以前の「ひとこと」　：　2017年8月後半

8月16日(水)　大村さん作の５・６・７三十面体(北村さんの多面体)の模型を作った

　今年の8月1日から、尾道の大村さんからいただいた５・６・７三十面体のデザインのご紹介をしました。そのときにいただいていたpdfの型紙を印刷して模型を作ってみましたのでご紹介します。

　自分がデザインしたものではないので型紙は載せませんが、たいへんよく考えられたデザインでした。北半球、南半球に相当する9つの面は３つの合同なパーツに分けられていて、赤道に相当する12面がひとつながりのパーツになっています。

　特にジョイント部がよく考えられていて、通常のペーパーモデルの「のりしろ」は、相手の側に向かって狭くなるような台形になっていることが多いですが、図1のように、隣接する面の内角に等しくなるように設計されています。

図 1

　このジョイントが交互に配置されていて、しかも今回の多面体はすべての内角が鈍角なので、組んでしまうと接着しなくても外れません。そのかわり、組むのはけっこう大変です。

　先日いただいた大村さん作の写真はとてもきれいに作られているのですが、自分で作ってみると、きれいに作るのがかなり大変だということがよくわかりました。その分、出来上がった時の達成感はありました。

　ちなみに、いただいた型紙は、印刷面が内側に来ることを想定して設計されていましたが、線が外に見えるのも好みなので、設計意図とは違いますが印刷面を表にして組んでみました。

図 2		図 3

　図2は３回回転対称方向から見たところ、図3は赤道方向から見たところです。

図 4		図 5

　図4は七角形の面の方向から見たところ、図5は六角形の面の方向から見たところです。図4や図5の方向から見ると、少し尖ったかたちをしているのがわかります。

　単に転がしておいてもいいのですが、せっかくなので回転対称軸を垂直にして飾っておきたくて、かんたんなスタンド（台）を作ってみました。

図 6		図 7

　なかなかいい感じです。大村さん、本当にありがとうございました。

＜おまけのひとこと＞
　昨日15日は天気が悪い一日でした。高校野球、地元の長野代表の松商学園が第一試合で２回戦だったのですが順延になりました。夜の諏訪湖花火大会は、小雨の中で実行されたようで、今朝のニュースによると、昨年より若干少ない48万人の人出だったそうです。
　今日は送り盆でお墓を回ります。本当は息子の運転で、と考えていたのですが、体調不良のため私だけが行くことにしました。ちょっと残念です。

8月17日(木)　正八面体を等分する：準備編

　昨日でお盆休みも終わり、今日から仕事です。このお盆休みは息子が帰省して寝込んでいたため、家でもっぱらCGや模型作りをしていました。

　特にこのお休みのテーマになったのは、正八面体の対称性をもつ多面体の三等分、です。今日はまずそのための準備の説明をしたいと思います。

　図1は正八面体、図2はそれを二等分した正四角錐、いわゆるピラミッドです。正方形の底面１枚と正三角形の側面４枚を持ちます。

図 1		図 2

　図3は、図2のピラミッドを二等分した、正八面体の４分の１の体積を持つ四面体です。直角二等辺三角形２面と正三角形２面による四面体です。

図 3		図 4

　図4は図3を二等分したかたちで、底面が正三角形、側面が小さな直角二等辺三角形３枚の三角錐です。正八面体のちょうど八分の一になります。

　後で模型の図面を作るために、この三角錐の各部分の寸法を計算してみました。

図 5

　こんな感じになりました(図5)。この図4,図5の三角錐の体積を1として考えるといろいろ考えやすかったので、以降その前提で話をします。そうすると、図1の正八面体の体積は8、図2のピラミッドは4、図3の四面体は2、となります。

　さらに図4の単位三角錐を二等分、三等分してみました(図6、図7)。これはgifアニメーションにしてみています。

図 6		図 7

　図6の体積は二分の１、図7の体積は三分の1になります。

(つづく)

○

　昨日は送り盆でお墓参りに行きました。帰りに母が、「お留守番している家族に何かお土産を」と言って、ちょっと寄ったお店でいくつか買ってくれたのですが、その１つがこれです。

