以前の「ひとこと」 ： 2017年5月前半
5月1日(月) 正十二面体を尖らせたCG
３月くらいから凧形でできる多面体について考えていて、これまでに正四面体、立方体、正八面体を「尖らす」という系列と、捩れ双角錐という系列についてご紹介しました。次は、より対称性の高い正十二面体をやってみようと思いました。まずはCGをご覧ください。
 |
 |
| 図 1 | 図 2 |
 |
 |
| 図 3 | 図 4 |
図1のように、正十二面体（正五角形１２枚）の各面の正五角形の面の中心と稜(辺)の中心を結びます。そして、稜の中心を正十二面体の中心に向けて一斉に移動させると、図2,図3,図4のような立体ができます。
このCGが描けたときは嬉しかったです。
昨日(4/30)の更新をした後に、7時45分ころに家を出て公民館にお掃除に行きました。今回は6軒(6人)での掃除で、女性が出てきている家が３軒、男性が出てきている家が３軒でした。私はもう一人の男性と２階の大広間の掃除機掛けと階段の掃除機掛けをしました。大きな業務用の掃除機があるのですが、今年度新調されていて、とても快適でした。手当が１つの組に対して2,000円支払われるのですが（もちろん元はと言えば自分たちが支払った自治会費から出ています）、昔はその予算でお茶とか簡単なお菓子を用意して、掃除が終わった公民館でお茶を飲む習慣だったのですが、数年前からそのお金を分けてしまうようになりました。というわけで20分弱のお仕事で333円の手当をいただいてきました。
＜おまけのひとこと＞5月1日(月)の早朝に、2日分を更新しています。
5月2日(火) 正十二面体を尖らすCGの座標計算
昨日のCGを描くときの面のかたちや座標をどのように求めたのか、自分のためにメモを残しておくことにしました。
 |
まず、上図のように青い稜で表した立方体を考えます。立方体の８つの頂点は（±1,±1,±1）の符号のすべての組み合わせパターンになります。この立方体の各面に寄棟の屋根をかけると正十二面体になります。図では黒い色で表しています。色がわかりにくくて申し訳ありません。立方体の８つの頂点と共通の８頂点と、立方体の各面に２つずつ、合計１２の頂点とで、合わせて２０個の頂点があります。
１２個の頂点のうち、１箇所でも座標がわかれば、あとはすべて対称なので残りの１１個は自動的に決まります。ここでは図のDに注目します。今、赤い軸がx軸、緑の軸がy軸、青がz軸とします。（図中に書いてなくてすみません。）頂点Dはxz平面上にあることは明らかです。
上の図の中にも説明が書いてありますが、立方体の稜の長さは２です。これは正五角形の対角線の長さになっているのですが、よく知られているように、正五角形の１辺の長さを１とすると、対角線の長さは黄金比の(1+√5)/2になります。今回は対角線の長さが2と与えられているので、簡単な比の計算で、正五角形の辺の長さが (√5 - 1) と求まります。
正多面体なので、すべての頂点は中心から等距離にあります（＝球に内接する）。立方体の１つの頂点は(1,1,1)ですから、中心（＝原点(0,0,0)）からの距離は√3になります。頂点Dも同様に中心からの距離は√3になります。また、Dのz座標の値は正五角形の辺の半分ですから、(√5 -1)/2になります。あとはx座標は三平方の定理から求まります。
 |
続いて、パラメータをkとして、kの値を変えるとことで「尖り具合」を変えることを考えます。正五角形の辺の中点PとQを図のように取って、それに重みk (0＜k≦1) を掛けます。k=1 のときが正十二面体そのもので、kの値が小さくなるにつれて、面が細長くなってゆきます。
凧形のかたちを定めたいので、P,D,Qに続く４つ目の頂点Tの座標を計算します。PQの中点をMとすると、ベクトルDMを延長した先に頂点Tがあるはずです。そこで、パラメータ（媒介変数)pを用意して、“ベクトルT ＝ ベクトルD ＋ p（ベクトルDM)” という直線の方程式を立てます。
幸い、対称性から点Tはxy平面に載っている（＝z座標はゼロ）ので、pを決めることができます。（z=0を代入することで、パラメータpが定まる。）あとはこのpを直線の方程式に入れてやると、頂点Tの座標が求まります。
