以前の「ひとこと」 ： 2022年7月前半
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7月1日(金) あやとり「Qの構え」
7月です。
昨年10月末に、こんなパターンから始めるあやとりを1つご紹介したことがありました。
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これを少し研究してみています。当時はこれを「輪ゴムの手錠のパターン」などと呼びましたが、改めて「Qの構え」という名称はどうだろう？ と思っています。中央部分にできる輪が外周の下の辺と2回絡んでいるところが、大文字の 
みたいだと思ったためです。(ちなみに大部分のフォントでは、こんな感じに 
大文字のQは楕円に短い線分が付いているだけでした。)
これは、広い意味で考えると一つの指の輪の内側に結び目を１つ作る操作になっています。これを「○○の指に結び目を作る操作」と呼んでみます。下の説明図では、「はじめの構え」から左親指の輪に結び目を１つ作ります。
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1. 左親指で、左親指手前の糸を手前から下、上へと巻き取る （右手で親指手前の糸を掴んで左親指に反時計回りに巻き付けても良い） |
2. 左親指の下の輪を、上の輪を越えて上側に移す |
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3. 左親指の、新たに下の輪になった輪を、新たに上の輪になった輪を越えて外す (手順2+3で「二重ナバホ取り」になる) |
完成：親指の輪の内側に結び目ができた |
どの指に結び目を作ってもいいのですが、左親指に結び目を作って、それを中央に配置する手順を記載してみました。
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| hh220701-1 |
Qの構え
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私はこれを標準的な手順にしています。左右の親指と小指、どこにどの向きに結び目を作るかによって、完成した「Qの構え」の糸の重なり具合が変わります。その違いが仕上がりに影響する場合もあります。
今後、Qの構えの中央の輪の左と右の糸を操作対象にすることがしばしば起こりますので、説明図を用意しておくことにしました。
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| 中央の輪の左の糸と右の糸 |
この結び目、いくつも作ることができます。
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| hh220701-2 |
これって毛糸の鎖編みですね。
こんなあやとりを取ってみました。ゆるい整え方だと印象が変わる例です。
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| hh220701-3 |
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朝5時前、窓からすずめの声が聞こえたので写真を撮ってみました。
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| すずめ |
すずめもだいぶ減ってしまった気がします。
＜おまけのひとこと＞
7月1日(金)は通院のため有給休暇を取得したのです。なので余裕でこのページの更新ができると思っていたのです。でも、いろいろ用事がたくさんあって、気が付いたら時間が全く取れませんでした。久しぶりに2日分まとめての更新です。すみません。
7月2日(土) 「Qの構え」からのあやとり
「Qの構え」からのあやとりです。
昨日の「Qの構え」から、２つほどあやとりを取ってみました。
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| hh220702-1 |
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| hh220702-2 |
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「Qの構え」から始めているので、上辺の中央は絡みが１つ、下辺の中央は絡みが２つで上下非対称です。
先日（確か6月29日）の夕方の写真です。西の空がとてもきれいだったのです。
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| 夕焼け |
実物はもっともっときれいでした。
＜おまけのひとこと＞
月曜日の朝に最近の仕事の状況の報告をする、と宣言して上司の時間を取ってもらったのですが、まだ何も準備ができていません。今日明日でなんとかします。
7月3日(日) 六角格子の中の正三角形(その1)、あやとり
六角格子に色を塗る話とあやとりの話です。
2017年3月31日に、正方格子の中の正方形という話を書いていました。この話の答を書いていなかったような気がします。(すみません5年も前になってしまいました。) 今日ご紹介するのは、それと似た話で、六角格子に飛び飛びに色を塗ってみたというものです。
下の図1〜図6は、ハチの巣のような六角格子の正六角形のいくつかに赤い色を塗ってみたものです。色が塗られた六角形の中心を結ぶと正三角形になっています。（全部のマスに色を塗っても三角格子になりますが、それは省略しました。）
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| 図 1 | 図 2 | |
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| 図 3 | 図 4 | |
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| 図 5 | 図 6 |
それぞれの図において、背景の白いマスと色を塗った赤いマスの数の比率はどうなっているでしょうか？ また、仮に１つの六角形の直径が1だとすると、それぞれの図において、隣接する赤いマス同士の最短距離（六角形の中心どうしの距離ではなくて、2つの赤マスの中の一番近い点どうしの距離）はどれだけでしょうか？
