以前の「ひとこと」　：　2017年9月前半

9月1日(金)　菱形十二面体を三等分する(その1)

　先日予告していた、菱形十二面体を三等分するモデルのご紹介をしたいと思います。

　最初に「菱形十二面体」のおさらいをしておきます。菱形十二面体は、正八面体の各稜を菱形で置き換えたかたちをしています(図1)。実は立方体に対して同じ操作をしても、同じ菱形十二面体になります。

図 1

　このかたちをCGで描くのはとても簡単で、もともとの正八面体の頂点を(±1,0,0)、(0,±1,0)、(0,0,±1)とすると、新たに追加される８つの頂点は(±0.5,±0.5,±0.5)です。

　これを先日の正八面体の三等分や、濱中さんの立方体の三等分と同様に分割してみたときのCGが図2,図3になります。

図 2		図 3

　これはシンプルでとても美しい分割だと思うのですがいかがでしょうか。三等分なので、分割された１つのピースには元の12枚の菱形のうち４面分が含まれます。そのうち３面はもとの菱形そのものであり、残りの１面分は、菱形を短い対角線で分割した二等辺三角形が２枚になります。

　これもペーパーモデルを作って正八面体の三分割、立方体の三分割と並べて飾ってあります。ちゃんと噛み合って安定しています。この三種類の多面体の三分割のうち、菱形十二面体が一番好きかなあと思っています。

(つづく)

○

　昨日8月31日(木)は、年に一度の会社の総合防災訓練がありました。あまり天気が良くない予報で、「雨が降ったら屋外まで避難せずに済んで短時間で終わって楽かも」「(例年は暑いのですが)曇っていれば暑くなくて楽かも」と不埒なことを考えていたのですが、防災訓練の時間(10:30〜11:45)だけはなぜかしっかり晴れてくれました。それでも風が涼しくて、例年よりはよほど過ごしやすかったです。

＜おまけのひとこと＞
　今日は午前中が他事業所に外出、お昼前から近場に出張です。ちょうどお昼の時間に移動しなければならないため、おにぎりかパンでも買って約30分の列車移動中に慌ただしく食べることになりそうです。でもそういうのもたまには楽しいかなあと思っています。

9月2日(土)　菱形十二面体を三等分する(その2)

　昨日に続いて「菱形十二面体を三等分する」話です。このかたちはとても面白かったので、少し丁寧に説明したくなりました。面白いと思って下さる方がいらっしゃるかわかりませんが、自分がこのかたちをどうやって見つけたのかを残しておこうと思います。

　もとにしたのは正八面体の三等分モデルの２ですが、さらにそのもとになっている正八面体の六等分モデルを考えて、それを菱形十二面体に適用してみました。カットしている面をそのまま延ばして、モデルを「ふくらませる」イメージです。

　最初に、正八面体の六等分モデルを菱形十二面体の内部に配置します(図1)。

図 1

　次に、この六等分モデルを菱形十二面体の面に届くまで広げます(図2)。図2のアニメーションは広げたり戻したりを繰り返しています。

図 2

　図3は、そうしてできた「菱形十二面体の六等分モデル」を90度ずつ回転させてみているところです。

図 3

　正八面体のときと同じように、この六等分モデルを２つ貼り合わせたのが三等分モデルになります。今度は面を張ったものを90度ずつ回転させてみました(図4)。

図 4

　図4を見て、もともとの菱形十二面体の「菱形」の面を３つ含んでいることがわかりますか？　この三等分モデルの３つを組み合わせたときに、その３面ずつがどのような位置関係になるのか、図5で示してみました。

図 5		図 6

　全部重ねると隠れてしまう面があってわかりにくいので、色を変えて切り替えて表示しています(図5)。でもそれだと全体の位置関係もわかりにくいので、図6のように図示してみました。このように菱形の長いほうの対角線が３つつながっています。これらはちょうど直角になっていて、コの字型をしています。

　図5と図6は同じ角度、同じ色で描画しているので、見比べてみてください。

　３回回転対称軸が垂直になるように姿勢を変えた図も作ってみました(図7)。

図 7

　楽しいです。菱形十二面体の各面の長い対角線だけを取り出すと正八面体の骨格（12本)になりますが、その12分の9になっています。(ちなみに菱形十二面体の各面の短い対角線だけを取り出すと立方体の骨格になります。)

(つづく)

○

　昨日は出張でした。お昼前に駅の駐車場に車を入れました。150台くらいスペースがある駐車場なのですが、残り2台くらいしか空きがなくて冷や冷やしました。　空いていない場合は駅から徒歩５分くらいのフリーの駐車スペースに車を回さなければならないので、10分以上時間がかかります。それを見越して30分前には駅の駐車場に車を入れたのですが、おかげでだいぶ余裕がありました。

　以前から気になっていた駐車場の中の線路跡の写真を撮りました。

図 8

　まさか「諏訪鉄山鉄道」の跡ではないよな、あちらは確か駅の東口側のはずだしこんなところにこんな角度であるのは違うようなあ、でもだとしたらこれは何だろう？と思っています。