昨日のCGはそうやってP,Q,Tを求めて、あとは対称性で回転させたり鏡像反転させたりして描いたものです。自分でも計算プロセスを忘れてしまいそうだったので、記録のために図を描いたのでした。
最初に計算するときにはノートに手描きで図を描きます。それは自分にとってはそこそこイメージできる図なのですが、それをパソコン上で適当に描こうとすると、図がひずんでしまってとてもわかりにくいカッコ悪い図になってしまいました。そこで、説明のための図もわざわざCGで描いています。そうすることで視点を後から変えることもできますし、手で描いた図よりはだいぶわかりやすくなりました。それでも他の方が見るとわかりにくい図だろうなとは思います。
日曜日、公民館掃除が終わった後、前日にまとめておいた本を古本屋さんに持って行って(73冊で1,000円くらいになりました)、それからお隣のさらにお隣のO市でゴールデンウィークに「春市」というイベントをやっているということで、ちょっと出かけてきました。古本市をのぞいてきました。お昼は最初に入ろうと思っていたお店が連休のせいかランチメニューがないということだったので、なぜかビッグボーイに入ってしまいました。ビッグボーイと言えば、勝手に食べ放題：ビッグボーイ編（小野法師丸）を思い出します。この連想がよくなかったのか、食べ過ぎてしまいました。いえ、もちろんメニューは１品しか頼まなかったのですが、BigBoyバイキング（サラダ・スープ・ライス・カレーお代わり自由）で、ついカレーをお代わりしてしまったのです。いい歳をして最近食べすぎです。
＜おまけのひとこと＞1日、2日は普通に仕事です。
5月3日(水) “正十二面体を尖らす”で登場する凧形を捩れ双多角錐と比べる
正十二面体をとがらせて行く系列の多面体を構成する凧形のうち、捩れ双多角錐も構成できるものはあるかな、ということが気になりました。グラフを重ねて描いてみました。
 |
| 図 1 |
こうなりました。実はこの計算をするときに、昨日の計算式を見ながらExcelで数値計算させたのですが、昨日の図には１箇所間違いがあって、それにだまされてちょっと悩みました。符号が間違っている箇所があったのです。昨日の図をこっそり修正しておきました。
さて、こうしてみると１箇所で交わっていることがわかります。実はこの交点は黄金菱形（対角線比が黄金比の菱形）です。
グラフは、凧形の鏡像対称線で二等分された合同な三角形の片方の２つの角をタテヨコの軸にとっていますが、図2のように、凧形の上下の角のうち、どちらがより尖っているかで、このグラフは２つの領域に分けられます。
 |
| 図 2 |
対角線上にあるのは上下の角が等しい場合で、このときは単なる凧形ではなく菱形になります。以前にも書きましたが、捩れ双三角錐は菱形六面体そのものですので、N=3の捩れ双角錐のグラフは対角線上にあります。Nが4以上になると、グラフはすべて左上側になります。
興味深いのは正十二面体を変形してゆく場合、最初は内側のほうが尖った凧形ですが、最後は外側のほうが尖った凧形になります。途中で菱形になるところがあります。
そのときのかたちが、「花形十二面体」と呼ばれる、黄金菱形６０枚の多面体です。
 |
| 図 3 |
5月1日は、昨年末に転職した友人と久々に会ってお酒を飲みました。3時間半ほどがあっという間でした。
＜おまけのひとこと＞連休中は更新は不定期になるかもしれません。
5月4日(木) 黄色いポストを訪ねて
今日は五月連休なので、普通の日記です。
先日、通勤途中にラジオの地方局の放送を聴いていたら、飯山市に黄色いポストが設置されて、子供たちが手紙を投函するイベントがあったというニュースをやっていました。黄色いポストと言えば、まず連想したのが「黄色いポストの郵便配達」(斉藤洋)です。この本はとても好きなので、実物の黄色いポストを見てみたいなと思いました。もちろん、飯山市の黄色いポストは斉藤洋の本とは何も関係はありません。
 |
| 図 1 |
調べてみると、このポストは飯山市立東小学校の敷地にあって、その隣が菜の花公園として整備されており、この公園でいいやま菜の花祭りというのを5月3日、4日、5日の３日間やっているということがわかったので、じゃあ行ってみようかと思い立って、昨日(5/3)実家の母を誘ってちょっとした日帰りドライブに出かけてきました。