あやとりの話です。伝承あやとり作品の中には、同じ手順を繰り返すことでどんどんパターンが増えてゆくものがいろいろ知られています。ただ、私の知る限り一次元的にパターンが増えてゆくものがほとんどではないかなあと思っています。そこで、こんな手順を考えてみました。
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| hh220703-1(Step.1) |
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| hh220703-1(Step.2) |
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| hh220703-1(Step.3) |
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まとめるとこんな感じです。
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CW90 ナウル風終了処理 → |
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CW90 ナウル風終了処理 → |
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こういう風にパターンを増やしてゆくあやとり作品ってありましたっけ？ フラクタル図形のように、中心部分はどんどん小さくなってゆきますが、理論上はどんどん段数を増やしてゆくことができるはずです。整えるのが大変になってゆくので3段階目でやめましたが。
「マインド 〜認知科学入門〜」(Paul Thagard 著・ 松原 仁 監訳,1999年：共立出版) という本が近所の古書チェーンの book off で売っていたので喜んで買ってきました。なんと220円でした。認知科学は、脳科学や神経生理学、心理学や哲学や論理学や言語学、コンピュータサイエンス（計算機科学）や人工知能など、様々な学問が関係する領域です。この本は大学生向けに書かれた本で、幅広い分野における認知科学へのアプローチがそれぞれの章で語られており、素晴らしい本です。
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松原仁先生が監訳されていらっしゃるというところも信頼感を覚えます。新進気鋭の若手研究者だったころから存じ上げている先生方が今や業界の大御所になられていて感慨深いです。
＜おまけのひとこと＞
先週一週間は非常に暑かったですが、昨夜くらいから少し過ごしやすくなりました。明日の準備、まだ着手すらできていません。他にもこの週末の「宿題」がいくつもあります。
7月4日(月) 六角格子の中の正三角形(その2)、あやとり
六角格子に色を塗る話とあやとりの話です。
六角格子のマスに飛び飛びに色を塗って、塗られた色のマスが三角格子の頂点になるようにしたい、という話を始めました。それぞれの塗り方で、「塗ったマスと塗らなかったマスの数の比率（もちろんパターンは無限に広がっています）」と、「塗ったマス同士の距離の最小値」はいくつでしょうか、という問いかけをしました。今日はその解答を一部ご紹介します。
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| パターン 1 : 1/3 | 距離の最小値 : 1/2 = 0.5 |
上の図のパターンの場合、水平に連なる六角形の行に注目すると、どの行も3つに1つが赤く塗られています。ですから赤の六角形の比率は全体の1/3です。また、格子の正六角形の直径は1ですから、半径は0.5です。ということは六角形の1辺は0.5です。従って隣の赤い六角形までの距離の最小値は0.5です。
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| パターン 2 : 1/4 | 距離の最小値 : √3/2 = 0.866… |
上のパターン2の場合、赤・白・赤・白…と１つおきに塗られている水平な行と、全部が白の行が交互になっています。なので、半分の行のさらに半分のマスが赤、ですから赤の比率は1/4です。また、赤いマスどうしの距離は1辺が0.5の正三角形の高さの2倍、つまり1辺の長さが1の正三角形の高さと同じですから√3/2、だいたい0.87くらいです。
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| パターン 3 : 1/7 | 距離の最小値 : √7/2 = 1.32… |
さらにパターン3の場合、格子の水平なそれぞれの行にかならず赤のマスが存在し、どの行も白マス6つをはさんで6つおきに塗られています。従って赤のマスの比率は1/7です。最小距離のほうは三平方の定理より√7/2、1.32くらいです。距離が1より大きくなりました。
これ、昔このサイトに書いた 平面が２色に塗られています。同じ色で塗られている１メートル離れた２点があることを示しなさい。 という問題の一般化である「距離が１離れている任意の2点の色が必ず異なるように平面を塗り分けるには何色必要か？」 という未解決の問題の上限値を与える例だったのです。昨日はこれ以降のパターンも図示しましたが、着色したマスどうしの距離が1を越えた段階でもう十分です。
あやとりです。各手順の解説にはリンクしていません（すみません）。わりときれいに取れたかなと思ったのでご紹介します。
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| hh220704-1 |
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こちらは仕上げがいまひとつでした。
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| hh220704-2 |