図 8

　私の趣味で、パッケージのかたちで選びました(留守番の家族のお土産になっていないような…)。でもお土産はこれだけではなかったので勘弁してください。

＜おまけのひとこと＞
　今日から仕事です。でも今日は休んでいる人がそれなりにいるはずですので、仕事がはかどるといいなと思っています。

8月18日(金)　正八面体を等分する：モデル1　〜フレーム画像〜

　昨日、正八面体を八等分した三角錐を基準として正八面体を分割してゆくCGをご紹介しました。今日はそれを使って、正八面体を３つの合同な多面体に分割する例を１つご紹介します。

図 1

　まず、素朴に考えたのが図1の白い骨格で示したかたちです。

図 2		図 3

　これは、図2、図3の体積１単位が２つと、

図 4		図 5

　図4、図5の体積３分の１単位が２つ、合わせて３分の８単位分ということで、正八面体の体積８単位のちょうど３分の１になっています。

　このかたちが３つで、ちょうど正八面体になるのです(図6)。

図 6

　といっても、図6を見てもピンとこないと思います。そこで、３つのパーツを色分けして、だんだん離れてゆく様子をgifアニメーションにしてみました。

図 7

　いかがでしょうか。イメージが湧くでしょうか。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　お盆休みには、こんなCGをたくさん作りました。

8月19日(土)　正八面体を等分する：モデル1　〜アニメーション〜

　昨日、正八面体を３つの合同な多面体に分割する例を骨格モデルでご紹介しましたが、わかりにくいので面を張ってみました。

図 1

　正八面体のCGを描くとき、一番簡単なのは(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)に6頂点を取る方法です。昨日までのCGもそうして描いています。ただ今回のモデルの場合、それだと分割された３つのパーツの位置関係がわかりにくいので、図1では垂直軸(図の赤・緑・青の３つの直交軸のうちの緑の軸)の回りに120度ずつ回転すると正八面体になるように姿勢を変えて描画してみました。

　余談ですが、英語で言うと三次元空間での位置はposition、姿勢(向き)はposeです。位置を変えるのが「移動：translation」で姿勢を変えるのが「回転：rotation」です。これらを行列で表現したり、四元数(quaternion：クオータニオン)で表現したりします。

　図2は、図1と同じ視点から、正八面体をこの３つの合同なかたちに分割する様子をアニメーションにしてみたものです。

図 2

　さらに図3は、同じものを視点を変えて上から見下ろしている感じです。

図 3

　これでイメージがわかったので、実際に模型を作って確かめてみることにしました。

(つづく)

○

　帰省していた息子の体調不良はようやくおさまってきたようです。今回の帰省で、息子は私と妻にそれぞれ誕生日プレゼントを用意してきてくれていました。私がもらったのは「しおるーぺ」という、メガネのフレームのかたちの本のしおりで、片目側に凸レンズがはまっているというものでした。

図 4

　いろいろ考えて選んでくれたようです。私も徐々に小さな文字が苦手になってきているので、ありがたく使わせてもらいます。

○

　昨日、定期通院に行ったのですが、帰りに薬局に寄って出てきたら、「在宅サポート　じこぼう」というロゴが描かれた軽自動車が薬局の前に止まって、女性が薬局に入ってきました。「じこぼう」というのはきのこの名前なのですが、「事故防止」とかけているのだろうなあと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　このところ毎日更新しています。

8月20日(日)　正八面体を等分する：モデル1　〜ペーパーモデル〜

　昨日までCGでご紹介してきた正八面体を三等分するモデルを、ペーパーモデルの手法で作ってみました。

図 1		図 2

　CGもいいのですが、やっぱり実際の立体は良いです。

　型紙はこんな風に設計しました(図3)。

図 3

　背の低い三角錐を最初に接着して、直角二等辺三角形の面を「ふた」として貼り付ける手順です。

(つづく)

○

　息子が一週間近く体調不良だったのですが、ようやく回復して東京に戻りました。小淵沢から「ホリデー快速ビューやまなし」で帰るというので、車の運転の練習を兼ねて自分で運転してもらうことにしました。

　助手席に乗るとゆっくり周りを見たり写真を撮ったりできていいです。図4は、国道20号から小淵沢駅に向かって上り始めたところにある小淵沢ループ橋です。

図 4

　小淵沢駅は新しくなっていて、びっくりしました。車を停めるのには時間がかかりました。

図 5

　新しい駅舎は木造の凝ったデザインの建物でした。橋上駅なのですが、2階に上がる階段もホールの中のようでした。大きな窓から、有名な駅弁「元気甲斐」の看板が見えました(図5)。

