以前の「ひとこと」 ： 2026年4月前半
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4月1日(水) パターンを合わせるパズル(その1)
4月です。
これも Peter Winkler の本からのご紹介です。Unbroken Curves という名前で紹介されているパズルです。
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図のように正方形のパネルの四隅に4分の1の円周を描きます。４つの角に円周があったりなかったりするので、ピースは24で16通り作れます。回転は許されません。この16枚のピースを4×4に配置して、大きな正方形を作ります。そのとき、隣接するピースの角の円周の有無はそろっていなければいけません。言い換えると、大きな正方形の内部で赤い円弧が途切れてはいけません。マッチングパズルのルールです。
＜おまけのひとこと＞
マッチングパズルとしてはかなり易しい部類ではないかと思いますが、ちょっと面白いです。
4月2日(木) パターンを合わせるパズル(その1)：解説
昨日のつづきです。
昨日ご紹介したパターンを合わせるマッチングパズルですが、周期的境界条件になる解があるのです。4×4の正方形に並べると、大きな正方形の左右の辺、上下の辺が「つながっている」と考えると、すべての円が閉じるのです。解の図をこちらに置きました。（すぐに解の図が開きますのでご注意ください）
周期的境界条件なのでトーラスの表面にマッピングしてみました。
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トーラスそのもののアニメーションはこちらです。
＜おまけのひとこと＞
本業のほうで今日中にやらなければいけないことがたくさんあってややパニック気味です。定期通院の予定があったのですが予約を一週間延期してもらいました。
4月3日(金) パターンを合わせるパズル(その2)
昨日と類似のパズルです。
これも Peter Winkler の本からのご紹介です。昨日のものは Unbroken Curves という名称でしたが、こちらは Unbroken Lines という名前で紹介されているパズルです。
正方形に水平な赤線、垂直な青線、左下から右上への斜めの緑線、左上から右下への斜めの黄色線を引いたピースを考えます。
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この4本の直線の「あり・なし」のパターンをすべて網羅すると、以下の16種類のピースができます。
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この16種類のピースを4×4に配置して、大きな正方形を作って下さい。正方形の内部で同じ色の線が途切れてはいけません。ピースの回転や反転はできません。以下の2つは失敗例です。
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| 縦と横(赤と青)だけがつながった例 | 斜め(黄色と緑)だけがつながった例 |
Xを見ていたら、コトブキヤのハンドモデル(左手)が2,500円OFFというキャンペーンが紹介されていました。4月末までだそうです。さすがにこれ以上は買わなくてもいいかなと思っています。（すでに左手と右手を3つずつ持っています。）
＜おまけのひとこと＞
Xは書籍の新刊情報や展示会・イベント情報など、有益な情報源ではあるのですが、感情的だったりこう劇的だったりする投稿も多くて疲れます。ほどほどに利用させていただいています。
4月4日(土) パターンを合わせるパズル(その2)：解説ほか
週末です。日曜日の午前中に土日の二日分を書いています。
Peter Winkler のパズルの本の問題を考えたり調べたりしていると、いろいろ興味が広がっていて楽しいのですが発散ぎみです。ちゃんと解説を書く前に次の話題になっているものもあってすみません。
昨日の “Unbroken Lines” ですが、これはわりと易しい問題で、ピースを用意すれば試行錯誤で解に到達するのはそんなに大変ではないと思います。これも周期的境界条件になる解がきれいなので、トーラスにマッピングしてみました。
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トーラスそのもののアニメーションはこちらです。
解の図もこちらに置きました。まあこれは見てしまってもどうということはないと思います。
隣の市の図書館で借りている本の返却期限になったので、図書館に本を返しに行きました。午後は天気が悪いということだったので午前中に行きました。桜が咲き始めていました。
