以前の「ひとこと」　：　2021年2月前半

2月1日(月)　あやとり「ケルトのタペストリー」、任意の三角形に外接する正三角形

　2月になりました。昨日、「任意の三角形に外接する正三角形は作図できるでしょうか？」という問いかけをしましたが、考えてみたらこれはそんなに難しくありませんでした。この答えをすぐ下に図示していますので、見たくない方はご注意ください。

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　先月は十数年ぶりに「あやとり」をたくさんやりました。いろいろ取ってみたり、作ったあやとり作品をボードに固定して飾ってみたりしました。特に気に入っているのはJoseph Ornsteinさんのケルトのタペストリーという創作作品です。こんな風にA3のスチレンボードにピンで留めてみました。

"Celtic Tapestry" by Joseph Ornstein

　使っているのはアクリル製の「カラーひも」(太さ5mm程度)で、長さが4mのものをそのまま両端を結んで輪にして取っています。(上の写真をクリックすると拡大します。)

　このあやとり作品はとても気に入っています。こうして固定してかたちを整えると美しいです。これは壁にかけて飾ってあります。見飽きるまでは飾っておくつもりです。

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　昨年から在宅勤務をする機会があるのですが、自宅のネット環境がやや不満です。現在の契約は下りが最大100Mbps、のぼりが最大10Mbpsというものなのですが、時々回線が重くなります。通信速度をテストする外部のサイト、たとえばhttps://www.speedtest.net/などに繋いでテストしてみているのですが、大抵の時間帯は契約の上限近い数値が出ています。ただ、特にVPN(セキュリティを確保したネットワークの仕組み)越しだと遅い気がします。

　昨年末に通信サービス業者さんからアンケート協力依頼があって、「在宅勤務時のリモート会議の時に通信量が確保できなくなって困ることがある」と回答したところ（アンケートの御礼にQUOカード500円分を頂きました）、電話でヒアリングをしていただき、一度見に来てもらいました。ケーブルモデムはレンタル品なのですが、それを新しいものに交換してもらって「様子を見てください」ということだったのですが、状況は改善されなかったので、抜本的な対策を検討しました。

(つづく)

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　昨日、「与えられた任意の三角形に外接する正三角形は作図できるでしょうか？」（ただし与えられた三角形の3頂点はそれぞれ異なる辺の上にあるものとします）という問題を考えました。ちょっと考えると、これは簡単でした。

How to draw an equilateral triangle that circumscribes a given triangle

　与えられた三角形ABCに対して、頂点Aを通る直線 l を引きます。直線lに対して、正三角形を構成する2直線m,nを描いておきます。残る頂点BとCを通る、m,nと平行な直線を引けば完成です。

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　では、与えられた任意の凸四角形に外接する正三角形は作図できるでしょうか？　できる場合とできない場合がありそうです。どんな場合にできないのでしょうか。また、できる場合の作図手順はどうなるでしょうか？

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　やることがいろいろたまっています。今日どのくらい片付くかな。

2月2日(火)　円弧三角形(tricurves)の“ゴースト”(その1)

　一昨日予告した、Tim Lexen さんの円弧三角形(tricurves)の新しい研究記事Ghosts in the tilingがとても面白いのでご紹介します。図は上記のページのものを引用させていただいています。今日の更新は私なりのごく簡単なはしょった解説なので、元記事のほうが当然より正確で丁寧です。

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　まず、半径が同じ長さの複数の円弧で囲まれた図形を考えます。90°とか60°とか書かれているのは、その円弧の中心角の大きさです。

from "Ghosts in the tiling" (Tim Lexen)

　図の黒線が円弧二角形(dicurves)、円弧三角形(tricurves)です。それぞれの円弧多角形の頂点を中心にして、同じ円弧を描きます。すると元の円弧多角形と同じかたちのもう１つの円弧多角形が現れます。図の青い点線がそれです。これをゴースト(Ghost)と呼びます。(記事の中ではファントム(phantom)という言葉も使っています。)

from "Ghosts in the tiling" (Tim Lexen)

　ゴーストは元の円弧三角形と離れている場合もあれば、接している場合、一部が重複している場合もあります。（ルーローの三角形はゴーストがそれ自身と完全に重なる特別な場合だ、とコメントされています。）

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　おもしろいのはここからで、たとえばかたちが異なる２つの円弧三角形が１つの辺(円弧)を共有している場合、そのゴーストは重なり方が変わる例が紹介されています。

from "Ghosts in the tiling" (Tim Lexen)

　また、私もよく作った「風車」のようなパターン(下図左)のゴーストを考えると、真ん中に円の隙間ができるパターンに変換されるのです(下図右)。

from "Ghosts in the tiling" (Tim Lexen)

　これは本当に面白いです。自分が今までにいろいろ試したシンプルなパターンのゴーストパターンがどうなるのか、試してみたくなりました。

(つづく)

