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以前の「ひとこと」 : 2019年5月後半



5月16日(木) 2-捩れ二十面体の五角錐補間の模型

 先日来の、辺の長さを2倍にした正多面体への捩れ操作の続きで、こんな模型を作ってみました(図1)。

図 1

 これが先日ご紹介した「2-捩れ二十面体」です。

2-捩れ二十面体

 色分けしてみます(図2)。

図 2

 赤く着色した面が、捩れ操作をする元になった、辺の長さが2倍の正二十面体に由来する面です。色のついていない正三角形4枚の列が、捩れ操作によって補間された、元の二十面体の稜に相当する部分になります。この操作の結果、元の二十面体の頂点に由来する正五角形の穴が空きます。その面を青にしています。

 今回の模型は全ての面を合同な正三角形にしたかったので、正五角形の面のかわりに正三角形5枚の五角錐を追加しています。なのでこの模型で使われている正三角形の枚数は、面由来の4×20=80枚、稜に由来する4×30=120枚、頂点由来の5×12=60枚の、合計260枚の正三角形から成る立体ということになります。

 対称性が高い(はずの)視点からの写真です(図3、図4)。

図 3 図 4

 実はこれ、通常の順次接着してゆく紙模型の悪い点が出てしまって誤差が生じてしまい、凸になってほしい頂点が凸にならない箇所ができてしまいました。細い棒を突っ込んで内側から押してかたちを整えようとすると、今度は別の凸の頂点が凹んでしまうのです。また、不用意に持つと簡単に凹んでしまいます。なのでかたちの修正用に三角形1枚分だけは接着しないであります。

 正五角形の部分は面を用意しないで穴としてあけておいて、さらに単位正三角形の折り筋を入れないでこの模型を作ってみてもいいかなと思いました。

 皆さんでしたらこの模型を作ろうとしたらどんな展開図を思い浮かべますか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 5月も後半になりました。この週末は車でちょっと遠出をしてみようかな、などと思っています。(休日出勤の可能性もあるので、油断はできません。)






5月17日(金) 2-捩れ二十面体の五角錐補間の模型の展開図

 昨日ご紹介した、2-捩れ二十面体をベースとした正三角形の260面体の模型ですが、こんな展開図から作りました。図1はもともとの正二十面体の面・稜・頂点に由来する三角形を色分けしてみたところです。

図 1

 これに「のりしろ」をつけて、面の色を白一色にしました(図2)。

図 2

 印刷して折り筋を入れて切り取ったところです(図3)。上の展開図と上下が逆になってしまいました。

図 3

 これを組み立てたのが、昨日のかたちでした。

 面の角度が微妙に違うことによる陰影がきれいだなと思います。

<おまけのひとこと>
 最近は朝6時半過ぎに職場に到着して、夕方6時過ぎに退社する、というリズムが出来てきました。定時後に会議が設定されると崩壊する危ういリズムですが…






5月18日(土) シュテルツェル

 週末なので音楽の話題です。



 NHK-FMで朝6時から放送されている「古楽の楽しみ」の5/13(月)〜5/16(木)の4日間は、バッハ(1685-1750)と同世代の作曲家であるシュテルツェル(1690-1749)が特集されていました。

 部分的にですが、珍しく4日間とも聴くことができました。当時はバッハよりも評判の高い音楽家だったようで、鍵盤独奏曲や室内楽曲、協奏曲や声楽曲、ミサ曲など、様々なジャンルで多くの作品があるようなのですが、その多くは失われてしまっているのだそうです。バッハよりも5歳年下で、でもバッハが亡くなるよりも1年先にこの世を去っているようです。

 バッハの声楽曲として有名な“Bist du bei mir”(御身が供にいるならば)という曲があります。バッハの二人目の奥さんの「アンナ・マグダレーナ・バッハのための音楽帖」に書かれている曲で、キリスト教の教会の結婚式でよく歌われることもあって、有名なのだそうです。過去に2度ほど妻が歌ったときに伴奏をしたことがあります。この曲が実はシュテルツェルの曲なのだそうです。

Bist du bei mir

 これ以外にも、バッハの長男のフリーデマン・バッハのためのクラヴィーア曲集に「シュテルツェル氏のパルティータ」という鍵盤組曲があったり(終曲のメヌエットにはバッハがトリオを追記しているそうです)、バッハ作曲だと思われていたBWV200のアリアがシュテルツェルの受難曲のアリアを編曲したものだったり、といったことがわかってきているのだそうです。

シュテルツェル氏のパルティータ

 4日間「古楽の楽しみ」でシュテルツェルの様々な曲を聴いていると、彼の曲をもっと知りたいなと思うようになりました。新たに興味がある作曲家が増えるというのはとても楽しいことです。



 歳のせいか、新しい言葉や名前を覚えるのがますます苦手になってきていて、4日も続けて聴いているのに“ゴットフリート・ハインリヒ・シュテルツェル”という名前がなかなか頭に入りませんでした。