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書店員の怒りと悲しみと少しの愛(knott books, 2026) という本が新刊コーナーにあったので借りてきました。昨夜、半分くらいまで読みました。（リンクは google booksです。できるだけ出版元にリンクしたいのですが、見つからなかったので。）
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都内の、集客力が地方とはけた違いなはずの書店ですらこんなに苦しいのだな、と思いました。私は自分が住む街に本屋さんがないのはいやなので、購入したいと思った本はできるだけ行きつけの駅前の本屋さんで取り寄せをお願いすることにしています。早ければ2日、時間がかかるものでも2週間で取り寄せてもらえます。本が届くと取りに行くのですが、少し離れたところに車をとめて、歩くようにしています。運動不足の私にとって、馬鹿にならない散歩の機会なのです（といっても高々15分くらい歩くだけですけれども）。本は生活必需品ではなく贅沢品だと思っているので、注文してから届くまでに時間がかかるほうが期待が高まって自分にとっての価値が上がる気がしています。簡単に手に入るものはありがたみが薄い気がするのです。
でもこの本自体、他の多くの書籍と同様に、検索するとまずはamzaonのサイトがトップに挙がってきます。二番手以下もネット購入サイトの情報が続きます。本は売れないと知られない、残らないので、SNSで宣伝して通販で買ってもらうというのは当然の販売方法です。でもなんだかちょっと違和感を覚えます。
＜おまけのひとこと＞
午前中に図書館に行った後、お昼に「昼呑み」をしてしまって、午後はお昼寝してしまいました。自由な感じです。
4月5日(日) 幾何の問題「正方形の作図」
作図問題です。
「パズルの国のアリス」のシリーズ、2冊目までしか持っていなかったので3,4,5巻目を取り寄せてもらいました。3月30日(月)の午後に本屋さんに寄ってお願いしたら、4月1日(水)には入りますとのことでした。1日には行かれなかったので、3日(金)に本屋さんに行って、ありがたく購入してきました。
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まず、3巻目から目を通してみています。このシリーズは「日経サイエンス」に長く連載されているのですが、出題編はありがたいことにサイトに公開されているのです。今回ご紹介したいのはトランプ王国の故宮を復元せよという問題です。
このシリーズ、「不思議の国のアリス」「鏡の国のアリス」の登場人物のエピソードとして毎回の問題が出題されます。場面設定やキャラクターが魅力的ですし、イラストがすばらしいのです。問題文を読むだけでも楽しいです。
今回の問題は、「与えられた4点に外接する正方形を作図せよ。4点はそれぞれ正方形の異なる辺の上にあるようにせよ。」というものです。任意の4点で常に正方形が作図できるわけではありません。極端な場合、4点のうち3点が一直線上にあったらだめですし、さらに3点の三角形の内側に4点目が存在するような場合（4点の凸包が四角形ではなく三角形になっている場合）もダメです。さらに、4点が凸四角形になっていたら必ず題意を満たす正方形が作図できるかというと、ダメな場合もあります。今回の問題は、もともとその4点を通る正方形の存在が保証されている前提です。
与えられた4点をA,B,C,Dとして、まず点Aを通る適当な直線L1を引いて、その直線に頂点Bから垂線L2を降ろします。さらにL2に頂点Cから垂線L3を降ろし、最後にL3に頂点Dから垂線L4を降ろすと、四角形ABCDに外接する長方形を描画できます。
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ではこれを正方形にするにはどうしたらよいでしょうか？ 私にはかなり難しかったです。
昨日の午後から朝方にかけて、雨が降っていました。朝、窓の外を見るとアスファルト舗装された田んぼの中の道路が雨で濡れた状態になっているようで、朝日を反射して光っていました。
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こんな風に見えるのは珍しいです。
＜おまけのひとこと＞
今日の図は GeoGebra で作っています。GeoGebraはとても良いです。
4月6日(月) 2点を通る直線
幾何学の問題です。
これも Peter Winkler の本からの紹介です。
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極めて巧妙な証明があります。この問題は1893年に予想されたもので、最初に証明されるまで40年くらいかかっているのだそうです。「反例を思い付けるか」というところから考え始めると、あとで証明を読んだ時の感動が深まる気がします。
