以前の「ひとこと」　：　2007年11月後半

11月16日(金)　マッチ棒の問題(その2)

　昨日ご紹介した数列ですが、これを検証するために使ったプログラムと、もう少し先まで計算したときのグラフをご紹介します。

　グラフを描いてみました。ぎざぎざしています。

　この数値を計算するために作ったプログラムです。これも「ヒント」ですが、ヒントを見たくない方はよく読まないで下さい。（すみません、テキストではなくて画像です。ですから試して見たい方は打ち込んでみてください。）

　いつもならこんなにそっけない変数は使わないのですが、今回はあえてヒントにならないように無味乾燥な書き方をしています。アルゴリズムは、できるだけ問題の発想に忠実に素直に書いたつもりです。これ、計算機演習とかの題材としてなかなかよいのではないかと思うのですがいかがでしょうか？　適度に短くて、かつ、やる気が起こらないほど自明で簡単というわけではないと思うのです。

＜おまけのひとこと＞
　ようやく週末です。明日の土曜日は午前は学校の参観日で、午後はPTA親子作業で堆肥運びをやる予定です。通勤に使っている軽自動車が、またオイル交換のタイミングなのですが（すでに400kmほど余計に走ってしまっています)、行っている時間があるかな…

11月17日(土)　マッチ棒の問題(その3)

　この数列はどんな規則で作られたものでしょう？　という問題の続きです。考えて答がわかりました、というメールと、プログラムのソースを見た瞬間にわかりました、というメールをいただいています。ありがとうございます。

　「問題」として書いているので、あいかわらず答を書かず、またも説明しませんが、プログラムも公開したことですし、この数列の性質をちょっと実験的に調べてみることにしました。

　というわけでこの数列をずっと計算してみたものをグラフにしてみました。昨日も書きましたが、偶数と奇数で性質がちょっと違うので、奇数だけと偶数だけに分けて別々にグラフを描いてみました。

グラフ 1

グラフ 2

　それぞれのグラフに、二次関数でフィッティングしてみました。(Excelの機能をそのまま使っているだけです。)　水色とピンクのちょっと太い線が、プログラムで計算した結果の数値をそのままプロットしたグラフで、その上に重なっている細い黒い点線が、二次関数によるこのグラフの多項式近似です。実はこの２枚のグラフを重ねて描かせてみたのですが、この表示の分解能ではほぼ完全に重なってしまって、見分けがつかなくなってしまいましたので、別々に載せました。

　このように、非常にきれいに二次の多項式で近似できます。ついでに、誤差がどのくらいなんだろうということも図示してみることにしました。値が小さいうちは、相対的に誤差が大きいので、nが100以上のところからのグラフにしました。

グラフ 3

　このように、誤差が0.015%のあたりに収束しています。ということは近似パラメータの数値が正確ではないのだな、と思われます。そこで、二次の項の係数を、Excelが勝手に表示してきた 0.0208 から少しいじってみたところ、0.0208333にしたら、グラフ上誤差の収束値がかなりゼロに近づきました。(上のグラフ１で、近似関数をExcelが表示するときに数値の桁数を減らしているのだと思います。)

グラフ 4

　一次の項をいじるとこのグラフは平らではなくなってしまいますし、定数項をいじってもnの値が大きくなると相対的に寄与しなくなっていきます。こういうものを実験的にいじってみるというのもとても面白いです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　この数値を見ると、ちゃんと考えればこの二次近似の理論的な裏づけがわかりそうですね。
　更新は日曜日にしているのですが、昨日の17日(土)は午後にPTA作業がありました。中庭の堆肥を軽トラックに積んで学校の畑に撒くという作業だったのですが、今年は人数の割り当てが厳しくて、人数が少なかったため非常に大変でした。例年だとこの作業に割り当てられる人数は多いため、交替で休めるのですが、１時間半の作業時間中、ぜんぜん休めなかった上に、それでもまだ若干残ってしまいました。
　帰宅して、手が震えて細かい作業ができませんでした。年齢のせいか、まだ筋肉痛は出ていませんが、明日あたりつらそうです。

