以前の「ひとこと」 ： 2005年11月後半
11月16日(水) 立方体１２個の輪
１１月も後半になりました。今日はまた別の立体玩具をご紹介しようと思います。
今年の7月18日のひとことあたりから何回か、立方体を１２個つないだ玩具を使っていろいろ遊んでみた話を書きました。
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| 再掲図 |
今回は、これに似た玩具をご紹介しようと思います。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
７月にご紹介した再掲図のものは、１２個の立方体が１本のひものようにひとつながりになっていて、隣り合う立方体の「つながり具合」はいろいろ変えることができるものでした。 本日ご紹介するものは、１２個の立方体がひとつながりになっている、というところまでは同じなのですが、
という点が違います。特に、２番目の条件があるため、再掲図のようなかたちを組むことはできません。そのかわり、立方体をつないでいるゴムひもの面は必ず隠されるため、見かけは大変すっきりしてきれいです。ただ、ゴムが通っている穴は、変形のための余裕が大きくとられているため、たとえば図3のように、隣り合う立方体の面がぴったり合わずに安定してしまうことがままあります。
たとえば、図2だったらゴムがどのように通っているか、立方体がどのように「つながっている」かを示したのが、下の図4です。
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| 図 4 |
実際に店頭で売っているときには、いちばんかさばらない図1の形になっているのですが、図1ではどのようにつながっているか、わかりますか？
＜おまけのひとこと＞
全く身に覚えのない架空請求の葉書が届いて、とてもいやな気分です。まあ、よくあることのようですが。
11月17日(木) 立方体１２個の輪(その2)
昨日に続いて、立方体１２個が環状につながったもので作ったかたちです。せっかくなので３次元的な対称性が高いものを、と思ってつくってみたものです。
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| 図 1 | 図 2 |
図1、残念ながらゴムの張力の関係で、きっちり稜が揃いません。図2は、立方体２個がつながったかたちが６つ、ドミノ倒しのように連なったかたちです。このような中間的な角度にすることもできます。
何日か前の朝の写真です。
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| 図 3 |
山の裾野の雲がきれいだったので撮ってみました。
＜おまけのひとこと＞
今朝は寒い朝でした。
11月18日(金) 立方体１２個の輪(その3)
立方体が環状につながった玩具で作れる形の３日目です。昨日の図1に似ていますが、どんなかたちだかわかりますか。
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| 図 1 | 図 2 |
＜おまけのひとこと＞
この形をご紹介したくて、今回のシリーズを始めたのでした。
11月19日(土) 立方体１２個の輪のつながり方
昨日までご紹介した、立方体を１２繋いだ輪のかたちですが、この輪を繋ぎとめているゴムの部分だけをCGにしてみました。これは、11月14日のひとことでもご紹介した、濱中さんのページの【過去の表紙71】 snake cube:プロペラの、マジックスネークのCGを作るシーンファイルをほんの少しだけ改造させていただいて作りました。L字の部分の色をどうしようかな、と思ったのですが、結局マジックスネークの色を踏襲しました。
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| 図 1 | 図 2 |
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| 図 3 | 図 4 |
今日の図1〜図4のCGが、それぞれこれまでご紹介した写真のいずれかに対応しています。
＜おまけのひとこと＞
土曜日ですが、このあたりの話は書いてしまいたくて載せてしまうことにしました。
11月20日(日) 立方体１２個の輪のCG
濱中さんのマジックスネークのCGのシーンファイルを利用させていただいて、立方体の輪の骨格に相当する、L字型のジョイントがつながっているCGを作ってみています。濱中さんのシーンファイルは、たいへんありがたいことにジョイントの角度を連続量として与えることができるので、今日は、王冠のようなきれいな円環状のかたちを作ってみました。
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| 図 1 | 図 2 |
図1が骨格の様子で、図2はこの骨格に対応する立方体を描いてみたものです。色とかをもっと工夫すればいいのでしょうけれども、とりあえずこのままでも、これがなんだかとってもきれいな形だということはわかります。ただ、残念ながら立方体の頂点のところは干渉してしまっているようです。