　屋上に展望台がありました。よく晴れていれば富士山や八ヶ岳、南アルプスがきれいに見えるようですが、この日は陽は射していましたが山は見えませんでした。

図 6

　展望台から普通列車の写真を撮りました。ごちゃごちゃした感じの写真になりました。

○

　息子の運転の車では私が助手席に座ったのですが、運転席の後ろの席に座った妻が「この席はなんだか守られている感じがいいね。チェスでキャスリングした王様みたい。」と言うのをきいて感心しました。その発想はなかったです。

＜おまけのひとこと＞
　息子は元気に帰ってゆきました。またお正月に帰省してくるかな。

8月21日(月)　正八面体を等分する：モデル2　〜構想〜

　正八面体を三等分するモデル、最初に考えたものよりももう少し自明でないかたちができないかな、と思って考えてみました。基本は昨日までご紹介した「モデル1」と同じです。

図 1		図 2

　まずはフレームモデルのCGです。わかりますか？

(つづく)

○

　妻の買い物のお供でお店に行ったとき、100円ショップをのぞいたのですが、新しいデザインの折り紙を買ったついでに、「ナノブロック」の廉価版の「プチブロック」というのがあって、つい買ってしまいました。

　大部分の作品は、本家の「ナノブロック」のほうがデザインが素晴らしいのですが、たまに廉価版にも侮れないデザインのものがあります。

図 3

図 4

　廉価版は作成手順書がとてもわかりにくいです。使われるパーツはリストアップされていて、それを板状に並べて積層してゆく手順が一階層ごとに図示されているのですが、その階層を作るために、パーツをどう並べたらよいかが図から読み取りにくいのです。そのおかげで、パズルを解くように作ってゆくことになります。万人向けではないなあと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　今週からいつものペースでの仕事が始まります。

8月22日(火)　正八面体を等分する：モデル2　〜アニメーション〜

　昨日の正八面体を三等分するモデル2ですが、分割する様子をアニメーションにしてみました。

図 1		図 2

　今度は正三角形の面はなく、細長いコの字型のパーツになります。これもペーパーモデルで作ってみることにしました。

(つづく)

○

　ベランダにミンミンゼミが死んでいました。

図 3

　夏も終わりだなあと感じます。

　土に還れるように、下に落としました。

＜おまけのひとこと＞
　8月21日(月)の早朝に、8/20〜8/22の３日分の更新をしています。今週から3週間くらいとても忙しいです。

8月23日(水)　正八面体を等分する：モデル2　〜ペーパーモデル〜

　正八面体を三等分するモデル2、これもペーパーモデルを作ってみました。完成したパーツの写真です(図1)。

図 1

　いかがでしょうか、この３パーツを組み合わせて正八面体ができるというのは、ぱっと見想像もつかないと思うのですがどうでしょうか。

　図2〜図5に、３つを組み合わせて正八面体のかたちにしたところから徐々に開いてゆく写真を撮ってみました。

図 2		図 3
図 4		図 5

　実際に作ってみるととても面白いです。

　展開図はこんなふうに設計しました。底角30度の鈍角二等辺三角形の面は、２つに分割してみました。

図 6

(つづく)

○

　11月12日(日)に、ガンバ奏者の小池香織さんの長野県内のお弟子さんの発表会が望嶽荘というホールで開催されるのですが、そこでまたトラヴェルソを吹かせていただくことになりました。

　今回はフルートのソロソナタを考えています。ガンバの発表会なので、どなたかに通奏低音を弾いていただけたらと思ったのですが、今回は難しいみたいなので、通奏は妻の鍵盤だけでの演奏になりそうです。

