以前の「ひとこと」　：　2017年5月後半

5月16日(火)　正方形を重ねたパターン(その4)

　白い凧形のタイルと小さな黒い正方形のタイルを並べたパターンについてご紹介してきました。昨日のCGはモノクロで辺(エッジ)だけの表現だったので、色を付けたり角度を変えたりしてみました。

図 1		図 2
図 3		図 4

　青と赤の正方形の配列が重なっている様子がわかるように色をつけてみました。また、青の正方形は画像のタテヨコと方向が揃っているようにしました。図1から図4のように変化するにつれて、凧形は細長くなってゆき、背景の黒の割合が広がっていく様子がわかると思います。

　このCGを作成するために書いたPovrayのコードを、画像としてご紹介しておきます。

　本当はテキストで載せるほうが親切だと思うのですが、あいかわらずhtmlをテキストファイルで書いている私は、予約語やコメント、演算子をそれぞれ決まった色にする表現を簡単にする方法が思いつかないので、つい手軽に画面をキャプチャした画像にしてしまいました。

　Povrayで、xz平面上にパターンを描いています。一番上の theta という値を45°〜90°の間で変えると、背景の小さな黒い正方形がだんだん大きくなります。r は辺(エッジ)の太さ(円柱の半径)で、rを大きくするとどんどん太くなります。ちなみに赤や青の正方形（凧形４枚）の１辺の長さが１になるようにしています。LD(Long Diagonal)というのが凧形の対角線（鏡像対称線）の長さです。

　上にキャプチャしたソースコードの範囲には視点(カメラ位置)と光源がありませんが、視点が離れると視野が広がって、見えるパターンが細かくなります。

図 6		図 7

　図6は辺を太くしてみたものです。こうしてみると、CGで3次元的に作っているのがよくわかると思います。また図7は視野角を変えずに視点のパターンからの距離を２倍にしてみたものです。たった40〜50行のプログラムを書くだけで、こうやっていろいろな条件でのパターンをきれいに簡単に描くことができて、コンピュータってほんとうにありがたいなあと思います。ここにご紹介するにはファイルサイズの問題があるので小さな画像しか載せていませんが、画像サイズを大きくして描画すると、全体も細部もよく見えて感激します。

(つづく)

○

　春になって、蟻が家の中にときどき入ってくるようになりました。そういうことが起こる年と起こらない年があるのですが、今年は家の東側のほうから中二階と二階に蟻が出ました。家の中に入ってきた虫は、ガラス瓶とかで捕まえて外に逃がすようにしているのですが、さすがに数が多いとそうも言っていられないので、蟻の場合は退治することを前提にガムテープで捕獲してしまいます。こういう年は仕方がないので退治するための薬剤を家の基礎の周りにまいてしまいます。先週の週末はそんな作業もしていました。

＜おまけのひとこと＞
　いつもだと「過去のページ」の先頭（毎月1日と16日)の更新は新しい話題にするのですが、今日は今書いている話の区切りがよくないので、続きを書かせていただきました。

5月17日(水)　凧形と正三角形(その1)

　白い凧形のタイルと小さな黒い正方形のタイルを並べたパターンについてご紹介してきましたが、黒い正方形を、他の正多角形に変えたらどうなるんだろう？　と考えました。

再掲図

　平面を合同な正多角形で埋めつくすタイリングができるのは、正三角形、正方形、正六角形の３パターンだけであることが知られていますが、ではこのような配置は正方形だけでなく、正三角形や正六角形の格子を基本に作ることもできるのでしょうか？

　ということで、まずは正方形を正三角形にしてみることを考えました。どうなるでしょう？　とても面白いのでちょっと考えてみてください。

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一応ちょっと間をあけて

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　こんなパターンを思いつきました。

図 1

　まずこのパターン、何が見えますか？。昨日までご紹介してきた正方形のパターンと比べて、何が同じで何が違っているでしょうか？

図 2

　昨日までの正方形のパターンを形成する凧形は、図2左のように向かい合った等しい角が直角（一周360°の4分の1）の凧形でした。本日ご紹介した図1を構成する凧形は、図2右のように向かい合った等しい角は120°（一周360°の3分の1）です。

　このパターンも、まずはいろいろと色を塗ってみました。色を塗り分けてみるというのは、パターンを理解するのに有効な手段だと思います。必ず規則性を意識するからです。そして、出来上がったパターンを見るのがまた楽しいです。

(つづく)

○

　古楽器のヴィオラ・ダ・ガンバ奏者の小池香織さんの門下生の発表会に、お弟子さんたちにまざって出演させていただけることになって、少しずつ練習をしています。上記の小池さんの公式ウェブサイトにも案内が載っていますが、7月8日(土)13時から東京の立川の立川福音自由教会というところで、

「立川で発表会！小池香織ヴィオラ・ダ・ガンバ門下生＆立川近辺在住奏者による」

　というのに出演させていただきます。門下生でもなければ立川近辺在住でもないのですが、お誘いをいただいたのでありがたく参加させていただくことにしました。昨年もお誘いいただいたのですが、昨年は辞退をさせていただきました。今年も参加希望者がとても多いということなので、来年は難しいかなと思っています。