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国際あやとり協会のチリの会員の方からメールが届いたのです。「String Figures Festival 2022 - Invitation to new exhibitors」(あやとりフェスティバル2022 - 新規出展者へのご招待) というタイトルでした。2021年のあやとりフェスティバルの動画 https://youtu.be/-ItzjjIF8N8 へのリンクが紹介されていました。動画の7分10秒くらいから本編が始まります（それまではWe'll start soon：もうすぐはじまります、という静止画像が表示されています）。 メールを頂いて動画を閲覧してみたときには閲覧数160くらいだったのですが、今行ってみると227になっていました。国際あやとり協会の会員全員にメールをされているのかな、そのうちの5〜60名の方が閲覧されたのかな、と思いました。
オンラインのイベントなんでしょうか。よくわかりません。でも、こういうことを企画して実行するのは素晴らしいと思いました。国際あやとり協会の会員は世界中にいらっしゃいますが、人数が多いのは日本とアメリカ(USA)です。（メールを下さった会員の方の国である）チリは会員数2名です。言語の問題もありますし、参加は難しそうですが応援したいと思います。
あやとりと言えば、国際あやとり協会(日本)のサイトに、7月23日(土)に予定されていた「第31回野口廣記念 あやとり講習会・検定」が中止（延期？）になったというお知らせが掲載されていました。こういったイベントを企画運営する大変さ、難しさを感じます。準備だけでもとても大変なのに、実施するかしないかを判断するというのはとても大変だと思います。関係者の皆様には本当に頭が下がります。
＜おまけのひとこと＞
昨日からだいぶ涼しくなりました。今日の午前中は仕事の山場です。
7月5日(火) ハドヴィガー=ネルソン問題、あやとり
数学の未解決の問題の話とあやとりの話です。
今週は正六角形の格子を規則的に塗り分ける話をご紹介しています。図1は3色で、図2は4色で、図3は7色で塗り分けた例です。
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| 図 1a | 図 1b | |
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| 図 2a | 図 2b | |
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| 図 3a | 図 3b |
この図3bの7色で塗り分けた例が、「距離が１離れている任意の2点の色が必ず異なるように平面を塗り分けるには何色必要か？」という問題に対して「7色あれば可能」ということを示していたのでした。この問題はHadwiger-Nelson Problem(ハドヴィガー=ネルソン問題)と呼ばれていて、1950年に最初に問われたのだそうです。（数学では「良い問題」を思い付くということにはとても価値があります。）この六角格子を7色に規則的に塗り分けた例によって、7色あれば十分だということはわかりました。一方、以前にも示しましたが、2色ではダメ、ということは簡単に説明できます。平面を2色でどのように塗り分けたとしても、一辺の長さ1の正三角形を考えると、辺の両端の色が必ず異なるような位置に正三角形を配置することはできないからです。
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これは、グラフ理論の単位長グラフ(unit-distance graph)のグラフ彩色問題に相当します。正三角形の3頂点を、全ての辺の両側の色が異なるように色を塗るためには3色必要です。では、全ての辺の長さが1の平面グラフで、全ての辺の両端の色が異なるように頂点に着色するのに必要な色の数がもっと多いグラフはあるのでしょうか？ その答として、彩色数4のグラフとしてモーザー・スピンドル(Moser spindle) という 7頂点11辺のグラフが有名なのだそうです。
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| Moser spindle |
これは、ハドゥイガー=ネルソン問題の解は少なくとも4以上だ、ということを示す例になっています。ここまでで、ハドゥイガー=ネルソン問題の答は4以上7以下であることがわかりました。実は近年、彩色数が5の単位長グラフが見つかったのだそうです。このあたりのお話が、こちらの数学の60年来の難問を、「不老不死研究」の生物医学者がこうして解き明かしたという記事に詳しく述べられています。非常に面白いです。
創作あやとりです。結び目のパターンがちょっと面白いです。
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| hh220705-1 |
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例によってかたちを整えるのはちょっと大変かもしれません。
＜おまけのひとこと＞
今日は時間切れです。
7月6日(水) ハドヴィガー=ネルソン問題(その2)、あやとり
数学の未解決の問題の話とあやとりの話です。
数日前から六角格子の塗分けの話をしているのですが、実はそのきっかけとなった論文が、2週間ほど前に arXiv で公開された Tiling the plane with hexagons: improved separations for k-colourings(Aubrey D.N.J. de Grey, Jaan Parts:2022) なのです。 この論文では、平面を直径が1の合同な多角形で周期的にタイリングして、それを3色、4色、5色… k色で塗り分けたとき、同色の多角形同士の距離をどれだけ遠くすることができるか、をd(k) で表して、それを計算機を駆使して探索した結果が報告されています。ちなみに「直径が1の多角形」というのは、その多角形に含まれる任意の2点の距離の最大値が1である、という意味です。（最初、「その多角形を内包する最小の円の直径が1である」という定義かなあと思ったのですが、これだと意味が違ってしまいます。例えば、直径１に内接する正三角形を考えたとき、その正三角形に含まれる2点で最も距離が離れているのは正三角形の２つの頂点になりますが、その距離は1ではありません。）
以下、Grayらの論文から図を引用しながら説明をしたいと思います。下の Figure 1 に、3種類の六角格子の例が挙げられています。