 いつになるかわかりませんが、今度楽譜かCDを見に行く機会があったらシュテルツェルの作品を探してみたいなと思うのですが、そこで名前を思い出せるか、そもそも「シュテルツェルの曲を探している」ということを思い出せるかどうか、やや自信がありません。「なんとなく新しく興味を持った作曲家がいたような気がするんだけど、いつの時代のどんなジャンルのどこの国の人だったっけ?」みたいになりそうです。

 若い頃に興味を持ったことというのはいつまで経ってもしっかり頭に残っています。何かと何かがつながる、関係がわかる、というのがとても面白いと思うのです。今はちょっと検索するといろいろなことがすぐにわかりますが、でも基本的な知識の体系がないと、検索して知ったことの意味が本当には理解できないと思うのです。そういう体系を学ぶということが大切なんだろうなあと思います。

<おまけのひとこと>
 この週末は車でちょっと遠出をしてみようかと思っていたのですが、先週はけっこう大変だったので見送ることにしました。






5月19日(日) 2-捩れ立方体ほか

 先日、2-捩れ八面体のJOVOブロックモデルをご紹介しましたが、2-捩れ立方体を作ってみることにしました。まずは写真をご覧ください。

 図1、左が普通の捩れ立方体(変形立方体と呼ばれることもあります)、右が2-捩れ立方体です。

図 1

 左の白と黒の捩れ立方体は捩れ八面体と呼んでも良いかたちで、立方体に捩れ操作をしても、正八面体に捩れ操作をしても同じ結果になるのです。もとになった立方体や正八面体の面を黒で、12カ所の稜の部分に補間された正三角形(それぞれ2枚ずつ)を白で作りました。

 右は、元となる立方体を2×2の4枚の正方形で構成し、そこに捩れ操作を施したものです。元の立方体の正方形を、赤・青・白にしました。頂点に由来する8枚の正三角形は黒にしました。稜に由来する12カ所×4枚は緑にしました。このかたちは残念ながら凸多面体ではありません。立方体らしさを強く感じる構造です。

 元の頂点に由来する黒の三角形の面で立ててみました(図2)。

図 2

 一応このかたちもペーパーモデル用に展開図までは作りましたが、まあ模型を作らなくてもいいかと思って作っていません。JOVOブロックも別のものを作りたくなって足りなくなったので、さっさと分解してしまいました。



 先日、朝起きたら机の上にこんな折り紙がありました。図3と図4は表側と裏側です。

図 3 図 4

 もちろん私しか折る人はいないのですが、折った記憶がありません。前の晩に御機嫌でお酒をたくさん飲んだ日でした。覚えていないのですが、おそらくYouTubeを見て折ってみたのだと思います。

図 5

 わりと厚みがあります。まあでもこれはたくさん折ってみなくてもいいかなと思いました。

<おまけのひとこと>
 年に数回しか機会がありませんが、外でお酒を飲むときには怖いのでビールしか飲まないことにしています。(ビールだけで記憶を失うほど飲むことはできないです。) でも、家で飲むときにもいい加減飲みすぎないようにしないといけないなあと反省しました。






5月20日(月) 12個の正八面体のリング

 多面体について検索していたら、こんな図がありました(図1)。

図 1

 これは、ニューヨークのマンハッタンにある the National Museum of Mathematics(国立数学博物館)のHole New Polyhedra(新しい穴あき多面体)というワークショップで制作したかたちのようでした。 最近、正四面体を連結したリングに興味を持っているので、同じ正三角形だけから成る構造として、正八面体のリングも作ってみようと思いました。まずはいつもの通りJOVOブロックでラピッドプロトタイピングしてみることにしました。

 上記のリンク先のワークショップでは2色で作っていますが、パーツが足りなかったため4色使っています(図2)。昨日写真をご紹介した2-捩れ立方体は、この模型を作るために分解してしまいました。

図 2

 ガラスのテーブルの上に立ててみています。(背景にCDのケースが並んでいるのがぼんやり見えます。) 緑の八面体が6つ、赤・青・白の八面体が2つずつの合計12個の八面体を連結したかたちになっています。赤・青・白の八面体は向かい合った平行な2つの面が隣の八面体(緑)と接していますが、緑の八面体は頂点を共有する2面が隣と連結しています。このため、このリングは折れ曲がった六角形のかたちになっています。緑が六角形の頂点で、赤・青・白が辺になっています。

 床に寝かせてみました(図3)。六角形の頂点に相当する6個の緑の八面体のうち、1つおきに交互に3つが床に接していて、残りの3つが浮かんでいるのがよくわかります。緑の八面体の水平な面が気持ちがいいです。

図 3

 床に立てて見下ろしてみました(図4)。陰影がきれいです。この角度から見ると中央の穴が六角形には見えなくて、なんだか妙なかたちに見えます。

図 4

 このかたち、リングとしてみると以前ご紹介した正四面体による(疑似)リングのほうが断然美しいなと思ったのですが、こちらは規則的に3次元的に無限に格子状にこの構造を広げてゆくことができるのです。乏しいパーツをなんとかやりくりして作ってみることにしました。