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| 図 3 | 図 4 |
もっと高い視点から見下ろすように見てみることにしました(図3,図4)。白い立方体の頂点がぶつかってしまっている様子がよくわかります。
もともとのマジックスネークの、直角二等辺三角柱のパーツを使って、同じものを描かせてみました。ただしパーツの数は半分の12に減らして、頂点がぎりぎり干渉しない程度に、角の面取りの丸みの部分(R)を大きくすることにしました。
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| 図 5 |
CGだとこういうことがすぐにできて面白いですね。
＜おまけのひとこと＞
電波時計が昨日からぴったり正確に１０分進んでいることに気がつきました。今、窓際に持っていって、再セットさせてみたところ、ちゃんと正しい時刻に戻りました。
11月21日(月) 正七角形の対角線の関係
数学セミナーという雑誌の最新号（2005年12月号）の「エレガントな解答をもとむ」の出題１（出題者：浅井哲也）に、正七角形のおもしろい性質が紹介されていました。出題者の方も、「つい最近になって初めて知って大いに感激しました」と書かれていましたが、大変美しい性質だと思います。
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| 図 1 |
図1のように、正七角形には二種類の長さの対角線があります。短いもの（赤）は１つおきに頂点を結んだもので、長いもの（緑）は２つおきに頂点を結んだものです。正七角形の１辺の長さを a 、上記の２種類の対角線の長さをそれぞれ b と c とすると、
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という関係が成立するのだそうです。これを見た瞬間、「え、与えられた長さの逆数（商）は作図できるから、これって正七角形が作図できてしまうということ？」と思ったのですが、これはもちろん間違いです。
それはともかく、この正七角形の性質を、平面幾何ソフト「シンデレラ」で確認してみることにしました。04年10月14日の＜おまけのひとこと＞で、阿原先生が作図された正七角形の真似をした図を載せておきましたが、最初にこの手順で正七角形を作って、不要な点や線は非表示にして、以下のように補助線を引いてみました。
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| 図 2 |
正七角形をABCDEFGとして、短い対角線AC（図2の赤い線）の上に、AB=AHとなる点 H をとります。同じように、長い対角線BFの上に、BA=BI となる点 I をとります。Hを通って、辺BCと平行な直線を引いて、それが辺ABと交わる点を J とします。 同じく、I を通って、対角線AFに平行な直線を引くと、これが見事に点Jを通るのです。
というわけで、「シンデレラ」が、正七角形の一辺の長さと２つの対角線の長さの間の美しい関係を示してくれたのですが、さて、なぜこれで（つまり２つの平行線の交点が辺AB上にあるならば） 1/a = 1/b + 1/c が示せたことになるのかわかりますか？
＜おまけのひとこと＞
図1と図2を見比べていると、なんだかもっとエレガントな示し方があるような気がしてきました。
今日の内容は昨晩作図したのですが、実は「シンデレラ」を使うのは本当に久しぶりで、たったこれだけの図を描くのに１時間以上かかってしまいました。とりあえず結論を確認するところまでは簡単だったのですが、図の見栄えを多少なりともよくしようとして、かなり手間取りました。
この週末は久しぶりに土・日とも毎日更新をしました。 土日の続きの話はまた明日以降に書きたいと思います。
11月22日(火) チューブパズル
先週から、立方体１２個が環状につながった玩具についてご紹介しています。20日と21日に、ジョイントに相当する部分を直角に曲がったL字型のパーツで表したCGをいくつかご紹介しましたが、こういうブロック、私は実は持っていたのでした。03年7月18日のひとことからしばらく書いた、「チューブパズル」というものです。7月26日には、このL字型のパーツ１２個によるリングも作ってみていました。
最初に、CGでご紹介したものを２種類ほどご紹介します。
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| 図 1 | 図 2 |
図1、図2はリング状に組んだものです。この形、本物はおもしろいです。
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| 図 3 | 図 4 |
CGでは図4の方向に近い視点のものを載せましたが、一般的な視点から見ると図3のようなかたちになります。図3と図4が同じものを別な方向から見た形だということは、そんなにわかりやすくはないかな、と思います。
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| 図 5 | 図 6 |