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| Figure 1 of Gray et al. paper |
左が正六角形(regular hexagons)、中央が準正六角形(semi-regular hexagons)、右が平行六角形(英語名はrectilinear hexagonsで、直訳すると直線六角形ですが、勝手に意訳させてもらいました）です。いずれも向かい合う辺は平行で長さが同じで、向かい合う2辺の頂点をつなぐと長方形になっている、という条件が付いています。ということは3種類とも直径1の円に内接し、6つの頂点は全て円周上にある六角形になっています。
今週の日曜日に「六角格子の中の正三角形」と題して、正六角形の格子を飛び飛びに着色して、着色した六角形の中心を結ぶと正三角形になるようなものをご紹介しました。
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3色、4色の塗り分けの次は7色の塗り分けになってしまっていました。正六角形の六角格子では、5色や6色の塗分けをしたときに、色を塗られたマスの中心を結んだ三角形が正三角形にならないため、4色の塗り分けよりも着色したマスどうしの距離を伸ばすことができませんでした。Grayらの論文では、5色や6色、さらにそれ以上の色数で塗り分けたときに色を塗られたマスどうしの距離を大きくするために、六角格子の六角形のかたちのほうを変形させることを試みたのです。全てのパターンを網羅するのは大変なので、準正六角形と平行六角形に限定して調査した結果が報告されているのです。
下の図は、論文の Figure.4 からの引用です。3,4,7,9の場合は正六角形の格子ですが、それ以外のものは準正六角形だったり（5,8,10がそうでしょうか）、平行六角形だったり（6とか11がそうでしょうか）しています。
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グレーに着色されたマスどうしの距離ができるだけ大きくなるように六角形のかたちが調整された結果、なんとなく正三角形の頂点に近い位置関係になっています。当然と言えば当然なのですが、面白いです。
このアプローチで、ハドヴィガー=ネルソン問題（距離が１離れている任意の2点の色が必ず異なるように平面を塗り分けるには何色必要か？）の観点で非常に興味があるのが6色の塗り分けで、d(6)が1より大きくなるような六角格子は存在するか？ です。もし、直径1の六角形の格子を6色で周期的に塗り分けたときに同じ色のマスどうしの距離d(6)が1より大きくできるならば、ハドヴィガー=ネルソン問題の上界値を、現在知られている7から6に置き換えることができます。
残念ながらこのアプローチでは、0.992076…という値までは1に迫れたのだけれども、1を越えるかたちは見つからなかったのだそうです。残念…
創作あやとりです。
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| hh220706-1 |
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手順3. で、親指・小指の内側の糸を取り合うときに中指の輪(だけ)を通すのが工夫です。
もう１つ、同じ日に取ったのですが手順を記録し忘れてしまった創作あやとりです。
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| hh220706-2 |
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5本指で始めて、最後がタイガーショベルノーズキャットフィッシュの終了処理なのは間違いないのですが…
ずっと育てている観葉植物です。
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水をやった → |
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| 7月5日(火)の朝 元気がない |
7月6日(水)の朝 元気になった |
水が足りなくなるとぐったりしてきます（写真左）。植木鉢の縁に沿ってぐるりと一回り、500mLのペットボトルで水を注ぎます。一周して少し余るので、それは植木鉢の中央付近に注ぎます。数時間すると元気になります。一日経つととても元気になってくれました。子どものころはこういうこと（植木鉢に水が足りなくて植物が元気がないということ）に気が付くことが出来ませんでした。写真で見ると違いは一目瞭然なのですが、きっと昔の私は興味がなかったのだと思います。
＜おまけのひとこと＞
六角格子の論文の話、とても面白かったのですが、どうやってご紹介したらこの面白さが伝わるかなあと考えて、何回かに分けて話をすることにしたのでした。面白いと思っていただけたでしょうか。
7月7日(木) 凸五角形のタイリングの塗り分け、あやとり
ハドヴィガー=ネルソン問題の話とあやとりの話です。
昨日ご紹介した六角格子の論文の話の中に、実は合同な凸五角形によるタイリングの話も少し出てきます。凸五角形のタイリングの話も娯楽数学の中では面白くて有名なトピックです。凸五角形のタイリングパターンで、自然に6色で塗り分けられるものと言えば…と思ってまず連想したのがこのパターンでした。
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| 図 1 |
これは、こんな風に6色で自然に塗り分けることができます(図2)。
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| 図 2 |
１つの色に注目してみました(図3)。
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| 図 3 |
この、1つの赤い五角形の2点間の距離の最大値が1のとき、赤い五角形どうしで一番近い距離はどのくらいでしょうか？ また、この五角形を変形させたり、色の塗分け方を変えたりして、この「一番近い距離」を延ばすことはできるでしょうか？