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　数学は本当に自由で、こんな風にアイディアや概念を膨らませて、それに基づいていろいろ試したりしていると新しく面白く美しいものが見つかったりして、それがとても楽しいです。

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　久しぶりに暖かかった先週末の土曜日、庭に猫が来てくつろいでいました。

　昨日も同じ場所に同じ猫が日向ぼっこに来たのですが、後から白黒の怖そうな猫が来て、すぐにいなくなってしまいました。

＜おまけのひとこと＞
　昨日は強い雨と風の夜でした。雪ではなかったのでだいぶ助かりました。この降水量が雪だったら今頃は雪かきでさぞかし大変だったと思います。

2月3日(水)　あやとり「円と三角形」「エガラウィナゴ」

　いろいろご紹介したいトピックがたまっているのですが、今日は時間がないのであやとり作品の簡単なご紹介です。

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　丸と三角(Circles and Triangles) というあやとりを取ってみました。

　手順はそれほど長くなく、各ステップもそんなに難しくありませんが、なかなかかたちが整いません。太さや長さ、素材の違う糸で何度か試した中で、比較的かたちが安定したものを固定してみました。

　本来の完成した姿はどんな感じなんだろうと思って、上記のサイトの参照元を見てみたら、私も持っているC.F.Jayneの“String Figures and How to Make Them” に載っているようなのです。さっそく本を持ってきて図を眺めてみました。

Fig.331 "String Figures and How to Make Them" C.F.Jayne (1906)

　こんな出来上がりのようです。固く結ばれてしまうとパターンが見えない、と注意が書かれています。(上記のリンクは google books です。100年以上前の古い本なので、全ページを閲覧できるみたいです。Fig.331 を探してみて下さい。)

　この「丸と三角」（もしくは「円と三角形」）も、（先日書きましたが）以前から欲しいと思っている「あやとり 続」（野口広 1974)に掲載されているようなのです。「あやとり 続」ならば完成写真が載っているはずです。見てみたいなあと思います。

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　もう１つ、ナウルのあやとりのエガラウィナゴです。ナウル共和国の前世紀の突然の繁栄と破局の物語は有名です。「ナウル、破綻」といったキーワードで検索してみると、「あぶく銭」というものがいかに恐ろしいものか、身につまされる話を知ることができます。

　ナウルのあやとりには独特のパターンがあって、そのパターンの組み合わせでいくつもの複雑なあやとり作品を取ることができます。それについても近々ご紹介したいのですが、今日は比較的シンプルな「エガラウィナゴ」というあやとり作品のご紹介です。

　下の写真では上下に2列、3本のピンでこのあやとりパターンを固定しています。これは本来両手の親指・中指・小指が担当していて、このパターンは通常両手の間に出来上がるものを90°回転した状態になっています。

　出来上がったあやとり作品をボードの上にピンで留めてみる、という遊びがすっかり楽しくなってしまっています。手順を読み解きながらあやとり作品を取ってみて、糸の材質や長さの違うものでも取ってみて、ある程度わかってきたら両手から外して机の上に置いてかたちを整えてみて、固定してしばらく保存しておきたいと思うものができたらボードとピンを持ってきて、ボードの上でまたひとしきりかたちを整えて、出来上がったら写真を撮ってみる、という流れです。楽しいです。

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　墓マイラーカジポンの「世界音楽家巡礼記」(音楽之友社：2020年11月発行) というMOOKを図書館で借りて読みました。非常に多くの音楽家のお墓を、しかも何度も訪れているそうです。訪問する前にはその音楽家の作品をできるだけたくさん(できれば全部)聴いてから行く、とか、偉大な音楽家も生身の人間だ(った)ということを感じられて長時間滞在して心の中で対話をする、とか、こだわりがものすごいです。

　また、現地では観光案内所等に頼ることも多いそうなのですが、朝一番に行くことが勧められています。教わった場所は交通機関での移動に時間がかかることも多いこと、日中の明るい時間帯でないと墓地や公園の中でお墓を探すのが大変なこと(明るい時間帯でも慣れない言語で書かれた墓標を読むのは難しいと思います)、また案内所も朝のほうが忙しくなくて、めったに尋ねられないような質問（音楽家のお墓を訪ねる人は少ない）にも丁寧に答えてくれる可能性が上がること、などが述べられています。

　サティのお墓を訪ねたエピソードが特に印象に残りました。ごみ収集車の運転手さんに尋ねたら、けっこう距離があるからとわざわざ車に乗せて連れて行ってくれたこと（これって乗せてもらう方も乗せてあげる方もすごいと思います）、そして最後に車を降りるときに「サティっていいよなっ」と笑ってくれたこと、というとても素敵なエピソードでした。