(つづく)



 5月19日(日)に放映されたNHKの日曜美術館「エッシャー 無限性の彼方へ」を見ました。エッシャーの作品は大好きなので、エッシャーのことはそれなりに知っているつもりだったのですが、エッシャーの師のメスキータという版画家のことは全く知りませんでした。メスキータはエッシャーより30歳年上で、ユダヤ人だったため1944年にオランダでナチスに強制収容所に入れられて家族全員が殺されているそうです。エッシャーらは、大変な危険を冒してメスキータが連行された後のアトリエから彼の作品を多数持ちだしたそうで、そのおかげで喪失を免れた作品が残っているそうです。一部は軍靴で踏まれた跡が残っているものもあるそうです。エッシャーは1972年に亡くなっていますが、メスキータの死後もエッシャーのアトリエにはメスキータの写真がずっと飾られていたそうです。

 番組で紹介されたメスキータの版画は大変インパクトのある、印象的な作品でした。来月、6月末から8月のお盆まで東京ステーションギャラリーで日本初のメスキータ展があるそうで、これはぜひ見に行ってみたいものだと思いました。

 番組では、最初のほうに脳科学者の川人光男先生のお嬢さんだという川人綾さんという工芸作家の方が登場したり、「不可能物体」で大変有名になった杉原厚吉先生が不可能立体の模型と共に登場したり、漫画家の荒木飛呂彦氏が絵描きとしての鋭い視点でのコメントや解説を語られたり、とても面白い内容でした。

<おまけのひとこと>
 例によって「メスキータ」という名前が覚えられないのです。大変失礼ながら「モスキート」という単語に似ているなあと記憶したのですが、「モスキートに似た、えーと、マスキーニ? いや違うな、何だっけ?」みたいになっています。






5月21日(火) 正八面体の連結:ダイヤモンド構造

 昨日書いた、正八面体を連結してゆく三次元の格子構造の模型をブロックで作ってみました。写真をご覧ください。

 ガラスのテーブルの上に立ててみました(図1)。

図 1

 正八面体の連結構造と言いながら、緑色の正方形の面が3つ見えています。ここには本来は正三角形4枚のピラミッドがあるはずなのですが、パーツが足りなかったためやむを得ず正方形に置き換えています。そのため、輪っかの構造の「丸さ」が際立ってしまいました。

 この写真の向きだと、黒の正八面体は全く見えていません。

 その正方形の面を床に接するように床に置いてみました(図2)。

図 2

 この向きで安定して立てられるというのは正方形パーツに置き換えた副産物です。

 床に接している面は図2と同じで、時計回りに60°くらい回転してみました(図3)。

図 3

 図3の向きだと、今度は青のパーツが全く見えません。印象が変わります。

 一番安定した姿勢にしてみました(図4)。

図 4

 これ、どんな構造なのかイメージできますでしょうか?

(つづく)



 昨日、5/20(月)は出張でした。中央東線の特急「あずさ」を使っているのですが、3月16日のダイヤ改正で、八王子〜立川〜新宿の区間での通勤利用客がとても増えた印象です。以前は定期券での利用はできず、乗車券から買い直さないと乗車できなかったのが、今は特急券だけを買えば使えること、駅のホームで簡単に特急券を購入できること、全席指定になったため、特急券を買えば確実に座れることが理由だと思います。

 一両あたり10人以上、一編成あたり百数十人くらいは通勤客が利用しているように見えました。ゆったりと座ってパソコンを広げたり仕事をしたり眠ったりできるのが好評のようです。確かに数百円だったら使いたくなる気がします。

 私の職場でも、近距離では通勤の高速料金は支給されないのですが、渋滞を避けるために自腹で200〜300円の高速代を払っている人がいます。それと同じだな、と思いました。

 この程度でも、JRとしては乗車率も上がって特急列車一編成当たり数万円くらいの売り上げ向上になって嬉しいはずですし、通勤客にとってもホームから空席が目立つ特急列車を恨めしく見送らなくても良くなって、みんなにとって良い施策だと思いました。

<おまけのひとこと>
 月曜日から出張だと体力的に一週間がちょっと大変です。






5月22日(水) 正八面体の連結:CG

 正八面体を連結してゆく三次元の格子構造の模型をブロックで作ってみた、というのを昨日写真でご紹介しましたが、そのCGを作ってみました。

 昨日のブロックのモデルは正八面体12個で構成された輪が4つ、あたかも正四面体の面のような位置関係になっているかたちでした。シンプルなボールとスティックのモデルで図示してみます。

図 1

 同じようなCGを過去にもご紹介していますが、これは炭素原子のダイヤモンド構造です。

 正八面体を図1のモデルの赤いボールだとすると、正八面体の8つの面のうち、1つおきの4つの面に正八面体を貼り付けたものが、図1の白いスティックに相当します(図2)。

