作業します。私はいつも草刈り機では作業しにくい石段のあたりを手鎌で担当しています。

作業前

　30分くらいかけて、石段とその周辺を刈りました。

作業後

　数年前から安全のためヘルメット着用がルール化されています。地区名と通し番号が入ったヘルメットが各戸に１つずつ配布されています。頭からすごく汗をかきました。

○

　最近、自治会を退会してしまう家が少しずつ出てきました。一方、特に小学生くらいまでの子供がいる新しい家庭の方は自治会に加入してくれる家もあります。最初から入らないという選択をする家庭もあります。自治会は確かに経済的にも時間的にも負担がかかります。でも、今後ますます人口が減ってゆく社会になる中で、なんでも行政や自治体にやってもらう、というのは成立しなくなるでしょう。自分たちでできることは自分たちでやらなければいけないと思います。ただ、その匙加減というか程度、頻度は人によって適切だと思うレベルが異なると思います。そのあたりが悩ましいです。
＜おまけのひとこと＞
　今週は比較的会議が少ない一週間なはず、と思っています。手が付けられていない仕事が進むといいな、と思っています。

6月4日(火)　凸十二面体の設計

　昨日CGでご紹介した、正方形3枚、正六角形3枚、五角形6枚による十二面体の寸法をどのように計算したのか、簡単に書いておくことにしました。

　最初に側面になる正方形と正六角形を輪のように配置します(図1)。

図 1

　正方形の幅は1、正六角形の幅は√3です。正六角形の面を延長した三角柱をイメージすると、平面図はこんな寸法になるはずです(図2)。

図 2

　1辺の長さがaの正三角形の中心から頂点までの距離はa√3/3 です(図3)。

図 3

　側面図と平面図です(図4)。それぞれの部分の長さに名前を付けます。

図 4

　正方形と正六角形の1辺の長さは１なので、それぞれの頂点の高さは1/2と1になります。

　CGを描くため、実際に値を計算してみました。(いつものようにpovrayのソースを画像としてキャプチャしています。)

　変数 c60 と s60 は60°の余弦(cos)と正弦(sin)です。h0～h5は正六角形、s0～s3は正方形の頂点です。高さLhを決めるため、La,Lx,Lpを利用します。図4左の、右上の直角三角形の部分の相似関係を用いてLhを決めることができます。（なお、LxとLhから三平方の定理でこの五角形の高さを求められます。）

　これでCGを描いてみて、ちゃんと面が張られている、つまり頂点は同じ平面上にあることを数値計算で確かめられたので、この計算結果を基に五角形の面のかたちを作図して決めて(図6)、のりしろ付の展開図を作ってみました(図7)。

図 6

　それぞれの長さをExcelで数値計算します。最初に左下の半径1の円を描いて、水平な半径の中点から高さPhの点を決め、そこを中心に半径Prの円を描きます。２つの円の交点が五角形の頂点になります。

　展開図です。

図 7

　ようやく模型を作る準備ができました。

(つづく)

○

　6月1日付で職場が変わったため、昨日(6/3(月))の朝、居室の自分の机を動かしました。　新しい職場のメンバーは十数名で、定年後の再雇用で来て下さっているお一人を除いてみんな私より若いメンバーです。机の列の間に割り込む形で場所を用意していただいたのですが、朝の簡単な連絡会が終わったところで、新職場の課長さんが「手が空いている人は机の移動を手伝ってあげてください」と声をかけてくれたら、全員が手伝ってくれました。とても助かりました。おかげさまであっという間に終わりました。ありがたいです。
＜おまけのひとこと＞
　今朝は2時間くらい、頭の中にあったイメージのCGを作ったりしていて、結局遅くなってしまいました。

6月5日(水)　凸十二面体の製作と双対多面体のCG

　だいぶ引っ張ってしまいましたが、このところご紹介している正方形3枚、正六角形3枚、五角形6枚による十二面体の模型を作ったので写真を掲載します。

　こんな感じになりました(図1)。

図 1

　六角形の面を床に接するように置いています。六角形、五角形、正方形が見えています。この視点から見ると、この多面体がいったいどんなかたちなのか、すぐにはわからないのではないかなあと思います。少なくとも正十二面体（全部が正五角形）だと誤解することはなさそうです。