合同な凸五角形によるタイリングは現在15種類知られています。（Wolfram の Mathworld の Pentagon Tiling にリンクしておきます。）この15番目が見つかったのはわりと最近なのですが、Ed Pegg,Jr.氏がそれ以前に公開されているThe 14 Different Types of Convex Pentagons that Tile the Plane というページがお気に入りです。ここに公開されている図をローカルに保存して、「塗り絵」をしてみると楽しいのです。
そうやって楽しませていただいているのですが、Type2 のこの図、なんだかちょっとおかしなところがあるのです。（苦情を言いたいわけでは全くありません。）
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| Type 2 : C + E = 180, a = d |
実際に色を塗ってみて、「おかしなところ」に初めて気が付きました。どこがおかしいかわかりますか？
創作あやとりです。よくやる変化なのですが、最後の終了処理だけ変えてみました。
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| hh220707-1 | hh220707-2 |
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手順4.と手順5. を行うことで、左のものは複雑に、右のものは単純になります。ここからもいろいろ発展が考えられそうです。
＜おまけのひとこと＞
今日は七夕の節句ですね。
7月8日(金) 凸五角形のタイリングの塗り分け、あやとり
合同な凸五角形のタイリングの色分けの話とあやとりの話です。
昨日のこの図で、赤い五角形の間の距離は赤い五角形の最大径と比べてどうでしょうか？ という話を書きました。その簡単な説明をします。
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この五角形は下の図1のように、正六角形に正三角形を１つくっつけたかたちをしています。なのでこのタイリングは正三角形を単位とした三角格子の上に載っています（＝すべての五角形の頂点が三角格子の頂点にあります）。
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| 図 1 |
とすると話は簡単で、赤い五角形の最大径、つまり五角形の辺と内側にある点の中で最も離れた2点の距離を a とすると、隣接する五角形との距離は a, b, c の3通りあることがわかります。（ a は三角格子の三角形4つ分の平行四辺形の対角線です。）
この３つの距離 a, b, c を１つの五角形の中に移してみるとこうなります(図2)。
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| 図 2 ： a > b > c |
図1で、3つの距離 a, b, c の大小関係を問う数学の問題を作ったら面白いかな、と思いました。
この考察は、ハドヴィガー=ネルソン問題（距離が１離れている任意の2点の色が必ず異なるように平面を塗り分けるには何色必要か？）の観点で、最大径が1の合同な多角形による周期的なタイリングを6色に塗り分たとき、同色のタイルどうしの距離が1より大きくできるか？ が興味があるところだったのです。残念ながら距離は1 (この場合は a) より大きくなりませんでした。
このパターンは、凸五角形のタイリングパターンのNo.5と呼ばれるものです。もう少し一般的なかたちに変形してみました。
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| 図 3 |
これでもダメです。（距離が1より大きくならない）
昨日のこの図に色を塗ってみたのです。
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| Type 2 : C + E = 180, a = d |
素直に同じ向きの五角形を同じ色で塗ってゆきます。4色の塗り分けになります。
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あれ？
…というわけで1か所四角形が紛れていたのでした。気付かれましたでしょうか？ 図の「？」マークのすぐ上の青い五角形も大きすぎます。この二つの境界線が水平なのが正しかったのです。
今月のはじめにご紹介した「Qの構え」からのあやとりの例です。
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| hh220708-1 |
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もう１つ。
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| hh220708-2 |
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中央に 小さいアムワンギヨ が配置されているのがわかるかと思います。
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| small amwangiyo |
「Qの構え」の中央の輪を普通の1本のあやとりひもだと思ってあやとり作品を作ってみる、というのは面白いかもしれません。他にもいろいろ試せそうです。
確か今週の5日(火)だったと思います。天気が悪い日でした。ふと窓の外を見ると、電線にツバメが並んでいました。
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| つばめ |
カメラでズームして写真を撮ってみました。
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| つばめ |
＜おまけのひとこと＞
このところ複数トピックを書いているので時間がかかります。
7月9日(土) 凸五角形のタイリングの塗り分け(その2)、あやとり
合同な凸五角形のタイリングの色分けの話とあやとりの話です。
凸五角形のタイリングパターンは15種類知られていますが、今日はそのうちの No.9 を3色で塗り分けてみました。