自宅を6時半過ぎに出て、朝8時過ぎに母と合流し、現地に到着したのがだいたい10時くらいでした。駐車場はすでに満車に近い状態でした。一面の菜の花の中に時々桜を見かけるのですが、それが散り始めで葉桜になっていました。おそらく一週間前だと桜と菜の花が両方見ごろだったのでしょうか。
近くの菜の花、遠くの菜の花畑の黄色い絨毯、千曲川、まだ雪の残る妙高山系、たいへんきれいでした。唱歌「朧月夜」の世界です。
 |
| 図 2 |
屋台がいくつも出ていてお祭りらしい雰囲気でした。その中に郵便局の臨時の販売所もあって、そこで母が切手セットを買ったのですが、そうしたら非売品の缶バッチを１つ頂けました。５つくらいのデザインから選ばせてもらえたのですが、もちろん「黄色いポスト」のデザインを選びました。
でも、郵便局員さんからは「黄色いポスト」については何もコメントが無くて、どうしてかな？とちょっと不思議に思いました。「菜の花祭り」のパンフレットももらったのですが、そこにも「黄色いポスト」については何も書かれていません。（こちらのいいやま菜の花公園の「ハッピーイエロー」とはというページのチラシには「幸せを呼ぶ黄色いポスト」について書かれていますが。)
お祭りのスタッフの方に尋ねると、小学校の校庭を突っ切っていったところにポストがあるとのことで、「校庭を通って行っていいですよ」とのことだったので、行ってみました。
菜の花色のきれいなポストでした。
 |
| 図 3 |
ただ、なんとなく菜の花畑を背景にした道沿いに設置されているのかなあと想像していたのですが、実はあったのは小学校の玄関でした。
 |
| 図 4 |
背景に大きな菜の花畑の写真が飾られていました。でも、欲を言えば本物の菜の花畑の傍らにあったらもっと雰囲気がいいのにな、と思いました。また、連休なので小学校はお休みですが、普段ならば小学校の関係者以外はこのポストには近づけないのかなあと心配になりました。
ちなみに、郵便局でいただいてきた缶バッチはこれです。
 |
| 図 5 |
検索してみると、「黄色いポスト」は全国に何カ所かあるようです。こちらによると、九州に３か所、東北に２か所あるみたいです。
最近、一日の生活のサイクルが極端に早まっていて、夜は8時前後に寝てしまって、午前１時とかに目が覚めてしまって眠れず、仕方なくそのまま起きてしまうといった生活になっています。
今朝(5/4)も１時から起きて、思い付いた立体の座標計算をしてCGを描いたりしていました。朝6時くらいに妻が起きてきて、庭の草取りをしたいというので2時間近く庭仕事をしました。
5月5日(金) 春のドライブ
「菜の花まつり」の会場には１時間ほどいました。11時過ぎに車に戻って、今日の主目的は果たしたのでさあこれからどうしようか？ と思ったのですが、せっかく長野県の北の端の飯山まで来ているから、もう少し足を延ばして海でも見に行こうか、ということになりました。（長野県に住んでいるとなかなか海を眼にする機会がないので、海は特別なのです。）
一般道で行っても1時間半くらいかなあと思ったので、飯山から妙高市に抜けて関川沿いに日本海を目指しました。
 |
| 図 1 |
冬は雪が多い地域なので、信号機は縦ですし、道路の標識にも雪が積もりにくい構造になっていました。
 |
| 図 2 |
最近、凧形がお気に入りの私は「あ、断面が凧形！」と思って写真を撮りました。
途中でお弁当とお茶を買って、海辺でお昼を食べて帰りました。帰りは高速道路を使ったので、2時間弱で帰りました。
 |
| 図 3 |
途中、対面通行の区間があるため、車線が減少するところで若干渋滞につかまりました。対面通行解消のための工事が進められていて、トンネル工事をしているところが何カ所もありました。もう開通しているとおぼしきトンネルもあれば、これから掘り始めるらしいトンネル、工事の真っ最中のトンネルなど、いろいろなフェーズの現場が見られて面白かったです。
＜おまけのひとこと＞連休後半の予定がまだ不確定なのですが、一応２日分更新しておきます。
5月6日(土) このかたちは何でしょう？
ちょっと前のノートの片隅に、こんな図をメモしていました。
 |
| 図 1 |