　以下、いくつかの視点の写真を並べておきます(図2～図4)。

図 2 図 3 図 4

　図2は五角形が３つ集まる頂点を見ています。この視点から見ると正十二面体っぽく見えます。図3は六角形の面を見ています。一瞬、切隅八面体(正六角形8枚と正方形6枚の多面体で、単独で空間を充填します)に見えないこともないです。図4は正方形の面を見ています。

○

　もう少しこのかたちについて考えてみました。このかたち、実は頂点の数が20で、稜の本数は30本です。正十二面体と同じなのです。そして、全ての頂点の次数は３です。ということは、このかたちの双対多面体を作ると、三角形が20枚になるはずです。CGを作ってみました(図5)。

図 5

　いかがでしょう、どんなかたちなのかイメージできますでしょうか？　真上から(図6)と正面から(図7)のCGも作ってみました。

図 6 図 7

　図6の方向から見ると、正二十面体かな？と一瞬思います。でも図7の方向から見るとまるで違うことがわかります。

　この多面体、三角形20枚で頂点が12個というところは正二十面体と同じですが、次数4の頂点が３つ、次数6の頂点が３つ、次数5の頂点が６つというところが正二十面体(全ての頂点の次数が5）とは異なります。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　今朝、双対多面体のCGが作りたくなって、あわてて作りました。作ったら掲載したくなって載せてしまいました。内容のボリュームから考えて明日にしてもよかったのですが、このところこの周辺のことをいろいろ考えていて、書きたいことが急に増えているため、今日載せてしまうことにしたのです。

6月6日(木)　四4五4六4_十二面体の検討(その1)

　昨日写真をご紹介した、四角形3枚、五角形6枚、六角形3枚の十二面体は頂点の数が20でした。頂点の数が20個の十二面体というと、一番有名なのは正十二面体です。これは正五角形12枚の正多面体です。

正十二面体

　普通の多面体(球と同相な多面体)において、多面体を構成する面のかたち、何角形が何個ずつあるのかがわかれば頂点の数がわかります。これは、有名なオイラーの多面体定理から計算できるのです。

F+V=E+2
F:Face(面)
V:Vertice(頂点)
E:Edge(稜)

　正十二面体の場合、五角形が12個あるので、5×12で全部で60本の辺があります。でも、多面体の稜を考えると両側の面で2回ずつ数えられているので、2で割って30本あることがわかります。面(F)が12、稜(E)が30なので、頂点(V)は　12+V = 30+2 から、20であることがわかります。

　ということで、他の十二面体でも、その十二面体を構成する１２の面の多角形の辺の数を単純に合計したときに60になれば、同様に頂点の数が20になることがわかります。　昨日の「四角形3つ、五角形6つ、六角形3つ」ならば、4×3＋5×6＋6×3＝60 です。これを、漢数字を活用して「四3五6六3_十二面体」と表記することにします。12枚の五角形のうちの１つを四角形に変えたら、辺の数の合計は１つ減ってしまいます。それを補うためには残りの五角形の１つを六角形にすれば、辺の数は60に戻ります。

　「四3五6六3_十二面体」は3回回転対称でしたが、これはそれぞれの面の数が3の倍数ですから、納得できます。では、四角形、五角形、六角形がすべて4枚ずつの「四4五4六4_十二面体」というのを考えたら、別な対称性を持つのではないかと思いました。でも、そもそもそんなかたちは存在するのでしょうか。いかにもありそうな気がしますが…

○

　とりあえず、JOVOブロックで「四4五4六4_十二面体」を検討してみようと思いました。四角形は正方形パーツをそのまま使ってみることにして、五角形は正五角形のパーツをそのまま使うのではなく、正三角形＋正方形にすることにして、六角形の部分は正三角形6枚で構成しました。

　最初にできたのがこんなかたちでした(図1)。

図 1

　四角形が青と赤、五角形に相当するところが白、六角形が黒と緑のパーツになっています。当然、五角形や六角形の部分は平面になっていません。ただ、これでも面のつながり具合はイメージできました。

