以前の「ひとこと」　：　2017年3月後半

3月16日(木)　幾何学デザイン：折り紙建築の手法で作ってみた

　先日ご紹介した幾何学デザインの「折り紙建築風」の図を見ていたら、実際に作ってみたくなったので作ってみました。

図 1

　型紙を作って、A4の用紙に印刷して、折り線を入れてカットして折り曲げて作ります。同じ大きさの用紙を台紙として置いています。接着剤が行方不明になってしまったので、まだ貼っていません。妻の新しい椅子の上に置いて写真を撮らせてもらいました(図1)。

図 2

　影ができる向きに置いてみました(図2)。影がかっこいいと思います。型紙の線の濃さや太さがくっきりしすぎています。

図 3

　横向きにしてみました(図3)。もともとが三次元の３方向に等価な形状なので、見える「かたち」は同じはずですが、この向きにしても面白いなあと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　3月も後半になりました。久しぶりに平日、3月17日(金)の朝に２日分(3/16と3/17)更新しています。
　3月16日は現在の住まいに引っ越してきた記念日です。まる19年になりました。

3月17日(金)　折り紙建築の型紙とクロスバックの椅子

　昨日のモデルの型紙を載せておきます。

図 1

　折る線と切る線を区別せずに図にしていますが、図の横線はすべて切る線、縦線は折り線です。山折・谷折が交互になります。両端は谷折です。

○

　昨日の図1でほんの少し椅子の背もたれの部分が写真に写っていました。が、あれだけを見て「椅子の背もたれ」だとはわからないと思います。

　先日、リビングに置く椅子を一脚だけ買いました。

図 2		図 3

　私はこたつが好きで「床に転がる派」なので、椅子に座ることはほとんどないのですが、妻は椅子が好きでよく座っています。

＜おまけのひとこと＞
　本日3月17日(金)は家事都合でお休みをいただいています。

3月18日(土)　三角格子を塗り分ける(その1)

　先日、下の図を掲載して、「この青の部分の割合は全体に対してどのくらいでしょう？」という問題を出しました。

再掲図

　無限に続くパターンの比率を考える、というのは、化学の結晶格子で高校で習いました。いろいろな説明ができますが、ここでは図1の赤い三角形ように、一回り大きな三角形の格子がある、と考えてみるとわかりやすいです。

図 1

　全ての青い三角形の周りに白い三角形が３つずつあります。なので、この青いパターンの比率は「全体の四分の一」です。

○

　というわけで、三角格子を４色で塗り分けてみました(図2、図3)。

図 2

図 3

　この２つ、何が違うのでしょうか？　同じ格子を同じ４色で塗っています。どの色の三角形も互いに辺で接していません。また、どちらのパターンもすべての色の比率は等しく四分の一です。では何が違うのでしょうか？

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　この連休は久しぶりに毎日更新してみようかなあと思っています。でも、連休だと私のサイトのアクセスは平日よりもさらに減るのですが。

3月19日(日)　三角格子を塗り分ける(その2)

　さて、昨日の２つの４色パターン、途中まで塗った図で比較してみます。

再掲図1	再掲図2
図1	図2

　わかりますか？

図 3

　図1のほうは、正三角形６枚の六角形に注目すると、必ず２個ずつ３色の六角形しかなく、４色を含む六角形はありません。また、正三角形４個が一列に連なった、正四面体の展開図のかたちの細長い平行四辺形に注目すると、水平やナナメのどんな並びの平行四辺形であっても必ず４色１つずつになっています。

　一方、図2のほうはどの六角形に注目しても必ず４色を含みます。また、細長い平行四辺形は水平方向は４色ですが、ナナメのものは４色ではないものもあります。

　なので、対称性は図1のほうが高いです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　今日明日のどちらかでお墓参りに行こうと思います。天気はどちらも穏やかそうです。

3月20日(月)　三角格子を塗り分ける(その3)

　三角格子を塗り分ける話の続きです。図1、図2、図3のパターンを考えてみました。それぞれ、全体の何分の一でしょうか？（何色で塗り分けるパターンになるでしょうか？）

図 1

図 2

図 3

　実際にパソコンで塗ってみると、いろいろな気付きがあって面白いのです。

(つづく)