　時間がなくて斜め読みでしたが、他にも心に残る話がたくさんありました。写真も美しく、いい本だと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　日本国内で、日本の昔の有名な数学者や科学者のお墓参りというのはやってみたいなと思ったことがあります。いかにも定年後のリタイアした世代（私ももうすぐです）の趣味といった感じです。あと数年もすればこのCOVID-19も終息していると思う(思いたい)ので、計画してみたいなと思っています。(また計画だけで終わるかも)

2月4日(木)　左右対称な円弧三角形

　円弧三角形の話に戻ります。

　1月11日に、半円を5等分した円弧を基本単位とした鏡像対称軸を持たない円弧三角形をご紹介しました。いろいろ試しているうちに、鏡像対称なものも仲間に入れて考えたくなったので、図を作ってみました。

　今回はこの 1-1-2 と 2-2-4 の話です。

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　平行移動による格子状のタイリング2種類と、回転対称形のパターンです。(この図は拡大できます)

　回転対称形は、真ん中に円弧五角形の隙間を開けたり、真円の隙間をあけたりすることもできます。

　2-2-4のほうでも同じようなことをやってみました。(この図も拡大できます)

　他のパターンと色で区別したくて、使っていない色相のものを選んだらこんな色になってしまいました。(今朝は時間がなくて用意できたのはここまでです。)

(つづく)

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　先週末に出かけたときに手芸屋さんに寄って、「あやとりひも」になりそうな素材を探してみました。

　さすが専門店、種類や太さが様々なひもがたくさんありました。いくつか買ってみました。

　手芸屋さんはかなり混雑していて、あまり広いとは言えない駐車場（15台くらい？）がほぼ満車でした。最近は「巣ごもり需要」でいろいろな人に手芸の需要が増えているのだそうです。

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　昨日聴講させていただいたwebの講演会で、とても面白かったので質問をさせていただいたのですが、その後、同じ会社から参加していた人からチャットで「マイクonのままですよ！」という注意をしていただきました。なんかんへんな独り言を口走っていたようなおぼろげな記憶があって、青ざめています。大失敗。

＜おまけのひとこと＞
　最近お菓子の産直イベントや訪問販売が増えている気がします。どの業界も世の中の変化に合わせて生き残りのために必死なのだな、と思います。（もちろん私も本業のほうでも大きな影響の中にいます。）

2月5日(金)　平面を埋めつくす円弧三角形(72-108-180)の“ゴースト”

　先日公開されたTim Lexen氏のGhosts in the tiling、自分でもいくつかの図形で試してみています。これがまた面白いのです。今日は1月11日にご紹介した半円を5等分した円弧を基本単位としたときの2-3-5のタイプの円弧三角形によるタイリングの“ゴースト変換”の話になります。

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　2-3-5は、単独でこんな周期的なタイリングができました。

　これらの３つの格子状のパターンのゴーストパターンは元のパターンと同じになります。これはこれで面白いのですが、興味があったのがこのパターンです。

　このパターンのゴーストパターンはどうなっているでしょう？　同じパターンになるでしょうか？それとも違ったパターンになるでしょうか？

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　最初に、円弧三角形のゴーストの作図法についてもう一度復習しておきます。こんな風に３つの頂点を中心に同じ半径の円を描くと、元の円弧三角形と同じ領域が現れます。

　上の図の元の円弧三角形が黒、そのゴースト変換が赤です。

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　先ほどの4方向を向いたタイリングの基本単位の部分を黒で構成してみました。そのゴーストが赤です。

　どうやらゴーストパターンはタイリングパターンにはならないようです。それだけでなく、興味深い輪郭が見えています。手作業ではなく、きれいな図を計算で作図してみたくなりました。

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　計算で得られたのはこんなパターンでした。(図は拡大できます)

　重なっているとわかりにくいので、元のパターンとゴーストパターンに分解してみました。

original pattern		ghost pattern

　この図を見て、「あっそうか、それならば」と思いました。

(つづく)

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　デイリーポータルZのアラビア文字を知識ゼロから学んでみようという記事がものすごく面白くて参考になりました。若いころ、カリグラフィーに興味があって自分でもいろいろ試していました。「アラビア書道」、確かに面白そうです。

　「アラビア語は子音のみを表記する」というのは、庄司薫の「ぼくが猫語を話せるわけ」(1978年)で読んで知りました。登場する猫の名前が「タンク」なのですが、「たぬき」と呼ばれることがあって、「アラビア語ならタンクもたぬきも表記はTNKで一緒だ！」といったことが書かれていたのが印象に残っています。

　（庄司薫の奥さんの）中村紘子さん、亡くなってしまって残念です。子供のころ上田市民会館でピアノの演奏会を聴いたということをぼんやり覚えています。後年になって両親から「お前が〇歳くらいのころに一緒に聴きに行っているんだよ、覚えていない？」と言われて「そうだったのか」と思ったくらいなので、後付けの記憶なのかもしれません。そのため演奏を覚えているかというとおそらく意識的には残っていません。