　今回はヘンデルのフルート(トラヴェルソ）とヴァイオリンのトリオソナタ（ロ短調）を私の希望でやることにさせていただきました。妻に通奏低音のチェンバロを弾いてもらって、私がトラヴェルソで、飯田市にお住いのM氏にバロックヴァイオリンを弾いていただいて、さらに通奏低音パートのヴィオラ・ダ・ガンバは横浜にお住いのSさんという方にM氏からお願いしていただきました。Sさんにはまだお目にかかったことがないのですが、6月にわざわざ長野県までいらしていただいてリハーサルをしようということになっています。

　昨年度はそれまでに比べて本業の負荷が軽くなったのですが、今年度はまた仕事の負荷が予想以上に大きくなってきていて、ちょっとプライベートを充実させすぎているかなと反省しています。でも自分が言い出した話なので、あまりご迷惑をかけないようにしないといけないなあと思っています。来年への反省として、自分の技術や練習時間も考えて、無節操に出演したり演奏したりするのはよくないなと思い始めました。

　その小池さんが出演されるコンサートのご案内をいただきました。

2017年6月11日(日)15:00〜

信州国際音楽村(長野・上田)

信州国際音楽村開村30周年記念 信州ルネッサンス2017

「バロック音楽の世界〜ヴィオラ・ダ・ガンバとチェンバロの融合〜」

出演：小池香織(ヴィオラ・ダ・ガンバ)　宮崎賀乃子(チェンバロ)

　行かれるかな…

　何度も書いているような気がしますが、長野県伊那市ご出身の小池さんとは、10年くらい前に飯田市のM氏のご自宅でアンサンブルをさせていただいたことがあります。私がトラヴェルソを始めてまだ数ヶ月、というごく初心者のころに、バッハのフルート２本のトリオソナタ、これは原曲が同じ調のヴィオラ・ダ・ガンバソナタで、第２フルートがガンバソナタのガンバパートとまったく同じという曲なのですが、この曲を小池さんのガンバと私のトラヴェルソ、M氏の通奏低音鍵盤で通していただいたことがあって、それはそれは楽しかったのです。（練習不足なので今でも当時からあまり上達していない気もしますが。）

　発表会への参加のお誘いもそうですが、そうやって古楽ファンのすそ野を広げようとして下さる小池さんには感謝していますし応援もしています。

＜おまけのひとこと＞
　本日は複数の病院の定期通院で会社をお休みさせてもらうことにしました。

5月18日(木)　凧形と正三角形(その2)

　さて、昨日の「凧形と正三角形」のタイリング、正三角形の部分は背景だと考えて、凧形の部分にいろいろと色を塗ってみました。最初に思い付いたのはこの塗り方です(図1,図2)。

図 1		図 2

　ちょっと尖った正三角形が互いに押さえ合っているようなイメージです。このパターンを見ると、この「ちょっと尖った正三角形」が意識されるのではないかな、と想像しています。図1、図2の違いは、４色の塗り分けなのか３色の塗り分けなのか、です。3色のほうは3回回転対称性が残っていますが（黒い三角形の中心の回転対称性は色を付けたことによって失われていますが、「尖った三角」の中心では回転対称性が残っています）、4色のほうは回転対称性は失われています。一般に対称性が高いほうが美しいと思うのですが、この場合は私は4色のほうがなんとなく好みです。

図 3		図 4

　図3と図4は、黒い正三角形を囲んでいる凧形３つによる、“切頂正三角形”とでも呼ぶべき六角形を単位として色を付けたものです。それぞれの凧形を、内角が大きい側が先頭で内角が小さい側が後ろの矢印だとみなすと、同色の凧形３つは３つの矢印による「渦巻き」だとみなすことができます。図3と図4の違いは、その渦巻きが右回りなのか左回りなのかの違いです。つまりこの着色の仕方だと、鏡像対称性が失われて、回転対称性だけになります。

図 5

　最後に、これも素直な塗り分けかなあと思うのですが、凧形には３つの方向があるので、同じほうを向いた凧形を同じ色で塗ってみました(図5)。これは鏡像対称性だけが残っていて、回転対称性は失われています。

　ここまではパソコンのDraw系のソフトで骨格を作って、Paint系のソフトで色を塗る、という実験でした。正方形のパターンのときと同様、これも凧形の「尖り具合」を変えた図を作ってみたくなりました。

(つづく)

○

　昨日(5/17)は会社をお休みさせていただいて、午前と午後にそれぞれ別の病院に行って（定期通院です）、その後でそれぞれ別の薬局で薬を出していただいてきました。よく「門前薬局」と言いますが、その科のお医者さんのよく処方する薬の品揃えは、やっぱりその病院に近い薬局のほうがいいのかな、と思うのです。もちろん「お薬手帳」は持っていきました。

　それはともかく、その合間に久しぶりに妻とお昼を外食してきました。

　ランチの付け合わせが山菜でした。見たところ、うどとわらびとこごみのようでした。フロアスタッフの方に尋ねてみたら「きいてきます」と言ってわざわざ確認してくれました。「うど」「わらび」「こごみ」で正解でした。昔、父が山菜取りが大好きで、日曜日の早朝などに時々連れて行ってもらいました。その技は父の代で失われてしまいました。当時は特に美味しいとは思わなかったのですが（そもそも山菜だけでなく、普通の野菜も特に好きではありませんでした）、今食べると美味しいなと思います。