　図1の全ての面を平面にするため、以下のように考え始めました。

図 2 図 3

　図2のように等脚台形を4枚、上下を交互に変えた「輪」を考えます。この等脚台形を少し伸ばしてやると(図3)、六角形(正六角形ではないです)が4枚、輪になっているのがわかります。図3を見ると、隙間の部分は四角形3枚で埋められそうですが、そうすると「四6六4_十面体」になってしまいます。それぞれの隙間を五角形2枚と四角形2枚で埋めれば目的のかたちになりそうです。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　昨日は出張でした。帰りは東京駅から中央線特急に乗ったのですが、午前中の出張先に同行したI課長が新宿から乗ってきて、「あ、席が隣ですね」と座られました。びっくりしました。私が下車するまでの2時間くらい、いろいろ話ができてとてもありがたかったです。Iさんは私の下車後、終点まで乗っていって、さらに私鉄に乗り換えて帰られるとのことで、帰宅時間は1時間以上私のほうがはやいのですが、羨ましいのは最寄り駅から徒歩で帰れるのだそうで、車内でしっかりビールを飲んでいました。私は自分の最寄り駅から自家用車で帰らなければいけないので、もちろんアルコールはご法度です。帰宅してからゆっくり飲みました。

　以前からお伝えしたい、ご相談したいと思っていたことがいろいろあったので、この機会にと思ってたくさん話をさせていただきました。偶然にもそんな機会が持てて幸運でした。

6月7日(金)　四4五4六4_十二面体の検討(その2)

　昨日の「四4五4六4_十二面体」の検討の続きです。今日は完成したCGをご紹介します。

　昨日は六角形4枚を円環状につないだところまでご紹介しました。ここの隙間に図1のように五角形が作れそうです。

図 1

　五角形といっても、底角が鋭角の将棋の駒のような鏡像対称のかたちです。

　全部の面を作ってみました(図2)。

図 2

　やった！　できました。かたちをイメージしやすいようにと思って、少し比率を調整して、横倒しにしてくるくる回してみました(図3)。

図 3

　いかがでしょうか、イメージできますでしょうか？

○

　せっかくCGで作っているので、いろいろなところの寸法や比率を変えられるようにしています。

図 4

　図4のp1,p2,p3は長さ、p4とp5はベクトルの大きさの比率を定義していて、それを変えるとかたちがいろいろと変わります。変形してみたかたちをいくつか掲載します。

図 5 図 6

図 7 図 8

　楽しいです。寸法は正確にわかっているので、模型を作ろうと思えば作れるのですが、これはCGを作ったので模型は作らなくてもいいかな…と思っています。

○

　今回CGで作ってみた「四4五4六4_十二面体」は、四角形どうしが辺を共有しています。同じ面の構成（四角形、五角形、六角形が4枚ずつの多面体）で、四角形どうしが接しないパターンもできないでしょうか？

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　こういった三次元凸多面体の組み合わせ構造を数え上げたり分類したりしている文献を見てみたいなあと思っているのですが、また行き着いていません。たぶん古すぎて電子化されていないのかなと思っています。

6月8日(土)　四4五4六4_十二面体の双対多面体

　昨日の「四4五4六4_十二面体」の別な連結パターンの探索の前に、双対多面体である三角形20枚の多面体のCGを作ってみました。今日はそのご紹介です。

　この多面体はすべての頂点の次数が３なので、双対多面体の全ての面は三角形です。ということは、もともとの多面体の各面内の任意の点を双対多面体の頂点として選ぶことができます。四角形以上の面ができる場合はそうはいかなくて、新たに作られる多角形の全ての頂点が同一平面上にあるようにしなければなりません。すべてが三角形ならば自動的に各面の平面が決まるため、多角形が折れ曲がってしまう心配をしなくていいのが嬉しいです。

　まずは単純に各多角形の中心(全ての頂点の座標の平均)から双対多面体を作ってみました。2種類の視点からのものを掲載します。

図 1 図 2

　なるほど、という感じです。

○

　この二十面体は、全ての面が三角形ですが、頂点は12個あって、そのうち4点が次数4（稜が4本集まっている)、4点は次数5、4点は次数6です。この二十面体が球に内接するように寸法を調整してみることにしました。パラメータは3つで、次数4と5と6の頂点の高さ(ここでは仰角)をパラメータにすることにしました。

