以前の「ひとこと」 ： 2026年7月後半
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7月16日(木) 立方体の表面上の最短経路(その1)
7月後半です。暑くなってきました。すみません、正四面体上の最短経路の話の解説を書きたいのですが、時間がなくて立方体の話題に移ります。
今週は月曜日から正四面体の表面の2点を結ぶ最短経路の本数の話を始めました。その解説や論文のご紹介をする前ですが、今日はそもそもこの問題を考えるきっかけとなった問題のご紹介をします。
Tanya Khovanova's Math Blog というブログに、Two Points on a Cube という問題が載っていました。著者が出版した数学パズルの本の中の問題の１つだそうです。問題のタイトルには「有名な問題の新たなひねり」と書き添えられています。
下の図のように立方体の相対する２面の中心にそれぞれ点PとQと取ります。この２点を結ぶ立方体の表面を通る最短経路は図のように４本あります。
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| 立方体上の２点を結ぶ４本の最短経路 |
それでは、「立方体の表面上に2点P，Qを取って、PQの最短経路がちょうど3本になるようにできますか？」 というのがこの問題です。（上の図は自分で作ってみましたが、リンク先のオリジナルの図のほうが見やすいかもしれません。）この問題を考えて自分なりの解を見つけて、では他の正多面体だとどうなのだろう？ と思って、立方体の次に易しそうな正四面体で考えてみることにした結果、月曜日からの正四面体の話になったのでした。
机の上にこんなものがありました。。
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ぱっと見て、「数字の５」に見えました。
拡大した写真を撮ってみると、あんまり「数字の５」には見えませんでした。
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人間の視覚情報処理は面白いなあと改めて思います。ちなみにこれは何かというと、千切りキャベツのかけらがこぼれて乾燥したものでした。
＜おまけのひとこと＞
大相撲名古屋場所、地元出身で贔屓している御嶽海は初日から白星が出ず、昨日までで四連敗です。名古屋場所はかつて２回、優勝したことがある場所で、出身地の木曽谷から近いので、地元からの応援団が駆け付けやすい場所でもあります。若いころに幕内で番付がどんどんあがっていったころ、御嶽海のご両親は健在で、特に若いお母さんが注目されていました。お父さんが亡くなり、驚いたことにお母さんも若くして亡くなってしまいました。このところ二場所連続で勝ち越していて番付も少し上がってきていたので期待しているのですが、相性が良いはずの名古屋場所でまさかの苦戦をしています。もちろんどんなに負けても応援しています。きっといつものように千秋楽まで勝ち越しも負け越しも決まらない、五分の星まで戻してくれるはず、と思っています。
7月17日(金) 立方体の表面上の最短経路(その2)
立方体の測地線の話です。
昨日の問題、「立方体上に２点を取って、その２点を結ぶ最短経路がちょうど３本になるようにしてください」ですが、私は以下のように考えました。
最初に、昨日の「４本解」の状態から、赤と緑の輪を少し手前（青側）にずらします。立方体の１辺の長さを1とすると、ずらす前は４つの経路の長さはすべて2でしたが、ずらした後は赤と緑は2のままで、青は2より短く、黄色は2より長くなります。
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| 立方体上の２点を結ぶ４本の最短経路 | 手前へ少しずらす |
図を見比べても違いがよくわからないかもしれないので、アニメーションで切り替えて表示してみました。
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ずらした後、上下の点をそれぞれ左と右に同じ距離だけずらします。黄色はさらに距離が長くなるので表示しないことにしました。左右にずらす距離が同じなので、赤と緑は相変わらず長さ2のままです。青は斜めになった分、少し長くなります。青が再び距離2になるようにずらせば、最短経路がちょうど3本になるはずです。
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こういうのは適切な展開図で考えると最短経路が直線になるので、青が連続した直線になるような展開図を考えてみます。
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こうすると、最初に手前にずらした距離に応じて左右にずらす距離を適切に決めれば、青の距離を2にすることができるのがわかると思います。