　夕方、翌日の仕事の準備のために会社のネットワークに接続したら、メールが80通たまっていました。（まあそのうち半分近くはダイレクトメールなのですが。）

＜おまけのひとこと＞
　せっかくのお休み(5/17はお休みを取りました)なのに、ストリートビューで高速道路をさまよってけっこうな時間を消費してしまいました。なぜそんんかことをしたかというと…

5月19日(金)　高速道路の標識

　今日は、以前から気になっていたことを調べたので、それについて書こうと思います。

　高速道路の長野自動車道（長野県岡谷市の岡谷JCTから長野県千曲市(旧：更埴市)の更埴JCT)をよく利用しています。安曇野IC（旧：豊科IC）をよく利用するのですが、“ICまであと○km”という距離標識の距離がどうも怪しいなと常々思っていました。具体的に言うと、「あと3km」の標識から「あと2km」の標識の間が妙に長いのです。この区間は中央道・長野道の中でも珍しく制限速度が100km/hなのですが、私はだいたい90km/h前後で走行しています。1kmの区間を走るのに、時速60kmであればちょうどぴったり1分かかるはずで、時速90kmならばその1.5倍のスピードですから、時間は3分の2、40秒かかるはずです。

　ところが、体感的にもっと時間がかかっているのです。一方で「あと2km」から「あと1km」はもっとずっと短い感じです。どうやってこの感覚を得たかというと、遅い車を追い越すのに（自分ではめったにやりませんが）、「あと3km」から「あと2km」の間では楽々追い越せるのに、「あと2km」から「あと1km」の間に追い越すのは、かなりスピードを上げないと厳しい感じなのです。自分ではなくほかの車が追い越す様子を見ながら、常々変だなあと思っていました。（私は基本的に80km/h区間では制限速度ピッタリで、100km/h区間では、車線規制がない限りは80〜90km/hで走ります。工事など車線規制で１車線になった時には、後続車をイラつかせないように流れに乗ります。）

　今週この区間を走った時に、それぞれの距離標識に最も近いキロポストを読んでみました。確認のため、googleのストリートビューでも確認してみました(図1)。

図 1

　図1はストリートビューの画面のキャプチャです。「安曇野ICまで2km」の標識はだいたい31.0キロポスト付近にあることがわかります。同様に確認してみると、以下のような結果になりました。

図 2

　やっぱり「3km」と「2km」の間が長くて、それ以降はちょっと短い（もしくはほぼ正確）という結果でした。ちょっと誤差が大きいのではないかと思いました。

　中央道を東京方面に向かって走ると、例えばこんな看板があります。（これもストリートビューで見つけました。）

図 3

　これは有効数字が２桁、というか100m単位での標識になっています。他にも記憶では、同じ中央道上り線で「○○まで700m」という看板も見たことがあります。（これはストリートビューで探したのですが見つけられませんでした。）このように、100m単位の看板が設置できるのであれば、安曇野ICまで「あと3.5km」と書いたほうが正確ではないかなあと思ったのです。

　インター出口までの距離、というのは、例えば遅い車に追いついてしまったときに追い越すべきか、我慢すべきかを判断するための材料として大切だと思っています。教習所では確か、高速道路での安全な追い越しには少なくとも1kmは必要、と習った記憶があります。なので、「あと2km」を下回ったら追い越しはかけないほうが無難なのかなと思っています。その意味で「あと3km」が実際にはもっと長いというのはある意味安全側？なのかなあとも思いました。でも正確なのが一番いいと思うのですが。

　例えば、前の車が80km/hで走っているとして、これを100km/hで追い越すためには、どのくらいの時間がかかるか、というと、追い越し前と追い越し後の車間距離をそれぞれ100mとすれば、相対速度20km/hで200m走る時間、ということになるので、100分の1時間(＝36秒)、ということになります。時速100kmで100分の1時間走るので、走行距離はぴったり1kmになります。これが「安全な追い越しには少なくとも1km必要」の根拠だと思います。(この計算では車の長さは車間距離に含むとして計算していることになります。）

　せっかくここまで考えたので、Excelでグラフを描いてみました。

図 4

　横軸が自車（追い越す側）の速度、縦軸が追い越しに必要な距離、５本のグラフの線はそれぞれ相手の車（追い越される側）の速度を表します。追い越し前後の車間距離はそれぞれ100mという前提の計算です。よく、トラック同士とかの追い越しで、あまり速度差がないと、追い越しにはかなりの時間がかかって、その結果追い越し終わるまでにかなりの距離を走っているというのを見かけますが、こうしてグラフ化してみるとよくわかって面白いです。

＜おまけのひとこと＞
　5/18(木)の朝に、18日と19日の2日分の更新をしています。

5月20日(土)　凧形と正三角形のパターンをCGで(その1)

　一昨日の凧形と正三角形によるタイリングパターンをCGで描いてみました。

図 1

　9枚の画像をgifアニメーションにしてみました(図1)。面白いと思うのですがいかがでしょうか。

図 2		図 3
図 4		図 5

　いくつかのパターンを静止画で載せておきます(図2〜図5)。図5くらいになると、もはや菱形によるタイリングのような感じです。

　これらを描いたPovrayのソース（の一部）を載せておきます。例によって画像です。すみません。

図 6

　このプログラムを書くときに計算した座標系について、簡単に説明しておきます。この凧形は先日お話したように、対称な頂点の内角が120°です。そこで、半径1の円を考えて、中心角120°の弦の円周角が120°であることを利用して、図7のようにxy座標を決めます。つまり、円Rの中心 Ro は（√3/2,-1/2)という座標になります。凧形の120°の頂点をA(p,q)、その両隣の頂点をOとTとします。