昨日の「与えられた4点が正方形の4つの辺の上に１つずつ存在するように正方形を作図せよ」という問題ですが、簡単な解の説明を作りました。解1はデュードニーがこの問題を出題したときに用意した解だそうです。解2は パズルの国のアリス3 ハートの女王とマハラジャの対決 で紹介されている別解です。
これも自分である程度考えてから解を見るとよいのではないかと思います。
＜おまけのひとこと＞
お彼岸も過ぎて、朝、明るくなるのが早くなってきました。今5時半なのですが、すでにすっかり明るいです。
4月7日(火) シルベスター・ガライの定理
昨日の問題の解説です。
昨日、こんな問題をご紹介しました。
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これは、1983年に英国の数学者シルベスター（James Joseph Sylvester:1814-1897）が予想した問題で、1944年に証明したガライ(Tibor Gallai)にちなんでシルベスター・ガライの定理と呼ばれるそうです。その後の1948年にケリー(Leroy Milton Kelly)が背理法による初等幾何のすばらしい証明を発表したのだそうです。それをご紹介します。
シルベスター・ガライの定理の反例があるとします。つまり、有限個の点の集合で、どの2点を選んだとしてもその2点を通る直線は必ず3点目の他の点を通ってしまう、そんな点の集合を作れたとします。有限個の点の集合なので、そのうちの2点を通る直線の数は有限個です。それぞれの直線に対して、その直線に乗っていない別の点のうち一番距離が短い点を考えて、その距離が最小になる直線と点のセットを考えます。（すべての点が一直線上にあるわけではないため、必ず「その直線に乗っていない点」が存在します。）その直線上の点をA,B,Cとし、それに一番近い点をDとします(下図)。
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Dから直線ABCに降ろした垂線は直線を2つに分けますが、少なくとも片側には2点が存在します。その2点をA,Bとします。（偶然、Bが垂線と直線の交点になっていてもかまいません。）垂線から遠いほうの点をAとして、AとDを結ぶ直線を考えます。（図示しませんが、この直線上にも少なくとももう1点、集合に属する点が存在するはずです。）今度はこの直線ADに、Bから垂線を降ろします。
さて、直線ABと点Dの距離(LD)と、直線ADと点Bとの距離(LB)を比べてみましょう。２つの直角三角形は相似なので、距離LDよりも距離LBのほうが小さいのは自明です。しかし、そもそも直線ABと点Dは、「この点の集合の中で、2点(3点以上)を通る直線に対して、最も距離が近い点」を選んだはずです。ところがその前提で考えてみると、それよりもっと距離が近い直線と点の組が存在することになってしまいました。
ということはそもそも「有限個の点の集合で、どの2点を選んだとしてもその2点を通る直線は必ず3点目の他の点を通ってしまう」ものが存在すると考えたことが誤りだった、ということになります。以上で証明は終わりです。
有名な数学者のポール・エルデシュ(1913-1996)が “The Book” (「天書」、神様の本という意味です)という概念について語っています。「神様が書いた、数学の定理に対する 最も美しく、完全で、簡潔な証明 だけを集めた架空の本」というアイディアです。「どんな定理にも、神様だけが知っている「究極に美しい証明」が存在する。それが書かれているのが “The Book”である。」というのです。エルデシュは、誰かが特に美しい証明を示すと、“This is straight from The Book.”（これは天書からの証明だ）と最大級の賛辞を送ったのだそうです。このケリーによるとてもエレガントな証明を、エルデシュは「天書の証明」の例としてしばしば取り上げたのだそうです。
盆百千栽 〜人類の寿命はたかだか100年ですが機械の私は1000年生きられるのであなたが居なくなってもこの場所で一人生きていきますからご心配なく〜 というコミックを読んでみました。サブタイトルが長くて、それだけ読めば物語の設定がわかるというのが昨今のライトノベル風の物語の流儀なのですね。絵柄はともかく、物語やキャラクターの設定は気に入りました。すでに指摘されている方も多いですが、この「ロボットというかアンドロイドが留守を守る」という設定は、ヨコハマ買い出し紀行を思い出します。
＜おまけのひとこと＞
会社の出張のJR券ですが、昔は会社のトラベル業務部門がJR券を発行してくれていました。勤務先事業所にトラベル業務部門の窓口があるときはとても助かっていました。プライベートでの利用も窓口対応してくれていたので、ありがたく利用させていただいていたものでした。その後、自分で「えきねっと」で切符を手配していったん個人で費用を立て替えて後日精算というシステムになりました。チケットレスで申し込むとJREポイントが付きました。来週からは「ビジネスえきねっと」に移行するという連絡が来ました。立て替えせずに済むようになるのはありがたいですが、ポイントが付かなくなるのはちょっとだけ残念かなと思いました。