○

　ストックしてあった「ゴミ箱のインナー」がなくなったので、新聞一日分（＝10枚）を折りました。

図 4

　昨年の10月5日のひとことで簡単な折り図を載せていますが、うちのゴミ箱に合わせてそれよりも細長く折っています。

○

　連休前半は妻が実家に行っていました。駅まで送った時に駐車場で小鳥が二羽追いかけっこしていました。

図 5

　3月4日改正のJRの時刻表、最寄り駅の時刻のわかるポスターを配布していたので１枚もらってきました。

＜おまけのひとこと＞
　連休も今日で終わりです。このお休みはいろいろ新しい創作をしたりしました。当面このページのネタには困らなそうです。

3月21日(火)　このかたちは何でしょう？

　お彼岸の連休中は思い立って久々に毎朝このページを更新していました。でも今日からは週末のまとめての更新のペースに戻ります。

○

　先日、ふと思いついてこんなCGを作りました。

図 1		図 2

　図1は稜線だけのモデル、図2は面を張ったモデルです。同じかたちです。これ、どんなかたちだと思いますか？

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　3月20日(月)の夕方に、3/21〜3/24の平日４日分の更新の仕込みをしています。明日3/21の朝にサーバに転送する予定です。

3月22日(水)　お墓参りの話

　今日はごくごくプライベートな話です。お彼岸に、いつもの自分の家のお墓に加えて、母方の祖父のお墓と祖母のお墓にお参りをしました。

図 1		図 2

　図1,図2は祖父のお墓です。この写真のサイズだとほとんど読み取れませんが、「昭和十九年七月三十日没」「享年三十八歳」と刻まれています。祖父は私が生まれる二十年以上前、太平洋戦争のさなかに病没しました。母がまだ六歳の時だったそうです。

図 3

　図3に長野県の地図を載せます。（県境を緑色でなぞってみました。)　県の東、上田市から群馬県に抜ける「鳥居峠」という峠があります。そのあたりを赤い四角で囲ってみました。

図 4

　図3の赤い四角のあたりを拡大したのが図4の地図です。ちょうど地名が３つだけ載っています。東（地図の右）から「鳥居峠」「渋沢(しぶさわ)」「大日向(おおひなた)」です。いずれも全国によくある地名だと思います。地図には赤い道路が描かれていますが、左下が上田市に至る道、左上が菅平（人が住んでいるところでは本州で一番低い気温が計測されたりするところです）に至る道、右が群馬県です。左上に菅平ダムのダム湖が見えています。

　私の祖父母と幼少時の母は、この「渋沢」の集落に暮らしていたそうで、祖父のお墓もそこにありました。鳥居峠は、十年前に亡くなった私の父が健在だったころ、山菜取りやキノコ採りによく行っていたところで、この道も子供の頃から車で何度通ったかわかりませんが、ここに母方の祖父のお墓があるということを、自分が五十歳を過ぎて初めて知りました。

　余談ですが、母は「渋沢」を先頭の「し」だけ高く後の「ぶさわ」が低いイントネーションで発音します。ちょうど「しいたけ」と同じイントネーションです。「渋沢」という人名や地名は、普通は「あけぼの」と同じく先頭だけ低くて後は高いイントネーションで発音するように思います。私は昔から馴染んでいるのですが、妻は少し珍しがっていました。

　祖母が亡くなったのが昭和四十七年ですから、もう45年前になります。母も長いことこのお墓に来たことがなかったそうで、今回はお参りができてよかったと思いました。

　母が通っていた小学校は大日向の分教場だったそうで、最初は渋沢から歩いて通っていたそうです。だいたい4kmくらい距離があって、同じ集落の子供たちがみんなで一緒に登下校していて、いろいろ寄り道や道草をしながら通っていたそうです。アケビやグミ、桑の実なんかを取って食べたりしたそうです。特に帰りは２時間くらいかけて帰っていたそうです。

図 5

　調べてみると徒歩48分と出ました。（ちなみに図3と図4は国土地理院の地図で、図5はgoogle mapです。国土地理院の地図のほうがはるかに好みです。本当はもっと拡大した地図を載せたかったのですが、サイズが大きくなってしまうので断念しました。)