これを見て、こんなかたちを連想したので、CGにしてみました。
 |
| 図 2 |
どんなかたちなのかわかりますか？ （どんなかたちの面が何枚ずつあって、頂点の数はいくつで…等）
こんなクレマチスを見ました。
 |
| 図 3 |
花びらの数が７枚というのはちょっと珍しいんじゃないかと思って写真を撮りました。調べてみると、クレマチスの仲間は普通は花弁の数は４、６、８といった偶数が普通のようですが、まれに奇数の花をつける場合があるとのことでした。また、この青紫色の一見花びらに見える部分は、実は花びらではなくて「がく」なのだそうです。
＜おまけのひとこと＞昨夜は早く寝たら午前一時に目が覚めて、明け方朝刊が届いた後、５時半くらいにもう一度布団に戻ったら、次に目が覚めたら朝８時過ぎでした。生活のサイクルが乱れてしまっています。
5月7日(日) 立方体の稜を削る
昨日のかたちですが、自分の手描きの図を見て、こんな連想をしたのでした。
 |
 |
| 図 1 | 図 2 |
 |
 |
| 図 3 | 図 4 |
立方体の１つの頂点に注目して、その頂点と隣接する頂点との間の稜を、隣接頂点を通る平面で少しずつ削ってゆくことを考えました。切り口は 最近おなじみの凧形になります。
このかたちが面白いなあと思って、少し調べてみることにしました。
本屋さんに行って、洋書の棚を見ていたら、アウトレットコーナーというところにこんな本がありました。
 |
| 図 5 |
1000 Packaging Structure(リンクはamazonです)という本で、紙による様々なパッケージの展開図とそれを組み立てたときの完成CGイメージが１ページに１つずつ載っている、1,000ページを超える巨大な本です。全ページカラー印刷で、紙の品質も良いです。重量は優に3kgはありました。amazonのページをみると、123.59ドルと書かれていますので、軽く１万円以上ということになります。これが2,900円で売っていたのです。その場では定価はわからなかったのですが、これは買わざるを得まいと思って買ってきました。
とても重かったですが、眺めていて楽しいです。先日せっかく本を減らしたのに、また増やしてしまいました。本の厚さが7cmくらい、重量が3kgなのでブックエンド代わりになっています。（並んでいるのは先日図書館で除籍になってもらってきた本たちです）
 |
| 図 6 |
「計算尺ハンドブック」が入手できたのが嬉しかったです。またご紹介します。
＜おまけのひとこと＞以前からときどき感想のメールを下さる九州のKさんから、メールをいただきました。九州の金山団地の入り口の黄色いポストはご存知とのこと。ありがとうございます。
昨日の土曜日は朝から曇りでした。先日、庭の草取りをしたのですが、その時の草を清掃センターに持ち込んできました。ちょうど雨が降り始める前に園芸ごみの袋を車に積むことができました。清掃センターでは、ゴミの持ち込みの車が10台近く並んでいました。持ち込みゴミは車ごと重量を計量して、住所氏名を用紙に書き込んで、指定の場所にゴミを下ろしたらもう一度重量を計量して差分としてごみの重量を計算して手続きが終了します。
最初の軽量まで10分以上待ち時間がありました。もう一度待つのかぁと思っていたら、最初の計量のときに窓口の方に「持ち込みは何ですか？」と尋ねられ、「指定袋２つの園芸ごみです」と答えると、「ではすぐにゴミを車から降ろしてください。それで持ち込みゴミの重量が計量できますから、もう一度並ばずにお帰りください。」と言ってくれました。おかげさまですぐに帰れました。ありがとうございました。
5月8日(月) 立方体の稜を削る：座標計算
昨日のCGを作成したときの座標計算のメモを残しておきます。
 |
| 図 1 |
左のように座標軸を決めて、中心が(0,0,0)、頂点が（±1,±1,±1)の立方体の、(1,1,1)の頂点を削ってゆきます。kをパラメータとして、切り落とされて新しく正方形の上にできる座標をP,Qとして、その中点をMとします。対称性から頂点Cのx,y,zの成分はすべて等しいはずですので、C(t,t,t)とします。このtをパラメータkで表すことができれば、kを変化させていったときにCがどうなるかがわかります。