4月8日(水) 1,2,3,4,…,10の最小公倍数
Xで見かけた話題です。
Xで、「数学の驚くべき話題」というようなスレッドを見かけて興味深く読みました。情報源を記録しておくのを忘れて、みつからなくなってしまいました。たとえば
- 素数の逆数の和は発散するが、知られているすべての素数の逆数の和はたかだか4程度である
- 円周率の小数点以下の数字の並びは任意の数字列を含む
みたいなものとかがあったような気がします。たくさんのリプライが付いていたのですが、面白いと思うものもいろいろありましたし、あんまり面白くないものもたくさんありました。
その中の１つに、「1,2,3,4,…,10のいずれでも割り切れる最小の数は…」というのがありました。べつに難しくないのですが、考えたことがありませんでした。早速計算してみました。（中学生くらいの問題でしょうか。）「数学の驚くべき話題」というようなものでもないような気がしました。
「円周率の小数点以下の数字の並びは任意の数字列を含む」というのは正規数(normal number)の話ですね。これは証明されていないのではないかなと思って少し調べてみたら、いろいろ面白い話題につながりました。こういうときAIと対話すると便利でした。
＜おまけのひとこと＞
今日は軽い話題です。
4月9日(木) カードマジック(その1)
カードを使ったマジック(手品)の話です。
こんなカードマジックを知りました。Peter Winkler のパズルの本からですが、出典は “Mathematical Card Magic”(Colm Mulcahy：2013)だそうです。
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まず、リフルシャッフルは上手にやると完全にコントロールできるそうです。今回、一番上の5枚は完全にマジシャンはコントロールしています。さすがに一組のカード52枚の任意の5枚の組合せではこのマジックは成立しないのは明らかです。なのでマジシャンは相手に渡した5枚のカードはすべて記憶しています。その前提で、選ぶカードの枚数は指定せず、また選んだ枚数も伝えなくても、合計の数字だけからどのカードを選んだかわかるように5枚のカードを選びたいのです。特に作為がなさそうに見えるように、選んだ5枚はあまり規則的ではないように見えるほうが望ましいでしょう。
このマジックをきいて（読んで）、「え、そんなことできるの？」と思いました。なぜなら使えるカードの値の最大値がK(=13)なのです。それ、無理でしょ？ と思ったのです。この時点ですでに術中にはまっているのですね。
昨日の、1,2,3,4,…,10を約数に持つ最小の数（＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10の最小公倍数）ですが、1から10を素因数分解して素因数を決めれば求まります。
| 1 | 1 | |||
| 2 | 2 | |||
| 3 | 3 | |||
| 4 | 2 | すでに2があるので新たに追加する素因数は2だけで良い | ||
| 5 | 5 | |||
| 6 | - | すでに2も3もあるので新たに追加する素因数はなくて良い | ||
| 7 | 7 | |||
| 8 | 2 | すでに2が2つあるので新たに追加する素因数は2が1つだけ | ||
| 9 | 3 | |||
| 10 | - | すでに2と5があって10の倍数なので新たに追加する素因数はなくて良い |
上の表は、求める数の素因数に必要な数字を順に追加していったものです。2列目の数字を全部掛け算すると、求める最小公倍数が求まります。2520になるはずです。
＜おまけのひとこと＞
数理的なカードゲームの話は過去にいくつかご紹介していると思うのですが、これは初めてだと思います。
4月10日(金) 数字当てゲーム
昨日のカードマジックの話は解説がまだ書けていないので今日は別の話題です。
Xにこんな記事がありました。
| 数字当てゲーム | ||
| Aさん | 2桁の整数を１つ考えてください | |
| Bさん | （例えば57を考える） | |
| Aさん | 掛け算の九九の9の段からどれでも良いので1つ数を選んでください | |
| Bさん | （例えば27を考える） | |
| Aさん | 最初に選んだ数を10倍して、選んだ9の段の数を引き算して、その結果を教えてください | |
| Bさん | （570-27=543だから）543です。 | |
| Aさん | あなたが最初に考えた数は57ですね。 |
「数学教師のための問題集」（島田茂、共立出版）からの紹介だそうです。
これは面白いです。「なぜわかるのか」「計算結果からもとの数を求める計算方法（アルゴリズム）はどういう手順なのか」を考えるために、最初はいくつかの例で考えるとよいと思います。私は手間を惜しんで、Excelで全パターンを計算した表を作ってみました。（もとの2桁の数は10から99まで考えられて、そのそれぞれに対して9の段の9つの可能性があります。）この表を眺めていたら自然と手順と理屈がわかりました。
