以前の「ひとこと」 ： 2006年5月後半
5月16日(火) 整数列(その2)
昨日、こんな整数列をご存知でしょうか、という話をはじめました。
| 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ... |
昨日も「ヒント」に書きましたが、これはフィボナッチ数列とよく似た数列です。フィボナッチ数列というのは、ご存知の方も多いと思いますが、
| 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... |
という数列で、数列の次の数を求めるときに、１つ前と２つ前の数を足す、という規則で作られているものです。このため、フィボナッチ数列の「階差」、つまり数列の隣同士の数の差を書き並べてみると、同じフィボナッチ数列が現れます。
この、「１つ前と２つ前の数を足すと次の数になる」というのを図形的に示したのが有名な次の図です。中心の小さな正方形から、次々と大きな正方形を描いてゆく図ですが、新たに描き加える正方形は、２つ前と１つ前の正方形の辺の和が１辺の長さになるようにして描かれています。
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| 図 1 |
また、このフィボナッチ数列は黄金比と深いかかわりがあって、フィボナッチ数列の隣り合う２つの数の比が黄金比に近づいてゆくという性質があります。 フィボナッチ数列と黄金比に関しては、それだけを話題にした本が何種類も出版されているくらい話題が豊富な分野ですのでここでは特に詳しく書きませんが、１つだけ、兵庫教育大の濱中先生のページの黄金比にまつわるエトセトラをご紹介しておきます。大変おもしろい読み物で、お勧めです。
さて、問題の “ 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ... ”という数列ですが、 「隣り合う項を足してみる」という方法と、「隣り合う項の差をとってみる」という２通りのアプローチがあると思います。隣り合う項を足してみましょう。
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こうすると、フィボナッチ数列のときとは１つずれて、元の数列が再現しているのがわかるかと思います。逆に、隣り合う項の差を求めてみると、次のようになります。
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今度は、もうちょっと離れたところに同じ数列が再現しているのがわかります。
この数列は、「次の項を求めるときに、（フィボナッチ数列とは違って、１つ飛ばして）２つ前と３つ前の項を足す数列」といっても良いですし、「１つ前と５つ前の項を足す数列」と言ってもよいのです。
フィボナッチ数列のときと同じように、この数列からも「らせん」の図を描くことができます。この場合は正三角形の格子を使います。
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| 図 2 |
この図からも、次の三角形の一辺が「２つ前と３つ前の和」であり、かつ「１つ前と５つ前の和」であることが読み取れることがわかると思います。 （余談ですが、布施知子さんにこんな折り紙作品があった気がします。）
さてこの数列は、このようにフィボナッチ数列と対比されるものです。明日以降、もう少しそういった話題を続けたいと思います。
すみません、あえて漸化式のような書き方をしませんでした。かえってわかりにくかった気がします。
いつも楽しみに拝見しているろくはロッパの・・・や、あるが's てくにっき、しごと・あそびごと・ひとりごとといったページで、この数列の話にコメントをいただいて感謝しています。話題そのものは面白いはずなのですが、その面白さをちゃんとお伝えできる内容にできるかどうか、ちょっと心配です。
とりあえず今日のところはこの数列の俗称などはまだ伏せさせていただきます。（「あるが」さんのblogに書かれていたページで調べればすぐにわかってしまいますが。）
5月17日(水) 整数列(その3):プラスチック数
昨日、“1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...” という数列は、有名なフィボナッチ数列とよく似た生成規則で作られる数列です、という話をしました。フィボナッチ数列は、連続する２項の比が黄金比に収束するという性質が有名ですが、では今回お話している数列はどうでしょうか？
予めお断りしておきますが、話の雰囲気だけを伝えるため、本日は非常にラフで大雑把な説明をしたいと思います。
最初に、フィボナッチ数列の隣り合う２つの項の比について、ちょっと考えて見ます。
