以前の「ひとこと」　：　2005年10月後半

10月16日(日)　干渉縞模様

　先日、とあるショッピング街を歩いていたら、こんな場所を見かけました。

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図 1		図 2

　干渉縞模様が面白くて、つい写真を撮ってしまいました。ちゃんと考えてから紹介しようと思っていたのですが、このところとても忙しくてネタを仕込む時間がないので、写真だけ公開してしまいます。解説は、時間ができたときに（必要なら）考えたいと思います。

＜おまけのひとこと＞
　ペーパーモデルや折り紙の多面体を大量に作って紹介されているMrtn Directory というページを知りました。　布施知子さんの折り紙をこんなにたくさん作っておられて、とても感心しました。（私は面倒でなかなかこんなにたくさんは作れません。）　ここ「あそびをせんとや」についても何箇所かでコメントくださって、本当にありがとうございました。

10月17日(月)　コレルリのコンチェルト・グロッソ No.8

　今度の土曜日にコンサートをするのですが、そのときにご一緒するグループの方から、「コンサート終了後の打ち上げの交流会で、皆さんで演奏できるものを考えてみました」というメールをいただきました。

図 1

　コレルリの合奏協奏曲の8番で、「クリスマス協奏曲」と呼ばれるものです。本来は、独奏パートがヴァイオリン2本とチェロ1本、それに第1第2ヴァイオリン・ヴィオラ・バスの弦楽合奏と鍵盤が入る構成なのですが、こちらの楽器編成を考慮してくださって、独奏ヴァイオリン2本のパートをリコーダー用に編曲していただいてありました。私は鍵盤を担当させていただく予定ですが、とても楽しみです。もちろん人様に聴いていただくものではないですから、練習する時間などとれるはずもないので、ぶっつけ本番になるのですが、昨年のバッハのブランデンブルグ協奏曲（これは昨年のコンサートの後の打ち上げで、いきなり楽譜を渡されてやりました）と比べれば、まだなんとかなりそうかな、と思います。

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　家の庭のヤマボウシが、ずいぶん前から真っ赤に紅葉しています。すでに葉が散り始めました。

図 2

＜おまけのひとこと＞
　コンサートの曲目紹介、あとは私だけが出していないので大至急下さい、という連絡をもらってしまって、昨夜あわてて送りました。　ご迷惑をおかけしました。

10月18日(火)　手まりの多面体

　先週末の金曜日のひとことで、郵便局からもらった年賀はがきの申込書に載っていた手まりの写真をご紹介して、「これはどんな多面体の構造でしょう？」という話を書きました。（この多面体の対称性に関してメールもいただいています。ありがとうございます。）　この手まりがどうやって作られたのか、想像ですがちょっと解説してみます。

再掲図

　赤い細い糸のほうが目立つかたちですが、このパターンをどうやって作ったかを知る手がかりになるのは、その下に幅広く巻かれている金色のたくさんの糸のパターンです。このかたちに注目してみましょう。

図 1

　この金色の糸のパターンは、球面上にいくつかの大円（球をまっぷたつにする円で、球面上に描ける最大の円です）を描いています。図1はそのパターンをシンプルに表してみました。さて、この図には大円はいくつあるでしょう？

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　まず、このパターンの基本になるのは、球面上の、互いに直交する３つの平面に乗った大円です(図2)。

図 2

　これは正八面体の骨格と同じ構造です。

正八面体

　図2のそれぞれの大円には交点がありますが、その交点では２つの大円は直角に交わっています。そこで、その交点と球の中心を通る直径を軸として、この２つの大円を45度回転させたものを新たに付け加えて見ましょう。その結果が図3になります。

図 3

　３つの軸それぞれに対して回転させたものを、赤・黄・緑で表してみました。ご覧の通り、全部で９つの大円があることになります。これを全部白にしたのが上の図1でした。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　明後日の19日の4歳の息子さんの誕生日に「ボヨンゴロ」を買いたいのだが、オーストリアかドイツで買えるところを知りませんか、という問い合わせをオーストリアの方からいただきました。お急ぎのようなので、あわててお返事を書きました。公式ページをご紹介するくらいしかできませんでした。