＜おまけのひとこと＞
　「アルテ」（大久保圭）の14巻が出ていたみたいです。見落としていました。週末に買って読もうと思います。楽しみ…

2月6日(土)　12種類のhexiamond1セットで長野県の地図をデザインしてみる

　週末は嬉しくて早朝(というか夜中)のうちから起き出していろいろやっています。先日、ヘキサモンド12種類1セットで北海道の地図をデザインしてみたのですが、あんまり気に入ったものになりませんでした。今日は長野県の地図に挑戦してみました。

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　ヘキサモンドは６つの正三角形で構成されていて、全部で12種類あります。

　ということは全部で72個の三角形があります。三角形72枚で長野県のかたちを真似してみたのですが、なかなかうまくいかないのです。そこで、方針を変えて「目的のかたちを完全に覆いつくす」ことを目指してみました。こんなデザインに行き着きました。

　このかたちを12種類のヘキサモンドでパッキングするパターンの数は、Burr Toolsで調べてみると1063通りありました。

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　上記のヘキサモンドの外形のみを見て「長野県！」と主張するのはかなり無理があります。そこで、12のピースに県境のラインを描いてしまうことにしました。そうすることで解は１つに決まりますし、手がかりにもなります。1063通りの解の中から適当にこんなパターンを選びました。(画像は拡大できます)

　全ての解のパターンを精査して選んだわけではないのですが、12種類すべてのピースに県境のラインが含まれることを意識しました。

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　出来上がりはこんな感じになります。

　自分でデザインして作った直後に解いているのでものすごく簡単でしたが、難易度はどのくらいなんだろう？と思います。完成図（全体の輪郭）が示されているとかなり楽だと思いますが、何も手がかりがなくて目標の長野県の形も知らないとして、「黒い線が１つの輪っかになるようにしてください」というパズルにすると、これはちょっと面倒なパズルになりそうです。（そんなの解きたい人はいないと思いますが。）ザイルトリックとかロープパズルとか、そういったカテゴリのパズルですね。

　厚紙に印刷して切り出しただけなので遊びにくいですが、まあこれ以上がんばってピースを整備しなくてもいいかなと思いました。作ってみて満足です。

　シルエットをデフォルメしたデザインを追い求めるのではなく、目標のかたちをうまく覆いつくすようにデザインする、という今回の手法のほうが易しくていろいろなものに応用ができそうです。楽しくてお勧めです。

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　円弧三角形のゴーストパターン、いろいろ試して遊んでいます。いろいろと試すためにいろいろな角度のものを素材として準備しているのですが、そのランダムな配置が妙に美しいなと思って、キャプチャしてみました。

　ちなみにこれは半円を6等分したπ/6系の円弧三角形で、30°-60°-90°のものとそのゴーストです。30°ずつ回転させた12の向きのものを散らばらせています。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　妻に「長野県パズルをやってみて」と声をかけてみたら、困った顔で断られてしまいました。それはそうです。確かに単なる苦行ですよね。ごめんなさい。

2月7日(日)　円弧三角形(30-60-90)とそのゴーストのパターン、あやとりディスプレイ

　ヘキサモンド1セットでザイルトリック風の地図のパズルをデザインするのが楽しくて、長野県以外にも２つほどデザインしてみました。そのご紹介は明日（以降）にすることにして、今日は円弧三角形の話です。

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　昨日準備した、半円の6等分を単位とした円弧三角形とそのゴーストで遊んでみています。オリジナルのTim Lexen氏の記事にもありましたが、こんなパターンができました。

　隙間が空くことを気にせずに、4回回転対称形にしてみました。

　これも面白いです。

(つづく)

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　伝承あやとり作品の「7つのダイヤモンド」(写真上)と、k神谷和男さんの創作あやとり作品の「14のダイヤモンド(写真下)です。(写真は拡大できます)　特に「7つのダイヤモンド」のほう、ひもが太かったかな…

　たいへん興味深い、美しいかたちだと思います。7 → 14 ときたら、次は 23 でしょうか。　当然検討されたのだろうと想像しますが、きっと通常の「あやとり」の手法では難しいのでしょうね。

　ちなみにこの規則だと、7の前は2ですね。 2,7,14,23,34,47,… でしょうか。　「2段ばしご」も短いひもで作って一緒に飾ればよかったかな。

＜おまけのひとこと＞
　あやとりの図、それっぽい絵の作図を始めたのですが、糸の交差の部分の上下とか、こだわり出すときりがないので簡単な概念図にしました。

2月8日(月)　ヘキサモンドのパズル「群馬県」、他

　今日は一昨日にご紹介したのと同じコンセプトの、ヘキサモンドによるザイルトリック系のパズル「群馬県」です。

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　正三角形6枚を連結した12種類のタイルを使って、「長野県」のかたちを作るパズルをデザインしてみたという話を一昨日ご紹介しました。

　これがとても面白かったので、他の白地図でも試してみることにしました。どこにしようかと思ったのですが、かたちが特徴的でわかりやすい（個人的感想です）、おとなりの「群馬県」にすることにしました。

Fig.1 : Gunma Prefecture

　よく「鶴舞うかたち」と言われるそうです。

　さて、正三角形72枚を並べて、この群馬県の地図をうまく覆うようにしてみました。最初に Fig.2 のデザインにしてみました。ヘキサモンド12枚でこのかたちを作れるか、解析ソフト Burrtools を使って調べてみると、残念ながら「解なし」でした。次に、Fig.2 の左下のはみ出した三角形２つを右上の凹みのところに移してみました(Fig.3)。

Fig.2 : No solution !		Fig.3 : No solution !