11月18日(日)　マッチ棒の問題(その4)

　さらに「マッチ棒の問題」の数列の続きです。先日公開したプログラムソース(の画像)をもう一度載せます。

　前回は何行目なのかを表示していなくてわかりにくかったので、今回は行番号をつけました。

　メールで、「15行目の３つの条件は３つ目だけで十分ではないですか」とご指摘いただきました。その通りです。ご指摘ありがとうございました。まず、変数 j は12行目で初期値を i としているので、i以上であることは明らかです。kのほうは14行目でj以上という判断をしているので、15行目の３つの条件のうち、最初の２つが成立することは自明です。

　無駄な条件判断は処理速度の低下を招きますから、たとえばnの数がとても大きい場合など、ここを改善すると高速化につながると思います。(最近のコンパイラならば、このくらいは自動で省略してくれたりするでしょうか？ アセンブラコードを見てみないとわかりませんが、ひょっとすると最適化オプションを最高にすると、ちゃんとこの条件判断は「無駄」と省いてくれるかもしれません。)

○

　もう１つ、メールでご指摘いただいたのが、「15行目の条件を、“未満”ではなくて“以下”にしてみたら、偶数と奇数でグラフがぎざぎざする、という状況が変わるのでは？」とご提案いただきました。つまり、たとえば(i,j,k)が(1,2,3)というような組み合わせはNGとしてカウントしていなかったのですが、こういう例も数えてもよいことにしたらどうでしょう？　というご提案です。簡単なので早速試してみました。結果のグラフをご覧ください。

　青い線が前回と同じ“未満”の条件、赤い線が新しく試した“以下”の条件の場合です。　まず奇数に関しては値は変わりません。（当然ですね。nが奇数の時には i=j+k とはなり得ませんから。）　新しい条件の場合、nが12までは単調増加になってぎざぎざがなくなりましたが、その後は残念ながら今度は偶数のほうが増えすぎてしまって、逆位相の「ぎざぎざ」が出てしまいました。

＜おまけのひとこと＞
　面白かったです。ご提案ありがとうございました。今日(18日)の午前中は、いろいろグラフを描いたりプログラムをいじったりしていて過ごしてしまいました。

11月19日(月)　雪の結晶

　18日(日)の夜、雪が舞っていました。いよいよ冬だなと思います。19日(月)の朝、出勤しようと玄関を出ると、車のフロントウィンドウが真っ白に凍った上に、白く点々としたものが見えます。見ると、肉眼ではっきり見えるくらいおおきな雪の結晶です。朝忙しかったのですが、あわてて家の中にとって返してカメラを持ってきて写真を撮ってみました。

写真 1

　マクロ撮影の苦手な機種なのでどうかなと思ったのですが、ちゃんと写っていました。写真1は若干縮小していますが、写真の一部を画素等倍で切り取ったものを4枚ほど載せておきます。

　この後でエンジンをかけて暖機しながら窓の霜取りをしました。きれいな雪の結晶でもったいないですが、これをしないことには出社できません。

＜おまけのひとこと＞
　風が強いです。

11月20日(火)　紙の筒モデル：三葉結び目

　先日、週末にまとめて作った紙の筒シリーズの１つに、三葉結び目があります。

写真 1

　以前にも作ったことがあったような、なかったような、忘れてしまいました。パーツの設計があまりよくなくて、ひずんでしまいました。ちょっと失敗です。

写真 2		写真 3

　特別な視点方向から見た写真です。これを作ってみて、いやもっと面白いものが作れるはずだと思って次の設計・製作に取り掛かったのでした。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　日曜日に、このサイトの[アクセス解析]のタグを付け直しました。とりあえず「過去のひとこと」のページを、これまでは各月前半と後半で別のタグをつけていたのですが、解析タグが足りなくなったので前半と後半を同じタグを使うことにしました。この場合、アクセス記録上は同じタグをつけたページの区別はつきませんが、タグの数は半分で済みます。
　このおかげで、見かけのアクセス数が少し増えました。(ちょっとうれしいです)