10月19日(水)　手まりの多面体(その2)

　年賀はがきの申込書に載っていた手まりの写真の多面体のかたちの説明の2回目です。この手まりのかたちを作るには、9つの大円をまず考えるところからはじめるとわかりやすい、というところまで説明しました。

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再掲図		図 1

　再掲図は、九つの大円によって、球面が48個の同じ形の三角形の領域に分けられている様子です。図1は、それを直線で結んで多面体にしたところです。この、図1の多面体は、六方八面体 (hexakis octahedron)というかたちです。この多面体は、鏡像面はありますが全て合同な三角形48枚から成る多面体です。名前の由来は、次数６の頂点（6つの稜が集まる頂点）に集まる6面を、１つの大きな正三角形だとみなすと、その大きな正三角形8枚が、ちょうど正八面体の構造になっていることに由来します。

　この多面体は、同じように次数８の頂点に集まる8枚を1組と考れば、八方六面体と呼んでもいいはずです。（もちろん名前はユニークにつけるべきなので、こんな呼び方はしてはいけませんが。）　また、ちょっと無理がありますが次数４の頂点に集まる4枚を1組と考えれば四方菱形十二面体と呼んでもいいように思いますし、さらに無理がありますが、この多面体の単位面である三角形の３辺のうちの一番長い辺で接している三角形どうしを2枚1組にすると、これは二方凧型二十四面体と呼べないこともないかなと思います。

　さて、この六方八面体の48の面それぞれの中心に新しく頂点を設け、もともとの頂点とつないでみましょう。そうすると、これまでの三角形の面がそれぞれ３つの小三角形の面になるので、面の数は3倍になります(図2)。

　そして、今までの稜（白い線）が消えるように、言い換えると今までの稜をはさんだ反対側の小三角形と同一な面に乗るように、新しく加えた頂点の高さを調節します。すると、今まで稜だったところが四辺形の面になる、という多面体の変形を施す操作になります(図3)。　ちなみにこれは以前ご紹介した Conway の多面体オペレータでいうところの joinオペレータの操作になります。

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図 2		図 3

　これが、めざす「手まりの多面体」です。面の数は72、稜は144、頂点は74、あります。

＜おまけのひとこと＞
　10月13日の＜おまけのひとこと＞で、「はたらきもののじょせつしゃけいてぃー」という絵本の英語版のタイトルが"K.T."だったのには驚いたということを書いたのですが、間違っていました。"Katy" でした。きちんと確認をとらずに書いてしまってすみませんでした。　ご指摘ありがとうございました。どうしてこんな勘違いをしていたのか、わかりません。


(2005.11.28. 加筆)
　この「誤解」の原因がわかりました。05年11月28日のひとことをご覧下さい。

10月20日(木)　リトルスパロー

　楽しい紙ヒコーキひろば浜松というサイトの、リトルスパローという紙飛行機のページを知ったので、先日のお休みの日に１機作ってみました。印刷を始めてから1機出来上がるまで、ものの5分もかかりません。

図 1：全体の写真

図 2：飛行機

　うまく飛ばすのには調整が必要です。でも、おもしろいです。

＜おまけのひとこと＞
　朝夕がだいぶ肌寒くなってきました。

10月21日(金)　楽譜のダウンロードサイト

　このところ本業のほうが忙しくて、毎日帰りが遅いのですが、楽譜を無料で入手できるサイトの紹介というページを知って、昨夜はつい遅くまでいろいろなページを見に行ってしまいました。　そのため今朝はいつもの更新はお休みになってしまいました。すみません。　（明日は本番なので、少しでも鍵盤をさらっておきたいのです。直前の付け焼刃のような気もしないではないのですが…。）

＜おまけのひとこと＞
　明日は楽器を運ぶので、天気が心配です。（会場の温度も心配ですし、調律も心配ですし、自分の演奏も心配ですし…）
　濱中さんのページの現在の表紙の正十二面体、とても美しいですね。感動的です。