最初の図で、赤と緑の経路の輪をあまり大きく手前にずらしてしまうと、その後で点を左右にずらす距離が計算上1/2を越えてしまうのです。そうならない範囲でずらす量を決めたので、投影図では違いがわかりにくくなってしまったのでした。
立方体の上の2点を、立方体の頂点に置いても良いことにすると、立方体で三次元的にもっとも離れた２つの頂点に２点を置くと(下図)、経路は何本になるでしょうか？
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「最短経路がちょうど３本になるようにしなさい」という問題の解として、こちら（https://puzzling.stackexchange.com/questions/136483/two-points-on-a-cube-with-exactly-three-shortest-paths-connecting-them）に解説が出ていました。私が考えた解よりちょっと複雑なことをやっています。この解説をみると、どうやら上図の頂点に置いた２点から、経路を減らすように点をずらすというアプローチで考えたようです。
＜おまけのひとこと＞
昨夜は飲み過ぎました。飲み足りない気がして寝る前に追加で飲んだのがバカでした。
7月18日(土) カリソンパズル(その1)
タイルの敷き詰めパズルです。
いつもは先に話題を紹介して、後で論文をご紹介する、というスタイルなのですが、今回は先に論文のご紹介からしたいと思います。The Calissons Puzzle(カリソンパズル)という2023年の論文を見かけたのです。「カリソンパズルってなんだろう？」と思って最初のほうを見てみました。
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カリソンパズル(Calissons Puzzle) 正六角形を単位正三角形に分割した三角格子を考える。この格子を、単位菱形（互いに辺を共有する2枚の単位正三角形からなる菱形）で隙間なく重なりなく敷き詰める。 単位菱形の向きは３通りある。向きが同じ菱形を同じ色で着色する。 盤面には格子辺に沿って有限本の短い黒線があらかじめ描かれている。完成した菱形敷き詰めにおいて、各黒線は必ず向きが異なる2枚の菱形の境界となっていなければならない（黒線の両側の単位三角形は同一の菱形に属してはならず、黒線の両側の色は必ず異なる）。 この条件を満たす菱形敷き詰めを求めることが目的である。 |
論文の図2には、以下のような具体例が載っています。
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| Figure 2 of above paper |
この論文は、このパズルを解くアルゴリズムについて調べているのですが、上記の条件付き菱形敷き詰め問題を以下のように解釈しているのです。
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カリソンパズル(Calissons Puzzle)の三次元的解釈 一辺 n の立方体を積み上げた「立方体の山」を等角投影したとき、見える3種類の面を3色で塗り分けた図形が菱形敷き詰めになる。黒線は「その両側の面の色が異なる」という条件を表す。 |
続いて、図3で以下の２つのサンプル問題が示されています。サンプル問題の右側のほうは、図15に解と途中経過が紹介されていて、確実に解けることがわかります。
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| Figure 3 of above paper |
まずこのパズルの解き方を体感するため、上の左側の例題に取り組んでみたのです。でも解けないのです。「黒線の両側が異なる菱形に属していれば良い（向き・色が同じであっても良い）」ならば解けるのです。「黒線の両側が向き(色)が異なる菱形に属さなければいけない」ならば解けない気がするのです。
- 私が問題の定義を誤解している
- 実は定義通りに解けるのに、私が解が見つけられないでいる
- 著者が例題として、意図的に「解けない」例を載せている
- 著者の意図に反して図が誤っていて、解ける例を載せたつもりが解けなかった
のいずれなのだろう？ と思いました。
こういうパズルがお好きな方、もしこれが解けるのでしたら教えてください。 中央の縦に並んだ２本の黒線、これがうまくおさまらないのです。claudeに解いてみてもらおうとしたのですが、無償で使える範囲では解析が終了しませんでした。
＜おまけのひとこと＞