　ところがこれでもダメでした。

　さらに、三角形のタイルパターンの中の群馬県の位置を少しずらして、左下に飛び出した三角形1枚と、もともと地図がかかっていない東側の三角形1枚を外して位置を変えてみました。

Fig.4 : 2935 solutions

　ようやく解が存在するデザインが見つかりました。解析ソフトによると、解は2935種類ありました。この解の中から１つ、分割方法を決めます。考え方としては「12種類すべてのピースに地図の境界線が1本ずつ存在する」ことを目標にします。ピースの境界のところに2か所だけ線の終端があって、その2か所の終端が1本の曲線の両端になっているようにしたいのです。解の図を１つずつ見ながら条件を満たすものを探して、下記のパターンにすることに決めました。

Fig.5 : split plan

　各ピースに分割された地図の境界線を描き入れてみました。（指定した画像ファイルをテクスチャとして貼り付けて、さらにその位置やスケールを変更できるという機能を利用しています。）

Fig.6 : Gunma puzzle

　若干、境界線が微妙な位置になってしまっているピースがあります。もう少しデザインを工夫すべきですが、いったん満足しました。

（つづく）

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　昨日、ただの菱形を並べて「7つのダイヤモンド」「14のダイヤモンド」を図示しましたが、もう少し「あやとりっぽい」図を描いてみたいなあと思ってこんな図を作ってみました。

Fig.7 : Figure of "14 diamonds"

　実物はこんなにきれいにかたちが整いませんが、でも「目指す姿」をイメージすることは大切です。改めて、このかたちが「あやとり」で作れるというのは素晴らしいと思います。

＜おまけのひとこと＞
　だいぶあたたかくなってきました。今週は本業のほうで山場が2回あります。忙しいです。

2月9日(火)　円弧三角形(72-108-180)の“ゴースト” (その2)

　先週の金曜日にご紹介した、半円を5等分した円弧を基本単位としたときの2-3-5のタイプの円弧三角形による周期的なタイリングの“ゴースト変換”の話の続きです。

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　最初に、2-3-5円弧三角形のゴーストの作図をもう一度掲載します。こんな風に３つの頂点を中心に同じ半径の円を描くと、元の円弧三角形と同じ領域が現れます。

　上の図の元の円弧三角形が黒、そのゴースト変換が赤です。

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　先日、下図左のパターンA のタイリングとそのゴースト変換の図をご紹介しました。(図は拡大できます) パターンAは、2-3-5円弧三角形とその鏡像を１つずつ交互に使っていました。鏡像パターンを用いないことにすると、右のパターンBのようになります。これは小さな円弧正方形の隙間があきます。（隙間の円弧正方形は凸のものと凹のものがあります。）

Pattern A : tiling without gaps		Pattern B : tiling with gaps

　それぞれのゴースト変換を描画してみましょう。

"Ghost" of Pattern A		"Ghost" of Pattern B

　パターンAのゴースト(上の左の図)は、図中に現れる全ての円弧は真円の一部になっていて、合同な円が平行四辺形の格子状に並んでいます。一方パターンBのゴーストは、図中の円弧のちょうど半分が真円の一部になっており、残りの半分は円の一部にはなっていません。真円の中心はは45度回転した正方格子の上に並んでいて、互いにわずかに重なっています。

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　それぞれのパターンとそのゴーストを重ねてみました。

Pattern A and its "ghost"		Pattern B and its "ghost"

　面白いです。

(つづく)

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　1人の時間を大事にできる「家庭内週末婚」の部屋が話題に　コロナ禍に対応した新しい暮らしの形という記事を興味深く読みました。今、我が家は子供たちが巣立って妻と二人暮らしです。我が家でもそれぞれが一人になるスペースと共通のスペースを作っていて、イメージとしてはこんな暮らしに近いような気がします。

　確かに若いころならこんな間取りもいいなあと思っただろうという気がします。でも、ロフトへのはしごが収納式というのはちょっと面倒ですし耐久性や安全性に若干不安も感じます。段差が多いのも気になります。この住まいが門前仲町にあるのならば家賃26万3千円(＋管理費1万5千円)というのも「なるほど」と思います。（年間の家賃支払いが300万円を超えるのかあ、すごいなあと思います。）