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| 図 1：No.9 |
最初の赤と青の2色を決めると、
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| 図 2a (アニメーションです) |
ここまでは一本道です。
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| 図 2b |
その外側、下の図3a と図3b の2種類の続け方があります。
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| 図 3a | 図 3b |
たとえば、図3a（上左）だったら、こんなふうに順に色が決まってゆきます。
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| 図 4 (アニメーションです) |
説明図は作っていませんが、図3b のほうは逆回りに色がきまってゆきます。一回り外側が決まったところです。
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| 図 5a | 図 5b |
実は、後は全て一意に決まってしまうのです。もう少し範囲を広げてみました。また、タイリングパターンの向きも少し回転しています。
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| 図 5a | 図 5b |
凸五角形のタイリングパターン、面白いです。
今日も「Qの構え」からのあやとりの例です。
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| hh220709-1 |
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説明の文言がちょっと昨日と違っていますが、かなり類似しています。
伝承あやとりです。ナウルのあやとりの「未熟なナッツ」です。
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| sf220709-1 未熟なナッツ |
特に意味はありません。
＜おまけのひとこと＞
午前中に散髪に行ってきました。今度、確か5年に1度の社員証の写真撮影があるのです。気が進みません。
7月10日(日) 凸五角形のタイリングの塗り分け(その3)、あやとり、他
合同な凸五角形のタイリングの色分けの話とあやとりの話です。すみません、また更新が午後になってしまいました。
単一の形状の凸五角形のタイリングパターンは全部で15種類あります。それぞれの塗り分け（辺を共有する２つの五角形は必ず異なる色で塗る）に必要な色は何色だろう？ と思ったのです。
有名な「四色問題」が肯定的に解決されているので、4色あれば十分なのは明らかです。これまでご紹介したものはいずれも3色で塗り分けられるものでした。4色必要になる凸五角形タイリングはあるのだろうか？ というのが今日の疑問です。
一目で3色で塗り分けられるとわかるものはのぞいて、例えば No.11、No.12、No.14 などはどうでしょうか？
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| No.11 | No.12 | No.14 |
これらは3色で塗り分けられるでしょうか。もしそれができない（4色必要）ということであれば、どうやったらそれを示せるでしょうか？
今日のあやとりです。
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| hh220710-1 |
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もうちょっと対称性が高いといいのですが。
最近、メロンシャーベットの5個入りが気に入って常備しています。普通に食べるのではなくて、ラム酒やウィスキーなど強い洋酒をたっぷり入れてカクテルのように楽しんでいます。
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| メロンアイス |
夜のデザートです。
＜おまけのひとこと＞
昨日の午後から今日のお昼にかけて、娘夫婦が遊びに来ていました。さきほど、お昼過ぎに出発してゆきました。酷い渋滞に合わないで済むといいな、無事帰れますように、と思っています。
7月11日(月) 凸五角形のタイリングNo.11の塗り分け、あやとり、他
合同な凸五角形のタイリング No.11 の色分けの話とあやとりの話です。
昨日、合同な凸五角形のタイリングのうち、No.11，No.12, No.14 とかは3色で塗り分けられるでしょうか？ という問いかけをしました。今日はそのうち No.11 の解説です。
No.11 はこんなタイリングパターンです。（定義はいろいろなところで述べられているのでここには書きません。すみません。）
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| No.11 |
これは4色必要です。例えば下の左の図1aをご覧ください。黄色いマスに注目します。
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| 図 1a | 図 1b |
黄色いマスに隣接するマスに、上から時計回りに赤・青・赤・青、と着色してみます。黄色いマスに隣接するマスは５つありますから、最後の5マス目は、赤・黄・青いずれにも接しています。従ってこのマスはどうしても4色目が必要になるのです。隣接する領域を１つずつ巡って戻ってくる巡回路を考えたとき、領域の数が偶数なら2色でいいですが、奇数だったら3色必要になるのです。中央の黄色のマスはこの順路すべてに接しているため、どうしても4色必要になります。
同じNo.11には、7つの領域に接しているマスもあります(図1b)。同様にこのマスの周囲を塗っていっても、巡回路が7なので最後は4色目が必要になります。
ではこのNo.11をきれに塗り分けるとしたらどんなパターンが良いでしょうか？ 「きれいに」というのは、１つの色で塗られたマスのパターンを平行・回転させると別の色のマスに完全に重なることをイメージしています。もう少しマスの数が多い格子を用意してみました(図2)。