10月22日(土)　コンサート

　10月22日(土)の午後のコンサート、どうにか無事に終わりました。

　こんな会場でした。写真は子供たちが撮ってくれたものの一枚で、最後のアンコールの曲の時の写真です。今回は出演者が9名だったのですが、この写真のアンコールのときだけ、唯一ステージの上には出演者の半分以上の5名がのりました。

　お客様は30名弱くらいのささやかなコンサートでしたが、成功だった、と言ってよいかと思います。ありがとうございました。

＜おまけのひとこと＞
　雨が降らなくて、曇っていたので、車に載せたりおろしたりするときにぬれませんでしたし、移動中に楽器に日が当たることもなく、とてもよかったです。ただ、会場に着いたときにはホールの気温が12度くらいで、開場直前まで調律をして、20分ほど置いておいて演奏を始めたら、人が入って温度や湿度が変化したためだと思うのですが、音が狂っていました。コンサートでの調律の難しさを感じました。

10月23日(日)　病院

　このところ毎週、病院に通っています。本当はもっと頻繁に行きたいのですが、週にたった一日だけです。

図 1

　古くから湯治でにぎわう温泉郷にある病院で、まわりにはホテルや旅館があります。

図 2

　深い谷川を隔てて、文殊堂と薬師堂があります。いつも帰りには薬師堂にお参りしていきます。図1の写真は今日(23日の日曜日に)撮ったものですが、図2の薬師堂の写真は先々週だったかに撮ったものです。千羽鶴がたくさんかけてあります。病気が治るようにという祈願でしょうか、それとも完治した御礼の奉納でしょうか。

＜おまけのひとこと＞
　山々はもう冬の訪れを思わせる寒さでした。

10月24日(月)　計算

　昨日、病院に行って話をしていた話題の１つです。下の掛け算、続きはどうなるでしょう。　暗算で簡単に計算できますか。　どんな規則性があるでしょう。

15×15＝ 225 25×25＝ 625 35×35＝1225 45×45＝2025 　・ 　・ 　・

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　この計算の話を教わったのは小学生のころだったと思います。

10月25日(火)　材積

　材積(ざいせき)という言葉をきいたことは、あるいは目にしたありますか？　これは、辞書を引くと「木材や石材の体積」と説明されています。体積ですから、もちろんメートル法では立方メートル＝立米(りゅうべい)が使われます。でも、昔の尺貫法では、石(こく)という単位が使われていました。今でも材木は、在来工法ではこの単位を使っているのではないかと思います。石材に関しては私はまったく不案内で何も知らないのですが、そもそも石(こく)というのは石(いし)という字を使っているわけで、もともとは石(いし)の大きさを言う単位だったのでしょうか。（いい加減なことを書いています）

　現代の私たちの生活では、限られた職種の方以外は日常的に石(こく)という単位を使うことはないと思います。石高と言うとお米の量の単位としてのほうが有名だと思いますが、木材の体積を石(こく)で求める場合は、１尺×１尺×１０尺(とおしゃく)＝１０立方尺を材積１石とします。　お米の１石と材木の１石では違った体積になります。お米のほうは容積の単位で、一合、一升、一斗、一石と桁が上がっていきます。（一合はコップの大きさ、一升はビンの大きさ、一斗はカンの大きさ、です。）お米の場合は１石はだいたい180リットルくらいになるかと思うのですが、材積の１石のほうは、１尺はだいたい30cmですから、30×30×300＝270000立法センチメートルになって、だいたい270リットルくらいということになるでしょうか。1.5倍も違いますね。

　千石船の千石というのは、和船の積載量を示しているのですが、ちょっとwebで調べてみると、米の千石の重量を載せられる積載量という説明と、１０立方尺の材積１石の千石分の容積だという説明と、両方がみつかりました。どっちが正しいのかわかりません。

　さて、なぜこのような話を書き始めたかというと、昨日、15×15、25×25、35×35…、という一の位が5になっている数字の二乗の計算について紹介した、その理由を説明するためなのです。