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上に書きましたが、フィボナッチ数列というのは次の項 F(n) は、１つ前の項 F(n-1) と２つ前の項 F(n-2) の和です。仮に隣り合う項の比がφという値に収束するとすれば、十分大きな n に対して、隣りの項は、ほぼφ倍になっていると言えます。それを、上の図の一番上のフィボナッチ数列を定めている式に代入すると（蛇足： F(n-2) は大きな正の数です ）、収束する値φが満たすべき式が出てきます。
こういう式を、漸化式の特性方程式というのですが、興味がある方は「漸化式、特性方程式」で検索されると解説が見つかります。
同じことを今回の「２つ前と３つ前を足す」数列についてもやってみましょう。この数列の連続する２項の比が p という値に収束するとしたら、その p が満たすべき式がどうなるのか、同様に考えてみます。
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さっきは φ2 ＝ φ＋１ でしたが、今度は p3 ＝ p ＋１ になります。ということは、φ と p はこんな風に表すことが出来ます。
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一方、昨日も説明しましたが、この数列は「１つ前と５つ前を足す」という定義もできます。その場合は
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今度は、 p5 ＝ p4＋１ という関係が出てきます。さっきのものとまとめてみると、p に１を足したり引いたりした数は、p自身の３乗や、p自身の４乗の逆数になっています。
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p + 1 = p3 p - 1 = p-4 |
さて、この p という数は、Wolfram の mathworldにも出ていますが（こちらです)、プラスチック数と呼ばれる数だそうです。黄金比に対してシルバー数という言い方もあるらしいですが、こちらは「シルバー比」と紛らわしいと思うので、プラスチック数という呼び名を採用したいと思います。
最後に、式変形の簡単なパズルを。
| p が、“p + 1 = p3” を満たすとき、その p が“p5＝p4＋１” を満たすことを示せ。 |
ネタ元の１つ(mathworld)を明かしてしまったのでこのあたりでやめてもいいのですが、もう少しだけご紹介を続けます。
googleなどで「プラスチック数」とか「プラスティック数」とかで検索をかけても、この情報を見つけることができませんでした。
昨日、通勤に使っている車のオイル交換をようやくやりました。通勤の走行距離は、片道だいたいフルマラソンくらいなものですから、通勤だけでも毎月2,000kmくらい走ります。なので、オイル交換の間隔は２ヶ月くらいになってしまうのです。
5月18日(木) プラスチック数 (つづき)
昨日ご紹介した「プラスチック数」の続きです。この数は、次のように表されます。
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こんな計算は、私はいつも多倍長電卓LMというフリーソフトを使って計算してみます。
| ((9+sqrt(69))^(1/3)+(9-sqrt(69))^(1/3))/(18^(1/3)) |
こんな式を入れてやると、以下のような結果が得られます。
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+1.32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734 07344 04056 90173 33645 34015 05030 28278 51245 54759 40546 99347 98178 7280 |
ちなみに、Microsoft の Excel にも、（先頭に=を付けて）同じ式を入れると、1.324718 という結果が出てきました。 （Excel の中でも、昨日の p3-p-1 , p5-p4-1 といった計算をさせてみるとゼロになります。）このようにこのプラスチック数pは、黄金比の 1.68... と比べて小さな数です。そこで、一昨日ご紹介したような対数螺旋を描いたとき、広がってゆく速度は黄金比のものよりも遅いですし、基になった数列が大きくなる速さも、フィボナッチ数列よりもゆるやかです。
ところで、昨日の式変形の問題の答をこちらに載せておきました。こんなものを作っていたら、本当は本日掲載しようと思っていた図を作る暇がなくなってしまいました。