図 2

 図1の赤いボールに相当する正八面体を白で、スティックに相当する4方向のジョイントになる正八面体を赤・青・黄・緑で表したモデルを作ってみました。(図3)。

図 3

 図3の向きから時計回りに90°回転させてみました(図4)。

図 4

 これもそのうち紙で模型を作ってもいいかなと思いました。(まあでも当分作らないと思います。)



 昨日の朝は雨がすごかったです。ここ数日は風も強くて、我が家の立地はもともと風の強い地形なので、妻が心細いと言っていたのですが、昨日帰宅したときに妻から「庭の隅に置いてある物置の屋根がはがれてしまっている」と言われました。夜だったので見に行っていないのですが、昨日の雨でなかはびしょぬれになっているでしょう。どうしようか…

<おまけのひとこと>
 本当は今日は定期通院の日なのですが、仕事の都合で休めなくなってしまったので、予約を変更してもらいました。こういうきっかけがあると休みを取りやすいので、年に数回の定期通院の日は休みを取ることを心がけています。






5月23日(木) ゼオライト(その1)

 今年の五月連休中に、正四面体を連結したリング構造についてNetで調べている中で、こんなかたちを知りました(図1)。

図 1

 上記のgifアニメーションは、こちらのDatabase of Zeolite Structuresというページの冒頭を飾るmp4の動画の一部を縮小して作成させていただいたのですが、この動画が気に入りました。

 いったいこのかたちはなんだろうと思って調べてみると、これはゼオライト(zeolite)という物質の結晶構造の代表的な1つなのだということがわかりました。

 私は遠い昔に化学を勉強していた時期もあるのですが、主に有機化学や生物化学系が中心で、工業化学系の無機化学は基本的なこともあんまり知らなくて、「ゼオライトって何だっけ?」という状態でした。 有機化学は炭素が主役の化合物の世界です。飽和炭素の正四面体構造が基本となるダイヤモンドやグラファイトのような結晶があったり、二重結合による平面構造、三重結合による直線構造があったり、芳香族のような安定な環状構造を基本とする一群があったり、とても豊かで面白い世界です。

 一方、無機化学の世界は、構造的に言うと結晶構造の話は面白いですが、「かたち」に関して言うと有機化学に比べると面白味に欠けるよなあという偏見と思い込みを持っていました。でも、このゼオライトというのは、たとえばこちら(https://ja.wikipedia.org/wiki/ゼオライト)などにも簡単に描かれていますが、ケイ素とアルミニウムの酸化物の、複雑な一群の結晶構造の総称のようです。

 元素の周期表の炭素族で、炭素の次の元素がケイ素です。炭素と同じく四価なので、実は炭素と同じようにいろいろな構造の分子を作ることができるようなのです。工業化学の世界の製品として複数のメーカーが生産しており、そういったメーカーの解説ページ、例えばレンゴーのページ、環境浄化センターのページ、東ソーのページなどを見てゆくと、なるほど、合点がいきました。

 ゼオライトは天然のもの、合成されたもので200種類くらいの構造が知られていて、そのすべてにアルファベット3文字の分類コードが付けられています。冒頭のリンクのデータベースは、そのゼオライトの略称と構造を管理しているサイトで、その中でも一番美しいと思われるFAUと呼ばれるゼオライトの構造が図1のものです。

 図1の構造は、昨日ご紹介したこのかたち

と基本的に同じ構造です。

 部品としては同じケイ素・アルミニウム・酸素を使ってかたちの異なる骨格を作ることによって、物理化学的な性質の異なる様々なゼオライトが存在するのです。日本ゼオライト学会というのもあって、様々なゼオライトのいろいろな性質を詳しく調べている研究がたくさんあるようです。こんなに豊かな世界があるなんて知りませんでした。データベースの骨格構造をいろいろと眺めているだけでもとても楽しいです。

 …というわけでゼオライトに感激したので、図1の構造の模型を作ってみることにしました。

(つづく)



 誰も知らない世界のことわざ(エラ・フランシス・サンダース 著 / 前田 まゆみ 訳 創元社:2016)という本を図書館で借りました。

 いろいろ面白いことわざが載っています。私が引っ掛かったのは、ガーナの公認言語の1つだという「ガー語」の“faa yalo dzwee gbe”(水を持ってきてくれる人は、そのいれものをこわす人でもある)ということわざです。おそらくアルファベットを使ってガー語の発音を表記しているのだと思うのですが(日本語をローマ字表記するみたいに)、元の単語が4語なのに、日本語の翻訳は長いなあと思いました。

 乏しい知識による想像なのですが、このことわざを使う地域では、生活のための水を汲みに行くというのは大切な仕事なのだろうと思います。このことわざ、何を意味していると思いますか?