　ホールは小諸市の菱野温泉のすぐ近くのようです。会場までの道を一度下見しておこうかなあと思いました。ホールと楽器(チェンバロ)が楽しみです。

＜おまけのひとこと＞
　お盆休み、結局一度も笛の練習ができませんでした。まずい…

8月24日(木)　正八面体を等分する：６等分モデルのペーパーモデル

　実は昨日の三等分モデル2を実際に作る前に、その半分の六等分モデルをまず考えて、ペーパーモデルを作ってみたのでした(図1)。

図 1		図 2

　図2のように、おおきな鈍角二等辺三角形の面を合わせると、正八面体の三等分モデル１のパーツのかたちになります。

図 3		図 4

　一方、直角二等辺三角形の面を合わせると、昨日の正八面体を三等分するモデルのモデル２のパーツのかたちになるのです。

　正八面体を三等分するモデルのパーツには１つの頂点の回りに集まる角の合計が360度を超える頂点があって、展開図がちょっと設計しにくいのです。そのため、そのさらに半分の模型を作って考えてみたのでした。

　六等分モデルの展開図はこのように設計しました。

図 5

(つづく)

○

　先日ご紹介した小淵沢駅の新駅舎ですが、調べてみたら7月3日から使用開始されていたようです。7月14日に出張で特急列車で小淵沢駅には停車していたのですが、まったく気付きませんでした。やはりそれ以降に特急列車で東京に行った妻も、「元気甲斐」の看板は見た覚えがあるんだけど、新駅舎は記憶がない、と言っていました。

＜おまけのひとこと＞
　8月23日の朝に、23日、24日の２日分の更新をしています。

8月25日(金)　前川淳さんの星型多面体

　前川淳さんの「折る幾何学」の1-11の「星型多面体」を作ってみました。

図 1		図 2		図 3

　実は最初に作ったものはうまく安定せず、パーツを少し細工して組みやすくしたのですが、そうしたら今度は隙間が空いてしまいました。「折る幾何学」の帯の写真がこの星型多面体なのですが、たいへんきれいに作られています。なかなかこうはいかないものです。

　邪道ですが、２つに折り曲げたそれぞれのパーツを接着したら安定するかなと思いました。

　この発想の６枚組を私が初めて知ったのは、20年ほど前に公開された、こちらのくみがみ博物館というところで見たときでした。前川さんの多面体とは構造は違いますが、発想は似ています。上記のページを見て作ってみたものを、2001年にこんなページにして公開しています。

○

　最近、デイリーポータルZで、デジタルリマスター版の記事がいくつも載っていますが、私も昔の画像の小さいコンテンツはもっと大きな画像に置き換えたいなあと思いました。でも、元になる画像やデータもだいぶ失われています。

＜おまけのひとこと＞
　今朝は寝坊してしまってあわてて更新しています。

　実は、過去にこの「くみがみ」を作った記憶はあったのですが、通常の「過去のひとこと」で掲載したはず、と思って探したのですが見つかりませんでした。十数年前のコンテンツの記憶はだいぶ怪しくなってきています。

8月26日(土)　三角形で「らせん」を折る：直角編(その1)

　先日、長方形から菱形を切り出したときの「余り」の部分の細長い直角三角形でこんな「らせん」を折りました、という写真をご紹介しました。

再掲図

　この左側のパターンをCGにしてみました。一回折るごとに三角形ができるのですが、実際の紙で折るとだんだん重なって厚くなってゆきます。CGでもそれをシミュレートして、新しい点を少しずつ高くするようにして図を描いてみました。

　図1は全体を上から見たところ、図2は中心付近を斜めから見たところです。

図 1		図 2

　紙の厚さは一定という仮定で、三角形が小さくなっても高さの差分は一定になるようにしています。そのため中心部分はユニコーンの角のように鋭くとがってしまいました。

　明日以降、これをどうやって描いたか、とか、最初の三角形の尖り具合を変えるとらせんがどうなるか、などをご紹介してゆこうと思っています。

(つづく)

○

　これも先日ご紹介した、L-cubeという石のような素材の積み木です。こんな風に並べてみました。

図 3

図 4

　シンプルな図3のほうがいいかなと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　今日は久々にアンサンブルの練習です。

8月27日(日)　立方体を三等分する：濱中裕明さんのモデル

　昨日、三角形で折る「らせん」のCGを２枚ほどご紹介しました。せっかくなら折ってゆくプロセスがわかるようなアニメーションを作りたいなと思って、昨日の午後３時間ほどかけて楽しいプログラミングをしました（意外と時間がかかってしまいました）。今日はそれをご紹介しようと思っていたのですが、兵庫教育大の濱中裕明先生から、「数日前の正八面体の三等分モデルをみて、立方体版を作ってみました。」という写真つきのメールをいただいて、とても嬉しかったので本日は急遽その写真をご紹介させていただきます。