図5、図6は立方体の骨格としてはパーツが近すぎますが、こんな風に(ほぼ)正方形(に近い形)が３つ、プロペラのようになっている形もできました。同じようにして、４の倍数個のパーツを使えば、コイルが環状になっているかたちをつくることができます。
blog ろくはロッパの・・・で、昨日の正七角形の話にコメントいただきました。ありがとうございます。雑誌「数学セミナー」の「エレガントな解法をもとむ」はまだ〆切になっていない問題なので（問題は正七角形ではなくて正23角形ですが）、幾何学ソフトウェアの「シンデレラ」に証明してもらう、という話だけを紹介しました。
それから、blog のコメントに「帯を結んで正七角形を作る」という話が紹介されていましたが、そういえば私も04年9月22日に、その図を載せておいたことを思い出しました。正七角形というのも身近にはあまり見ない、おもしろいかたちだと思います。
＜おまけのひとこと＞
以前のチューブパズルのページを見て、最近は私のページは昔より写真を大きくする傾向があるな、と思いました。昔よりもwebの平均的な伝送速度が上がっているだろうという期待と、画面の解像度も増えているだろうという予想をしているからなのですが、どうでしょう、画像はこのくらいの大きさのほうがよいでしょうか、それとも以前のサイズのほうがいいでしょうか。 今日のものに関しては、ちょっと画像が大きすぎたかなと反省しています。が、リサイズしてトリミングして、という作業をやり直すのも大変だったので、ちょっと大きめのまま載せます。
11月23日(水) エッシャーの「滝」を切り絵で(その1)
どうもこの季節になるとカッティングプロッタをいじりたくなります。久々に“STIKA”を使って何か作ろうと思って、何か切り絵風にデザインしてみようと思いました。勉強のために、エッシャーの「滝」を題材にさせてもらうことにしました。使うソフトウェアは、Windows 標準の Paint と、STIKA に標準のソフトウェアだけです。
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| 図 1 | 図 2 |
とりあえず元画像を適当に画像処理して、それをPaintに読み込んで適当に領域を塗りつぶして、図1のような下絵をつくります。これをSTIKAのソフトに読み込んでカットさせてみて、その型抜きをしたのが図2です。
細部がまるでわからないものになってしまいました。また、黒（この例では青ですが）の小さな孤立した島がたくさんできてしまって、非常に厄介でした。
＜おまけのひとこと＞
どこをどのように簡略化しているか興味がある方は、Webの画像検索で「エッシャー」で検索すれば、この有名な「滝」の画像はみつかると思います。
先日の土日はちゃんと休まず更新していたのですが、今日はお休みしてしまいました。
11月24日(木) エッシャーの「滝」を切り絵で(その2)
昨日ご紹介した第１作目が気に入らなかったので、もう少し切り絵っぽくしようと思って、下絵を描き直しました(図1)。また、昨日のデザインの「離れ小島が多い」という反省を生かすため、できるだけ黒がつながるようにしてみました。（図案のどこまでがつながっているかは、Paintソフトの「塗りつぶし」機能を使うとすぐにわかります。）
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| 図 1 | 図 2 |
確かに昨日の第１作目のものよりは切り絵っぽくなって、細部が多少はわかりやすくなっているのではないかと思うのですが、出来上がったものを並べて見比べてみると、第１作目のほうがよいような気がしてきました。いかがでしょうか。
＜おまけのひとこと＞
たとえば、Adobe のイラストレータのようなアウトラインデータの編集ができるデザイン系のソフトウェアを使えば、（そしてもっと時間をかければ、）もっときちんとしたデータを作れるのですけれども。
今日は子供たちは学校でマラソン大会です。１〜３年生の低学年組と、４〜６年生の高学年組で２コースで走ります。小さな学校なので人数が少ないのですが、下の子は２年生なのですが、２年生ながら今年の１〜３年生の中での今年のコースレコードを出していて、本人は今朝はとても緊張しているようです。「練習は本番のつもりで、本番は練習のつもりで」と話しています。９時半過ぎには結果がわかっているはずで、楽しみにしています。
11月25日(金) L字パイプ12本のループから立方体12個のループへ
２日ほど切り絵の話をはさみましたが、またそれ以前の話題に戻ります。立方体１２個が環状につながったかたちの骨格をL字型のパイプ12本の連結で考えるという話をしていました。
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| 図 1 | 図 2 |
たとえば、図1、図2のかたち（この２つは同じものを別な方向から見ているものです）を骨格とする立方体リングは、下の図3のようになります。
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| 図 3 |