(つづく)

<おまけのひとこと>
 今日は定期通院の日なので更新の時間が遅くなってしまいました。






5月24日(金) ゼオライト(FAU型)の結晶構造の模型を作る(その1)

 昨日ご紹介したゼオライトの結晶構造の模型を作ってみることにしました。今回は思い切りペーパーモデルの手法に振って作ることにしました。

 切隅八面体

切隅八面体

 の部分は正方形と正六角形を1面ずつのばらばらのパーツとして用意して、それらをつなぐ六角柱の部分だけ、正方形6枚の輪のパーツを用意する、という方針でパーツを用意しました(図1)。のりしろは正方形パーツの4辺に用意しました。こうすることで折り筋を付けたり切り抜いたりする作業はとても簡単になりました。そのかわり組み立てるのが大変ですし、組み立て誤差が蓄積しやすいです。

図 1

 組み立て始めました(図2)。六角形の辺に1つおきに正方形パーツを貼って、その向かい側に六角柱パーツを接着し、あいだに六角形を貼り始めたところです。図3は、さらにその先に隣接する切隅八面体を作り始めたところです。

図 2 図 3

 図4は、さらに垂直下方向に次の六角柱をつないだところです。ここまでで工作を始めてから1時間ほど経過しています。その前に構想を練って設計して印刷してパーツを用意する時間がかかっています。この段階で昼食休憩をしました。(写真を撮っておくと、そのタイムスタンプからいろいろわかって便利です。)

図 4 図 5

 図5はひっくりかえしてみたところです。六角形のパーツを貼っていないのは、全体のかたちができてから、かたちの微調整の余地を残したかったためです。

 図6、さらに切隅八面体を3つ、作り始めました。図7、裏返してみました。残ったすきま3か所に切隅八面体を3つ作れば完成です。

図 6 図 7

 休憩を含め、作り始めてからここまでで4時間くらいかかっています。楽しいです。

(つづく)



 昨日、誰も知らない世界のことわざという本に載っていた「ガー語」の“faa yalo dzwee gbe”(水を持ってきてくれる人は、そのいれものをこわす人でもある)ということわざをご紹介しました。このことわざが表しているのは、大変な仕事である「水汲み」をする人こそが、水を入れるための容器(土器)をえてして壊してしまいがちだ、ということです。

 ここに込められている意味は「助言することがないときや、手伝うつもりがないときは、何かを成し遂げようと努力して、その最中にうっかりミスをしてしまった人を批判すべきでない」ということだそうです。たいへん共感しました。

<おまけのひとこと>
 今日ご紹介した模型は、五月連休中にまる1日かけて作ったものです。時間にも気持ちにも余裕があったので、珍しく途中経過の写真を撮っています。






5月25日(土) ゼオライト(FAU型)の結晶構造の模型を作る(その2)

 昨日、ゼオライトの結晶構造の模型を作ったときの写真を途中のところまでご紹介しました。今日は完成した模型の写真を載せたいと思います。CGと違って実物を手に取っていろいろな向きから見てみたり、いろいろな姿勢で立たせてみてそれをまたいろいろな方向から見てみたりするのはとても楽しいです。

 中を覗き込んでみたところです(図1)。

図 1

 輪郭が六角形に見える方向から見てみたところです(図2、図3)。

図 2 図 3

 輪郭が正方形に見える方向(図4)。

図 4

 こんな風にリングに1本枝が生えているようなシルエットに見える方向もあります(図5)。

図 5

 こんな見え方をする方向があるというのは、模型を作ってみないとちょっと気が付きにくいと思います。



 高い位置に模型を置いて、見上げるような視点での写真も撮ってみました。

 図6は切隅八面体の稜2本だけが床に接する置き方になっています。図7は切隅八面体の1つの面だけが床に接しています。たぶんこの置き方が一番重心が高いかな、と思います。

図 6 図 7

 図8はかなり不安定ですが、隣接する3つの切隅八面体の稜が1本ずつ、合わせて三本が床に接しています。最後に図9、3つの切隅八面体の面が床に接しています。これが最も安定な姿勢です。

図 8 図 9

 もちろんこの構造は本来無限に続く結晶構造の一部分に過ぎません。なので、輪郭が正方形とか六角形に見えるという話はまだしも、どんな向きに置いたら安定なのかといった議論は結晶構造的には特に意味がある話ではないです。でも、こういう模型を作ってこういう写真が撮れて楽しいです。

<おまけのひとこと>
 最近また少し睡眠時間が長くなってきた気がします。途中で何度も目が覚めるのは変わっていませんが。






5月26日(日) 祝! [復刊] 原 博「ピアノのための24の前奏曲とフーガ」

 今日は日曜日なので音楽や本の話題です。



 昨年の秋に単身赴任をやめて片道1時間の自家用車通勤になり、車の中でラジオか音楽CDを聴いています。ニュースを聞いたり勉強のために英語を聞いたりすることもあるのですが、やっぱり音楽に戻ってしまいます。1月〜2月ころはバッハの平均律(24の前奏曲とフーガ)の1巻と2巻をひたすら聴いていて、その後で原博の24曲をかなり聴きました。週末にはこれらの曲をたくさん弾いてみて、やっぱり原博はいいなあと改めて思いました。