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| 図 2 |
一番素朴に4色で均等に塗るとしたらこんな感じかなと思いました。
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| 図 3 |
もっと違った塗り方はできるでしょうか？ 4色は均等に使うこと、隣接するマスは必ず違う色にすること、は最低条件です。
今日のあやとりです。昨日とちょっとだけ似ているかもしれません。
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| hh220711-1 |
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この写真は、出来上がったパターンを真上から見下ろした状態です。画面下側が親指、上側が小指になります。左人差し指（画面左下側）と右薬指（画面右上側）を向こうへ半回転ひねったら、もう少し対称性が上がるかなあなどと思いました。
週末に遊びに来た娘から庭の写真が送られてきました。
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| 庭 |
おそらくスイングパノラマ撮影ですね。ありがとう。
＜おまけのひとこと＞
土曜日は娘夫婦と妻と私で夜は外食しました。私はビール大ジョッキを4杯飲んで、さらに紹興酒とかもいただきました。家に帰ってからさらにワインを1本空けました。さすがに私は飲みすぎでやや二日酔いになりましたが、娘夫婦は二人とも私とおなじくらい飲んでいたのですが、翌日はケロッとしていて、若いってすごいなあと感心しました。
7月12日(火) 凸五角形のタイリングNo.11とNo.12の塗り分け、あやとり
合同な凸五角形のタイリング No.11 と No.12 の色分けの話とあやとりの話です。
凸五角形のタイリングのNo.12です。
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| No.12 |
これは五角形なのですが、周囲の６つの五角形と辺を共有しています(図1a)。6は偶数なので、黄色のタイルに注目すると、その周囲は2色で塗り分けられます。
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| 図 1a | 図 1a |
そのため、全体としても3色で塗り分けられるのです(図1b)。
昨日、No.11（これは4色必要でした）をこんな風に4色で塗り分けてみました。
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| 再掲図 |
これをこんな風に変えてみました。
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| 図 2 |
この塗り分けのほうがちょっと複雑で面白いと思いました。
昨日と似た手順のあやとりです。
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| hh220712-1 |
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手順2.の「左右の人差し指の輪を交換する」をやらないパターンを以前ご紹介していたかなあと思います。(すみません今日は探している時間がないです)
といいつつもう１つ。昨日の、点対称の位置にある指の輪をひねる処理を加えてみたものです。
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| hh220712-2 |
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点対称なあやとりを目指しました。
＜おまけのひとこと＞
朝ごはん、食べすぎました。
7月13日(水) 本日は更新はお休みです
昨日7月12日(火)は出張でした。昨夜遅く帰宅できる予定だったのですが、乗車した中央西線の特急「しなの」が4時間以上遅延し、乗換駅の塩尻に着いたときには接続列車はもちろん無く、駅周辺でホテルも取れなかったため、やむを得ず次の停車駅の松本まで乗り越して、そこでカプセルホテルに泊って2時間ほど仮眠し、今朝自宅に戻ったところです。これから在宅勤務です。
そんなわけで今日は更新はお休みさせていただきます。すみません。
7月14日(木) 凸五角形のタイリングNo.14の塗り分け、あやとり、他
合同な凸五角形のタイリング No.14 の色分けの話とあやとりの話です。
今日は凸五角形のタイリングのNo.14の話です。（偶然ですが、12日にNo.12、14日にNo.14の話を書くことになりました。）
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| No.14 |
このタイリングパターンも合同な凸五角形1種類しか使っていないのですが、周囲5つと接しているもの、周囲の6つと接しているもの、周囲の7つと接しているもの、と3種類の役割があります。いずれも、注目する五角形の周囲の領域は円環状に連なっており、このタイリングパターンの頂点の次数は全て3です。周囲が奇数個になっているものがあるため、このパターンも4色必要です。
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| 図 1 |
これを均等に4色で塗り分けるとどうなるでしょうか。もうちょっと広い格子パターンの図を用意しました(図2)。
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| 図 2 |
まず、同じ向きのタイルを同じ色で塗ってみることにしました。6色必要です(図3)。
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| 図 3 |
こんな風に4色で塗り分けてみました(図4)。
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| 図 4 |
ちょっと気に入らないです。もう少し手を加えることにしました。