X(twitter)などでよく見かけるのですが、サービス業で顧客対応をするときに「簡単な作業なんだからそのくらい無償でやってくれ」と言われて途方に暮れるという話があります。「誰でもできる簡単なことだろう？」と。そういう相手に「（誰でも簡単にできるなら）それならあなたご自身がなさったらいかがですか？」と言いたいのだが言えなくてつらい、部品代にコストがかかるのは（しぶしぶ）理解してもらっても、「技術料」「手間」は無償だと思っている顧客がたまにいて大変、というトピックをしばしば目にする気がします。
顧客対応ではないのですが、ちょっとこれに似たことが身近にあったのです。自分がやると大変なんだけれども相手がやると簡単にやっているように見えることに対して、私自身が相手にちゃんと感謝しているだろうか、と思ったのです。自分のほうが得意なことは（それが大変なことであっても）気持ちよくやってあげるべきだし、相手のほうが得意なことをやってもらうことは「あたりまえ」ではなくて感謝すべきことだよな、と改めて反省したのでした。
7月19日(日) 三次元立体ジグソーパズル
買い置きのパズルで遊びました。
3D立体ジグソーパズルを買ってあったのですが、それをやりました。実はやったのは五月連休だったのですが、ちょうど更新をお休みしていたころだったので、掲載しそびれていました。当時、組み立てながら撮った写真をご紹介します。
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ピースは60枚あります。凧型六十面体のかたちです。
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地名を手掛かりに、陸の部分から組んでゆきました。上図左が南北アメリカ大陸、中央がヨーロッパからアフリカ付近、右が中国からオーストラリアの東アジア付近です。
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とりあえず１つにつながりました。だいぶ丸くなってきました。見えているのはインド洋のあたりですね。
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あとは海のピースばかりになりました。
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最後の1ピースです。ユニット折り紙多面体も、ペーパーモデル多面体も、最後に閉じるところが難しいです。これも、力の加減を間違えないように気を付けて組み込みました。
地図のジグソーパズルは、そのピースに描かれているのがどの場所なのかを考えながら探すのがとても楽しいです。
＜おまけのひとこと＞
連載「あやとりの楽しみ」の原稿を書いています。今回はかなり苦戦しています。入れたいと思っている説明や画像が入りきらないのです。にもかかわらず、内容はやや地味な感じかなあと思っています。もう少し考えます。
7月20日(月) カリソンパズル(その2)
一昨日のパズルのつづきです。
一昨日のカリソンパズルの文献の例題、相変わらず左の例題は解けないのですが、ちょっと複雑な右の例題を解いてみました。
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| Figure 3 of above paper |
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完成形が美しいです。解いていて楽しいです。が、基本ルールで「60度の鋭角に限定された部分に入る菱形は一意に定まる」「黒線の両側の菱形の色(向き)が異なる」という局所的な基本条件だけでこの問題は解けてしまいました。解き筋とか巧みなテクニックがあるようなパズルなのか、よくわかりません。
3色で塗分けるパズルなのでペンシルパズル向けではないかもしれません。でも、色は塗らずに向きが異なる菱形の間に線を入れて、もともとの黒線を伸ばしてゆくパズル、と考えればペンシルパズルとして成立するかもしれません。もう少し例題を解いてみたいところです。
先週は水曜日のお昼から金曜日まで出張でした。お昼は水・木・金の３日とも立ち食いそばを食べました。金曜日の夕方も駅そばを食べて帰ってきました。
| 7月15日(水) | 自宅最寄り駅の駅そば | 肉そば(700円) | 写真1 | |
| 7月16日(木) | 新橋：おくとね | 舞茸天そば大盛(600円) | 写真2 | |
| 7月17日(金) | 新橋：吉そば | 豚しゃぶつけ蕎麦(750円) | 写真3 | |
| 7月17日(金) | 東京駅構内：そばいち | かき揚げそば特盛(740円) | 写真4 |
初めて行った「おくとね」が良かったです。そのほかの３店は複数回利用しています。
＜おまけのひとこと＞
大相撲名古屋場所、応援している御嶽海が中日八日目にようやく初白星です。1勝７敗、あと１つ負けたら負け越しです。いつも黒星が先行しても星を五分に戻すのが得意な御嶽海です。初日から7連敗は初めてだと思いますが、後半、奇跡の8連勝で勝ち越し、を応援しています。