 5月連休に、全音ピアノピースの原博の楽譜を探してみました。ピアノピースは子供のころに20冊くらい持っていました。当時は100円〜200円くらいでいた。ピアノピースは通し番号が振られていて、今はそろそろ600番に近づいてきたところのようです。最初の150番くらいまでは有名な曲ばかりなので、今でも楽器屋さんの品揃えは良いのですが、途中の200番台くらいから後は日本の作曲家の曲などもたくさんあったのですが、どんどん絶版になっているようです。そりゃあ「エリーゼのために」とか「乙女の祈り」などの有名曲に比べると売れるはずもないでしょうから、仕方がないことかもしれません。

 原博の曲もそれなりに入っていたはず、と思っていくつかの楽器屋さんの店頭で探してみました。ソナタの1番、2番、4番と「オフランド」の4冊を買ってきました。ソナタ3番とか「トッカータ」とかは見つかりませんでした。ちなみに税別で1冊当たり700円〜800円、4冊で3,000円を超えました。

 ソナタは若い頃の作品で、調性音楽ではないため、パッと見て弾くのはかなりむつかしいですが、速度を落として弾いてみました。YouTubeにHiroshi Hara【原博】 Piano Sonatas No 1〜4という演奏が公開されています。とてもこんな速度では弾けないのですが、これはこれで面白いなあと感じました。緩急の変化、曲の途中の間合い、複数声部の絡み合いの様子が「原博らしさ」を感じさせます。

 でもやっぱり原博は「ピアノのための24の前奏曲とフーガ」が一番好きだなあ、楽譜が絶版になってしまっていて悲しいなあと思っていたのです。そうしたらなんとつい最近(2019年5月15日)復刊されたということがわかりました(全音のページ島村楽器のページ)。

 値段は2,800円+税とのことです。私が持っているのは第2版(1986年12月25日)、2,000円(+税)というもので、買った当時は消費税が3%だったため、2,060円でした。

図 2
図 3

 消費税の導入は1989年ということなので、この楽譜を買ったのはその後なのだと思います。

 予備にもう1冊買っておこうかなあなどと思ってしまいました。



 図書館で「それでも人生は美しい 物理学者のいた街 4」(太田浩一:東京大学出版会)を借りてきました。まだ途中までしか読んでいませんが、面白いです。冒頭のリーマンの章が心に残りました。 また、リーマン予想に関して著名な数学者のコメントがいろいろ書かれていたところが面白かったです。

ハーディーは、荒れた北海を渡って帰国するとき、乗船前にハラル・ボーアに「リーマン予想を証明した」と書いた葉書を出しておいた。船が沈めば皆はハーディーがリーマン予想を証明したと思うだろうが、神がそんな名誉を与えてくれるはずがないというわけである。言っておくがハーディーは無神論者である。(第1章「ラウレルの木は高くそびえて リーマン」より)

 ハーディーは、あのラマヌジャンを見出したイギリスの数学者です。

<おまけのひとこと>
 急に暑くなりました。






5月27日(月) 正十二面体の順らせん構造(その1)

 先月、4月20日のひとことおもしろサイエンス「折り紙の科学」(萩原一郎、奈良知惠:日刊工業新聞)という本をご紹介しました。

 この本の第3章20節、産業への応用に期待「らせん折り」の中に、正十二面体をらせん状に平坦に折り畳むという話が出てきました。これにたいへん興味を持ったのですが、本に掲載されていた写真を見てもよくわかりません。参考文献も専門誌のものが挙げられていて、素人がネットで入手できるようなものではなさそうでした。いずれ機会があったら詳細を知りたいな、と思っていたら、思いがけず文献に行き当たりました。

 日本建築学会の第38回 情報・システム・利用・技術シンポジウム(2015年12月)の、多面体の折り畳みに関する研究(小林 祐貴、奈良 知恵、伊藤 仁一、 加藤 直樹、堀山 貴史)というのがそれです。

 線画による図があって、「ああこういうことか」と少し理解が進みました(図1)。

図 1:上記文献の図2より引用

 また、途中変化のCGによる詳細な図もあって、読み解くのは簡単ではないですが、だいぶイメージがつかめました(図2)。

図 2:上記文献の図6、図8より抜粋

 詳細は説明しませんが、下の図3のように、側面の10枚の正五角形が菱形になるように折り込んでゆくようです。赤い点線が谷折、青い一点鎖線が山折です。

図 3

 太い黒い稜線はその部分をカットすることを示しています。この折り線を入れることで、鏡像対称性は失われて5回回転対称になります。

 果たしてこれでうまく畳めるのかよくわかりません。とりあえず型紙を設計して組み立ててみることにしました。よくある普通の展開図(1つの五角形の周りに5つの五角形を連結して、それを2つつないだかたち:図4)でも良かったのですが、こんな展開図にしてみました(図5)。