　祖母は明治の生まれで、一男四女の兄弟の三女だったのですが、四姉妹とも松本の女子師範学校を卒業して先生をしていました。祖父が亡くなって数か月後の翌年度から大日向の分教場に赴任して、定年退職するまでずっとそこで先生をしていたそうです。そのタイミングで祖母と母は渋沢を出て大日向に住むことになり、以降、母が東京の大学に行っていた期間を除いて、母が父と結婚するまで、ずっと大日向に住んでいたのだそうです。

　母が高校生のころは、大日向からバスで15分で真田に出て、そこから当時の上田電鉄真田線で40分かけて上田市内の高校に通っていたそうです。大学のころは上田駅から急行列車で上野まで6時間かかったそうで、「移動は一日がかり」だったとのこと。今や上田から上野までは新幹線で70分くらいです。

　今回初めてそういった話をいろいろ母から聞くことができました。今ではほとんど行き来がなくなってしまいましたが、私が幼いころ、まだ祖母が健在だったころは真田町の長(おさ)地区や大日向地区、渋沢地区に母や祖母に連れられてご挨拶に行ったことなどを記憶しています。今更ながら昔の祖父母の苦労を知ることができました。

＜おまけのひとこと＞
　歳を取ると自分のルーツや歴史に興味が出てくると言いますが、まさに自分もそうなってきています。「今日のひとこと」は、自分のためだけに書いているようなものですが、将来自分の子供たちがここを見ることがあるかもしれないなあ、(でもないかもしれないなあ)と思っています。

3月23日(木)　正三角形を「尖らせた」かたち

　通常の話題に戻ります。2003年2月に、こんなモデルをご紹介したことがありました。

　（昔は画像が小さいです。）これは、図1のように、通常の正三角形(赤線)の各辺の中点を中心に同じだけ近づけて、凸でない六角形を作って、それを組んだものでした。

図 1

　同じことを正四面体でやってみようと思ったのです。考え方として、面の中心をくぼませるやり方と、稜の中点を動かすやり方があるなあと思いました。面の中心をくぼませると、各面は３枚の鈍角二等辺三角形になります。これは計算は簡単ですが、面白味がないかなあと思って、稜の中点を動かすことを考えてみました。

　そうすると各面は凧形になるはずです。CGを作ったり、あわよくば紙で模型を作ってみるために、凧形の寸法を計算してみることにしました。最近物忘れの激しい私は、将来の自分のためにメモをそのまま図にしておくことにしました。画像のサイズが大きくてすみません。

図 2

　適当に図を描くとわかりにくいなあと思ってCGにしてみましたが、やっぱりあんまりわかりやすくないです(図3)。

　

図 3

　図2のように座標系を設定して、図4のように計算しました。

図 4

　どうやら計算できました。計算が正しいか、PovRayのpolygonオブジェクトで面を張ってみて確かめてみました(図5)。

図 5

　指定した4点が同一平面上にないと、polygonオブジェクトは生成されません。ちゃんと白い面が張られているところを見ると、計算は正しいようです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　2017年度は9月の23日、24日にリスーピアのワークショップを担当させていただくことになりました。予算の関係で新しい教材は難しいかも、と言われているのですが、何か新しいものを用意したいなあと考えています。

3月24日(金)正四面体を「尖らせた」かたち(その1)

　さて、パラメータで表現できたので、尖り具合をいろいろ変えたCGを作ってみました。

図 1		図 2

　合同な凧形が十二枚の凧形十二面体です。なんとなくテトラポッドみたいで面白いです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　これ、模型を作ってみたくなりました。それについてはまた後日。　

3月25日(土)　正四面体を「尖らせた」かたち(その2)

　このかたち、気に入ったので模型を作ってみることにしました。まずはこのくらい(図1)尖らせたかたちを作ってみることにします。

図 1

　正四面体の稜を、中心に対してどれだけ「ひっこめる」か、というパラメータは0.5にしました。パーツは図2のように設計しました。これを４枚用意して組みます。

図 2

　両端の面が展開図上で一部重なってしまいましたが、これは模型の内部に折り込まれる部分なので気にしないことにします。

　パーツを印刷して切り出して(図3)、

図 3

　折り曲げます(図4)。今回は凸多面体ではないので全てが山折ではなく、長い稜は山折、短い稜は谷折しています。

図 4

　これを組み立てました(図5、図6)。

図 5		図 6

　実物を作るとやっぱり楽しいです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　お彼岸が過ぎたのに雪が降ったりして寒いです。