図 3

　Povrayのコードはこんな風に定義しています。(例によってテキストではなく画像です。)

　とりあえず3つの角度は15°, 30°, 60°にしました。これらの数値を変更することで、球に内接するという条件を保ったまま、かたちをいろいろと変えてみることができます。

　この頂点の定義から30本の稜を作って二十面体の骨格のCGを作ってみました(図5)。

図 5

　なんだか平べったく見えますね。一般の視点ではなく、対称性がわかる特別な視点から見てみましょう。

図 6 図 7 図 8

　図6は真上から見下ろしたところです。きれいな正方形になっています。この図6を地図だとみなして東西南北の方向を決めると、図7は南の真横から見たところ、図8は南東の真横から見たところです。

　まあだいたいかたちがわかったような気がしました。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　週末ですが、つづきの話題を書くことにしました。他にも書きたいこともあるのですが、長くなるので今日はこの辺で。

6月9日(日)　100円ショップのパズル

　昨日の土曜日の夕方に買い物に出ました。途中で100円ショップに寄ったら、光を透過する樹脂製の組木パズルがあったので買ってきました。

図 1

　いずれも３つのパーツを直交させるタイプで、左が短冊型、右が四角柱型です。特に珍しい構造のものではありません。

　こんなパッケージに入っていました(図2)。

図 2

　ご覧のように１つのパズルは2色になっています。パーツのかたちが外からわかるようになっていて、分解されたかたちでパッケージングされています。組み立ててしまうとかさばるので、分解された状態のほうがスペース効率が良く、在庫管理にしても輸送にしても店頭でのディスプレイにしても有利だと思います。
　
　パッケージには完成形が印刷されています。全部で3種類あるのですが、3つ目の卵型のものは「まあいいかな」と思って買いませんでした。

　パッケージからパーツを取り出してみたところです(図3)。

図 3

　左の短冊型は3ピースともかたちが違います。このかたちは紙の筒モデルをたくさん作ったので、馴染み深いです。右の四角柱型のピースのかたちは2種類あります。このタイプのよくある設計とは若干違っていて、そのため組み立てや分解の際に若干ピースに無理がかかります。　これはパッケージの外から見てわかっていたことだったのですが、「何か仕掛けや工夫があるのかな？」と思って買ってみたのですが、入っていた説明書を見たら意外なことは何もなく、想像通りでした。

○

　この製品、実はちょうど色を入れ替えたものがあったので、色違いを２つずつ(全部で４つ)買ってきたのです。こんな有名なよくあるパズルをそんなにたくさん買わなくても…とも思ったのですが、これは持っていてもいいかなと思って買ってしまいました。

　全部開封して、同色の3ピースで2セットずつ組んでみました(図4)。　左上と右下のモデルはパーツ1本で立たせています。右上と左下は３つのパーツの角が床に接しています。

図 4

　満足しました。やっぱりこのかたちは美しいと思います。図4の写真が撮れたので、再び分解してパッケージに戻しました。これは組み立て・分解が簡単なので、こうして分解してしまっておけるのはスペース効率が良いです。
＜おまけのひとこと＞
　お休みの日も早朝（というか真夜中）から起きてしまうのですが、更新の時間はいつもよりだいぶ遅くて8時～9時くらいになっています。

6月10日(月)　四4五4六4_十二面体の異性体(その1)

　先日、四角形4枚、五角形4枚、六角形4枚から成る十二面体を「四4五4六4_十二面体」と表記することにして、その一例の多面体をご紹介しました。面の組み合わせは同じでつながり具合が違うものを考えてみました。今日はそのご紹介です。

　思い付いたのはこんなかたちでした(図1)。

図 1

　先日のものとの違いは、4つある四角形の面(赤い面)が、辺も頂点も共有していないということです。先日のものは四角形が等脚台形で、上辺を共有していました。図1のモデルでは四角形は凧形をしています。前回のモデルでは五角形どうしは辺も頂点も離れていましたが、今日のモデルでは五角形が辺を共有しています。

　この十二面体を三方向から見てみました(図2～図4)。

図 2 図 3 図 4

　図2は六角形２つと五角形２つが見えていて、輪郭は八角形です。図3は六角形と四角形が見えていて輪郭は六角形です。図4は上から見たところで、四角形と五角形が見えていて輪郭は四角形(正方形)です。