図 1		図 2

　なるほど。立方体は考えていませんでした。これはぜひ私も模型を作ってみたいです。

　実を言うと、今回の「正八面体の三等分モデル」を考えたきっかけは、8月6日に前川淳さんにお目にかかった時、3Dプリンタで作製された「菱形十二面体の三分割パズル」を見せていただいたことなのです。先日ご紹介した「正八面体の三等分モデル：model2」と同じ分割法を菱形十二面体に適用すると、12枚の菱形の面のうち、実に9面までは面内が分割されず、残る3面も二等分されるだけ、という大変シンプルで美しい分割になるのです。

　前川さんに見せていただいた三分割パズルの構造はもう少ししっかり噛み合っていて複雑だったような気がするのですが、記憶違いかもしれません。

　この「菱形十二面体の三等分モデル」もCGや模型が作ってあるので、9月の頭にはご紹介しようと思っています。

(つづく)

○

　毎月25日は19時半から地区の集まり(常会)があるのですが、今月はそこで区費を払わなければいけなかったのです。ところが夕方に会議が入ってしまい、帰宅したのは20時半過ぎで、常会はとうに終わっていました。昨日の夕方、組長さんがわざわざ区費を集めに来てくれました。ご迷惑をかけてしまいました。

　先日、家の壁の修繕工事をお願いした業者さんに屋根の点検をしてもらったのですが、その見積もりを昨日いただきました。我が家も築２０年を過ぎました。屋根が傷んで大掛かりな修繕が必要になる前にやっておくほうが経済的だと思うので、今回お願いしようと思うのですが、素材や工法のグレードが３種類提示されていて、どうしようかなと思っています。（ちなみに３グレードというのは、平米単価が1,800円、2,200円、3,300円です。）

　昨日は野辺山天文台の特別公開日だったので、時間があれば行きたいなと思っていたのですが、アンサンブルの練習やら屋根の塗り替え工事の見積もりの説明やらいろいろ予定が入ってしまって今年は行くのを断念しました。

＜おまけのひとこと＞
　今年のお盆休みは息子が一週間ほど帰省してくることになっていたので、いろいろ外食やお出かけの計画も考えていたのですが、結局ほとんど息子が寝込んでいたため、ずっと家にこもっていました。楽器の練習もできませんでした。でもその時間で、正八面体の三等分モデルや菱形十二面体の三等分モデルを考えて、CGを作ったり模型を作ったりしていました。

8月28日(月)　三角形で「らせん」を折る：直角編(その2)

　昨日は一日違う話題をはさみましたが、三角形から「らせん」を折る話に戻ります。

　この「らせんを折る」という技法というかアイディアは、私は2007年の数学教育協会の全国大会で布施知子さんの講演で知ったのですが、そのときにはこの「直角に折ってゆく」という手法は紹介されていませんでした。

　だとするとこの手法、私はどこで覚えたのかなと改めて考えてみたのですが、あ、これは戸村浩「基本形態の構造」だ！と思い出しました。

図 1

　この素晴らしい本は(検索してみたら2007年5月30日のひとことでご紹介していました)、亀井哲治郎さんからいただいて、大切に持っています。この本の26ページのところにこんな図と写真がありました。

図 2

　これはトレーシングペーパーで折ってあるので、透けて見えています。大変美しいと思います。

　さて、これを折る手順をアニメーションにしてみました。大きな画像ですみません。ファイルサイズは意外と小さいですのでご勘弁ください。

図 3

　幅と高さの比が5対2の直角三角形から始めてみました。表・裏とどんどん折ってゆくので、だんだん厚くなってゆきます。図3は最初の三角形からだいたい20ステップ目くらいまで折ったところです。

　図4は30ステップ前後です。折ったり戻したりという画像になります。厚みや影がなかなかリアルだと思うのですがいかがでしょうか(自画自賛)。

図 4

　さらに進んで50ステップ目です(図5)。

図 5

　画面中心に小さな青い「まだ折っていない部分」が見えています。CGなので100ステップでも200ステップでも描画できますが、現実の紙だとここまで折るのは難しいと思います。