＜おまけのひとこと＞
　お休みだと時間があるので、つい図を作り直したりしてかなり更新時間をかけてしまいました。最近、gifアニメーションのファイルが多いのですが、実は恥ずかしながら今使っているgifアニメーション作成ソフトの仕様をこれまで誤解していて、予め個々の画像をgifファイルに変換しなければいけないのだと思っていました。なのでgifアニメを作るのがひと手間かかっていたのですが、実は作成ソフトが自動で変換してくれるということがわかって、それならば簡単にできるのでどんどん作ってみているのです。
　でもそうするとまたホームページ領域がいっぱいになるのが早まってしまうなあと思っています。まあまたそのときはそのときということで考えます。

9月3日(日)　菱形十二面体を三等分する(その3)：ペーパーモデル

　一昨日からご紹介している菱形十二面体の三等分モデルをペーパークラフトで作ってみたものをご紹介します。

図 1		図 2
図 3		図 4

　このかたち、実際に作ってみるととても楽しかったです。実物を手でいじっていると、いろいろな「気づき」があって発想が広がります。やっぱり模型はいいです。

　また、このかたちは展開図（型紙）も作りやすく、レイアウトもしやすいかたちでした。「のりしろ」は省略しますが、こんな展開図になります(図5)。

図 5

　菱形(菱形十二面体なので、対角線比が1対√2の「シルバー菱形」です)の面が３つ、菱形を二等分した鋭角二等辺三角形の面が６つ、この鋭角二等辺三角形３つ分の等脚台形の面が２つから成っています。そのおかげて、図6のようにこの鋭角二等辺三角形の格子を考えると、この展開図は格子の上に乗っています。

図 6

　ちなみに、図7の赤い面が組み立てたときに菱形十二面体の表面(外側)になるところで、グレーの面は内側に隠れる面になります。

図 7

　さきほど「レイアウトしやすい」と言いましたが、これは型紙を印刷するためにA4の用紙に配置するのですが、できるだけ無駄のないように配置したいのです。この型紙の場合、だいたい４対１よりちょっと細長いくらいの長方形にぴったりおさまるかたちをしています。このパーツ３つで菱形十二面体になるので、型紙は３つ、レイアウトしたいのですが、この横長の型紙を３つ並べると、だいたい４対３になるので、うまいことA4の用紙に入るのです。

　普通はこんな風にレイアウトが楽とは限らなくて、型紙の凹凸を合わせたり、少しずつ角度を回転させたりして、できるだけ用紙の無駄が少なく、同じ用紙からできるだけ大きい模型を作れるように工夫するのです。この手順もまさに「パズル」で、なのでそれもまあ楽しかったりするのですが。

(つづく)

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　一昨日、金曜日の出張で、帰りに甲府から茅野まで移動しました。打合せが早めに終わったため、タクシーで甲府駅に戻ったのは16時40分くらいでした。同行したメンバー(私以外の3名)は17時半の特急券を持っていたのでそれを待つということだったのですが、私は帰りは普通列車でいいかなと思っていたので特急券は手配してありませんでした。

　ちょうど16時48分発の甲府始発の小淵沢行があったのでそれに乗りました。１つの車両に10名くらいで空いていました。各駅停車に乗ると、自然と駅の名前を覚えます。終点までの40分間で「甲府」「竜王」「塩崎」「韮崎」「新府」「穴山」「日野春」「長坂」「小淵沢」のそれぞれのホームや駅の様子をゆっくり見ることができて、楽しかったです。なんとなく18きっぷ利用者かなあと思われる一人旅らしい若い男性が二人ほど乗車していました。遠目に見て、それらしき切符を手にしているのが見えたのと、ラフな格好でバッグパックの大きめの荷物を持って、ロングシートで振り返るように外を眺めていた様子が、日常の利用者というよりは旅行者っぽく見えたのです。(そういう私も、いで立ちこそビジネススーツでしたがきょろきょろと外を眺めていたのですが。)

　日野春は意外と立派な駅なのだな、とか、長坂はホームから見ると駅がどこにあるのかわからないな、とか、いろいろな気づきがあって面白かったです。

　小淵沢では普通列車長野行に接続していて、こちらはほぼ満席になる程度の乗車率でした。茅野駅に到着したのが定刻の17時58分、ここで甲府で別れた出張同行者が乗っている特急列車に追い越されます。つまりここまでは普通列車のほうが先行していたのです。

　駅で50分待って特急に35分乗車するのと、待たずに70分各駅停車で途中乗換1回で移動するのと、好みは分かれると思いますが、今回は普通列車を選択して私としては正解だったと思いました。節約したのは会社のお金であって、個人のお金ではありませんが、乗車券が1,140円で特急に乗るとプラス1,700円かかります。たまたま甲府駅に着いた時間が普通列車に有利なタイミングだっただけの話ですが、でも、千円ちょっとの普通列車のほうが三千円弱かかる特急列車より到着時間が5分程度早いというのはなんだかちょっと痛快です。

＜おまけのひとこと＞
　今日は朝7時から地区の総合防災訓練があります。ヘルメットをかぶって公民館に集合して点呼を取って、あとは役員の方が忙しそうに報告書を書いて報告する間、ひたすら待っているという段取りになると思います。今朝(これは朝の5時前に書いています)は外はだいぶ涼しくて、温度計を見たら10度くらいでした。何か上着を羽織っていかないと寒いなあと思います。急に秋めいてきました。