洋書のアウトレットコーナーの棚の昨日の紙のパッケージデザイン集の本の隣にあったのがこの本でした。
 |
| 図 2 |
The World Atlas Of Musical Instruments(リンクはamazonです)という本です。こちらは1,900円でした。Amazonのページをみると、新品でも14.5ドルということなので、こちらはリーズナブルな価格でした。（一般に洋書は単なる為替レート以上の値段になってしまうことがほとんどです。）
一度かごに入れて、どうしようか迷って、いったん棚に返そうと思って、最後にもう一度確認と思って適当に開いたページがトラヴェルソとリコーダーのページでした。そのため、戻すのをやめて買ってくることにしました。印刷もイラストもきれいで美しい本でした。
＜おまけのひとこと＞連休最終日の5月7日(日)の午後に、あわてて更新をしています。連休明けの5月8日の週は忙しいので、とりあえず週の中ごろの分までは更新をしてしまおうと思っています。
5月9日(火) 立方体の稜を削る：４カ所
立方体の稜を削る話、昨日までは１箇所の頂点に集まる３つの稜を削っていましたが、立方体の８つの頂点のうち、１つおきに４カ所を同様に削ってみることにしました。まずはCGをご覧ください。
 |
 |
| 図 1 | 図 2 |
 |
 |
| 図 3 | 図 4 |
凧形の面３枚１組で、ちょっとくぼんで尖った三角形ができて、それが４つ集まって正四面体の対称性を持つ構造ができます。隙間のところに菱形が６枚あります。
 |
 |
| 図 5 | 図 6 |
菱形だけ、凧形だけを張ったCGを作ってみました。こうするとかたちが理解しやすいと思うのですがいかがでしょうか。
今年は、2017年10月7日(土)・8日(日)に、リスーピアでワークショップをやらせていただけることになりました。今年は新作を準備しようかなあとわくわくしています。ワークショップの内容を事務局にお伝えするのはもっと後だと油断していたら、連休明けには概要説明と写真を送らないといけない、という連絡をいただきました。
今使っているデジタルカメラが最近調子が悪くて、どうしようかと思っていたのですが、この機会に新調してしまうことにしました。新しいカメラは楽しいです。
＜おまけのひとこと＞5/7(日)のお昼過ぎに更新作業をしていたら、地震がありました。震源等を確認する前に、離れたところにいる身内にメールをしてしまいました。
その後で気象庁のページに確認に行ったら、震源地も震度が観測されたのもほぼ長野県だけでした。
 |
5月10日(水) 立方体の稜を削る：gifアニメーション
連続して変化する様子を稜モデルでgifアニメーションにしてみました。どんなかたちなのかが理解できると、何をやっているのかがわかるのではないかと思います。
 |
| 図 1 |
これもすべての面が四辺形なので、面が連なった帯で編む手法で作ってみたいなと思っています。
先日図書館で「ことり屋おけい探鳥双紙」梶よう子 を借りてきて読みました。
 |
| 図 2 |
珍しい鳥を探しに行って行方不明になった夫の帰りを待ちながら飼鳥屋を守っている女性が主人公のお話です。文庫本も出ているようです。買ってもいいかなと思わないでもなかったです。でも、文庫本では表紙が変わってしまっているようで、それは残念です。
＜おまけのひとこと＞5/7(日)に、5/7〜5/10の４日分をまとめて更新しています。連休も終わりです。
5月11日(木) 星☆を並べた模様(その1)
同じかたちを規則正しく並べてパターンを作る、というのは面白いなあと思うのです。五回回転対称の星型（☆：五芒星）だけを使って、いくつかのパターンを作ってみました。イスラムのモザイク模様からの連想です。
 |
 |
|
| 図 1 | 図 2 | |
 |
 |
|
| 図 3 | 図 4 |
それぞれ、基本となる「部品」はどの部分なのか、それをどのように並べているのか、わかりますか？ 自分でこの図をパソコンなどで描いてみようとしたら、どんな手順で描きますか？