では、図4、図5のかたち（やっぱりこの２つも同じものです）を骨格とする立方体のリングはどんなかたちになるでしょうか？
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| 図 4 | 図 5 |
こうして骨格からデザインする、というのはおもしろい手法でした。
＜おまけのひとこと＞
昨日の子供たちの小学校のマラソン大会、下の子は２年生なのですが１年〜３年の部で２位だったそうです。一位は３年生で、一度は追い越しかけたけれども結局かなわなかったと言っていました。とても喜んでいます。
驚いたのは、高学年の部（４年生〜６年生）では、一位は５年生、二位が４年生だったそうです。三位になった６年生の一番速い子は、緊張してご飯が食べられなくて調子が出なかったのだそうです。
11月26日(土) 正七角形のコイン
正七角形といえば、イギリスのコインで正七角形のものがあるのを思い出しました。
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| 図 1 |
これは20ペンスのコインです。これより大きな50ペンスのコインのほうがきれいな正七角形に見えるのですが、そちらはお目にかかることはできませんでした。
ご覧のように角は丸くて、本当の正七角形ではありませんが、これは「ルーローの三角形」のように定幅図形になっているのだと思います。
＜おまけのひとこと＞
このところ、「正七角形」という言葉を検索して私のページを訪れて下さる方がいらっしゃるようです。ありがとうございます。「正七角形」で検索してみると、たとえば「正七角形が作図できないのは360度が7で割り切れないからだ」とか、「正七角形なんて世の中にほとんど存在しない」とか言う意見が書かれていて驚きました。
以前もご紹介した「つまとりそう」という花は花弁が7枚あります。（googleのイメージ検索などで写真を見ることができます。
11月27日(日) 正多角形の対角線の関係の話
濱中さんのページの05年11月の日記の「対角線の長さ」に、たいへん面白い話が載っていました。
| 単位円に内接する正ｎ角形を考えます。この正ｎ角形の１つの頂点Aから他の頂点(n-1個ある)までの距離をすべて掛け算するといくつになるでしょうか？ |
この問題そのものも面白いのですが、その下の「ヒント」がすばらしいです。簡単に求まる例から予想を誘導するところがいいですね。その場で暗算をしてみて、「え、まさか！」と感激しました。（ご丁寧に証明のヒントまで書かれていました。こっちは紙と鉛筆がないと無理でした。）
例によって「シンデレラ」で、正三角形の例を作図してみました。
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| 図 1 |
＜おまけのひとこと＞
今朝はこれから地区の共同作業があります。冬を迎えて用水路の清掃です。例年だと12月の最初の日曜日なので、危うく忘れるところでした。 こうやって何か用事がある、忙しいときほど更新をする気になるのはなぜだろうと思います。
11月28日(月) L字型チューブパズルと立方体の連結
週末にちょっと間をあけましたが、先週の金曜日のひとことで作ったL字型チューブパズルの骨格と同じ立方体の環状パズルの構造を作ってみました。まずはこの２つを並べてみた写真です。
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| 図 1 |
ちょっと構造がわかりにくいと思うので、もう2枚ほど写真を載せておきます。
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| 図 2 | 図 3 |
このかたちは、チューブパズルのほうをいじっていて初めて思いついたかたちです。
チューブパズルのほうをいじっていて出来たかたちをもう少しご紹介します。
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| 図 4 | 図 5 |
これから立方体の肉付けをした形を想像できますか。
＜おまけのひとこと＞
この週末は、本格的に寒くなる前に家の中の整理をしました。一昨日にご紹介した正七角形のコインも、そのときに見つけたものです。ほかにもいくつかこのページでご紹介してもいいかなと思えるものが出てきました。
10月13日のひとことで、「はたらきもののきかんしゃけいてぃー」の英語版のタイトルが“K.T.”だと思っていたという話を書きました。本の整理をしていたときに、この絵本が出てきたので、ぺらぺらとページをめくっていたら、この誤解の原因に気がつきました。以下の画像をご覧下さい。
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⇒ 拡大 |
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ご覧の通り、ケイティーのフロント正面に“K.T.”と描かれているのです。日本語版でもこれはちゃんと描かれているのですが、実は私は英語版を見て初めてこれに気がついて、とてもびっくりしたのです。その印象が強烈で、本のタイトル自体が“K.T.”なのだと思い込んでしまったのでした。