9月4日(月)　菱形十二面体を三等分する(その4)：つみき

　菱形十二面体を三等分するかたちのペーパーモデルを作りました。これを並べたり積み上げたりしてみました。

　まずは向きをそろえて並べてみます(図1)。

図 1

　並べ方を変えて、別な向きから見てみます(図2)。

図 2

　らせんの塔のように積み上げてみました(図3)。

図 3

　実物をいじっているとそのCGが作ってみたくなります。CGを作ると実物が作ってみたくなります。ということでCGに戻ることにしました。

　まずは並べたところ。CGなので高精度に姿勢をそろえることができます。どんな角度でどんな距離で並べて、どこから見ようかな、と試行錯誤しました。

図 4

　「らせんの塔」もCG化してみました。向きを変えて２画像作ってみました(図5,6)。

図 5		図 6

　積み木としてはできるかたちのバリエーションが少ないので、どこか（Naefとか)で製品化というわけにはいかないと思いますが、おもしろいかたちだと思うのです。

　図5、図6の「らせん」ですが、菱形十二面体は単独で空間を充填できる立体です。なので、この「らせん」が無限に続いていると考えると、この「らせん」は空間を充填する立体になっているのではないかと思います。

(つづく)

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　昨日は工作材料のA4の最厚紙を100枚×4色買ってきました。ちょうど5,000円でした。最近は白い用紙しか使っていなかったので、久しぶりで新鮮でした。いろいろ作ってみました。おいおいご紹介します。

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　土曜日の夕方、高速道路を使って出かけていたのですが、帰りに最寄りインターの出口が渋滞していました。新作花火大会があったためです。渋滞を避けて、隣のインターまで走って、久しぶりにその近くの図書館に寄りました。そうしたら会社で昔同じ職場だった友人に会ったのですが(地方だと世間が狭いので、出先で知り合いに会う確率が高いのです)、息子さんを迎えに来ているということで、その息子さんにもあってご挨拶をしました。

　たぶんその息子さんに会ったのは10年以上ぶりで、記憶では小学校低学年だった彼は今高校２年生で、サッカーの試合の帰りなのだそうです。とても立派になっていて驚きました。

＜おまけのひとこと＞
　9月4日(月)の朝に、9/4,9/5の２日分の更新をしています。

　昨日の夕方、垣根をこえて隣の家の庭に伸びていた木の枝を落として始末しました。久しぶりに木に登ったら、体が重くて大変でした。子供の頃は木登りが得意だったのですが、最近は全然ダメです。

9月5日(火)　「鳥を識る」〜なぜ鳥と人間は似ているのか〜

　図書館で鳥を識る(とりをしる)　なぜ鳥と人間は似ているのか細川博昭著：春秋社(2016年12月)を借りてきて読みました。これは買って持っていてもいいのではないかと思うくらい面白い本でした。

　冒頭の序章「知性とはなんだろう？」に、人間の特徴として、例えばこんな例が挙げられています。

人間らしさをつくっていること ◎二本足で立つ ◎道具を使う（その手で作る） ◎音声でコミュニケーションする ◎文法に基づいた言語をもつ ◎豊かな感情をもつ ◎複雑なことを考えられる頭脳をもつ（思考し、判断することのできる大きな脳をもつ） ◎「娯楽」として、「遊ぶ」ことができる ◎発達した海馬が、空間を把握する（道や場所をおぼえる） ◎独自の「美学」をもつ

　この本の中で、これらの特徴が決して人間独自のものではなく、「一種類の鳥がすべてを満たせるわけではありませんが」(序章より)鳥類全体を見渡すとここで挙げた特徴のすべてを、鳥が満たすのです。

　大変面白いトピックスがたくさん語られます。地球上の生き物が、進化の過程でいろいろな機能をもつ器官を獲得してきた中で、鳥類が翼を獲得し、かつ、くちばしと足を進化させて大変器用にさまざまなものを操れるようになった話。人間の視覚は三原色ですが、鳥類の視覚は四原色で、人間には雌雄の見分けがつかなくても鳥類が見ると一目瞭然に色や模様が違って見えるという話。

　哺乳類は身の安全のために夜行性という性質を身に着けた種が多く、色ではなく明るさや動きに対して鋭い視覚を発達させたため、哺乳類の体色は黒から褐色系の地味な色ばかりなのに、鳥類は飛ぶことによって安全を実現したため、華やかな色を身にまとい、見分ける能力を身に着けたという話。

　哺乳類は個体の識別やコミュニケーションに「におい」が重要だが、鳥類は声が重要だという話。特に、ヒナが卵から孵る前から親鳥の声を聴いて孵化を早めたり遅くしたりすることができるというのは知りませんでした。また、孵化が近づくと、声やくちばしで内側から殻をつつく音でヒナどうしがコミュニケーションをはかって孵化のタイミングが同期するように調節する仕組みがある、というのは驚きました。ヒナが孵ると親鳥がまとめて餌場などに連れてゆくのですが、自分の孵化が早すぎると待たされて衰弱してしまうし、遅すぎると置いて行かれてしまって生きていけないから、なのだそうです。

　また、鳥は豊かな感情を持ち、音楽を聴き分け、それに合わせて体を動かしたり叫んだりして楽しむことができるのだそうです。10年前のYouTubeの動画ですが、アメリカのインディアナ州のとある家庭で飼われていた白系オウムのスノーボールが音楽に合わせて叫び、踊る動画が大変有名になったのだそうです。