図 7

　辺OAの長さを l として、Aが円R上にあることからARo=1です。ここから、l をθで表すことができます。これで、θを変えることで凧形の尖り具合を変えられます。図6のPovrayのプログラムはこうして作りました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　今日は午前1時半に起きてしまって、結局いろいろやっていたらそのまま朝になってしまいました。

5月21日(日)　凧形と正方形のパターンと凧形と正三角形のパターン

　CGが描けるようになったので、いろいろ試してみました。自動化できると絵の生産性がものすごく上がります。喜んでいろいろ画像を作ってみました。

図 1		図 2

　図1は先日の「凧形４枚が小さな正方形を囲む」基本形のパターンです。図2がここ数日の「凧形３枚が小さな正三角形を囲む」基本形のパターンです。どちらも、赤と青の二通りのパターン、合同で角度だけが異なる２パターンを重ねてできていることがわかります。（それがわかるようにアニメーションにしてみました。）

　いかがでしょうか、この２つのパターンがよく似た性質を持っているということがわかると思います。

　また、せっかく三次元のCGで描けるようにしたので、平面図だけではなく、三次元的な視点から見た画像も作ってみました。

図 3		図 4

　視点の位置や向き、視野角などを変えると、様々な画像をつくることができます。テクスチャとかもっと凝ってもよかったのですが、まずはシンプルな画像を作ろうと思って白黒二値の絵にしてみました。

　コンピュータとかが無い時代に、こんなふうな絵を文字通り「手で」描いていたエッシャーは本当に天才だと思います。（先日も、「エッシャーの絵みたいですね」という感想をいただきました。ありがとうございます。）こんな絵をどんどんコンピュータに描かせることができるなんてとても幸せです。

○

　自宅の近所の大学が、利用登録すれば図書館を利用させていただけるということを知って、昨日妻と登録に行ってきました。

図 5

　昨日は夏日で暑い一日でしたが、大学の大きな建物の中はひんやりとして居心地がよく、人もほとんどいなくて快適でした。受付は学生さんがしてくれました。理系の大学なので数学や物理の本が充実していて、楽しかったです。

　ちなみに、学生さんは地元の路線バスを自由に利用できる「通学バスパスポート」を年間2,000円で利用できるのだそうです。しかも、駅と大学との間だけでなく、地域のどの路線にも乗れるのだとか。といっても路線数や本数はかなり減ってはいるのですが、それでも地元としてはとても努力してサポートしているのだなあと感心しました。

＜おまけのひとこと＞
　今朝は少し早起きして、新しい多面体模型を作りました。それから、ゴミ箱のインナーを使い終わったとのことだったので、妻と新聞１日分で10枚ほど折りました。
　今度の木曜日に仕事でちょっとしたプレゼンテーション（技術紹介）をするのですが、その準備が全くできていません。今日はそれをやっておかないと…

5月22日(月)　タイリングパターンのCGにテクスチャを張る

　３次元コンピュータグラフィックスならでは、ということで、昨日までのパターンにテクスチャを張って(貼って？）みました。

図 1		図 2

　左が木材のテクスチャ、右が石材のテクスチャの例です。木材のテクスチャのほうは表面の光の正反射成分(鏡面反射成分)が少なくて、拡散反射成分が多いので「スポット」(部分的に明るく見える部分)がありませんが、石材のほうは表面がピカピカ、という設定のため、画面左側に光源が映り込んでいる様子が見えます。

図 3		図 4

　同じものをもう１つのパターンで作ってみました。視点や光源の位置や角度は図1、図2と同じです。また、選択したテクスチャも同じにしました。

　せっかくなのでもう一組、正六角形と正方形と正三角形の有名なタイリングパターンも同様に作ってみました。

図 5		図 6

　Povrayの定義済みテクスチャ一覧は、例えば木のテクスチャ、石のテクスチャなどを公開していただいているページを参考にさせていただきました。数が多いので、こうして一覧になっているとありがたいです。こちらはPOV-Ray 3.5 利用参考マニュアルという大分大学のページの一部です。このマニュアルは大変な労作だと思います。フォトンマッピングやラジオシティといったCGのテクニックをPOVRayでどう利用するのかなどについても日本語で解説されていて、大変ありがたいです。

＜おまけのひとこと＞
　この週末(5/21,5/22)は暑くなりました。　

5月23日(火)　北村さんの多面体(その1)

　先週末、Beads Creaturesというサイトを公開されている、ビーズ作家の北村恵子さんという方から、「ビーズで不思議な感じのする多面体ができたので、何かコメントをいただけたら…」というメールをいただきました。これが大変興味深い多面体だったので、ご本人のお許しをいただいて、紹介をさせていただくことにしました。

図 1		図 2
図 3		図 4

　図1〜図4は、北村さんからいただいたメールに添付されていた写真です。（正確には、いただいた写真を同じサイズになるように私のほうでトリミングさせていただきました。）ビーズ多面体は美しいなあと思います。図1が上から見たところ、図2〜図4は横から見たところ、とのことです。メールには以下のような解説を書いていただいてありました。