　在来工法では、たとえば柱の太さが10.5cm角といった材料をよく使います。（今は12cm角が多いのでしょうか。昔は9cm角もよく見たような気もします。）この10.5cmというのが三寸五分という長さです。この柱の断面積が 35×35 ということになるのです。　実際に使われる寸法としては五分（一寸の半分）刻みの数値の場合がほとんどですから、一寸、一寸五分、二寸、二寸五分、三寸(さんずん)、三寸五分…という数値がよく出てきます。在来工法で用いられる構造材では断面が正方形のものが使われることが多いので、使われる材木の体積を計算する際、結果的に10×10、15×15、20×20、25×25、30×30、35×35…というのがよく出てくることになります。一寸角とか二寸角のようなものは簡単な九九で答えがわかるので、計算方法として知っていると便利なのが、一の位が５の数字の二乗ということになります。

　日曜日に訪れた病院で、昔話をするついでに、私が子供のころにこの計算について教わったこと、中学に進んで(10n+5)の二乗を計算してみて、ああなるほどと思ったことなどを話しました。そして、その昔、パソコンはもちろん電卓もない時代にこういった石高を計算していた人たちは、誰でもこの一の位が５の数字の二乗の計算法を知っていたのだろうか、と尋ねてみたのですが、少なくともそれは誰かから教わったこともないし、そんな話を同業者としたこともないなあ、という答でした。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　昨日の夕方くらいに、トップページのアクセスカウンタが２３万をこえたようです。いつもご覧下さる皆様、本当にありがとうございます。

10月26日(水)　転送忘れ

　昨夜、帰宅して自分のページを見に行くと、あれ、ページが更新されていません。確かに朝は書いておいたはずなのに、と思ったのですが、webサーバに転送するのを忘れていたのでした。その場で転送しようかとも思ったのですが、そうすると今朝の更新のときに昨日の分をどうするか（トップページに残すかどうか）迷ったので、結局転送は今朝にすることにしました。

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　おれカネゴンさんの日記で紹介されていた、Engadget Japaneseというページのカメラ投げというのが面白いです。　でも、自分でやるなら投げるのではなくて、ひもで吊るして揺らしてみたいです。　何かの機器についているLEDのような小さな光源をたとえば床の上とかに用意して、部屋を真っ暗にして、カメラが真下を向くように、落とさないようにうまく紐でぶらさげて、長時間露光モードにして点光源の上で揺らしたら、リサージュ図形のようなものが描けるのではないかと思うのですがどうでしょうか。もうすでに誰かやっていそうですが。そのうちやってみたいなと思います。

　同じページの空飛ぶ絨毯というのもおもしろい写真でした。こういうのちょっと羨ましいです。

＜おまけのひとこと＞
　上の本文を書いてからちょっと調べてみると、“lissajous”というのは、日本語ではリサジューと表記するのが正しいようなのですが、すみません、最初に習ったのがリサージュだったので、そのままにしました。

10月27日(木)　p-四面体

　10月11日のひとことで、ゾムツールで作った多面体の写真をご紹介しましたが、その後、その形について説明していませんでした。これは、03年10月8日のひとことでご紹介した、p-四面体と呼ばれるかたちでした。詳しくは以前のページをご覧下さい。

再掲図

　これは、正十二面体の20の頂点のうち、ちょうど正四面体の頂点の位置関係になる４つを選んで、その頂点を頭とする正三角錐を切り落とした形です。上の再掲図に、切り落とされた三角錐４つを付け直したかたちをゾムツールで作ってみました。

図 1		図 2

　もともとの正十二面体の12枚すべての正五角形が、１つずつ頂点が減って等脚台形になっている様子がおわかりいただけますでしょうか。

　立体感が出るように、視点を変えた写真を交互に表示してみます。

図 3

　並べて表示して、平行法や交差法で立体視していただけばよいのでしょうが、ちょっと視点が離れすぎてしまいました。

＜おまけのひとこと＞
　今日は表紙の画像が重くてすみません。今日の図と再掲図の色が違いますが、これはカメラが違うためです。

　過去に表紙のひとこととして書いたもので、「つづく」と書きながら放ってあるもののつづきを書きたいなと思っています。もう、そのときに展開しようとしていたつづきの話題を忘れてしまっているものもあったりするのですが、今書くとまた別のことを考えるでしょうし。