11月21日(水)　紙の筒モデル：新しいジョイントの研究(その1)

　昨日ご紹介した、紙の筒モデルの結び目構造ですが、あまりにもジョイント部分がみっともないので、もうちょっと外れにくい、きっちりしたものができないかなと思って考えてみました。

図 1

　よく、コーラのビンを貫いている木の矢の「不可能物体」がありますが、あんな感じで小さな穴を通して大きなパーツが両側にあるようなかたちにすれば、もっときっちりして外れないかたちになりそうだな、と思いました。紙の筒ですから通せないことはないでしょう。ただし、後にしわが残ったりしたら興ざめです。とりあえず大きなパーツで少しゆるめなものを作ってみることにしました。

図 2

　これ、考えてみるとこの2つを貫く垂直方向にも同じようにパーツを通せることがわかります。というわけで3本が直交するタイプの構造を作ってみました。最近作っている紙の筒モデルと比べると、かなり太くて大きなパーツです。

図 3

　穴の開いたパーツが１つと、そこを通り抜けるパーツが２つ、計3本です。図3の写真では、垂直に立てたパーツが穴の開いたパーツで、2本のパーツを通しています。通した筒のところをよく見ると、紙が若干反ってしまっているのがわかりますが(写真ではわからないと思います)、以前作った同じかたちのモデル(2004年4月13日のひとこと参照)に比べると、出来上がりは安定してきれいだと思います。ただしパーツが2種類になってしまうという点と、組んだら分解が難しいという点では以前のモデルに劣っているかなあと思います。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　だいぶ寒くなってきました。STMileさんはもうタイヤを換えたそうですが、私はまだです。通勤に使っている車は、購入から2年間の「セーフティメンテナンスパック」という契約をしたので、2年間のシーズン前後の計4回のタイヤ交換は無料です。ちょうどオイル交換のタイミングなので、オイル交換とタイヤ交換に行きたいのですが、時間がありません…

11月22日(木)　紙の筒モデル：新しいジョイントの研究(その2)

　昨日ご紹介した紙の筒モデルのジョイントを使って、井桁のかたちを作ってみました。

図 1		図 2

　結論から言うとこれは紙を傷めてしまって、あまりよくありません。もうちょっと研究が必要です。

○

　角度を変えたジョイントを作ってみました。ある程度大きさがあればそれほど紙に負担がかかりません。

図 3

　中をのぞいてみました。

図 4		図 5

　このジョイントは、平面的な正三角形を組み合わせる構造などに使ってみたいなと思って試してみたものです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　昨日は飲み会だったのですが、夜更新ができなかったので朝あわてて更新しています。時間がない…

11月23日(金)　この絵は何でしょう？

　マンフレッド・モールという現代美術の作家の作品を知る機会があって、真似をしてこんなCGを作ってみました。

図 1		図 2

　さてこれは何でしょう？

○

　ヒント、になるかどうかわかりませんが、同じソフトウェアを使ってこんなものも作ってみました。

図 3

　週末ですが、更新したいと思います。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　消失点よりのSTMileさんの無給油800kmトライアル成功に感心しています。我が家のセダン(FF,1600cc)のほうは16年で14万キロも乗ってしまっているのですが、私も昔この車で17km/Lくらいの燃費が出ていたころ、給油後800kmを越えたことが１回だけありました。さすがにいろいろとへたってきているので、来年あたりついに買い換えかなあと思っています。
　今通勤に使っている車のほうは満タンで30L入るはずで、燃費は悪くても20km/L は出せているので、600kmは走れる計算なのですが、通勤で一日80km以上走るため、500kmを超える前に給油してしまうことがほとんどです。たいてい20〜23Lくらい給油します。これが毎週ですから、けっこう大変です。

11月24日(土)　円錐型アナモルフォーズ(その1)