私の家は、小さな谷間に面した丘の稜線の上にあるので、見晴らしはよいのですが風当たりの強い地形です。庭には生垣を作ったりして少しでも風除けをしたりしているのですが、玄関の脇のところは、谷から吹き上げる風が強いのと、家の日陰になって日当たりがあまりよくないため、なかなか植物が根付きません。過酷な環境に強いモミの木はしっかりついて大きくなってくれましたが、その周りに植えたものは何度か失敗しました。
そんな話を実家でしたら、「すずらんは強いから持っていったら？」といわれて、実家の庭で増えていたすずらんを、菓子箱１つくらいの広さ分だけ剥がしてもらってきて植えてありました。今年の春、無事に出てきてくれて、嬉しいです。
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5月19日(金) 時計
プラスチック数の話の続きを書く予定だったのですが、作りたいと思っているCGを用意している時間がなくて、今日は別の話です。
いつも楽しみに見せていただいているパズル工房「葉樹林」の昨日の日記に、「お茶碗時計」というのが紹介されていました。陶器のお皿（プレート）を文字盤にした洋風の時計というのはときどき見かけますが、和風のお茶碗の底に時計を組み込む、というのは初めて見ました。面白いですね。しかも、「後付け」なんですね。
この日記へのコメントの中に、「もしも、円形の時計の文字盤が無地だったら、何通りの方向に置くことができるか？」(Ototoさん)というものがありました。私もこれ、昔考えたことがあります。別な言い方をすると、文字盤の１２時方向がどちらなのか全くわからない時計があったとしたら、時刻は何通りに読めるでしょうか？ と言ってもいいですね。
上記のコメントのなかでAkichanさんが簡潔な答を書かれているので、改めてそれ以上言うこともないかなと思ったのですが、「短針が１周する間に長針が１２周するので、12-1=11通り」という説明を思いつきました。
時計といえば、以前、短針が15°ずれてしまった時計を持っていた話を02年4月30日に書いたことがありました。
同じく、上のAkichanさんのコメントで、「時刻を合わせるときに文字盤も動かせるようにしたら・・・」というのはとても面白いと思いました。現在の時計の表示時刻から任意の時刻に変えたいとき、長針だけを動かして合わせるためには、最悪で長針を６周しなければなりませんが（針はどちら方向にも動かせるとします）、文字盤も動かせる（あるいは、文字盤と時計の台は固定で、それ以外のメカユニット全部が動かせる、でもよいです）としたら、長針と文字盤はそれぞれ最悪の場合でもどれだけ動かせば済むかを考えると、なるほど効率的だなと思います。
これを利用して、お客さんに言われた時刻に瞬時に時計を合わせる「マジック」をちょっと考えましたが、あんまりおもしろくなさそうです。
＜おまけのひとこと＞最近、週の後半には朝起きるのがちょっと遅くなってしまっています。
5月20日(土) 男？
とあるところでこんな文字を見ました。
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一瞬、「男○」と見えて、下の文字はなんだろう、と考えてしまいました。
＜おまけのひとこと＞例によって、月曜日の朝に３日分更新しています。この週末で、うちのあたりでもようやくほとんどの田んぼが田植えが終わったようです。
5月21日(日) 草刈
この週末は、実家のほうで用事がいろいろあって、２日ともそちらに出かけていました。天気予報では雨が降るという話だったのですが、土曜日は朝からよい天気でした。が、午後になって急に雷が鳴って、突然大雨でした。
エンジン刈払機のチップソーと呼ばれる「回転のこぎり」の部分の刃がかなり傷んでしまっていたので買い換えました。そうしたら、とても作業効率がよくなって喜んでいます。やっぱり刃物は切れるものを使わないとだめですね。
＜おまけのひとこと＞筋肉痛です。
5月22日(月) パドヴァンの数列
先週ご紹介していた“1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...” という数列ですが、これはパドヴァン(Padovan)の数列、という言い方をされるようです。フィボナッチ数列は、平面に正方形をらせん状に並べてゆく表し方ができましたが、
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パドヴァンの数列のほうは、先週ご紹介したように正三角形をらせん状に並べてゆく図で表す方法のほかに、３次元空間に直方体をらせん状に並べてゆく表し方ができるのだそうです。図を作ってみました。
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最初は(1,1,1)の立方体から始めて、その隣に(1,1,1)を並べて、つぎはその２つに接する(1,1,2)の直方体を並べて、全体として(1,2,2)の直方体にして、という作業を続けてゆきます。新しくできる直方体の３辺が、パドヴァンの数列の連続する３項になります。