今年度、職場に配属になった新人さん３名の「自己紹介＆学生のころはこんなことをやっていました（研究紹介）」の発表会が先週ありました。もう自分の子供と同じ世代です。それぞれしっかりしているなと感心しました。そのうちの一人が発表の中で、数学が好き、自分工学系出身だが数学科の人しか読まないような本もよく読んでいる、と言っていたので、発表後の質問タイムで質問が途切れたときに時間繋ぎのつもりで「数学が好きで本を読むそうですが、お勧めの本とかありますか？ もしくは最近ならばどんな本を読みましたか？」と尋ねてみたのです。そうしたらしどろもどろになってしまって「えー…、び、微分幾何の本とか…」といった回答でした。それ以上質問を重ねるのはやめておきました。いじめるつもりは全くなかったのですが、ちょっとかわいそうだったかなと反省しています。でも、あの自己紹介ならその質問は想定して欲しかったなという気もしています。
＜おまけのひとこと＞本日ご紹介した「☆を並べる模様」は、3月くらいにいろいろ平面の模様について試していたころに作ったものです。タイミングを逸して今頃ご紹介しています。
5月12日(金) 星☆を並べた模様(その2)
昨日の模様に色を付けてみました。図1と図2は、昨日の図4と図3に相当します。どちらも同じシンメトリー（対称性）の構造を持っていますが、星のつながり具合や密度が異なります。
 |
 |
|
| 図 1 | 図 2 | |
 |
 |
|
| 図 3 | 図 4 |
図1、図2は☆と背景の２色ですが、図3と図4は背景の同じ形のところは同じ色、違う形のところは違う色、という塗り方をしてみたものです。どちらがきれいだと思いますか？ その理由はなぜでしょう？ もちろんこれは主観の問題で、正解はありません。
先日、安曇野市の三郷サラダ市というところで買った野菜がとてもおいしかったのです。価格も普通に食品スーパーなどで買うのと変わらない値段で、大当たりでした。たいへんおいしくいただきました。
＜おまけのひとこと＞5月13日(土)の午前中に、11日、12日の２日間を２日遅れで更新しています。今日(13日)は一日天気が悪いようです。本当は会社のイベント（任意参加のソフトボール大会＆焼肉大会）が計画されていたのですが、昨日12日(金)の午後に「明日のソフトボール大会は悪天候が予想されるため中止となりました」という館内放送が流れていました。中止の判断は妥当でした。（まあ私はもともと欠席の予定だったのですが。）
今日(13日)は珍しく、早朝に起きて朝食を食べた後、朝7時過ぎから２時間ほど寝直してしまいました。先週は仕事でいろいろ面倒なことがあって、ちょっと疲れていたのですがだいぶ回復しました。
5月13日(土) 正方形を重ねたパターン(その1)
図1のパターンを見て、「どんなかたちが見えますか？」と質問されたら、皆さんはどう答えますか？ 多くの方は「正方形が見える」と答えるのではないでしょうか。もちろん私もそう答えます。
 |
| 図 1 |
これは面白いパターンだと思います。図2のように大小２つの正方形によるタイリングパターンを角度を変えて重ねたものに見えます。
 |
| 図 2 |
さて、このパターンはどんな対称性を持っているでしょうか？ 正方形がベースなので、C4回転対称、つまり360度ぐるっと回していく間にちょうど４回、自分自身と重なるときがあるのはわかりやすいと思います。つまり90度回転しても同じパターンになります。図3は、図1を単に90度回転したものです。
 |
| 図 3 |
さて、このパターンは鏡像対称性も持っているでしょうか？ 持っているとしたら対称軸はどこにあるでしょうか？
先日、「今年のリスーピアのワークショップは9月23日、24日にやらせていただけることになりました」と書きましたが、再度連絡があって、その日は別のイベントをやることになったので、10月7日,8日に変更になりました。確か昨年も10月にもワークショップをやらせていただいています。本当は9月のほうがありがたいかなと思っていたのですが、まあなんとかなるかなと思っています。
今回は新しい内容にしようと思って準備をしています。その話は来週(5月後半)に簡単にご紹介したいと思っています。
＜おまけのひとこと＞結婚したときに購入した冷蔵庫を、いまだに使っています。それ以外の家電製品は寿命が来て入れ替えたのですが、冷蔵庫だけはいまだに問題なく使えているので、買い替えができないでいます。昔のものなので消費電力は大きくて、最近の冷蔵庫に替えればおそらく年間で万単位の電気代の節約になるだろうな、とわかってはいるのですが、踏ん切りがつかなくて使い続けています。