　…このほかにもとても面白いトピックが満載の読み甲斐のある本です。鳥が好きならば大変お勧めです。

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　だんだん細かい作業が苦手になってきました。特に暗いとダメです。昔、息子が使っていたLEDのスタンド照明があったので、作業台（座り机、というかコタツです）の横に置いて、手の影にならないように照らしてみました。

図 2

　いい感じです。LEDの光源が３つあるので、影も三重に出ますが、カッターで切るための線がちゃんと見える角度にすれば気になりません。

　ちなみに私は左利きなので、いつも左手でカットします。世の中の大部分のカメラは右手でシャッターを切る仕様なので、こういう写真を撮るときは便利です。もっとも今時はカメラではなくてスマートフォンで撮影する方がほとんどなのかもしれませんが。

＜おまけのひとこと＞
　お店で現金で支払うときに、小銭をうまく使えるとちょっと嬉しくなります。小銭入れの中は３つに仕切られているのですが、「100円と10円」「500円と50円」「5円と1円」の３グループに分けてあります。おつりを貰ったときにはその場では分けず、後でゆっくり分けます。
　スムーズに支払いができないかもしれないと思うときには小銭を出さない場合もあります。（後ろの人をイライラさせたくないので。）でも、最近は自分は前の人がもたもたして待たされてもあまり気にならなくなりました。正直言うと昔はちょっとイライラしましたが。

9月6日(水)　立方体を三等分する(その1)：CG

　正八面体の仲間の多面体の三等分シリーズ、先日濱中さんからいただいた写真の三等分についてCGを作ってみました。

　まずは正八面体のときと同様に、６分の１から考えます。立方体の各面を４等分すると、小立方体８つに分割できます。この小立方体の１個分＋３分の１個分で、全体の６分の１になります。図1と図2は同じ６分の１を２つの向きに置いてみたものです。

図 1		図 2

　図1と図2を連結します。これで立方体の３分の１になります。どんなかたちになるのかを図3にアニメーションで示します。

図 3

　図3で連結した３分の１立方体を、垂直な軸の回りに90度ずつ回転させてみます(図4)。こうすることでかたちが理解しやすくなる、と思います。

図 4

　いかがでしょうか。どんなかたちなのかイメージが湧くでしょうか？

(つづく)

○

　昨日の夜、右折レーンのある信号機で信号待ちをしていました。同じ赤信号で止まっている対向車線側も同じく右折レーンがあって、信号機付近は３車線になっており、右折レーンどうしは３車線の中央なので、ちょうど向かい合う位置になっていました。（よく見かける状況です。）

　対向車線側の右折レーンにはヘッドライトが２つ点灯していて、なぜか向かって右側の方向指示器(ウィンカー)が点滅しているのです。つまり対向車は左折の合図を出しているのです。なんだろう？　信号が変わったら直線レーンの前に出ようとしているんだろうか、危ないな、と思いました。

　ちょっと違和感があったのは、ウィンカーがライトの内側で点滅していたことです。通常、ウィンカーは気が付きやすいようにヘッドライトの外側に配置されていることが多いと思います。でも最近はデザイン上ヘッドライトの下とか内側に置かれる場合もあったかな…とか思いました。

　文章で書くと長くなりますが、ここまではほぼ一瞬で思ったことです。次の瞬間、状況がわかりました。対向車線の右折レーンの２つのヘッドライトは、1台の車ではなく、2台のバイクだったのです。2台のうち、向かって左側のバイクはウィンカーを出しておらず、向かって右側のバイクだけがウィンカーを点滅させていたため、上記のような状況に見えたのでした。

＜おまけのひとこと＞
　9月6日の朝に、6日と7日の2日分の更新をしています。

9月6日(水)　立方体を三等分する(その2)：通常の三等分

　立方体を三等分してください、と言ったら、すぐに思いつく方法は魚を三枚におろすように、食パンをスライスするように切るのが一番素直かなあと思います(図1)。無駄にアニメーションにしてみました。

図 1

　ただ、この方法だと立方体の表面が「不平等」です。たとえば立方体のかたちをしたケーキがあって、内部はカステラで、外側はチョコレートでコーティングされていたとします。これを３人で平等に分けるとします。みんなチョコレートが好きで、表面が多いほうが嬉しいとすると、図1の分け方だと、真ん中の人はチョコレートが少なくなってしまいます。

　逆に食パンだと、耳が嫌いな人は真ん中が嬉しいでしょうね。私は耳が好きで、厚切りの食パンの耳をトーストにして食べるのが好きなので、図1の分け方で食パンを切ったとしたら、端を選びますが。

　では、表面も平等に分けられるように立方体を三等分するとどうなるでしょうか？

　これは有名な話だと思うので、特に日を分けず、間も空けずに答を載せてしまいますが、図2のように３つの四角錐に分ける分け方が知られています。

図 2

　実は昨日の「立方体の三等分」でも、最初にご紹介した図1、図2の「小立方体１個分＋３分の１個分」の、小立方体の三等分の部分が、まさに今日の図2そのものなのです。

(つづく)

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　100円ショップに行くと、折り紙のコーナーをチェックして、おもしろい用紙がないかを確認しています。先日、こんなモノトーンのデザインの折り紙があったので買ってみました。