　私たちの家族が今の家に住み始めたのは息子が生後7か月のときなので、息子の年齢を考えるとこの家に何年暮らしたのかはすぐにわかるのです。もう20年以上になりますが、相変わらず家の構造や間取りが好きで、家の敷地がある地形も好きで、窓から見える風景も好きで、そう思い続けることができるのは幸せなことだなあと思います。（もちろん田舎なので公的交通機関が不便なこと、買い物が便利とは言えないこと、車が必須なことなど今後年老いてゆくうえで不安もありますけれども。）

＜おまけのひとこと＞
　今日は仕事で大切な報告があって、ちょっと大変です。うまくいくと良いのですけれども。

2月10日(水)　円弧三角形235を円弧三角形145にしてみる

　今日は円弧三角形とそのゴーストの話の続きです。

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　このところ、235円弧三角形を平面に周期的に配置したパターンのゴースト変換をご紹介しています。もっと偏った145円弧三角形でも同じことをやってみようと思いました。

tricurves 2-3-5 and its ghost		tricurves 1-4-5 and its ghost

　1-4-5円弧三角形もこのような周期的なタイリングが可能でした。

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　以下、昨日までにご紹介した235円弧三角形のパターンと145円弧三角形で作成した同じパターンを並べて表示します。(図は拡大できます。)

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　上の図の右側(1-4-5のタイリング)、ちょっとカフェウォール錯視みたに見えます。

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　左側(2-3-5のほう)は円が重なったパターンが見えますが、右側(1-4-5のほう)はぱっと見て円が目に入ってこない気がします。

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　重ねてみました。なんだかよくわからない…

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　さらに、隙間のあるパターンも同様に比較してみました。

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　このデザイン（右の1-4-5のほう）、なかなかきれいだと思います。隙間部分の円弧正方形、ここまで大きくなると凸型と凹型の違いがはっきりわかります。ちょっとバラの花の図案みたいです。この２つのパターンには鏡像対称性はありません。

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　ゴーストパターンです。1-4-5のほうは絡まり方が複雑になって面白いです。「半円の5分の1と5分の4の2種類の円弧だけを使って同じ図を作図してください」と言われたらちょっと困るレベルだと思います。こちらのゴーストパターンのほうは鏡像対称性を持ちます。面白い！

2-3-5 tricurves		1-4-5 tricurves

　最後に重ねてみました。この右側の図案、気に入りました。こんなパターンに到達するとは思いませんでした。

(つづく)

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　身内が書いている上田 子どもの本研究所、おはなし ざしきわらしの会のblogが毎日更新されていて感心しています。この「あそびをせんとや」とは違ったカテゴリのblogですが、興味がある方はご覧いただけたらと思います。

　1月13日の記事、英文堂さんのことを懐かしく読みました。このところ何度かご紹介している野口広著「あやとり」も、この英文堂で見てどうしても欲しいと母に頼んで買ってもらいました。表紙の内側にきれいなオレンジ色のあやとりひもが付いていたのを覚えています。この本がお店の中のどのあたりにあったのかも、その時の母や店主のおじさんとのやりとりも、思い出すことができます。母が「小学校低学年の子(＝私)には難しいんじゃないか」と言ったこと、店主のおじさんは「この本はとてもいい本だよ」と言ってくれたこと…

　当時はこの本がよもやこんな一生の宝物になるとは思いませんでした。残念なのは「あやとり 続」「あやとり 続々」を入手しなかったことです。少なくとも最初の「あやとり」を買ったのは「続」も「続々」もまだ出版される前でした。ちょうど祖母が亡くなったころで、おそらく母もとても大変だった時期だったからかなあと想像しています。

＜おまけのひとこと＞
　職場までは車で1時間くらいかかります。昨日の朝、家を出てから15分くらい走ったところで「しまった、マスクを忘れた！」と気が付きました。車を停めて、確かカバンの中に予備のマスクを入れておいたはず、と思って探したらありました。忘れずに次の「予備」を補充しておかないと。

2月11日(木)　あやとり

　YouTubeで紹介されていたあやとり作品を取ってみました。

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　YouTubeにString Tricks! How To Make The Super Inuit Net という動画があったので、自分でも取ってみました。(写真は拡大できます)

　指にかかった状態ではなかなかきれいに形が整わなくて、外して固定して調整しました。もう少し細くて滑りの良い糸を使ったらうまくいかなくて、太くて摩擦のある糸を使って、ようやく「まあこんなもんかな」と思えるものができたので写真を撮りました。

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　菱形４つが2段になっている「たくさんの星」というあやとり作品がありますが、