最近の電気料金の請求書には、月ごと、日ごとの電力量のグラフが付いていて、眺めると楽しいのですが、丸一日不在だった日にも結構な電力を消費していて（直近１ヵ月の電気代が4,500円くらいでした)、ひょっとしてこの半分以上は冷蔵庫？ と驚いています。さすがに25年も使ったので、そろそろ取り替えても罰(ばち)は当たらないかな…。でも、まだ使える機械を「効率が悪いから」という理由で処分するのも気が引けるのですよね…。悩ましいです。
5月14日(日) 正方形を重ねたパターン(その2)
さて、昨日のパターンですが、回転対称性だけでなく鏡像対称性も持っています。小学校で習う言い方をすると、点対称でもあり、線対称でもあるのです。図1は、昨日のパターンを鏡像対称性がわかりやすい角度にちょっと回してみたものです。昨日のパターンは小さい正方形を黒く塗りつぶしてありましたが、今日は白のままにしました。
 |
| 図 1 |
この図を見ると、このパターンは上下、左右に線対称になっていることがわかると思います。図を上下反転や左右反転したとしてもパターンは変わりません。
このパターンに色を塗ってみました。
 |
 |
|
| 図 2 | 図 3 |
図2、図3は正方形を強調した着色です。このように色を塗ってしまうと鏡像対称性は失われて、90度の回転対称性だけになってしまいます。図2は大きな正方形のタテヨコが画像のタテヨコと揃っているような塗り方、図3は大きな正方形のタテヨコは画像のタテヨコとずれているような塗り方です。
 |
| 図 4 |
一方、図4のように塗ってみると、鏡像対称性があることがわかりやすくなると思います。この図を見ていると、青い菱形と黄色い菱形が互いに編むように相手を押さえ合っているように見えます。図4は90度の回転対称性は失われていますが（90度回転させると青と黄色が入れ替わる)、180度の回転対称、つまり点対称の性質は残っています。
このパターン、とても面白いと思うのですがいかがでしょうか？
昨日、5月13日(土)は天気が悪かったので、一日家にこもってリスーピアのワークショップの教材の研究をしていました。どんなパターンができるのかを説明するためのCGを作っていたのですが、楽しくて時間が経つのが早かったです。夕方は不思議な紫色の夕焼けでした。
＜おまけのひとこと＞5月14日(日)の朝に、13日、14日の２日分の更新をしています。来週(5/15の週)はほぼ毎日更新ができる予定です。
5月15日(月) 正方形を重ねたパターン(その3)
昨日までご紹介している「正方形を重ねたパターン」、これを構成している部品は実は凧形なのです。小さな正方形を囲む４つの凧形が基本構成になっています。私は以前から凧形がお気に入りのかたちなのですが、ここ２〜３ヶ月は凧形を使った多面体とか、凧形を使った平面のタイリングなどをいろいろ調べてみていて、これもその一環だったのでした。
 |
| 図 1 |
このパターンのタイリングにも系列があって、隙間の正方形が小さいものから大きいものまで、１自由度で変化します。凧形４個でできる正方形のサイズが同じになるようにして、３種類のパターンを図にしてみました(図1)。
このように、４つで正方形になる凧形というのは、お気づきかと思いますが左右対称になった等しい内角が直角になっている凧形です。従ってこの凧形は円に内接するというちょっと特別な性質を持っています。
 |
| 図 2 |
４つで正方形を構成するので、こんな並べ方もできますけれども(図2)、これはこれで「あり」だとは思いますが、やはり図1の並べ方のほうが美しいと思います。
正方形に近い凧形から剣のようにとがった凧形まで、いろいろな図を描いてみたくて、角度だけ指定したら図を描いてくれるプログラムを書いてみました。
 |
 |
|
| 図 3 | 図 4 | |
 |
 |
|
| 図 5 | 図 6 |
いつもCGを作るのに使っているPovrayで80行くらいのプログラムを書きました。こうやっていくらでも角度を変えたCGが作れます。面白いです。
色をつけたCGも作ってみようと思っています。