図 3

　四角反柱のお皿を折ってみました。

＜おまけのひとこと＞
　10月7日、8日のリスーピアワークショップの参加申し込みは数日中に始まるという連絡をいただきました。今回は「紙のブロック」を準備しています。当日配布資料は先日作って、あとは当日のスライドの準備です。

9月8日(金)　立方体を三等分する(その3)：ペーパーモデル

　一昨日からご紹介している立方体の三等分をペーパーモデルで作ってみました。

　立方体に組んだところから分解してゆく写真です。

図 1		図 2		図 3

　なかなか気分よく分解・組み立てできます。

　３つのパーツをいろいろな姿勢にしてみました(図4)。

図 4

　２つを組んで、３つ目を組み合わさる姿勢にして並べてみました(図5)。

図 5

　このように２つを完全に組んでしまうと、３つ目のパーツは入りません。組むときも外すときも、３つのパーツを同時に滑らしてゆく必要があります。

　このペーパーモデルの展開図は次のように設計しました。「のりしろ」はつけていません。

図 6

　特にこのパーツのような「凸でない多面体」になる場合、「のりしろ」をどこにつけるか、どんな手順で接着してゆくのか、は大切です。最後に「ふた」をすることになる面はできるだけ凸の面（隣接する面との二面角が全て180未満である面）にすること、その最後の面には「のりしろ」はなく、隣接する面の側に「のりしろ」があること、が重要です。私は今回、図6の上下の直角二等辺三角形の面が最後になるような手順を想定して「のりしろ」を決めました。

(つづく)

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　８月のお盆の時期に仕事だった娘が、少しまとまったお休みが取れたといって帰省してきました。二人でワインを１本半空けて、サラリーマンの愚痴話のような、会社の同僚や後輩と居酒屋で話をするような会話をしました。楽しかったですが、なんだか不思議です。娘は就職してそろそろ1年半ですが、私は入社して1年と8ヶ月でお母さんと結婚したんだよ、という話をしたら驚いていました。

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　私の職場は、1ヶ月に一度、「独自プレミアムフライデー」ということで、課の単位で日を決めて、原則は全員が15時に帰宅する、という制度を今年度から試行しています。月末の最終金曜日はむしろ忙しくて早く帰れない場合もあるので、最終金曜日でなくても、職場の都合で任意の一日を選べることになっています。（金曜日でなくても可。）

　今日9月8日が私の所属するグループの決めた「プレミアムフライデー」だったのですが、私は16時からと17時からの他職場との会議があって、早く帰れませんでした。この「権利」は個人ごとに月度内で繰り越すことが可能で、私は9月15日(金)に繰り越させてもらいました。

　こういう、強制的に「帰れ」という制度は悪くないなあと思っています。でも仕事のやりくりが間に合わなくて朝6時半に出社したりもしているのですが、家でやりたいことがたくさんある私としては、それでも早く帰るのは嬉しいです。

＜おまけのひとこと＞
　9月9日(土)の早朝に、8日と9日の2日分の更新をしています。

9月9日(土)　立方体を三等分する(その4)：別バージョンのCG

　立方体を六等分して、その２つを連結して三等分モデルを作ると言えば、真っ先に思い付くやり方をご紹介していないことに気が付いたので、CGを作ってみました。今日はそれを紹介します。

　立方体の六等分といえば、まずこのかたちでした(図1)。

図 1

　立方体は「正六面体」なので、面の正方形を底面とし、立方体の中心を頂点とする四角錐が立方体の六等分になっているのは自明です。

　この四角錐を２つ連結させると、立方体の三分の1になります(図2)。

図 2

　この「三等分」をアニメーションにしてみました。(図3)。

図 3

　これはまあ、紙模型を作らなくてもいいかなと思いました。CGを作っただけで満足です。

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　図書館で「105にんのすてきなしごと」という絵本を借りてきました(図4)。

　「105にんのすてきなしごと」は、仕事に出かける105人が、お風呂に入って肌着を身に着けて服を着てコートを着て仕事の道具を持って集まって…という内容です。原題は何なのだろうと思って調べてみました(図5)。

図 4		図 5

　なるほど。原題のほうには105人という数字もないし、逆に「しごと」が何なのかがタイトルから読み取れるようになっているのですね。実はこの絵本、別バージョンの翻訳もあって、その翻訳は原題に近い、「しごと」が何なのかが読み取れるタイトルになっています。

　「105にんのすてきなしごと」は、読み進めていってほとんど最後のほうで初めて「何のしごとのために105人が集まるのか？」がわかるしかけになっていて、すばらしいタイトルだと思いました。原題より優れていると思います。

　原題のほうは、タイトルは見事にこの絵本の内容を表現しています。現代国語のテストだったら、原題のほうが端的に内容を要約するタイトル、ということで得点は高いかもしれません。でも、このお話を読む人に与えるインパクトというか、「ああ、そうだったのか」と思わせる「105にんのすてきなしごと」というタイトルは本当にすばらしいと思いました。

　このタイトルでこの絵本を最初に読めてよかったと思います。「タイトルってこんなに大事なんだ、すごいんだ」と思わされた一冊です。なので、「しごと」がわかるもう1つの翻訳のタイトルは載せません。でも、「105にんのすてきなしごと」検索するといやでも目に入ってしまうと思います。図書館で探しても、先に「もう１つのタイトル」のほうが見つかってしまうかもしれません。自分はとっても運が良かったなあと嬉しく思っています。