　昨日ご紹介したこの図、これは円錐型アナモルフォーズといって、中央に円錐の鏡を立てて上から見ると絵画が復元される、というものです。

再掲図

　こんなものを作ってみようと思ったきっかけは、こんな図を見かけたためです。

図1:「女と小鳥」作者不詳

　これがどんな絵になるのか見てみたいなあと思いました。プリンタで印刷して金属の円錐を立ててみればいいのですが、あいにく金属の円錐を持っていません。じゃあ CG で円錐を作って映してみよう、と思ってやってみたのです。

　最初に、自前で作った画像のほうから、円錐鏡の像をごらんいただきます。この図をテクスチャとしてCGの世界の中に配置して、中央に金属の円錐を置きます(図2)。

図 2

　これを視点を真上にしてみると、こんな画像ができました。

図 3

　これはもともと計算で求めたアナモルフォーズなので、CGで計算した像はひずみがありません。(右下に円錐の影が映っています。これもCGなので消せるのですが、あえて残してあります。)　もともとのドーナツ状の画像の、外側に行くほど円錐の像の中心に近くなっています。

　では、図1の画像の円錐の像を作ってみましょう。円錐の位置や大きさ、高さのパラメータがわからないので、生成される画像を見ながら調整します。

図 4

　何回かトライアルを重ねて、まあこんなものかなというものがこちらの図4です。もうちょっと調整が必要そうですが、絵の概要がわかったので満足しました。図4の中央の、円錐の像の部分を拡大してみました(図5)。

図 5

　肝心の女性の顔の部分の像がまだ歪んでいますが、ここのところが元画像の外周で、円錐の頂点付近にあたる部分なので、微妙な位置や形状の変化に過敏に反応するため、調整が難しいです。

　というわけで、昨日ご紹介した図は円錐型アナモルフォーズだったのですが、さて昨日の図1、図2はどんな像になるでしょう？

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　昨日はお客様がいらっしゃいました。紙模型をたくさん見ていただきました。とても楽しかったです。ありがとうございました。

11月25日(日)　リスーピア

　11月10日(土)のひとことで、パナソニックセンターのリスーピア RiSuPiaという数学・理科の博物館のワークショップに参加しましたという話を書きました。実は、来年2008年2月9日(土)・10日(日)のワークショップを不肖私がやらせていただくことになっていまして、先日はその下見も兼ねて、梶川さんのお話を伺いに行ってきたのでした。

　２月のワークショップの内容は、「平らに畳める立体パズル　〜紙で作る立体パズル〜」と題して、「数学文化 第８号」や、今度12月に発行される第９号に掲載させていただいた、組木パズルを紙の筒で作るというものを予定しています。　果たしてこんな地味な内容で参加希望の方は集まるだろうか、あまりにも希望者が少なかったら数学協会にもリスーピアにも申し訳ないなと心配していました。そのため、リスーピアのイベント情報のページに紹介が出たら、このサイトでご紹介させていただこうと思っていました。

　連休前、22日(木)に見たときには、まだイベント情報は11月分までしか掲載されていませんでした。ということは前の月にならないと公開されないのかな、あれ、でも11月の先日の梶川さんのワークショップは、9月に申し込んだはずなので、いったいどういうタイミングでイベント情報が更新されるのだろう？と不思議に思っていました。

　24日(土) の朝、リスーピアのイベント情報のページにアクセスしてみたら、2月までのイベントが載っています。もう申し込んでくださった方はいらっしゃるかなと思って、平らに畳める立体パズルのページを開いて、申し込みのページに進んでみたら、驚いたことに2日間午前午後の4回とも、すでに満員になっていました。

　お申し込みくださった方、どうもありがとうございます。（上記のページをご覧いただけばおわかりいただけるように、「日本数学協会」とだけ出ていて講師の名前はありません。また、このサイトで告知する前でしたので、おそらく「あそびをせんとや」をご存知ない方がほとんどだろうなと想像しています。というわけでここでお礼を申し上げても仕方がない気もしますが。）

　リスーピアのワークショップは無料なので、たとえば天気が悪かったりすると特に当日キャンセルの方もけっこういらっしゃるそうです。とりあえず申し込みだけしておいて…という方も多いのかなと思ってはいますが、今現在リスーピアノ全部のイベントが満員になっているわけでもないので、ご期待に応えられるよう、ちゃんと準備をして楽しんでいただけるようにしたいと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　この連休は、喪中はがきを作っていました。忙しくて時間がとれなくて、だいぶ遅くなってしまいました。