図 4:よくある展開図(のりしろ無し)

図 5

 なぜこのような展開図にしたかというと、おそらく折り畳む部分は中に指を入れられるようにしないとうまく畳めないだろうと思ったので、上下の面は最後に「ふた」をするように接着するようにしたかったためです。

 12枚の五角形を完全にばらばらにすると、辺の数は60本になります。12枚を「ひとつながり」にすると、連結しているところは11カ所ですから、残った辺の数は60−22で38です。さらに、カットする稜が5本、その両側の面の辺には「のりしろ」は不要ですから、残りは38−10で28、この半分の14カ所に「のりしろ」を付ければよいことになります。

 これを組み立ててみました。

(つづく)



 5/24(金)の朝、通勤で高速道路を走っていたら松本インター付近で太い茶色い煙が上がっていました(写真はニュースサイト経由でtwitter からの拝借です)。

画像出典:https://twitter.com/buwoochan/status/1131659924851679232/photo/1

 民間のリサイクル施設の火災とのことでした。火事は恐ろしいです。リサイクル施設の火災ということで有害物質の飛散が心配されたようですが、分析の結果「大丈夫」とのことでした。

<おまけのひとこと>
 大相撲5月場所が終わりました。地元の力士の御嶽海を応援しているのですが、いつもの場所と同じく勝敗数が拮抗していて、ようやく勝ち越しを決めたのが14日目、まいにちハラハラしていました。今回勝ち越せなかったら三役から陥落、と心配していましたが、千秋楽では優勝した朝乃山にも勝って9勝6敗、おそらく来場所は関脇に返り咲くことができるのでは、と楽しみです。






5月28日(火) 正十二面体の順らせん構造(その2)

 多面体の折り畳みに関する研究(小林 祐貴、奈良 知恵、伊藤 仁一、 加藤 直樹、堀山 貴史)という文献に基づいて、正十二面体の30本の稜のうちの5本を切って、面に折り線を入れて平らな正五角形になるようにらせん状に折り畳む模型を作ってみようという試みのご紹介です。

 昨日設計した型紙を印刷して、折り筋を入れて切り抜きました(図1)。

図 1

 まず、側面になる10枚の五角形の面を蛇腹に折ります(図2)。

図 2

 2段の斜めの五角柱を作るイメージです。仮に展開図を描くとするとこんな感じです(図3)。

図 3

 紙が厚いため、実際の組み立てには難航しました。計画通り、上下の「ふた」になる面だけは接着せずに、2段の筒になっている部分だけを接着して、順に折り畳んでゆきます。

 2段の凸でない捩れ五角柱のかたちにしたところです(図4)。撮影の都合上、横倒しにしています。

図 4

 この段階で立ててみて、ふたを開けて中をのぞいてみました(図5)。試行錯誤したため、紙がヨレヨレになっています。

図 5

 図5のかたち、なんだかトイレみたいに見えます。本体とふたの位置関係、五角形というかたち、本体側の4つののりしろが便座のようにみえること、本体の中央に穴があいていること、など、見れば見るほどトイレです。(あんまりうれしくない…)

 さらに畳み込んだところです(図6)。

図 6

 内側がカメラの「絞り」のように噛み合っています。

 畳んだところを横から見てみました(図7)。ふたは接着していません。

図 7

 作ってみて構造はだいたいわかりました。面白いです。

(つづく)



 歳をとって、身体のいろいろなところに徐々に不具合が出てきました。昨日、帰りがけに同僚と1時間くらい立ち話をしたのですが、そのときに眼の視野の一部の見え方がおかしくなって、あせりました。 すりガラスを通してみるようにひずんで見えて、その位置が変わるのです。どっちの目だろうと思って片目ずつつぶってみたりしてみたのですがよくわかりません。違和感のある場所も、中心視の少し下のあたりだったり、周辺視のあたりだったり、移動する感じがありました。過去にも疲れたときにそういう症状が出たことがあるので、疲れが原因かなと思っています。

 これでは帰りの運転が心配だな、と思ったのですが、しばらくしたら治りました。今朝は普通です。眼に異常があると、やりたいことをするのに大きな制限になるので、困ります。

 最近、人間の身体を生身から人工物に変えて、寿命を極端に伸ばす(たとえば1万年とか)という話がまじめに議論され始めているようです。私は製造業の設計部門で働いていますが、機械にだってもちろん寿命はあって、長い年月にわたって性能を保証することがどんなに大変か、身に染みています。 機械が正常に動作してその能力を発揮し続けるためにはきちんとしたメンテナンスが必須で、現状の機械の設計思想では、劣化したり故障したりした部品を交換することで性能を維持しています。

 生物は組織や細胞のレベルで常に部分的な死と再生を繰り返すことで個体を維持しています。この仕組みが人工物で実現できないと、人工物の身体というのはとんでもなく高いコストになってしまうと思います。