＜おまけのひとこと＞
　最近、昔なら2日分に分けて書いているようなトピックを1回の更新で書いてしまっています。　

9月10日(日)　魚眼レンズの多面体CG(その1)

　先日、菱形十二面体の三等分の話を書いたとき、それぞれの面を色分けした図を載せたかったのですが、面を張ってしまうと裏側（遠い側）の面が見えなくなってしまうため、いっぺんに全部の面を張るのではなく、一色ずつの３つの図に分けました。

　全部の面を見るには、魚眼レンズ(fisheye：フィッシュアイ)の設定にして視点を多面体の内部にすればいいはず、と思って、CGを作ってみました。多面体の構造（面や稜の数）が複雑すぎても簡単すぎても魚眼レンズ画像がわかりにくくなると思ったので、正二十面体(図1)で実験してみることにしました。

図 1

　最初に、正二十面体の外に視点を置いて、視野角も120度くらいから始めます。だんだん視野角を大きくしつつ、正二十面体の内部に視点を移動していて、一番最後には視点は正二十面体の中心、視野角は360度になるような連続画像を作ってみました。

図 2

　図2では、多面体中心から360度視野で見たときの画面中央は、正二十面体の１つの面の正三角形の中心を見るようにしました。そのため、丸い視野の一番外側に見えているのは背後の正三角形の面になります。

　では、面ではなく稜や頂点の方向を見るようにしたらどんな画像になるでしょうか。試してみました。

図 3		図 4		図 5

　図3は画面中心が頂点になる画像です。５回回転対称になります。（鏡像対称軸も５つあります。）　図4は稜の中点方向を見た画像で、これは２回回転対称で鏡像対称軸も２本あります。図5は、図2と同じく面の中心を見た画像で、３回回転対称で鏡像対称軸３本の画像です。

　こういう視点で見ると、面が全て見えますので、塗り分けの説明には都合が良いのです。でも、見慣れないと意味が分からないかもしれません。

　こういう図を見ていると、世界地図の「正距方位図法」（距離と方角が正しい図法）を思い出します。私たち(日本人)が見慣れているのは、東京を中心とした正距方位図法の地図で、南アメリカ大陸が地図の外周近くにあって、時計の文字盤で言えば12時方向から5時方向くらいまでの長さに引き延ばされている図が教科書などに必ず載っていると思います。

　正距方位図法は地球の内側から見たわけではありませんので(それだと鏡像反転してしまう)、今回の魚眼レンズCGとは作り方が異なりますが、性質はよく似ています。

　例えば北極を中心とした正距方位図法(図6)ならば、南極大陸が図の外周になり、南極点が最外周の円に引き延ばされます。ちょうど図3で、視点中心の頂点の反対側の頂点が最外周の円になっているのと同じです。

図 6

　この画像(図6)は、世界地図を作ろうというサイトのものを掲載させていただいています。ありがとうございます。

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　昨日はよい天気で「お出かけ日和」という天気予報でした。早朝は曇っていてすっきりしない朝でしたが、10時前に家族で出かけたのですが昼間は天気予報通り気持ちの良い天気でした。

　夕方6時前に急にぽつぽつと雨が降ってきたなと思ったとたん、ものすごい雨になりました。気象庁の雨雲レーダーを見てみると、全国的にはほとんど雨雲は観測されていないのに(図7)、私の家のあるあたりだけは、１時間に80mm相当というとんでもない雨が降っていました(図8)。

図 7		図 8

　この図は2017年9月9日(土)の17:55のデータからの抜粋です。一時間ほどで雨はやみましたが、びっくりしました。

＜おまけのひとこと＞
　正距方位図法、東京中心の図はなじみがありますが、例えばニューヨークを中心にすると、(時計の文字盤の)8時方向から11時方向くらいに引き延ばされる大陸があります。それはどこでしょう？

9月11日(月)　正距方位図法のクイズ

　昨日の更新をした後、正距方位図法についてちょっと検索してみたら、どこでも方位図法という素晴らしいサイトがあることを知りました。正距方位図法と正積方位図法をリアルタイムに視点を変えながら描画できるという素晴らしいサイトです。

　昨日の「おまけのひとこと」で、「ニューヨークを中心にしたときに画面の左端に引き延ばされる大陸は？」というクイズを書きましたが、答は下図のようになります。

図 1

　ニューヨークの裏側は、オーストラリアの南西側の海になるのですね。面白いです。

　このように、面の全体を見ることができるので、例えば昨日の「正二十面体」ならば、同じ色の三角形が稜も頂点も共有せず、12個の全ての頂点を１回だけ含むように５色で色分けするといったことが簡単に図示できます(図2)。

図 2

　ここまで説明したので、多面体の面の色分けの話をしようと思うのですが、上記の「どこでも方位図法」が面白すぎて、すっかり遊んでしまいました。

　何をして遊んでいるかというと、どこかの地点を図の外周部分にしてみる、ということをやってみたのです。そうすると、注目している地点のちょうど地球の裏側が、図の中心にくるのです。