Many Stars

　今回ご紹介したあやとり作品（名前がよくわからない）は、出来上がりは同じ系統で、菱形６つが2段になっています。図を描いてみました。

　実はこの図、ウソがあります。下の図の赤マルの部分がもうひとひねりしていなければなりません。

　この図のままだと、３つの輪っかが絡まった構造になってしまっているのです。

　まあでも出来上がりのイメージがわかればいいかな、と思ってここまでにしておくことにしました。

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　菱形4個2段というと、「たくさんの星」と「十人の男」という２つの有名なあやとりがあります。この２つは最後の保持の仕方が違うのですが（途中の取り方ももちろんまるで違います）、菱形6個2段だと今回の「Super Inuit Net」が「たくさんの星」系、先日ご紹介した「天の川」の第1ステップが「十人の男」系です。

　…というようなことが説明できるような図を用意したいなと思いました。でもそのためには不正確な図は良くないですね。

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　運転免許証で学科試験の点数がバレる？意外と知らない免許証の見方という記事がありました。公式な情報ではないので本当のところはわかりませんが、日本の運転免許証番号12桁のうち、左から5番目と6番目の数字(赤い斜線で網掛けされた左側の２つの数字)が、運転免許証交付のための学科試験の減点数らしい、というのです。

　自分と妻の免許証を比べてみました。この情報が正しいとすると、私は妻に1点負けていました。しまった…

＜おまけのひとこと＞
　日本の自動車運転免許保有者数は8,200万人くらいのようです。この5桁目・6桁目として考えられるのは 00〜10 の11通りですから、この2桁の数字が同じ人は数百万人はいるはずです。(だからこういう個人情報を公開してもリスクは少ないかなと思ったのですが、一応点差だけ載せることにしました。)

2月12日(金)　あやとり「多段ばしご」

　今日もあやとりのご紹介です。同じパターンがどんどん増えてゆくようなあやとりが好きです。「四段ばしご」の段数を増やすあやとりがありますが、私が知っていたのは途中の工程で指の輪をひねるものでした。それだと六段までしか作れませんでした。石野さんのあやとりしてみようのサイトに、原理的にもっと段数を増やせる取り方が載っていたので試してみました。

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　多段ばしごI を取ってみました。まずは基本の四段ばしごです。(写真は拡大できます)

　使ったひもは、下の写真の真ん中の先日買ってきた3mのオレンジ色のものを1.8mくらいの長さに切って輪にしたものです。

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　段数を増やします。まず、上の写真の4段ばしごで、人差し指で下の図の糸を向こうから手前に取ります。（今、人差し指にかかっている糸は外れます。）

　次に小指で向こうから2番目の糸を取ります（詳しくは上記のページを参照してください）。そこからはまた「四段ばしご」の取り方をすればOKです。六段になりました。

　仕上がりをきれいにするためにはどの工程でどの程度糸を引き絞るべきか、緩めたまま取るほうがいいのか、試行錯誤しています。

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　さらにもう一度同じ操作を繰り返すと八段になります。

　かたちを整えるのが難しくなってきました。本来なら上下対称に近いかたちになるはずが、下にトラスがある鉄橋みたいになってしまいました。

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　十段も作ってみたのですが、写真に撮りたいと思う出来栄えにはなりませんでした。

＜おまけのひとこと＞
　ひもを変えたりしながら何度も何度も取ってみて、写真も十数枚撮ってみて、その中でいちばんましなものを載せました。
　今日は午前中に1時間半ほど時間を取って、昔やったことや最近検討していることを報告することになっています。昨日の休日は話す内容の構想を終日考えていました。素材はありすぎるほどたくさんあるのですが、何を伝えるべきか、そのためにどんな順番で何を話そうか、まだ完全に心が決まっていません。あと2時間くらいで決めようと思います。

2月13日(土)　円弧三角形：半円と4分の1円のイチョウ型のタイリングとそのゴースト(その1)

　週末です。嬉しい…

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　このところ、Tim Lexen氏の円弧三角形のタイリングとそのゴースト変換をいろいろ試して楽しんでいます。実は今回一番感動したのはこのパターンでした。

　このパターンのゴースト変換、実はこうなるのです。

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Pattern 1		its ghosts

　これは日本の伝統文様の「七宝」です。このパターンが現れたときには感激しました。

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　さて、同じピースを使ってこんなタイリングの系列を考えてみました。

Pattern 2		Pattern 3

Pattern 4		Pattern 5

　これらはどんな規則性、周期性をもっているでしょうか？　これらのパターンをゴースト変換するとどうなるでしょうか？

(つづく)

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　あそびをせんとや：リンク集に、最近特にお世話になっている石野さんのあやとりしてみよう、他を追加しました。

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　長崎ちゃんぽん リンガーハットのファンです。（と言っても年に数回行くくらいですが。）3月から価格が変更になって、目玉サービスだった「長崎ちゃんぽん麺増量無料」が無くなるのだそうです。私は麺類が好きなので、リンガーハットに行くと10回のうち9回は「長崎ちゃんぽん麺2倍」を食べていました。このサービスが終わってしまうのは残念ですが、3月からは「長崎皿うどん」も100円で麺2倍にできるようになるみたいです。これは楽しみ…