　このかたちの対称性は直方体と同じです。別な言い方をすると三次元の菱形のような感じです。

○

　このかたちの導き方として、菱形十二面体から始めるという考え方ができることに気が付きました。図5のように、x,y,z3軸方向に正四角柱を交差させた共通部分は菱形十二面体になります。壁面、床面の影のかたちにもご注目ください。

図 5 図 6 図 7

　鉛直方向の四角柱のサイズを変えずに水平2方向の四角柱のサイズを少し大きくします(図6)。すると多面体は縦に伸びて、4つの側面の菱形が六角形に変わります。これは“長菱形十二面体”といいます。図5の菱形十二面体、図6の長菱形十二面体のいずれも空間を隙間なく充填できるかたちとして有名です。

　さらに、水平の前後方向の四角柱のサイズをもう一回り大きくします(図7)。すると、奥の壁の影が八角形になります。上下に4面ずつあった８つの菱形のうち、半分は五角形に変わります。このかたちは残念ながら空間を充填できなくなっています。

　図5と図7の関係は、立方体と直方体の関係によく似ています。構成する面の数と面の向きは同じです。でも対称性が下がっています。立方体はすべての稜の長さが等しいですが、直方体は3方向の稜の長さがすべて異なります。菱形十二面体とこの444-十二面体（「四4五4六4_十二面体」と表記するのが面倒になってきたので、略記します)は、頂点の数と構造が変わるため稜の本数が変わりますが、斜めの稜の向きは同じです。（444-十二面体のほうには新たに水平、垂直な稜が生まれています。）

　このほかにも「四4五4六4_十二面体」は作れないでしょうか？

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　この週末は近所に買い物に出たくらいで、ほとんど家にこもっていました。試作した模型などがごちゃごちゃしてきていたので、整理したり掃除をしたりしました。天気も悪くて肌寒い週末でした。猛烈に暑くなったかと思うと、天気が悪いと寒い、という過酷な気候です。衣服や寝具などの調節が面倒です。

6月11日(火)　四4五4六4_十二面体の異性体(その2)

　断面が正方形の四角柱を直交する3方向から交差させると、その共通部分は菱形十二面体になりますが、３つの四角柱のサイズを変えることで「四4五4六4_十二面体」(444-十二面体)ができるというご紹介をしました。ということは、出来上がった十二面体の下半分を90度回転させても444-十二面体ができそうです。やってみました(図1)。

図 1

　これはこれできれいなかたちだと思います。昨日と同様、この十二面体を三方向から見てみました(図2～図4)。

図 2 図 3 図 4

　昨日の三面図(図2～図4)の輪郭は八角形、六角形、四角形(正方形)でしたが、今日の三面図は七角形、七角形、四角形(正方形)です。図2と図3は上下が逆になっているだけで全くおなじです。ただしこれはCGでまじめにレンダリングしているので、相対的な光源の位置が違いますから図をひっくり返しても画像としては色遣いが異なっています。

　また、昨日の三面図は、透過している裏側の面の構造は表から見たものと全く同じでしたが、今日の図4だけは上下は90度回転させているため、透けて見える奥側の面の配置が異なっています。

○

　gifアニメーションでくるくる回してみました(図5)。

図 5

　この多面体の対称性は、二等辺三角形4枚の四面体である二角反柱(2017年12月9日のひとこと参照)の対称性と同じです。

二角反柱

　今日の444-十二面体は、上記の二角反柱の4頂点を切り落として、側面の４つの稜を面取りしたかたちになっています。

○

　今日のかたちも、昨日と同様に正四角柱3本を直交させた共通部分として表すことができます。　昨日のものはサイズだけを変えて、３つの四角柱の中心軸は1点で交わっていました。図6は３つの四角柱のサイズは変えずに、水平方向の２つ軸の高さを上下に同じ距離だけずらしてみたものです。こうすると側面図は五角形になります。このかたちは四角形8面（菱形４つと平行四辺形４つ）と五角形４つです。

再掲図図 6 図 7

　さらに、上下にずらした水平方向の四角柱のサイズを少し大きくします(図7)。これで、目的のかたちができました。

　さらに、このほかにも「四4五4六4_十二面体」は作れないでしょうか？

(つづく)