辺の数は84。すべての頂点が3つの面を共有しています。 　編み方は、5角形3つの周りを7角形と6角形で交互に廻り、 　5角形12コで廻ったあと、また7角形と6角形で交互に廻り、 　5角形3つに戻るといった感じです。

　これがどんな多面体なのか、わかりますか？面のかたち、稜の数、頂点の次数という基本的な情報がちゃんと書かれているので、考えるとわかります。この下の明日以降の更新のところで答を書きますので、多面体がお好きな方はぜひその前にご自分で考えてみることをお勧めします。

　全ての頂点の次数が3で、五角形と六角形というと、有名なサッカーボール型の切隅二十面体(切頂二十面体、切頭二十面体とも言います）を思い出します。

切隅二十面体

　ということは、北村さんの多面体もバックミンスターフラーレンのように炭素化合物として合成できたりするのかな？　と連想しました。それができたら面白そうです。

(つづく)

○

　実は北村さんからご連絡をいただいたのは今回で２回目で、前回は2003年、もう10年以上昔です。2003年10月13日のひとことでご紹介させていただいています。そのときにもビーズの多面体についてメールでご相談いただいていたのでした。

　北村さんはモチーフ・ビーズとかNEWモチーフ・ビーズセレクションといった本も出版されているビーズ作家さんで、上記のAmazonのページの見ると、とても高評価なのがわかります。特に「ビーズ表」という立体物をビーズで編むときの表記法を考案されていて(下記[追記]参照)、それが従来のビーズ作品の作り方の表現より簡潔でとてもわかりやすい、というコメントがたくさん寄せられています。

　[追記] 北村さんからコメントをいただきました。「ビーズ表」(こちらに丁寧な説明があります)は、北村さんがゼロから考案されたものではなく、台湾などで出版されているビーズ作品の本などで使われている「乱数表」(こちらに解説されているページがありました)を基にアレンジされたのだそうです。ビーズの世界のことをよく知らずに誤解を招きかねない表現をしてしまって申し訳ありません。ご指摘ありがとうございました。(2017年5月26日追記)

　ビーズによるモチーフをデザインする、というのは、折り紙で動物などをデザインする、というのに似ているなあと思うのです。素材による制約の中で、何らかのデフォルメをしながら「その動物らしさ」を表現する、というのは本当にセンスが必要だと思います。

＜おまけのひとこと＞
　5月23日(火)の早朝に、5/23〜5/25の３日分の更新をしています。

5月24日(水)　北村さんの多面体(その2)

　さて、この多面体がどんなかたちで、どんな対称性を持っているのか知りたくて、実際に模型を作ってみることにしました。どんな素材でどうやって作ろうかなあと思ったのですが、まったく理解できていないので、まずは稜モデルを丈夫な素材で作ってみようということで、ppバンドとハトメで作ることにしました。

図 1

　幅が1cmの、白くて赤い縁取りがされたppバンドを選びました。最初にこれを5cmに切ったものを84本用意します。

図 2

　次に、それぞれの両端に黒い油性マジックで穴をあけるためのガイドマークを書きます。

図 3

　ガイドマークを利用して、１穴パンチで穴を開けます。

図 4

　パーツ84個が用意できました。これをハトメで留めてゆきます。

図 5		図 6

　最初に五角形３つを作って、その周りに六角形と七角形が交互にめぐる、ということで、１つおきに七角形を３つ、作ったところまでです。図5が外側から、図6が内側から見たところです。この段階ではなんとなく「まるっこく」なっています。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　北村さんからメールをいただいたのが、5/20(土)でした。出かけたりしていたので、メールを読んだのは夜でした。21日(日)の朝4時くらいからこの多面体を作るための作業を始めて、出来上がったのが朝6時過ぎ、だいたい作業時間は2時間くらいでした。

5月25日(木)　北村さんの多面体(その3)

　完成した多面体の写真を撮ってみました。まずは五角形３枚が集まっている頂点から見たところです(図1)。

図 1		図 2

　五角形３枚の外側に、六角形と七角形が交互にめぐっているのがわかるように色を着けてみました(図2)。　

　次に、横から見たところです(図3)。対称性がよくわからないかもしれませんが、これにも色を着けてみました(図4)。

図 3		図 4

　このかたちは、地球儀に例えると、北極と南極が五角形3枚ずつ、赤道が五角形12枚の輪になっていて、北半球と南半球の中緯度地帯が六角形と七角形が交互に3枚ずつの6枚の輪、になっています。色を着けてみるとそのイメージがわかりやすくなるかと思います。

図 5

　図5は六角形の面を中心に見たところです。今度は色は塗りませんが、中央の六角形の両隣の七角形、北極に相当する位置の五角形、赤道に相当する位置の五角形の帯（多面体の内側にも続いていて、輪になっているのが見える）を眼で追ってみてください。

　このかたち、気に入ったので球根の水栽培用の容器の上に載せて、窓辺に飾ってあります。

図 6

　この写真は逆光であまりきれいではありませんが、実物は好きです。また、太陽光線による影がきれいです。（影の写真はうまく撮れませんでした。）

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　次の更新では、この多面体の対称性について考えた話を載せたいと思っています。