あやとりです。一昨日にご紹介したのと似たものをいくつか取ってみています。これを取ってみようという方はあまりいらっしゃらないかなと思うので、今回は手順は詳しく書かないことにします。
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| hh220712-2(再掲) |
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| hh220714-1 |
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| hh220714-2 |
手順をちょっと変えてみて、そこから出来上がりがどう変わるか想像してみて、実際にやって確かめてみて、という作業をしていると楽しいです。（手元には手順は記録してあります。）一番目（再掲図）と三番目はよく似ています。整え方を同じにするともっと似ていると思います。
一昨日(7/12)、大阪大学の豊中キャンパスに行ったのですが、モノレールの柴原阪大前駅から門に向かって歩いていたら階段が見えました。モノレールの点検やメンテナンス用の階段のようでした。
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| 図 5a |
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| 図 5b |
まっすぐな鉄砲階段ではなく、途中で微妙に角度が変わっているところがいいです。途中の踊り場にゲートが設けられていて、おそらく施錠されていて、関係者以外は入れないようになっていると思われます。何より、この階段には途中に支柱が一切ないのがとても面白いです。そんなに重たいものをこの階段で荷上げすることは考えていないのでしょうけれども、折れ曲がった階段なのに、この高さで支柱無しというのはすごいなあと思いました。
＜おまけのひとこと＞
12日の朝は大阪は猛烈な雨でした。出張先の雨というのはいろいろ不便です。でもそれは今回の大変な出張の中ではまだ序の口でした。
7月15日(金) 凸五角形のタイリングNo.14の塗り分け(その2)、あやとり、ホテル
合同な凸五角形のタイリング No.14 の色分けの話のつづきです。
凸五角形のタイリングの No.14、昨日はこんな4色の塗分けをご紹介しました。
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| No.14 の4色の塗り分け 1 |
これをこう変えてみました。
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| 図 1 : No.14 の4色の塗り分け 2 |
どこが違うかよくわからないかもしれませんが、こうするとそれぞれの色の領域は平行移動だけで完全に重なるのです。透過gif画像にして実験してみました。上の図1を、各色の領域の画像4枚に分けます(図2)。 (以下の図はすべてクリックすると拡大します。)
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| 図 2 |
図1では赤と青、黄色と緑が縞模様に隣接する構造になっていましたが、4枚の透過gif画像の位置関係を変えて、その組み合わせを変えてみることができました(図3)。
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| 図 3 |
さらにその二組を重ねると、こんな風に色の配置を変えることができました(図4)。
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| 図 4 |
逆に、この４つの透過gif画像が同じ繰り返しパターンになっていることを示すためにこんな風に重ねてみました(図5)。
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| 図 5 |
平行移動だけで重なるように4色で等価に塗り分けられるというのが面白いと思いました。
あやとりのちょっとした変更の試みです。ケルトのタペストリーの交差を絡みにしてみました。
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| hh220715-1 |
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折り返しの5本指の構え1は私が勝手にそう呼んでいるだけですが、5本指の構えのうち、親指と人差し指の間の交差、薬指と小指の間の交差が絡み（折り返し）になっています。さらに中指を交換すると４つの交差がすべて折り返し（絡み）になります。こちらは私は勝手に「折り返しの5本指の構え2」と呼んでいます。
ケルトのタペストリーは好きなあやとり作品で、1年半前に飾ったこのパネルは相変わらず飾ったままです。
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| "Celtic Tapestry" by Joseph Ornstein |
11日(月) は新大阪駅付近のビジネスホテルに宿泊しました。シングルの部屋を予約していたのですが、月曜日ですいていたせいでしょうか、チェックインの際に無料でデラックスツインにアップグレードできますと言われたのでお願いすることにしました。チェックインを済ませてエレベータで部屋のあるフロアに上がり、部屋に入ってびっくりしました。浴室にも窓があるのです。
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| 写真 1 |
室内の灯りを点けてみました。
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| 写真 2 |
窓から在来線の車両基地や新幹線車両の点検保守用の車庫がよく見えました。エレベータホールからは新大阪駅がよく見えました(写真3)。
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| 写真 3 |
たまにはこんなところに泊るのも楽しいなと思いました。
＜おまけのひとこと＞
今日の4色の塗り分けの話、動画にするともっとわかりやすいし面白いだろうなと思ったのです。でも大変なので静止画像だけの説明になりました。