昨日のカードマジックですが、5枚のカードから任意の枚数のカードを選ぶ組合せは25＝32通りあります（1枚も選ばない場合も含みます）。5枚のカードそれぞれを「選ぶ」「選ばない」を選択できるので2の5乗になるのですが、これを端的に表現しているのが5桁の二進法です。なので、1,2,4,8,16 のカードがあれば、選んだカードの合計を聞けばどのカードの組合せなのかは一意に定まるのでこのマジックは成立します。でも、カードの数値の最大値はK=13で、16のカードは存在しないのです。1〜13のカードで、同様に32通りの選び方をすべての合計値が異なるようにできるでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
画像を使わない更新が続いています。
4月11日(土) いろいろ
週末は更新をお休みしてしまいました。
昨夜、10日(金)は先月選択定年退職で会社を辞めた方の激励会（飲み会）でした。私より一回りも若い、まだ50歳直前という年齢で会社を去られたYさんは、入社したときから数年間、同じ職場でした。よもや私より先に会社を去られるとは思っていなかったので残念です。いろいろな話ができて楽しい会でした。
先日ご紹介したアルファベットパズル、これでできる文字が彼のイニシャルだったので、自分で試作してみたパズルを差し上げることにしました。厚紙で作ったものなので、不要なら処分してもらってかまわないので、それほど負担にはならないかなと思いました。ここで紹介したときには解は載せませんでしたが、一応こちらに図を流用したページを作って、そこから解の図が見られるようにして、QRコードを付けて渡しました。面白がってもらえるといいなあと思っています。
飲み会のときはホテルを予約して宿泊するようにしています。朝8時半過ぎの列車に乗ると最寄り駅に9時半くらいに到着するので、9時半に開店する駅前の本屋さんで、毎号お願いしている「数学セミナー」を買って帰ろうと思ったのです。ちょうど4月11日(土)発売ということで、喜び勇んで本屋さんに行ったら、シャッターが下りていて、「4月25日の駅ビル移転に伴いしばらく休業します」という張り紙が貼られていました。ああ、それならゆっくりチェックアウトして丸善に寄ってくればよかったなあと残念に思いました。
このお休みは昔の自分のサイトの検索をしたりしていたのです。カードマジックについて、２回ほど書いているはずだと思って探していたのでした。その途中でSimon Tatham's Portable Puzzle Collectionというパズルのページにはまっていた記録を読んで、ついこのサイトに行ってしまったのが間違いのもとでした。いくつかのパズルにはまって、えらく時間を失ってしまいました。やりたいことがあった週末だったのですが…
例年より早く、桜が見ごろになりました。本屋さんにnikoliの春号（４月10日発売）を探しに行ったのですが見つかりませんでした。カプセルトイマシンにカリンバ（親指ピアノ）があったので(400円でした)試してみたら、桜の花のデザインのものが出てきました。桜を背景に写真を撮ってみました。
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＜おまけのひとこと＞
4月12日(日)の夜に土・日・月の3日分をまとめて書いています。
4月12日(日) カリンバ
カプセルトイの小さな楽器の話です。
カプセルトイマシンで購入した 指で弾くピアノ四季のカリンバ ですが、リンク先のオフィシャルサイトにあるように４種類のデザインがあるようでした。（ちなみに「指で弾くピアノ」と書かれていますが、ピアノって普通指で弾くものだと思うのです。ひょっとしてこの「弾く」は「ひく」ではなくて「はじく」と読むのでしょうか。）
ちなみに購入した直後には音がまったく整っておらず、音階の体をなしていませんでした。家に帰って、バーを固定しているプラスねじを緩めて音の高さを調節しました。けっこう大変でした。これをやらないと適当に遊んでみても気持ちが悪いのです。コスト面で調律してから出荷するのは無理だということはわかるのですが、でも調律しないと全く音階になっていない、というのはかなりハードルが高そうです。
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| 楽器にフォーカス |
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| 背景にフォーカス |
音域はちょうど１オクターブで半音は出せません。演奏できる曲はかなり限定されます。とりあえず「春」モデルだったので、春の唱歌のうち演奏できそうなものを試してみました。意味もなく楽譜にしてみました。