(つづく)

○

　インド・ネパール料理のロイヤルナンハウスというお店に妻と行きました。とても美味しかったのですが、量が多くて妻のナンは「持ち帰り」にさせてもらいました。

＜おまけのひとこと＞
　8月28日(月)の早朝に28,29日の２日分の更新をしています。

8月29日(火)　三角形で「らせん」を折る：直角編(その3)

　さて、せっかくCGで「らせん」を描けるようになったので、いろいろな比率の三角形から始めてできる「らせん」を描いてみました。極端に細長い三角形から始めて、だんだん幅と高さの比を小さくしていってみました。

図 1		図 2

図 3		図 4

図 5		図 6

　図1のように極端に細長い三角形から始めると、なかなか収束しません。このCGでは約1,000回「折る」プロセスを繰り返して描いています。

　比率をだんだん穏やかにしてゆくと、らせんは急速に収束するようになります。皆さんはどのくらいの比率のものが美しいと思いますか。私は昨日の5対2という比率の「らせん」はなかなかバランスがいいと思うのですがいかがでしょうか。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　先週末(26,27日)は妻が不在でした。家事をやったり、10月のリスーピアワークショップの当日配布資料の準備をしたりしていました。

8月30日(水)　三角形で「らせん」を折る：直角編(その4)

　「らせん」直角編、いったん今日が最終回です。最後にCGの描き方というか、座標の求め方を書いておきます。

　この「らせん」のCGは、図1のように相似な直角三角形を色を交互に変えながら描画しています。

図 1

　直角三角形の直角をはさむ２辺を「短辺」「長辺」と呼び、一番長い辺を「斜辺」と呼ぶことにします。最初の直角三角形の長辺が、次のひとまわり小さい直角三角形の斜辺になります。その比率で三角形はどんどん小さくなってゆきます。

　座標の求め方ですが、以下のような手順を繰り返して計算しました。

　最初の直角三角形の一番尖った頂点をT₀とし、直角の頂点をB₀、３つ目をA₀とします。B₀から斜辺に垂線をおろして、その足をC₀とします(図2)。

図 2

　次に、線分B₀C₀を軸にT₀を折り返します。新しい点をT₁とします(図3)。

図 3

　これで一回り小さな直角三角形ができました。B₀をA₁、C₀をB₁と呼び変えます。新しい三角形A₁B₁T₁に対して同じ操作を繰り返すことで、次々と新しい三角形の座標を求めることができます。

　ちなみに２点で定まる直線に対して、第三の点から下ろした垂線の足は次のように計算できます。

図 4

　若干面倒な式変形ですが、計算してみると比較的きれいな結果になりました。最初の２点が一致していなければ分母はゼロになりませんから、三角形が特別な姿勢のときには計算ができないといったような問題は起こりません。

　なお、図3の「折り返し」操作は、C₀がT₀T₁の中点になっているという条件なので、簡単に求まります。

　高校で習う数学というのは、こういうCGを描くときなどもとても役に立つなあと改めて思うのです。本当は図形の操作なので、座標系を導入せずに記述できればずっと簡単なはずですが。

＜おまけのひとこと＞
　勤務先の8月の職場安全パトロールで、机上の整理整頓ができていないということで「イエローカード」を貰ってしまいました。先週末の指摘事項の改善確認パトロールの当日の朝、あわてて整理しました。ほとんどが机に積み上げた書類や印刷物だったので、電子データの所在がはっきりしているものはこの際と思って大部分を廃棄しました。（きちんと職場保管しなければならない書類は定位置にファイルしているので、机の上のものは自分のメモとか作りかけのドキュメントとかなどしかないのです。）

8月31日(木)　前川淳さんの「消波ブロック」

　前川淳さんの「折る幾何学」から、テトラポッド型の「消波ブロック」の型紙を印刷して切り抜いて組み立ててみました。

図 1

　スリットをやや広げすぎました。

図 2		図 3

　組み立てる腕が悪くて、きれいに作れませんでした。もう少し薄手の紙を使ったほうがよかったかもしれません。でも作るのは楽しかったです。

＜おまけのひとこと＞
　8/30の朝に、30日、31日の２日分の更新をしています。