　というわけで問題です。図3、図4は外周部分の地点は陸地です。いったいどこの地点でしょう？　大陸もしくは島か国の名前を答えればよいことにしましょう。

図 3		図 4

　図3はそれなりに大きな陸地ですが、図4はそれに比べるとかなり小さいです。

　もう２問、作ってみました。図5は陸地です。その正反対（画面中央）はニュージーランドのちょっと南です。さてこの陸地はどこでしょう？

　最後に図6、今度は最外周の地点は陸ではありません。どこの海でしょう？　画面中央は図5と近いですね。

図 5		図 6

　とても面白いと思うのですがいかがでしょうか。

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　昨日の日曜日のお昼に、実家に3泊していった娘が東京へ帰ってゆきました。お昼は娘と家内は駅ビルのパン屋さん併設のカフェでパンを買って食べましたが、私は駅の立ち食い蕎麦を久しぶりに食べたくて、そちらにさせてもらいました。

　今週の木曜日に名古屋（正確には千種）に日帰り出張に行くのですが、「きしめん」が食べられるかな、とちょっと楽しみにしています。

＜おまけのひとこと＞
　9月11日(月)の朝に、11日と12日の2日分の更新をしています。

9月12日(火)　正十二面体を三等分する：構想編

　先月から多面体を三等分する話を書いていますが、正十二面体の三等分を考えてみることにしました。

図 1

　正十二面体です。正五角形の面が12枚あります（図1は骨格モデルですが)。菱形十二面体の三等分のときは、完全な菱形の面３つと、二分の１の面２つで合計４面分にしましたが、まずは素朴に正五角形４面にしてみることにしました。

　面の色分けを魚眼レンズ画像で考えることにします。（この話をしたくて魚眼レンズ画像の紹介を始めたら、正距方位図法に寄り道してしまいました。）

　図2は頂点方向を見たところで、背後に相当する最外周は頂点です。図3は面方向を見たところなので、最外周は相対する面になっています。

図 2		図 3

　これを、連続する面４つに分割することを考えます。赤・青・白に着色してみました。

図 4		図 5

　それぞれの色の４つの面は互いに1辺だけを共有しています。４つの面のつながり方は図6のようになっています。

図 6

　この4連の正五角形のパーツ３つで正十二面体が作れるのですが、イメージが湧きますか？　図1を見ながら考えてみてください。

　正十二面体の展開図というと、図7のように描かれることが多いと思いますが、この展開図を図4、図5に相当するように三色で塗り分けるとどうなるでしょうか？

図 7

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　妻に、「私のページ、面白いと言ってくれる人もいると思うんだけど、最近は見てくれる人も少ないみたいなんだよね」と言ったら、「最近はインスタグラムとか、見てすぐわかる、解説なんか読まないしじっくり考えなくてもいいコンテンツが流行っているから仕方がないんじゃないかな」と言われました。なるほど確かに。でも自分のスタイルはもう変えられませんが。

9月13日(水)　正十二面体を三等分する：試作編

　正五角形を４つ並べたパーツ３つで正十二面体を構成する話、いきなり魚眼レンズ画像で答を載せましたが、ペーパーモデルを作る前にブロック玩具で確かめてみました。

図 1

　まず、図1のように風車のように３本の「帯」を組み始めます。図1は完成する多面体の内側から見ています。

　同じものを裏返して外側から見ると図2のようになります。

図 2

　さらにもう３面を固定して、再び内側が見える位置から見てみました(図3)。

図 3

　最後はこの３枚で「ふた」を閉じれば完成です。

　ちなみに、正五角形を、辺を共有しながら平面上で１列に並べて連結する方法は、今回の図4のAのパターン以外にも、例えば図4のBやCのような方法もあります。１列、というのは、ちょうど人が４人、手をつないで横一列に並んでいるように、両端の二人は片手が空いていて、内側の二人はそれぞれの手で別な人と手をつないでいるイメージです。、３人と手をつないでいる（接している）正五角形はありません。

図 4

　ほかにもたくさんありますが、これら図4のA,B,Cを正十二面体の展開図の一部だと考えて正十二面体を構成してみようとすると、図4のCは正十二面体の上では「１つながり」ではなく、内側の２つの正五角形は他の３つの面と接してしまいます。

　Bが3つで正十二面体を構成できるでしょうか？　Cが3つならばどうでしょうか？　また、A,B,C以外に、正十二面体の上で異なる連結パターンになるものはあるでしょうか？

(つづく)

○

　私が今日の図1〜図3のモデル(JOVOブロックで作りました)の写真を撮っていたら、妻に「すごい色遣いだね」と言われました。実はなぜそうなったかというと、その前にこんなかたちを作っていたため、赤・青・緑の正五角形のパーツは使い切ってしまっていたのです。

図 5		図 6

　この「ねじれ十二面体」も好きなかたちです。模型を作ろうとすると大変なので、実は紙では作ったことがないような気がします。

＜おまけのひとこと＞
　日経ビジネスのスマホで読みづらいページは“番外地”？という記事に、グーグルが2015年4月に「モバイルフレンドリー」という機能を実装したという話が紹介されていました。「検索時はパソコン向けのサイトよりも、モバイル向けのサイトの評価を優先して表示する」のだそうです。その結果、「ウェブページの中の、学術的だったり、マニアックだったり、非営利的だったり、お役所的だったり、資料ページ的だったりするものに共通することで、それらのPV（ページビュー）が軒並み激減している」のだそうです。
　確かに、大部分の方にとって、学術的だったりマニアックだったり資料ページ的だったりするコンテンツを作り出すことには興味が無くて、簡単につぶやく、簡単に写真だけ撮ってアップする、というほうがほとんど労力を使わずにコンテンツをネット空間に増やせるので、そういう手法が普及するのはとてもよくわかります。効率的だし経済的です。
　でも、それだけになってしまったら、ネットの世界も物足りないだろうなあと思います。