○

　昨日のかたちを「三次元における菱形のような」と表現しましたが、素直に「三次元の菱形」と言ったら普通はこうだよね、と思われるCGを作ってみました。

図 8 図 9

　平面上で正方形を45度回転させると、一見「菱形」に見えますが、それは正方形そのものです。図8の菱形十二面体は、菱形によって構成された多面体ですが、3方向の影を見てわかる通り、これは立方体と同じ対称性を持つ多面体です。平面上で、正方形の対角線の長さを変えることで(正方形ではない)菱形ができるように、三次元でも、直交する３つの対角線の長さを変えることで「三次元の菱形」に相当する菱形十二面体になります(図9)。これは3種類の異なる菱形4枚ずつの多面体です。ということは稜の長さはすべて同じ、等稜多面体です。（三次元の「菱形」ですから等稜多面体なのはある意味当然でしょうか。）
＜おまけのひとこと＞
　昨日帰宅したら、今日の「おまけのひとこと」の記載の漢字が間違っていたよ、と妻が指摘してくれました。読んでもらえていてありがたいです。修正しました。「調整」と書くべきところを「調性」と書いていました。ちなみに「調製」という熟語もあるのですね。（調製粉乳と入力すると変換してくれます。）　「調性」というのは音楽の用語でよく使うので、こっちが先に候補として挙がってきたのだと思います。（昨日の表記は「調節」に変えました。）

6月12日(水)　正四面体を連結したリング(誤差あり)の模型

　同じような話題が続いたので、今日はちょっと別な話題です。先月、正四面体を連結した輪について論じた論文をご紹介して、そこに載っていたかたちの模型を作った話をご紹介しました。同じ著者(Michael Elgersma, Stan Wagon)のClosing a Platonic Gapという論文の冒頭2ページがリンク先で読めるのですが、そこにこんな図が載っていました。

Closing a Platonic Gap : Fig 3

　正四面体を連結した立体は、決してリングにはならないことが証明されているので、これは誤差があります。ただ模型を作る分には問題にならないくらいの誤差なので、このかたちをブロック作ってみることにしました。色遣いも論文の図と同じにすることにしました。

図 2 図 3

　図2は論文の図とだいたい向きを合わせたところです。図3はそれを裏返してみたところです。表側と裏側の構造は全然ちがいます。図1だけをヒントにこのかたちを作るのはそんなに簡単ではありませんでした。色を合わせたのも、少しでもわかりやすくするためです。

　図2の置き方で横から見たところ(図4)と、横に立ててみたところ(図5)です。

図 4 図 5

　実は図2の置き方は2頂点で自立しています。頂点には4枚の三角形のパーツが集まっているのですが、パーツには厚みがあるため床に接している点が複数あるのです。ただしとても不安定です。

　図2と図3の置き方で、2頂点で自立していることがわかるようにガラステーブルに置いて横から写真を撮ってみました(図6、図7)。

図 6 図 7

　安定して立てるのにちょっと苦労しましたが、面白いと思いました。

　この模型のかたちそのものはものすごく気に入っているというわけではないので、こうして写真を撮ってご紹介したので、安心して分解できるなあと思っています。

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　最近、自宅最寄りのインター出口のETC専用ゲート２つのうち１つがずっと閉鎖されています。利用者が多いインターなので、通勤時間帯などは混雑するのですが、昨夜は1箇所しかないETCゲートがトラブルで閉鎖されていて、しばらく待ちました。上り線と下り線の合流の都合で、有人ゲートに行きたいのに行かれない車がいたりして大変でした。　有人ゲートでETCカードを手渡して精算してもらうこともできるのですが、5分くらい待ってしまいました。

　インターを出て帰宅途中、後ろから救急車が来たので路肩に退避しました。大雨で雷の鳴る中、大変だなあと思っていたのですが、自宅付近まで来たところで妙に渋滞しているのです。こんなところで渋滞なんて初めてだなあと驚いていたら、自動車どうしの交通事故でした。さっきの救急車がいました。お巡りさんが大雨の中で交通整理をしていました。2台の車はどちらも前方が大破していました。T字路の出会いがしらの衝突かなあと思いました。事故は気を付けないと、と改めて思います。