11月26日(月)　円錐型アナモルフォーズ(その2)

　23日(金)にご紹介したこの図ですが、これは円錐型アナモルフォーズの処理を施したCGでした。

再掲図 1		再掲図 2

　円錐を置いてみると、こんなかたちが浮かび上がってきます。

図 1		図 2

　というわけで、この２つの図は、それぞれ立方体と正八面体の円錐アナモルフォーズだったのでした。

　残りの３つの正多面体のアナモルフォーズも載せておきます。

　どれがどれなのか、お分かりいただけるかと思います。

＜おまけのひとこと＞
　三連休、終わってしまいました。このお休みにやっておこうと思っていたことがまだいくつもできていません。

11月27日(火)　四角柱12本：菱形十二面体を囲んで

　時間がないので、最近作った模型の写真だけ簡単に紹介します。

　図1のような立体を紙で作ってみました。

図 1

　図2、図3は対称性の高い視点から見たところです。

図 2		図 3

　図4はパーツの写真です。

図 4

　これを組み立てるのは、想像していた以上に大変でした。

＜おまけのひとこと＞
　眠いです。

11月28日(水)　四角柱12本：菱形十二面体を囲んで(その2)

　昨日ご紹介した四角柱を3組、4方向に組むモデルについて、メールで「六角形のものがありますよね」とコメントいただきました。ありがとうございます。

　実は以前、六角柱のものも作って公開したことがあります。(2003年12月10日のひとこと参照。) そのときの写真を再掲しておきます。昨日の更新でこれを紹介しようと思っていたのですが時間がありませんでした。（実は今日はもっと時間がありません！。）

　今回の四角柱の形は安定していて気に入ったので、比率を変えて作ってみました。パーツを細長くして、ジョイント部分を相対的に小さくしてみました。

図 1

　さらに、かなり小さなモデルも作ってみました。

図 2

　別な形の型紙を印刷しようとするとき、隙間があるとこうやって気に入ったモデルや簡単なモデルの型紙を縮小して印刷しています。小さいものはさらに組むのが大変ですが、とても楽しいです。

＜おまけのひとこと＞
　寝坊してしまって時間がありません。
　カッターマットを新調しました。調子がいいです。
　時間がなくてメールが書けません。ごめんなさい、失礼をしています。

11月29日(木)　Escher's Burr #1

　石野恵一郎さんのちょいとパズルでもというすばらしいサイトがあります。たくさんのパズルが紹介されていて感動的です。紙でおもしろい立体構造を作ってみたいと思うときに参考にさせていただいています。

　こちらで紹介していただいている中に、Escher's Burr #1 Design and Copyright : Ronald Kint-Bruynseels (2003) という作品があります。これを紙の筒の手法で作ってみることにしました。

図 1		図 2		図 3

　完成した形は同じですが、パーツの構成は違います。せっかく紙を使っているので、2種類×3セットで組みました。

＜おまけのひとこと＞
　このところ写真の紹介が中心になってしまっています。
　30日は更新をするのが難しいため、あらかじめ2日分更新をしてしまうことにしました。

11月30日(金)　　Escher's Burr #2

　昨日に続いて、 Ronald Kint-Bruynseels (2003) 作のEscher's Burr #2です。パーツは3種類を3セットの9枚です。

図 1		図 2

　これを組むのは結構大変で、かなりパーツが歪んでしまいました。

図 3

　２つの Escher's Burr を並べてみました。結構気に入っていますが、パーツの設計がいい加減なので、仕上がりがいまひとつです。

＜おまけのひとこと＞
　Escher's Burr #1 のほうは、最初に組んだ時はきれいに組めず、もっと大きなパーツをゆるめに切り出して研究して、ようやく理解できました。それに基づいて設計を直して、やっと組むことができました。　これは、同じものを何度も作ってみたいと思うほどの魅力は感じていません。