＜おまけのひとこと＞
　昨日の報告というか発表はまずまずの出来でした。今週末はちょっと一息つけます。

2月14日(日)　円弧三角形：半円と4分の1円のイチョウ型のタイリングとそのゴースト(その2)、他

　昨夜地震がありました。被害の全容はまだわかりませんが、被害が少ないことを祈ります。

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　昨日ご紹介した半円と4分の1円を組み合わせたイチョウ型のタイリングですが、それぞれのゴースト変換を併記してみます。

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Pattern 1		its ghosts

	⇔
Pattern 2		its ghosts

	⇔
Pattern 3		its ghosts

	⇔
Pattern 4		its ghosts

	⇔
Pattern 5		its ghosts

　いかがでしょうか、規則性がわかりましたか。単位となるタイルを2x2、3x3、4x4、5x5、と増やして、それを4方向に組み合わせて正方格子を作っているのです。赤いゴーストパターンを見ると、周期の幅がわかりやすいです。これもたいへん面白いパターンだと思いました。

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　なかなかうまく取れなかったシシドユキオさんの X というあやとり作品、昨日ようやく取ることができました。比較的かたちが整ったので、コルクボードに留めてみました。

　面白い、美しい作品だと思います。

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　今朝、妻からチョコレートをもらいました。

　さっきコーヒーを淹れてもらって真ん中の１つを食べました。毎日１つずついただこうと思います。

＜おまけのひとこと＞
　昨日、リンガーハットに行こうかなあと思ってお昼前に家を出たのです。途中、北斗神社にお参りをしました。運動したおかげで逆にたくさんは食べられない感じになりました。どうしようかなと思ったのですが、なぜか衝動的にサイゼリヤに入ってしまいました。玉ねぎのズッパ(Zuppa)というのが美味しかったです。

2月15日(月)　イチョウ型のタイリングに色を塗ってみる、アフリカのあやとり作品

　月曜日ですが、15日なので過去のページの最下段になるため、簡単な更新にします。

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　昨日ご紹介したイチョウ型のタイリングですが、パターン2が気に入っています。

Pattern 2

　こういうパターンには色を塗ってみるといろいろ気付きがあって面白いのです。2パターンほど載せておきます。使っている色の割合は同じです。（赤とピンクが全体の4分の１ずつで、残りの白が全体の半分です。このピースが半円１つと4分の1円２つから構成されているのに因んでいます。）

color 1		color 2

　上の図の左の “color 1” のほうは同じ向きの2x2に色を塗ったものです。左右方向のものは白で残しました。右の “color 2” のほうは、幅の広いレモン型（２つの角が上下もしくは左右に飛び出しているかたち）になっている部分の4つ組に着色しています。色の塗り方を変えるとパターンの印象がまるで変ってしまっておもしろいです。

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　オウ族の顔の文様 というアフリカのあやとり作品を取ってみました。人差し指、中指、薬指に巻きついている糸が多いため、出来上がるパターンそのものは小ぶりです。

　このあやとり作品は取り方がダイナミックで、人差し指の輪を手首に落として他の指の輪を反対の手でそうっと抜いて手首を1回転して、抜いた輪を別の指に戻す、といった手順があります。この手順がとても印象的だったので、今のところ取り方を覚えられています。

　もう少し太くて長い糸でも取ってみました。

　アフリカのダイナミックなあやとりというとバトカ渓谷という作品があります。これもシンプルな幾何学的な図形ができるので昔から好きだった作品ですが、取り方が異色なのだと思っていました。でもアフリカのあやとりは、同じようにダイナミックな取り方をする作品が他にもいろいろあるみたいです。

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　昨日の午後、隣町の図書館に本を返しに行って、帰りに本屋さんで欲しかった新書本を買いました。その帰り、広い農耕地をまっすぐ横切る広い道路の周辺で大規模な野焼きが行われていて、煙が充満して見通しが利かない箇所が何か所もあってとても危険でした。道路の真ん中で車を切り返して、あきらめて引き返す車もいました。（それはそれで対向車が煙の中から現れる可能性もあるので大変危険な行為だと思いました。）

　過去に、道路の近くの野焼きの煙が原因で死亡交通事故が発生した事例も国内であるようです。自衛消防団とおぼしき制服の人が交通整理をしている交差点も2〜3箇所ありましたが、これ、ちゃんと届け出て許可を得てやっているんだろうか、行政や警察は把握しているんだろうか、通行止めにして迂回路表示を出してくれれば良かったのに、と思いました。

＜おまけのひとこと＞
　昨夜、夕食を食べているときに、何か固い「ガリッ」とした感触がありました。なんだろう、特に固いものなんか食べていないのにと思ったら、左下奥歯の内側の側面が欠けていました。ショックです。口をすすいでみると、水が少ししみて軽い痛みを感じます。これはまずいです。ヤレヤレ…