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共鳴する部分がないので極めて小さな音しか出ませんが、木の箱の上に載せて音を出してみるとかなり大きく響きます。こういう小さなおもちゃのような楽器はとても好きです。この音域でなんとか演奏できる曲を5〜6曲は見つけました。
＜おまけのひとこと＞
楽器は本当に楽しいなあと思います。もうちょっとまともな楽器としてのカリンバも持っているのですが、親指が痛くなって長くは弾けないのです。でもまともな楽器も取り出してきてたまには弾こうかなと思いました。
4月13日(月) カードマジック(解説)
カードを使ったマジック(手品)の解説です。
先日ご紹介したこのカードマジックの解説です。
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金曜日にも書きましたが、{1,2,4,8,16} という２のベキが使えれば話は簡単なのです。でも最大で13のカードしか使えないのです。同じようにすべての組合せで合計の数値が異なるものが作れるでしょうか？ 驚いたことにこの問題、解があるのです。（まあだからマジックが成立するのですけれども。）見つけた人はすごいと思います。以下の表をご覧ください。
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このように、6,9,11(J),12(Q),13(K) の５枚の組合せだと、25＝32通りのカードの選び方すべての合計の値が異なるのです。びっくりしました。これらを数表にマッピングしてみました。
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１枚も選ばなければ合計はゼロ、５枚全部選べば合計は51です。15〜25ならば２枚、26〜36なら３枚の合計です。38以上だったら4枚です（51でなければ）。これを覚えるのはちょっと大変そうですが、４枚の時は51から引き算すれば選ばれなかったカード１枚がわかりますし、3枚の時にも51から引き算すれば使われなかった２枚の合計がわかります。ということは、2枚の合計を間違いなく計算できれば、あとはなんとかなる、ということになります。
もはやこれを覚えて、練習してマジックを披露したいとは思いませんが（昔ならがんばったかもしれません）、本当に面白いなあと思いました。
＜おまけのひとこと＞
ほかの数理マジックについても少しずつ読んでみています。世の中面白いことを考える人がいてくれてありがたいです。
4月14日(火) 「数学セミナー」5月号
5月号を入手しました。
「数学セミナー」の5月号を無事入手することができました。
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| 「数学セミナー」５月号 |
今回の特集「かっこいい数式」はたいへん面白く読ませていただきました。濱中裕明先生の連載「学校数学を冒険しよう」の２回目、「糸掛けアートに関する探究」がとても面白かったです。自分でもプログラムを書いてCGを作ってみようかなあと思いました。濱中先生には四半世紀前にこのサイトの公開を始めたころからとてもお世話になっていて、情報や刺激をたくさんいただきました。こうして同じ雑誌に同じタイミングで連載を持たせていただけるということに感動しています。
「あやとりの楽しみ」は３回回転対称のあやとり作品の紹介の２回目です。手の本数が３本だとして手順を記述すると簡単に手順を記録できるところが気に入っています。問題は最初のオープニング、「構え」なのですが、これを一般化して考えるのは楽しかったので、記事ではそれをご紹介しています。
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| 「あやとりの楽しみ」第26回 |
気に入ったあやとり作品はこうしてホワイトボードに固定して飾っています。
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| 掲載あやとり作品の写真 |
この写真は今朝撮ったものなのですが、すでに２カ月くらいこうして飾ってあります。この紐は使い勝手が良いので、そろそろ外そうかなと思っています。同じシリーズの色違いの紐を買っても、色によって紐の硬さや滑り具合やねじれ特性などが異なることがあるのです。また、写真を撮った時に背景とのコントラストが高いほうが好ましいのですが、あまり暗い色の紐だと今度は交差の上下がわかりにくくなってしまったりするのです。
あやとりをやっている人は、取りたい作品に応じていろいろな紐が欲しくなると思います。私もこれまでに少なく見積もって100本以上は使っていますが、ものすごく使用頻度が高い紐もあれば、ほとんど使わない紐もあります。
＜おまけのひとこと＞
今日は特に会議が多い日です。自分の仕事の時間が取れないのがちょっと大変です。