9月14日(木)　正十二面体を三等分する：面モデル編

　試作してイメージもつかめたので、実際に紙で作ってみることにしました。まずは完成した写真です。

図 1

　…。すみません、完成写真だと、ただの正十二面体（らしき立体）の紙模型ということしかわからないですね。失礼しました。どんなパーツでどう作ったかを説明します。

図 2

　図2のように、正五角形を４つ連結したパーツを考えて、パーツの辺の１つおきの赤丸のところに凸のジョイントがあるという風にすればつじつまが合うな、ということを図を描いて確認しました。正五角形なので、すべての内角は鈍角(90度より大きい)です。なので、先日の尾道の大村さんのジョイントと同じ原理で組めるはず、と思って設計しました。

図 3

　パーツ３つを切り出したところです(図3)。ジョイントがついていると、正五角形がちょっと引き延ばされたような錯視現象があるような気がします。

　パーツを折り曲げて(図4)、

図 4

　組み始めました。まずは３つのパーツをプロペラのように組み始めます(図5)。

図 5

　だいぶ組み進みました(図6)。

図 6

　こういった模型は、最後に多面体を「閉じる」ところが一番大変です。これは、以下のように組むとうまくいきました。まずジョイントをしっかり折り込んでしまって面を閉じてしまいます。これだと内部でジョイントがかみ合いませんので、爪楊枝のような細い棒を差し込んで、折り曲げたジョイントを、隣の面に内側から接するように開いてやります。そうすることで内部でかみ合って外れなくなります。

　こうやって組上げたのが今日の図1の完成図です。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　大相撲、東関脇の御嶽海を応援しているのですが、初日から二連敗して心配していました。３日目にようやく初日が出て少しほっとしました。がんばってほしいなあと思っています。

9月15日(金)　正十二面体を三等分する：ペーパーモデル失敗編

　正十二面体の三等分の話の続きです。昨日のモデルでは、組み上がった後にはどうやって組んだのかわかりません。せめて色を変えておけばまだよかったのですが、全部同じ色（白）なので、そもそもどの面がパーツとしてつながっているのかすらわかりません。また、分解はできますが組むのが大変なので分解したくありません。そこで、ペーパーモデルで作ってみることにしました。

　正十二面体のそれぞれの頂点と立体の中心を結ぶと、各面（五角形）を底面とした五角錐１２個に分けることができます。これを４つつないでやればいいだろう、ということで、さっそく設計して組み立ててみました。今度は３色で作ろうと思いました。

　最初に内側になる二等辺三角形の寸法を計算しました。なんだかやけに細長いなあとぼんやり思いましたが、まあ作ってみるか、と思って組み立ててみました。

　あまり小さいと組みにくいし、誤差も大きくなるので、今回は１パーツがA4の用紙１枚になるようにして、３パーツは用紙の色を変えて印刷することにしました。いっぺんに３枚印刷しようかなあと思ったのですが、いやまて、なんとなく心配だから１枚だけ印刷して作ってみようと思いました。（このへん、一人で作業しているのでここまで明確に思考が言語化されていない気もします。なんとなく本能的にというか直感的にというか、感覚で作業をしている感じです。）

図 1		図 2

　…。やっぱり間違っていました。本来、４つつながった正五角形の両端の２面は正十二面体の向かい合った面になるはずなので、平行にならなければダメです。ところがどう見ても平行ではありません。これを３つ作って正十二面体になるはずがありません。

　計算を見直してみたら、初歩的な誤りをみつけました。平方根を１つ取り忘れていたのです(図3)。

図 3

　ちなみに図3の赤い軸がx軸、緑がy軸、青がz軸です。二等辺三角形の「高さ」は図の黄色い点のx座標になるので、だいたい2.618くらいです。底辺の長さはz座標の２倍になるので、間違った計算のほうは1.236くらい。正しくは1.572くらいですから、ぜんぜん違います。

図 4

　底辺の長さ（＝正五角形の一辺）を揃えて図示してみると、図4のようになりました。これではダメなわけです。まあ失敗もネタになるし、最初に３枚印刷しなくてよかった、と前向きに考えることにしました。

(つづく)

○

　9月14日(木)は出張で中央西線に乗りました。帰りは16時台の「しなの」で帰りました。中津川を過ぎて木曽谷に入ると、木曽川が削った深い谷を、国道１９号線と中央西線が通っていて、それ以外にほとんど開けた土地がない、という地形になっているのがよくわかります。

図 5

　本当に「木曾路はすべて山の中である」です。まだ暗くなる前だったので、なんとなく外を見続けてしまいました。

＜おまけのひとこと＞
　9月16日(土)の朝に、15日(金)と16日(土)の２日分の更新をしています。昨日の午後の来客で、なぜか応接会議室のエアコンがきつくてすっかり体調を崩してしまいました。今日から３連休なのに悔しいです。