3月26日(日)　正四面体を「尖らせた」かたち(その3)

　昨日に続いて、正四面体を尖らせたかたちの別バージョンを作りました。図の構成は昨日とすべて同じです。図のサイズもほぼ同じにしてあります。（図2だけはタテヨコの比率が違うので違う画素数です。）

　最初に、目標のかたちのCGです(図1)。昨日のものより少し太らせました。

図 1

　昨日のパラメータは0.5でしたが、今日の模型は0.75です。ちなみにこの数値が1だと正四面体そのものになります。ゼロだと面と体積が失われて、中心から４頂点を結ぶ４本の稜だけになります。

　パーツはこんな設計になりました(図2)。これはパーツは自分自身と重なりません。

図 2

　パラメータが0.5だとパーツが自分自身と重なってしまい、0.75だと離れる、ということは、この間に「ちょうどぴったり円環状にパーツが閉じる」パラメータがあるはずです。考えてみようと思いました。

　パーツを印刷して切り出して(図3)、

図 3

　折り曲げます(図4)。昨日と同様全てが山折ではなく、長い稜は山折、短い稜は谷折です。この写真だけみると昨日の写真とどっちがどっちだかわかりません。

図 4

　組み立てた写真です(図5、図6)。

図 5		図 6

　これもかっこいいなあと思いました。自己満足です。

(つづく)

○

　昨日25日(土)は寒かったのですが天気は悪くなかったので、昨年枯れてしまった庭のライラックの木を伐採して枝を短く切って清掃センターに持ち込みました。枯れてしまった幹には黒っぽいうろこのようなキノコがぎっしり生えてしまって見た目がとても悪くなっていたのです。（写真は撮りませんでした。）

　今朝(26日(日)の朝です)起きてみたら、雪が5cmほど積もっていました。昨日庭作業をやっておいてよかったです。

図 7

　昨日は庭に穴を掘って、昨年の枯葉や落果などを埋めたのですが、そのときの道具が錆びないようにと思って泥を洗い流してフェンスに寄りかけて乾かしておいたのですが、それをしまうのを忘れていました。さっき見たら雪をかぶっていました。失敗。

○

　ブラウザの中で数式を表示したいと思うことがよくあります。通常のhtmlの書式で、フォントを修飾して太字(ボールド)にしたり、斜体(イタリック)にしたり、上付きや下付き文字にしたりとかすることもあるのですが、大変面倒です。(私はhtmlをテキストエディタでダイレクトに入力しています。)

　よそ様のサイトではどうしているのかなあと思って少し調べてみると、MathJaxというのが使われていることが多いようです。そこで、こんなページを作ってとりあえず実験してみることにしました。

＜おまけのひとこと＞
　今日が日曜日でよかったです。この季節なので雪かきはしなくても融けるでしょう。

3月27日(月)　三角格子を塗り分ける(その4)

　今週前半の更新では、3月20日(月)にご紹介した３つのパターンを一つずつ簡単に解説してゆきます。

再掲図 1

　このパターンは全体の５分の１になっています。なので、同じパターンを色を変えてずらして重ねると、ちょうど５色で塗り分けることができます(図1)。

図 1

　それぞれの色に注目すると、再掲図と同じく「蝶ネクタイ」のようなかたちがずっと並んでいるのがわかると思います。この塗り方だと、画面上の任意の正六角形を考えると、必ず同色の「蝶ネクタイ」が１つだけ入っていて、残りの４カ所はすべて違う色になっています。

　図1とほとんど同じ発想で作ったのが図2です。これは三角格子ではなく、菱形格子になっていますが。

図 2

　これ、正方格子だと考えると、同色のマスどうしはすべて「桂馬」の位置関係になっています。

図 3

　この5色の塗り分けも面白いと思うのですがいかがでしょうか。

(つづく)