11月29日(火) キングと悪魔のパズル再び
しごと・あそびごと・ひとりごとというページの作者の方から、Attack Islandというゲームを教えていただきました。ありがとうございます。なるほど、私のページでご紹介しているPositと似ていますね。
この“Attack Island”を拝見して思い出したのが、2年ほど前にご紹介したキングと悪魔のパズルでした。
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無限に広いチェス盤を想像してください。そこに、チェスのキング（あるいは将棋の王将）が１つ、ぽつんと置いてあります。キングですから、自分の手番の時には、タテヨコ斜めの8つのマスのどこか１つに移動できます。孤独なキングは一歩ずつ、この無限に広いチェス盤を歩き回ります。 さて、この無限に広いチェス盤の下に悪魔がおりました。悪魔はこのキングを動けなくしてやろうと思います。悪魔は、キングが一歩動くたびに、チェス盤のマスを1マス食べてしまいます。食べられてしまったマスにはキングは進入できません。万能の悪魔ですから、無限に広いチェス盤のどのマスでも食べることができます。キングの隣のマスでも、100万も離れたマスでもよいのです。ただしキングが乗っているマスは食べられませんし、一手で食べられるのは1マスだけです。 また、一度食べられてしまったマスは二度と再生しません。時間が経つにつれて、チェス盤にはポツポツと穴が増えてゆきます。 もしもキングが移動できる周囲8マスの全てが食べられてしまっているという状況に追い込まれてしまったら、キングの負けです。 さて、キングは未来永劫逃げ続けることはできるのでしょうか？ それとも、悪魔が十分に賢ければキングを立ち往生させることができるのでしょうか？ |
実はこれは、悪魔の側が必ず勝てるゲームなのだそうです。以前、キングをコンピュータに担当してもらって、人間のプレーヤーが悪魔を担当するJAVAアプレットをご紹介しましたが、そのときのキングはとっても頭が弱いキングでした。
昨日の夜、帰宅する途中にキングの思考ルーチンを簡単に強化する方法を１つ思いついて、さっそく実装してみました。以前よりはだいぶ賢くなったので、盤をかなり広げてやらないとキングを捕まえることができなくなりました。以下の画像からリンクしていますのでお試し下さい。
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この思考ルーチンも乱数などは使っていませんので、同じ盤面の状況ならばキングの移動先は毎回同じです。 さてこのキングを毎回必ず捕まえられますか？
＜おまけのひとこと＞
昨夜帰宅してからコーディングしたので、十分にデバッグできていません。盤面を広げたので、テストプレイにも時間がかかるようになってしまったのです。とはいえ、これ以上狭いとキングがますます捕まらないので、仕方がありません。バグがありましたらお知らせいただけたらと思います。すぐに対応できないかもしれませんけれども。
今回、このキングと悪魔の問題を思い出すきっかけをいただいたしごと・あそびごと・ひとりごとというページは、まだ公開をはじめたばかりだそうですが、ゲームや幾何学造形など、大変興味深い内容で、これからが楽しみです。
11月30日(水) キングと悪魔のパズルについて、他
昨日、久しぶりに思考ルーチンをバージョンアップしたキングと悪魔のパズルをご紹介しましたが、いかがでしたでしょうか。 いつも大変興味深いコメントを下さる濱中さんから、早速「結構きれいにつかまえることができたので、画像を添付します」と、ゲームが終わった盤面の画像をいただいたのですが、私が全く想定していなかった勝ち方だったので非常に驚きました。自分が想定していた終了図と、いただいた終了図を掲載しようかと思ったのですが、有力なヒントになりますのでやめることにしました。（実際に図までは用意したのですが。）ご覧になりたい方はご連絡下さい。 そこまでもったいぶるほど難しいパズルでもないような気もしますが一応。
一昨日にご紹介したチューブパズルのL字12個の「輪」ですが、これに対応する立方体連結型の写真を載せておきます。
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| 再掲図 1 | 再掲図 2 |
この２つ、同じ形なのですがすぐに気がつきましたか？
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| 図 1 | 図 2 |
こんなかたちになります。真ん中は素通しの穴になっています。
＜おまけのひとこと＞
濱中さんのページの数奇写真館(仮称)の05年11月の、バルーンアートの多面体、驚きました。そうか、こういう素材で作るのも面白そうですね。
最近、本業のほうが忙しいです。昨夜、職場でいつも最終バスまで仕事をしている、在社時間が長くて(私が)心配しているメンバーが、いつもより1時間早く帰宅する様子だったので、ほっとして声をかけたら、けげんな顔をされました。実は1時間早いというのは私の勘違いで、いつも彼が帰る時間になっていたのでした。