直方体を追加する「方向」ですが、xyz軸で考えると+x方向、+y方向、+z方向、-x方向、-y方向、-z方向、を繰り返します。上のgifアニメーションでは、「右、手前、下、左、奥、上」という順番です。（最後の「上」は、画面からはみ出してしまったので載せていません。）
＜おまけのひとこと＞この図を昨夜あわてて作りました。縮尺を変えて、もっと先まで表示するようにしようかとも思ったのですが、面倒だったのでここまでです。
5月23日(火) パドヴァンの数列 (その2)
昨日に続いて、パドヴァンの数列“1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...”の話です。昨日は、パドヴァンの数列の連続する項が現れる直方体を作ってゆくCGをご覧いただきました。実はこの並べ方、先日ご紹介した、正三角形をらせん状に並べてゆく方式とよく似ているのです。
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上の図は先日ご紹介した平面上のらせん、下の図は昨日ご紹介した直方体を並べてゆく図の、正方形の面に対角線を入れて繋いだものです（赤線）。この対角線の長さが、最初を１とすると、パドヴァンの数列の項の値そのものになるのです。（下の図をクリックすると、大きな画像を表示します。）
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しかもこの３次元空間に描かれた赤い折れ線の「らせん」は、１枚の平面上に載っているのです。立方体を、切り口が正六角形になるように二等分する切り方がありますが、それとよく似ています。
多少なりとも立体感がわかるように、中心部分を「ぷるぷる立体画像」方式で表示してみました。
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これが、このところご紹介してきたパドヴァンの数列を表しているところが美しいと思います。
パドヴァンの数列とプラスチック数いうのは、フィボナッチ数列や黄金比に比べるとずっと歴史が浅いのですが、ひょっとするとフィボナッチ数列や黄金比と同じように、デザイン的に有用かもしれないとか、自然界のさまざまなところで見つかるかもしれない、と考えている人たちもいるのだそうです。
＜おまけのひとこと＞昨日の更新のときには、(つづく) と書きませんでした。このCGを用意できるかどうか自信がなかったのです。 最近、プロバイダのホームページ用無料スペースが100Mbyte に拡張されたので、以前より大きな画像を平気で載せています。といっても、今日のようなペースで画像を載せてゆくと、100Mbyteあってもあと１年くらいで使い尽くしてしまうので、やっぱり気を遣う必要があります。
今日は健康診断で、昨夜早めに夕食を済ませたあとは飲まず食わずです。はやく行ってはやく済ませたいと思います。（受付は７時半からなので、それ以前に並ぶとして、６時過ぎには家を出たいと思います。）今朝起きたときに、ついいつもの習慣でトイレに行ってしまったのですが、昨夜から水分をとっていないので、１時間半後にちゃんと尿検査ができるかどうかちょっと心配です。
5月24日(水) 漢字のクイズ
たとえば、「春夏□冬」とあったら、□に入るのは「秋」です。同じように、以下の□にはどんな漢字が入るでしょうか？
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１．小中□大 ２．親人中□小 ３．中東□甲奥 ４．四広□上 |
これは「パズル」ではなくて「クイズ」だと思います。
＜おまけのひとこと＞ちょっと疲れています。
5月25日(木) 「チェンバロの歴史と名器」
先日実家に帰ったら、「チェンバロの歴史と名器」というCDがありました。なんとなくパッケージの雰囲気が見覚えがあるなと思ったら、渡邊順生さんの「チェンバロ・フォルテピアノ」という本の、いわば「参考音源」とでもいうような位置づけのものだということがわかりました。さっそく借りて帰って聴いてみました。チェンバロの音色がとても美しい、よいCDだと思いました。
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| 図 1 |
上の写真の左がCDのパッケージで、右が本の表紙です。
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| 図 2 |
本のほうはご覧の通りかなりの厚さで、値段も 6,800円でした。それでもその価値のある本だったと思います。（以前もご紹介したことがあった気がします。）
ちなみに、その名もhttp://www.cembalo.com/というサイトがありまして、これが渡邊順生さんのページです。この中に、このCDの解説のページもありました。こちらです。CDに同梱されている解説と同じ内容のものだと思います。これを読むだけでも面白いと思います。
