以前の「ひとこと」 ： 2026年7月後半
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8月16日(日) 正十二面体の面を4色で塗分ける(その1)
正多面体の話です。
フレーク積木セットで最初に作ったもののひとつがこの正十二面体でした。
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| フレーク積木セットで正十二面体 |
1セットあたり正五角形が4枚（4色ひとつずつ）はいっていて、正十二面体を作りたくて3セット買ったのです。3セットで、4色の五角形が3枚ずつになりました。4色3枚ずつで等価に色分けして組むことにしたのですが、このブロックは着脱がちょっと大変なので、あらかじめ考えてから組みました。
4色3枚ずつの塗分けが面白かったので、CGをつくってみました。
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| 正十二面体の4色の塗分け |
各面を張ってしまうと塗分けがわかりにくいですし、面を半透明にしてもさらにわかりにくくなるだけです。ブロックのように縁だけに色を付けるとわかりやすいと思って工夫してみました。
この、「各面の内側にひとまわり小さい五角形の枠を作る」ために、以下のような手順を用いました。正十二面体の中心を座標原点にします。注目する五角形の面の5つの頂点を A,B,C,D,E とします。この五角形の中心 P は P = (A+B+C+D+E)/5 です。A,B,C,D,E を結ぶ五角形の枠を座標中心に対して少し縮小します。（そうするともとの正十二面体の面から少し内側になってしまいます。）それをベクトルP方向に少し平行移動して元の正十二面体の面の位置まで戻します。
Povrayのコードだとこんな感じです。
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同じ色の面の中心を結ぶとどうなるでしょう？
ベートーヴェンの作品39という曲を知って、大変興味深く思っています。わずか数分の曲なのですが、1曲の中で次々に転調して12の調（すべて長調です）がすべて出てくるのです。No.1 と No.2 の2曲あって、どちらも4拍子です。どちらもハ長調から始まって五度圏をシャープが増える方向に回ってゆきます。（C：ハ長調→G：ト長調→D：ニ長調→A：イ長調→E：ホ長調…） ただ、2つの曲は雰囲気がだいぶ違っていて、1曲目のほうは旋律的で基本は3声のポリフォニックな多声音楽として書かれていますが、2曲目のほうはコラール風で、和声進行が主体の曲になっています。
こちらのYouTube の ベートーヴェン：ピアノまたはオルガンのための全長調にわたる2つの前奏曲 作品39 （スコア付き） という動画は、楽譜を見ながらこの曲を聴くことができてお勧めです。
ベートーヴェンの数々の名曲は、これほどの曲が書けるほどの対位法や和声法の知識の上に成り立っているのだな、と改めて思いました。これは弾いてみたら楽しそうです。さすがに楽譜は持っていないと思います。有名なベートーヴェンの作品ですら、このようにまだ自分が知らなかった自分好みの曲があったなんて驚きです。
＜おまけのひとこと＞
気が付くと8月も後半です。いろいろやるべきことが間に合っていません。
8月17日(月) 正十二面体の面を4色で塗分ける(その2)
正多面体の話です。
昨日、正十二面体の面を4色で塗分けることを考えてみて、CGを作ってみました。
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| 正十二面体の面を4色で塗分ける |
4色3面ずつなので、同じ色の面の中心を結ぶと4枚の三角形になります。対称性からこの三角形は正三角形になります。合同な正三角形4枚を組合せる、というと、まず思い出すのがこのかたちです。
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でも今回の場合は三角形は正十二面体の中心を通りません。そのためこんなかたちになりました。
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| 同色の面の中心を結んだ三角形 |
これも、回転するアニメーションにしてみました。
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| 同色の面の中心を結んだ三角形 |
これも美しいと思いました。ただ、面を4色に塗分けた中心を結んでいるということが上の図からはわかりません。正十二面体の各面の色を付け直して、三角形の頂点が正五角形の中心であることがわかるようにしてみました。
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| 同色の面の中心を結んだ三角形 |
これはちょっと煩雑になってしまいました。CGとしてこれが作れたのは楽しかったのですが「やりすぎ」感があります。
お盆休みは「数学セミナー」に書かせていただいている連載「あやとりの楽しみ」 の原稿を書いていました。少し書き溜めたいと思っていたのですが、直近の原稿を仕上げるだけで精一杯でした。
このお休みは、久々に笛をたくさん吹きました。トラヴェルソ（バロックフルート）とモダンフルートを両方練習したのですが、特に高音域の指遣いを忘れていて、けっこう混乱しました。スピネットも湿度のせいか鍵盤が戻らなくなっていたキーが1割くらいあったのですが、最近はまた調子がよくなってきてほっとしました。音楽をやると心が少し安定する気がします。
＜おまけのひとこと＞
お盆休みが終わって、今日はいきなりとても忙しい一日です。とても重要な会議がたくさんあります。がんばらないと。