 とすると、おそらく脳の機能であろう記憶や思考パターンや感情のパターンを何らかの人工物にコピー(?)することが寿命を延ばす、ということなのかなあと思います。身体に相当する部分は、まるごと新品に取り替えるようなイメージです。例えばクローンの技術などで「自分」の若い身体を培養するような感じでしょうか。 仮に実現できたとして、それはそれでとんでもなく高いコストがかかりそうです。

<おまけのひとこと>
 6月から職場の中の小さな異動の辞令が出て、上司が変わることになりました。仕事が増えそうです。仕事がないよりは良いことだと思っています。






5月29日(水) 正十二面体の順らせん構造(その3)

 昨日ご紹介した、正十二面体を平らな正五角形になるようにらせん状に折り畳む模型、紙が厚すぎてぐちゃぐちゃになってしまったので、薄い紙で作り直してみました。今回は潔く上下の面は取り払いました。

 一度畳んでみたものを正十二面体のかたちに戻したところです。斜めから見たところと(図1)、上から見下ろしたところです(図2)。

図 1 図 2

 側面が菱形になるところまで折り込んで、2段の斜めの五角柱にしたところです(図3、図4)。

図 3 図 4

 床に近い1段目の斜め五角柱を平らに畳みました。下の面がカメラの絞りのように閉じているのが見えます(図5、図6)。

図 5 図 6

 完全に平らにしました(図7)。

図 7

 これは平らになった状態で保存しようと思います。

<おまけのひとこと>
 会社で仕事が大変なのですが、いろいろな人にたくさん助けてもらっているなあと感じます。ちゃんとお返しができるようにしたいです。






5月30日(木) 正八面体をねじって畳む(その1)

 昨日まで、正十二面体を2段の五角反柱のように畳み込んでねじって平面化する手法をご紹介してきました。多角反柱であれば同じことができるはず、と思って、多角反柱の中で一番シンプルで対称性の高い、正三角反柱=正八面体を同じ発想で畳んでみることにしました。

 図1のように正八面体の1つの面を床に接するように置いたとして、側面の3か所(赤の稜線)を切り開くことを考えます(図1)。

図 1 図 2

 切り開かれた稜を底辺に持つ三角形の面に、図2の青線のように折り筋を入れます。この青い折り線で側面の6つの正三角形を内側に折り込んでゆけば、上の面は回転しながら下の面に近づいていって、最後には平らな正三角形に畳まれるはずです。

 内部の形を整えるために上下の面には窓を開けておくことにして、できるだけ「のりしろ」を少なくする展開図にしようと思って設計した展開図が図3です。

図 3

 ちょっと横長ですが、のりしろも含めて点対称で、わりとうまくデザインできたかなと自画自賛しています。

 これを組み立ててみることにしました。

(つづく)

<おまけのひとこと>
 仕事で、作らなければいけない資料がだんだんたまってきて、厳しくなってきました。遅くまで残るのは最近の自分の生活のサイクルを乱すし、仕事の持ち帰りは避けたいので、今日も早く行きます。(といいつつ今日の更新のための図を作ったりして、少し遅くなりました。まだ朝ご飯を食べていないのに、そろそろ5時になってしまいます。時間がない…)






5月31日(金) 正八面体をねじって畳む(その2)、他

 正八面体の3回回転対称な3つの稜を切って、その両側の面を半分に折って平らに畳むという設計をしたという話を昨日書きました。昨日のCGではカットする稜を赤で表しましたが、「その部分を取り除いたほうがCGとして良いのではないか?」と思ったのですが、時間がなくて作り直せませんでした。今朝は作った模型の写真を載せようと思って準備をしていたのですが、やっぱりCGを作り直したくなったので、もう1日だけCGを載せます。

図 1 図 2

 図1が昨日の向きのもの(少し縮小しています)、図2が正八面体の6つの頂点をxyzの各座標軸上に(±1,0,0)、(0,±1,0)、(0,0,±1)となるように置く向きでのCGです。昨日の図より今日の図のほうが好みかな…

(つづく)



 図書館で斉藤洋の「オレンジ色の不思議」「水色の不思議」を借りてきて読みました。妻も読んで「おもしろい」と言ってくれました。

 どちらかというと第一作の「オレンジ色」のほうが好みかなあと言ったら、妻も同意見でした。

 子供が読むよりも大人が読んだほうが面白いのではないかと思いました。斉藤洋は児童書を300冊くらい出版しているそうですが、仮に自分の好みで順位を付けたとすると、けっこう上位に入る印象です。でも、ベストテンには入らないかなあ。

<おまけのひとこと>
 6月からの今度の上司は5歳年下です。この4月5月の2か月間だけ上司だった方は2歳年下でした。タイプやスタイルが違いますが、お二人とも私を高く評価してくれていてありがたいです。でも仕事は確実に増えています。






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