○

　日経ビジネスオンラインのナウル、世界一の贅沢に溺れた国の結末が面白かったのです。先日のサウジアラビアのサルマン国王の来日の話から、歴史を紐解いて「働かなくても贅沢な暮らしができるというのはいかに恐ろしいことか」を語っています。「不労所得による繁栄は、地獄への入り口」というサブタイトルが端的に内容を表しています。

＜おまけのひとこと＞
　3月27日(月)の早朝に、3/27〜3/29の３日分の更新をしています。今週はうまくいけば3/30に週後半の２日分の更新ができるかなあと思っています。
　今朝は高速道路がチェーン規制をしています。早く行かないと混雑しそうです。

3月28日(火)　三角格子を塗り分ける(その5)

　3月20日にご紹介したパターンの２つ目、これはわかりやすいと思います。

再掲図 2

　再掲図2で、どこでもよいので正三角形６枚ずつの六角格子（ハチの巣：ハニカムパターン）を考えてみてください。その六角形の同じ位置に青い三角があるはずです。これは全体の６分の１になります。

図 1		図 2

　図1、図2で２色目、３色目を追加しました。これで上向きの三角はすべて塗りました。図1は、大きな下向きの白い三角形のパターンが面白いです。サイズが二種類の正三角形によるタイリングになっています。

図 3		図 4

　もう３色を足して６色に塗り分けました。図の任意の六角形がちょうど６色で塗り分けられています。追加する３色を、淡色系(図3)と濃色系(図4)にしてみました。繰り返しパターンに色を塗ってゆく作業は単純に楽しいです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　3/26の日曜日は妻がカキフライを食べたいと言うので昼食は外食に行きました。

3月29日(水)　三角格子を塗り分ける(その6)

　三角格子の塗り分けの話の続きです。

再掲図 3

　５色、６色の例をご紹介しましたが、これは７色になります。

図 1

　この７色の塗り分け、ちょっと気に入っています。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　今週、来週と週末に会社の飲み会が続きます。年度の変わり目で人の異動があるためです。

3月30日(木)　正方格子の中の正方形(その1)

　先日ご紹介した、正方格子を５色で塗り分けるパターンが面白かったので、ちょっと考えてみました。

図 1

　この、各色が桂馬の位置関係になっているパターンが全体の５分の１だということを示すにはどうするとわかりやすいでしょうか？　皆さんならどのように説明しますか？

　一応ちょっと間を空けます。

　こんな風に盤面を切り分けてみると、黒いナナメの正方形の１辺の長さは、三平方の定理から√5だということがわかると思います。

図 2

　なので、青い正方形は全体の５分の１になっているのが直感的に理解できると思います。

　図3のような、正方形を５つつなげた十字型をいくつかに切り分けて並べ替えて正方形を作れ、という裁ち合わせパズルがあります。それを連想しました。

図 3

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　3月30日(木)の朝に、30日、31日の２日分の更新をしています。
　昨夜寝ている間に掛け布団がどこかにいってしまって（もちろん寝ている間に私が寝返りをしたりして意識せずにはね飛ばしたのです）、夜中に寒くて目が覚めました。すっかり風邪をひいてしまいました。失敗。

3月31日(金)　正方格子の中の正方形(その2)

　昨日の５分の１のマスに色を塗る塗り方では、塗られた正方形の中心を結ぶとナナメの大きな正方形になっていました。同様に、着色されたマスを結ぶと大きな正方形になっているという例について考えてみました。大きな正方形のタテヨコがもともとの格子とそろっている例は簡単で面白くないので、ナナメになっているものに注目することにしました。

　手作業で塗っていると面倒ですし間違いやすいので、パラメータを指定して自動で絵を描くようにしてみました。そうして作った図をいくつかご紹介します。

図 1		図 2
図 3		図 4
図 5		図 6
図 7		図 8

　それぞれ全体の何分の１になっているかわかりますか？

　ちなみにこれらの図はpovrayで描いています。もうちょっと三次元的な透視図のような図にしようかなとも思ったのですが、まずは普通に二次元的な図にしてみました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　明日から4月、新年度です。(これを書いているのは実は3月30日の朝ですが。) 2017年度はどんな年になるのかなあと思っています。