5月26日(金)　北村さんの多面体(その4)

　ビーズ作家の北村恵子さんに教えていただいた多面体について工作したり考察したりしています。久々にジオシェイプスをひっぱり出してきて、このかたちを作ってみることにしました。

　まずは上半分です(図1)。

図 1

　正五角形12枚を、赤・緑・白それぞれ４パーツずつ用意して「輪っか」にします。黄色い正六角形パーツ３つを配置し、青い正五角形３枚で屋根をかけました。この段階ですでにパーツには負荷がかかって若干ひずんでいますし、七角形の部分は７つの頂点は同一平面上にはありません。

　次に、内側から見てみました(図2)。この視点から見ると、３回回転対称になっていることがよくわかると思います。図2の写真に重ねて、パーツに色をつけてみました(図3)。

図 2		図 3

　続いて下半分を追加して多面体を完成させます。赤道に相当する五角形１２枚の帯はすでにあるので、そこに六角形３枚と五角形３枚を同様に連結します(図4)。

図 4

　さて、ここで六角形を連結する場所が一意に決まらない、ということに気が付きました。どういうことかわかりますか？

(つづく)

○

　5月23日のひとことで、最初に北村さんのビーズ多面体についてご紹介したときに、特に「ビーズ表」という立体物をビーズで編むときの表記法を考案されていて…ということを書きましたが、これに関して北村さんご本人からコメントをいただきました。「ビーズ表」(こちらに丁寧な説明があります)は、北村さんがゼロから考案されたものではなく、台湾などで出版されているビーズ作品の本などで使われている「乱数表」(こちらに解説されているページがありました)を基にアレンジされたのだそうです。5月23日の記事にも追記をしました。ご指摘ありがとうございました。

　中国語の漢字の意味の知識がないので、なぜ「乱数表」というんだろうと不思議に思いました。中国語ができる方にはなんの不自然もないのかもしれません。こういう表記法というのはとても興味深いです。

＜おまけのひとこと＞
　26日(金)の朝に更新したかったのですが、前日の仕事が忙しくて(最近では珍しく一日の在社時間が14時間を超えました)できませんでした。土曜日の朝に2日分の更新をしています。

5月27日(土)　北村さんの多面体(その5)

　昨日の更新で、上半分と下半分の合体のさせ方が一通りではない気がする、ということを書きました。これをもう少し詳しく説明したいと思います。

　昨日の上半分の模型の図を基に、面と稜をグラフ化してみました(図1)。

図 1

　この外側には、六角形と七角形が３枚ずつ交互に連結されます。そのイメージがわかりやすいようにグラフを変形します(図2)。

図 2

　図2の外周部分に、青い数字と赤い数字で6と7を書きました。何が言いたいかというと、六角形と七角形の配置は青文字のパターンと赤文字のパターンがあります、ということなのです。先週、最初にppバンドで多面体を作った時にもここで悩みました。

　図2で、黒文字の部分まででしたら、120°の３回回転対称性と、３本の鏡像対称軸(面)があります。ところが青文字にせよ赤文字にせよ、その外周の六角形と七角形まで含めて考えると、鏡像対称性は失われてしまっているのです。

　ただ、赤文字のパターンと青文字のパターンは互いに鏡像になっているので、この２つは「右手型」「左手型」になります。（詳しくは説明しませんが、ミラーの立体のように、多面体の下半分を回転させることで、そもそも対称性が著しく減少してしまう場合もありますが、今回はそれにはあてはまりません。)　面白いなあと思いました。

　鏡像対称性はないけれども回転対称性があるかたち、というと、平面の例で考えると、まず思い浮かんだのが「三つ巴」(みつどもえ)のパターンです。家紋にもなっていますね。

図 3

　三つ巴の場合、右手型と左手型ではそもそも構成しているパーツ自身が異なります。でも、例えば先日の凧形の例ならば、図4のように、鏡像対称性があるパーツ３つを組み合わせて、組み合わせ方で右手型と左手型を作ることができます。

図 4

　この図4の例でも、左と右のかたちは平面上で回転させても互いに重なることはできません。でもパーツをばらばらにして組み直せば右と左を入れ替えることができます。三つ巴のほうは、パーツ自体を一度平面から持ち上げてひっくり返さないと、右と左を入れ替えることはできません。

　立体で右手型と左手型があるものとして有名なのが、「ねじれ立方体(snub Cube)」です(図5,図6)。

図 5		図 6

　これは正方形6枚と、正三角形32枚(正方形に隣接している24枚と、正方形に隣接していない8枚)から成る凸多面体で、パーツをばらばらにして組みかえれば左手型・右手型を入れ替えることができますが、３次元空間内でいくら回転しても、同じ形にはなりません。４次元空間に持って行って「裏返して」３次元空間に戻せば、理屈の上では入れ替わります。（現実の世界ではもちろん不可能です。）

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　自宅の出窓付近の壁が傷んできていて、業者さんに見てもらっています。

5月28日(日)　玉包みギフトボックス(その1)

　先日、図書館で実用折り紙 暮らしの箱・うつわという本を借りました。この中の「玉包みギフトボックス」(初音みね子）というのを作ってみたかったのです。こんな作品です。