　そんなトラブルがあったため、いつもは1時間の道が15分ほど余計にかかってしまいました。まあでも安全なのが一番です。
＜おまけのひとこと＞
　今日の写真を撮ったガラステーブルはロフトベッドの上に置いてあります。ロフトベッドの梯子はいつも外して脇に立てかけてあるのですが、今朝はつい億劫で直接よじ登ろうとして机を足場にしようと思ったら、机ではなくキャスター付きの袖机に足をかけてしまって、転んで足の中指をぶつけてしまいました。典型的な不安全行動です。反省しました。

6月13日(木)　四4五4六4_十二面体の異性体(その3)

　四角形４つ、五角形４つ、六角形４つの十二面体について考えてみています。これまでご紹介したものは、四角形どうしが隣接するか、五角形どうしが隣接するものでした。四角形どうしの隣接も五角形どうしの隣接も存在しないかたちができないかなあと考えてみて、思いついたのがこんなかたちです。(図1)。

図 1

　面に着色してみました(図2)。

図 2

　面の色は前回のものと異なります。すみません。

　十二面体を三方向から見てみました(図3～図5)。

図 3 図 4 図 5

　三方向と言っても三面図ではありません。正面図と側面図は同じになるので、側面図のかわりに斜め45度方向の画像(真ん中の図4)にしました。正面図(図3)と平面図(図5)は輪郭は平行八角形ですが、斜め45度から見ると輪郭は五角形です。

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　これもgifアニメーションでくるくる回してみました(図6)。

図 6

　これは切隅四面体(切頂四面体)から4つの稜を面取りしたかたちになっています。

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　このところご紹介してきた十二面体は、全ての頂点の次数が３で、頂点の数が20個というところが正十二面体（正五角形12面）と同じでした。

　「頂点の数が20個の十二面体（凸多面体）」というのはほかにはどんなものがあるのだろう？と思って、少し考えてみました。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　五月の最終週あたりに盛んに考えていたことをご紹介しています。この話題、もう少し続けます。

6月14日(金)　四6六6_十二面体

　これまで四角形４つ、五角形４つ、六角形４つの十二面体について考えてきました。次に考えてみたのが、四角形と六角形の2種類だけから成る多面体です。それぞれ6枚ずつ使うと、頂点の数が20、稜が30の十二面体になることがわかります(オイラーの多面体定理)。

　正方形と正六角形から成る多面体というと、切隅八面体(切頂八面体)がまず思い浮かびます。このかたちだけで単独で空間を充填できる名高い多面体です。

切隅八面体

　しかしこれは正六角形8枚と正方形6枚の十四面体です。頂点の次数がすべて３なのは美しいですが、頂点数は24で、今回探しているものには合致しません。

　6枚ずつ、ということは3回回転対称っぽいよね、と思って少しイメージを膨らませてみました。2010年9月16日のひとことでご紹介した、正方形を3枚ずつ組み合わせた、立方体を２つに分割したパターンの位置関係を変えたらそれっぽいものができないかなあというところから考え始めました。

2010年9月16日のひとことより

　逆に、立方体の稜を削ってみるということもやってみていました(2017年5月7日のひとこと)。

2017年5月9日のひとことより

　ちょうど凧形に凝っていたころで、凧形12面（元の立方体の12本の稜に由来)と菱形6面(元の立方体の6つの面に由来)の四角十八面体です。正四面体の対称性を持ちます。

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　こちらの「削る」というのが使えそうだと気が付きました。作ってみたのはこんなかたちです(図1)。

図 1

　立方体の８つの頂点のうち、相対する２つの頂点に集まる３つの稜を削り落とす操作をしています。　面に着色してみました(図2)。

図 2

　もともとの立方体の面を六角形にするため、立方体の稜は少し残して削ります。また、そうしないと頂点の次数が3にならなくなってしまいます。

　3回回転対称軸が垂直になるように向きを変えて、さらに縦方向(回転対称軸方向)の比率も少し変えてみました(図3、図4)。

図 3 図 4

　四角形(凧形)と六角形はそれぞれすべて合同です。

　削り方を変えて、四角形と六角形のかたちを変えてみました(図5、図6)。縦方向の比率もいじっています。

図 5 図 6

　これもCGを作ってみて満足しました。

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　同じく頂点の数が20の十二面体で、2種類の面だけから成るものはあるでしょうか？　次の候補としては三角形6枚と七角形6枚かなあと思って考えてみました。