10月28日(金)　ゾムツールによる構造

　10月7日のひとことでご紹介した形、これもp-四面体の変形だったのですが、この形をもう少しいじってみました。

再掲図

　上の再掲図には、正三角形の面が４つあります。床(机の面)に接しているものと、右手前、左手前、そして画面の奥側です。（わかりますか？）　この４つの正三角形の面を構成する12本のパーツを全部外してみました。（実は、これは昨日の形を作るのに必要だったためです。）

図 1		図 2		図 3

　こうすると、平行な3組の線分がわかりやすくなります。図2、図3はそれぞれ対称性が高い視点から見たところです。　図1は一般的な方向から見たところですが、2点でバランスして立たせています。

　次に、外した12本を、再掲図とは異なる位置に戻してみました。

図 4		図 5

　ブロックというのはこうやっていじっているととても楽しいです。

＜おまけのひとこと＞
　今日は飲み会の予定だったのですがキャンセルになりました。　季節の変わり目で、職場では体調を崩している人が何人もいます。私はこのところ忙しくて緊張が続いているせいか、元気にしています。が少々ストレスがたまり気味です。

10月29日(土)　鍵盤曲の楽譜

　先日知った楽譜を無料で入手できるサイトの紹介というページから、いろいろとたどってみています。この週末にいくつかダウンロードして印刷して弾いてみました。楽譜探しは宝探しをしている感覚で、とても楽しいです。　何曲かご紹介します。

図 1 : J.K.F.Fischer

　フィッシャーという人の、多分何かの組曲の一部でしょうか、プレリュードとアルマンドの楽譜がありました。図はプレリュードの冒頭です。チェンバロ(正確にはスピネットです)で弾くと、雰囲気が合ってなかなかきれいで気に入りました。

図 2 : Mozart

　これは、モーツァルト(1756-1791)の K.401 のフーガです。この曲は未完のものらしくて、Stadler(1748-1833) という人が96小節から8小節を書き加えて完成させているという楽譜でした。モーツァルトのレクイエムを髣髴とさせる、短調の重厚なフーガで、とても気に入りました。上の譜例は一人で演奏する用の楽譜ですが、同じページには四手連弾用の楽譜も置かれていたので、そちらを印刷して妻と弾いてみました。これだと４手それぞれが完全に単旋律になるので、技術的には難しくはありません。そのかわり内声が近い部分など、ちょっと手がぶつかって弾きにくいところがありました。

図 3 : Pachelbel

　これは、「パッヘルベルのカノン」で有名なパッヘルベルのフーガです。この曲は、全部で28小節という小曲です。上の譜例では8小節目まで載せてありますが、この次の9小節目の3拍目から4つ目の声部(Bass)が入ってきます。素朴で、弾いていると落ち着いた気持ちになるフーガでした。

＜おまけのひとこと＞
　フーガというのは本当におもしろいです。模倣と展開、さまざまな対称性や類似性、繰り返し現れる構造など、なんというか、多面体の美しさに通ずるものがある気がするのです。

10月30日(日)　紅葉

　この週末は子供の行事があったので送迎をしました。山がだいぶきれいになってきました。途中でちょっと写真を撮りました。

図 1

　これはスノーシェルターです。

図 2

　別荘地の中の建物。紅葉がきれいでした。

＜おまけのひとこと＞
　上の子は行事があったので、今日は残りの家族で鹿教湯に行ってきました。

10月31日(月)　正二十面体

　ゾムツールの話の続きです。

図 1		図 2

　先日ご紹介したかたちは、このように正二十面体の４つの面に背の低い三角錐をつけたかたちでした。本当は外に凸になるようにつけたかったのですが、手持ちのパーツでは無理でした。

＜おまけのひとこと＞
　3日分まとめてしまうと、更新の時間もかかってしまって、今日の分の説明を書く暇がなくなってしまいました。　(今日は仕事で早く行かないといけないのです。)