図 1

　これは２枚組で、まったく同一のユニット２つを組み合わせて作ります(図2)。手元に表裏の二色折り紙で7.5cm角のものがあったので、適当な色を選んで折ってみました。

図 2

　組み合わせるととてもしっかりした構造になります。検索してみると、この作品を折ってみました、というブログがいくつかありました。（こちらとか、こちらとか、こちらとか、こちらなど。）

(つづく)

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　庭の木がだいぶ育ってしまって、どうしたものかと思っています。この家に住み始めたのが20年ほど前です。図3の木は白樫の木で、最初の年の4月29日の祝日に(当時はこの日が「みどりの日」でした)、今住んでいる市の苗木市でとても安く買ってきました。当初はエンピツくらいの太さで、高さも1メートルもありませんでした。

図 3		図 4

　図4は我が家の小さな裏庭を見渡したところです。図4の左手前がアジサイの株、左奥が図3の白樫、右手の木が娘が小学校の入学式でもらってきたマルメロの木です。小学校の新入生が持ち帰れるくらいの小さな苗でしたが、今では２階の屋根くらいまで育ちました。

　そういえば最初のころの写真もあったはず、と思ってハードディスクの中を探してみました。図5、図6は20年くらい前の夏の写真です。

図 5		図 6

　図5の左手に写っているのが白樫の苗です。倒れないように園芸用のポールで支えています。この写真はその向こう側にいる猫を撮ろうと思って撮影したものです。この猫はよくうちの庭に来てひなたぼっこをしたりしていました。

　図6は、図4の写真に近い場所から撮影したものです。娘が小学校に上がる前ですから、マルメロの苗はありません。右下の緑のシートは、家の前の駐車場の工事をしたときに、仕事をお願いした業者さんが子供たちが遊ぶようにと作ってくれた砂場です。猫のトイレにならないように、遊び終わったらシートをかけるようにしていました。

　昔の写真と比べてみると、庭もすっかりうっそうとしてしまったなあと改めて思いました。

　ちょうどデジタルカメラが普及し始めたころで、画素数も少ないし電池もすぐに終わってしまう、それでいてとてもごつくて大きなカメラを喜んで使っていました。なつかしいです。

＜おまけのひとこと＞
　4月29日というと、昭和生まれの私としてはまず連想するのは「天皇誕生日」です。

5月29日(月)　玉包みギフトボックス(その2)

　２枚の合同ユニットを組む「玉包みギフトボックス」という折り紙の話の続きです。このかたちはどんな多面体なんだろうと思って、ちょっと考えてみました。この多面体のCGを作ることを目標に、考えの途中経過のステップをCGで視覚化して確認しながら進めてみました。そのステップをご紹介します。

図 1

　まず、出来上がったCGをご覧ください(図1)。これは以下のようなステップで考えました。

　この立体は、凸多面体ではありません。凸多面体というのは、言葉で言うと「多面体の任意の２点を結んだ線分が多面体の外には出ない」立体のことです。この多面体は、例えば図2のように手前の２つの頂点を結ぶと(赤い線)、その線は多面体の外に出てしまいます。赤い棒の影が見えると思います。

図 2

　最初に、この多面体の「凸包」（この多面体を含む凸多面体で最も小さいもの）を考えます。眺めていると、四方六面体だろうなと見当がつきました(Link は wikipedia です）。といっても四方六面体をご存じない方もいらっしゃると思うので、どんなかたちなのか簡単に説明します。

　図3のように、立方体を考えます。立方体の正方形の面に、背の低い四角錐（ピラミッド）を貼り付けることを考えます(図4)。「屋根をかける」イメージです。図4は寄棟のおうちのように見えます。

図 3		図 4

　残りの5面にも同様に屋根をかけて(図5)、同じ色にすると(図6)、四方六面体の出来上がりです。

図 5		図 6

　面の数は、立方体の6面のそれぞれが4面に置き換わるので、24面、頂点の数は立方体のもともとの8つの頂点に加えて各面の中心に頂点ができるので14頂点になります。

　なお、貼り付けるピラミッドの背が高すぎると、凸多面体ではなくなってしまいます。凸多面体ではなくなるぎりぎりの高さにしたとき、立方体の稜をはさんで隣り合う面が平行になって、三角形の面がなくなってすべてが菱形の面になります。これが菱形十二面体です。

○

　さて、貼り付けた6つのピラミッドの頂点を結んでみましょう(図7)。これは正八面体になります(図8)。

図 7		図 8

　図7から立方体の稜(緑色)を取り除いて(図9)、色を揃えるとこんなかたちになります。(図10)。これは、正八面体の各面に三角錐を載せたかたちになっています。三方八面体がそういう構造なのですが、図10は三角錐の高さが高すぎて凸多面体ではなくなっているので、いわゆる三方八面体そのものではありません。

図 9		図 10

　さて、この図10が今回の折り紙作品の多面体なのでしょうか？

(つづく)

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　大相撲五月場所が終わりました。小結の御嶽海を応援しているのですが、幸先よく初日の横綱戦に勝って三連勝したところまでは良かったのですが、その後六連敗して3勝6敗になったときには、これは来場所は三役に留まれないか、と心配になりました。でもその後、全勝の横綱に土をつけた一戦も含めて6連勝して、14日目に勝ち越しを決めてくれました。上位陣に総当たりする立場での勝ち越しはとても大変だと思います。