(つづく)
＜おまけのひとこと＞
　金曜日にお休みが取れたという娘が、昨夜(木曜日の夜に)うちに帰ってきました。超早寝早起きの私は昨夜は「おかえり、おやすみ」とあいさつしただけでした(ごめん)。　今夜あたり一緒に食事にでも行こうかなあと楽しみです。（昨夜は20時半に寝て、夜中の1時半に目が覚めて、そのままずっと起きています。今日の会社の会議はちょっと辛いかも。自分が主催なのが3つあるので、それはさすがに寝ないですが、話を聞くだけの連絡会が危ないです。)

6月15日(土)　三6七6_十二面体

　正十二面体と同じ、頂点の数が20の十二面体についていろいろ考えています。昨日は四角形6枚と六角形6枚の十二面体を考案してみました。今日は三角形6枚と七角形6枚の多面体について考えてみたいと思います。これも頂点は20個で、全ての頂点の次数(その頂点に集まる稜の本数＝その頂点に集まる面の枚数）は３です。

　三角形と七角形だけから成る多面体というのはすぐには思いつきません。七角形というのはあまり馴染みのないかたちであるためです。でも、なんとなく近そうなかたちとして、、切隅立方体(切頂立方体)を連想しました。

切隅立方体

　これは、立方体(正六面体)の８つの頂点を切り落としたかたちで、三角形8枚と八角形6枚から成る十四面体です。面が２つ多すぎます。また、欲しいのは八角形ではなく七角形です。ということは…

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ちょっとだけ間を空けて
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　立方体の頂点を切り落とすのを8か所全部ではなく、対角線上の2か所を残して6カ所だけを切ればいいのではないか、と気が付きました。

　さっそくCGを作ってみました。骨格のみのモデル(図1)と、面を張ってみたモデルです(図2)。

図 1 図 2

　パッと見て単なる普通の切隅立方体に見えます。それが少々不満だったので、向きを変えてみました(図3、図4)。

図 3 図 4

　こうすると三回回転対称性が強調され、切隅立方体らしさはかなり薄まったと思います。

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　回転対称軸回りにくるくる回してみました(図5)。

図 5

　なかなかいいなあと思いました。まあでもこれは形のイメージは簡単にできるので、CGだけで十分(模型は作らなくてもいい)と思っています。

(つづく)

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　水曜日の朝の更新の際に、ロフトベッドに登ろうとして机を足場にしようとたら袖机に足をかけてしまって転んでしまったということを書きました。実はそのとき机の上には、出かけるときにポケット等に入れるもの（お財布とかカギとか名刺入れとか）を並べてあったのですが、その一部を床にまき散らしてしまいました。

　それらを片づけて、このページの更新作業を終えて、さあ出かけようと思って車のドアを開けようと思ったのですがドアが開きません。ポケットを確認すると車のキーが入っていませんでした。あわてて部屋に戻って、おそらく床に落としてしまったであろうキーを探したのですがみつからないのです。時間もないし、あきらめてスペアキーを使うことにしました。

　水曜日に帰宅した後、それから木曜日の朝にも探してみたのですがみつかりません。キーが行方不明というのは気持ちが悪いです。部屋の中に在るのは間違いないはず、と思って、週末にゆっくり探そうと思っていました。

　昨日(金曜日)、会社で仕事中に妻から「車のカギ見つかったよ」というメッセージが届きました。どこにあったのか尋ねたら、なんと袖机の一番下の引き出しの一番奥にあったというのです。そういえば確かに袖机を蹴っ飛ばしてしまったときに一番下の引き出しが少し開いてしまっていたのを思い出しました。そのときに転げ込んだのでしょう。いくら家具の裏などの床の上を探してもみつからないわけです。先入観無しにそんなところまで探してくれた妻に感謝です。
＜おまけのひとこと＞
　今、朝4時過ぎです。雨が降っています。今日は通勤に使っている車を12か月点検に出すことになっています。どんな代車かな…