＜おまけのひとこと＞
　さて、また一週間が始まります。

5月30日(火)　玉包みギフトボックス(その3)

　２枚の合同ユニットを組む「玉包みギフトボックス」という折り紙の話の続きです。昨日の更新で、これが三方八面体に近いかたちなのではないか？という話まで書きました。実際にはこのギフトボックス多面体は、そこまで対称性が高い立体ではないのです。昨日の図10(再掲図)と、この立体の稜モデルを並べて比べてみました。

再掲図		図 1

　上の左右の図、どこが違うかわかりますか？　どこがどう違う、と説明できますか？

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　こういうのは同じ位置で画像を交互に切り替えてみると、どこが変化するか一目瞭然になります。　

図 2

　このように、側面の４つの折れ曲がった四辺形（４頂点が同一平面上にない四辺形）の２分割のしかたが違うのです。

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　このギフトボックス多面体をCGにしたとき、４つの直角二等辺三角形の「ひれ」のような部分が外に飛び出していますが、それが無かったらどうなるだろう？と思って、その部分をパーツから切り落としてみました。

図 3

　これを２組作って(図4)、

図 4

　組み合わせました(図5)。案の定、出来上がったものはきっちりかみ合わず、隙間が空いてしまいます。カッコ悪いです。

図 5

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　骨格のCGを作ったので、回転させるアニメーションを作ってみました。

図 6

　以前にも何度かお話していますが、このアニメーション、どちら方向に回転しているように見えるでしょうか？　最初に見えたのと逆方向に回転しているように認識することはできますか？　CGの細部を見ると、どちらが手前なのかわかるので、逆回転の認識をするのは難しいかもしれませんが、がんばると逆回転が見えてきます。私の場合、逆回転の認識は続かずに、すぐに元の回転に戻ってしまうように見えますが。

(つづく)

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　そろそろ外が明るくなってきたので(5月30日(火)の朝5時過ぎです)、窓の外を見たら「かすみ」が流れていました。外は10℃くらいで、やや肌寒いです。今日は30℃近くまで上がる予報です。

図 7

＜おまけのひとこと＞
　5月30日(火)の早朝に、5/30〜6/1の3日間の更新をしています。

5月31日(水)　バベルの塔

　ブリューゲルの「バベルの塔」展が4月から東京都美術館(http://www.tobikan.jp/)でやっていますが(余談ですが、東京都美術館は略称で「都美館：とびかん」と呼びます。ホームページもtobikanなのですし、ひらがなの「とびかん」でgoogle検索してみると、冒頭に出てくるのが東京都美術館です)、5月28日(日)の朝のNHKの「日曜美術館」で、「ブリューゲル×大友克洋」が放送されたのを見ました。

　大友克洋はバベルの塔の内部を描いた「INSIDE BABEL」という作品を創作していて、これも都美館で見ることができるそうなのですが、オリジナルはもちろん、これが大変興味深い作品なのです。

　左がブリューゲルの「バベルの塔」、右が大友克洋の「INSIDE BABEL」です。

図 1		図 2

　たまたまパソコンで作業中にテレビを見ていたので、大友克洋の話を途中までいくつかメモしてみました。

○ ブリューゲルの「バベルの塔」について ・まず、この絵は水平線が画面を二等分している。いったいどこから見ているんだろう？視点がとても高い。 ・登場人物が多い。1200人とも1400人とも言われる。筆の一筆くらいの大きさの人もいる。 ・中に建物があって生活している感じがある。 ・細かく描かざるを得ない。きっと中に街があって生活している。人が歩いていたり、洗濯物を干していたり。 ・塔の中が１つの世界。 ○ 細部を見てゆくと別の物語が（ブリューゲルの「雪中の狩人」を見て) ・スケートをしているようだ。でもなんか楽しそうじゃない。 ・狩人は獲物がとれた感じもない。犬も下を向いている。 ・楽しい冬の風景を描いているわけではない。 ・わかりやすいストーリーを描いていない。 ・全体が暗い。厳しそうな現実。 ・中世なんて我々には想像もつかない、きっと厳しい暗い世界。 ・ブリューゲルはルネサンスの明るさが見受けられない。中世の暗さを感じる。 ○ 大友版「バベルの塔」 inside Babel ・最初は「壊れているもの」を描こうかと思った。 ・でも、いつも壊れているものを描いているので、今回は内部を描こうと思った。 ○ 取り組んでみてわかったこと ・これだけでかいものを建てるとなると、重量・材料が大変。なので、おそらく内部は空洞なのでは？ ・排水と物流のための水路。海につながる川。 ・ ・ ・

　番組では東京芸大でブリューゲルのバベルの塔を分析して3次元データ化して大きな模型を作ったものを紹介していたり、とても面白かったです。

　安野光雅が、岩波新書の「絵のある人生」や中公新書の「絵の教室」で、ブリューゲルについていろいろ書いていますが、そこでもブリューゲルの最密性や物語性について語られています。考えてみると大友克洋にしても安野光雅にしても、非常に細かく細部を描いてゆくのが得意な漫画家・画家なので、ブリューゲルには共感するのだろうな、と思いました。

＜おまけのひとこと＞
　ここ1〜2ヶ月、毎日の更新の文章の量が増加気味です。この5月後半はhtmlファイルのサイズが58kbyteになりました。