＜おまけのひとこと＞今週ももう木曜日で、今週やっておくべきことがまだたくさん残っていて大変です。
5月26日(金) スヴェーリンク賛
４月の甲府の古楽祭のときに買ってきた楽譜の中で、一番気に入っているのがスヴェーリンク(J.P.Sweelinck)の鍵盤曲の楽譜です。スヴェーリンク（スウェーリンクと表記されることもあります）は、オランダでは最も著名な作曲家だそうですが、それでも、古楽が好きな人でなければ知っている人は少ないと思います。こちらのページに簡潔にまとめられているスヴェーリンクの音楽の特徴にはとても共感します。
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| 図 1：表紙 |
こちらのページに２曲、midiデータが公開されています。下の楽譜は、１曲目の半音階的幻想曲というmidiデータの曲の一部です。（このmidiデータの1分34秒くらいのところから２ページ分の楽譜です。）この音源ではオルガンの音色ですが、チェンバロでもとても美しいです。
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| 図 2：譜例 |
上記のページの２曲目のmidi、「我が青春は過ぎ去り」による変奏曲も大変好きな曲です。こちらがスヴェーリンクの作品の中でも特に有名な曲かもしれません。大変お勧めです。
これらの曲は、ピアノでも弾いてみましたが、やっぱりチェンバロやオルガンの音色が合っているなあと思います。
＜おまけのひとこと＞明日の土曜日は午前中が中学校の親子作業、午後が小学校の親子作業です。
ろくはロッパの・・・で、漢字のクイズが出ていました。答は、ここに書いてもいいでしょうか。「大」でしょうか。（マウスで範囲を選択すると読めると思います。）
5月27日(土) 親子作業
風の強い、大変寒い一日でした。朝８時から中学校に行って、２時間ほど草刈をしました。午後は小学校に行って、低学年用のスケートリンクの片付けをしました。リンクは周辺が石で出来ている田んぼのようなつくりで、水が抜けないようにブルーシート（青い防水シート）が敷いてあります。周辺には、スケートのブレードを傷めないように、古いカーペットがたくさん敷いてあります。私の地区の担当の仕事は、このカーペットとブルーシートを畳んで倉庫にしまうという作業でした。風が強いので、ほこりは舞い上がるしブルーシートは風をはらんでしまって扱いにくいし、大変でした。
＜おまけのひとこと＞ろくはロッパの・・・のクイズの答、正解とのことでありがとうございます。音楽の話も楽しく読ませていただきました。目の錯覚「錯視」に対して、耳の錯覚を表す言葉としては「空耳」というのが好きです。あんまり学術的な言葉という感じがしませんが。
5月28日(日) バッハのチェンバロ協奏曲
昨年と一昨年に開催したコンサートで一緒に出演した方のところへ、この５月の連休に遊びに行ったのですが、その方から、ご自分で作ったというバッハのチェンバロ協奏曲の楽譜のデータを送っていただきました。
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嬉しいです。が、弾ける気がしません。譜例の冒頭のあたりはまあいいのですが、ところどころ難所があって大変です。
＜おまけのひとこと＞この週末にはちょっとした校正の作業がありました。といっても、間違いを発見できませんでした。
5月29日(月) 正四面体の折り紙
今年の2月4日のひとことで、こんな写真を紹介しました。
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この中の折り図の１つを、2月7日に載せておいたのですが、(つづく)と書いておきながらそこで止まっていた、と思います。昨日、とあるファイルを探してパソコンのハードディスクの中を探索していたら、目的のファイルが見つかる前にこの折り図のファイルが出てきたので、ここでご紹介しておこうと思いました。
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これは1:√2の長方形から折り始めるものです。最初に細長く観音開きのように折っておいて、あとは30°、60°の折り線を入れて、最後に筒状に両端を差し込んでつくる、というとてもシンプルな折り方です。
正四面体といえば、その名もTetra's BLOGというブログがあります。このところ頻繁に更新されていて、楽しみに拝見しています。
＜おまけのひとこと＞このところ週末も予定がいっぱいで、ちょっとこのページの更新が「手抜き」が続いています。すみません。
5月30日(火) 透明折り紙
先日、こんな折り紙を入手しました。100yen shopのダイソーにあったもので、15cm角の透明折り紙24枚と、7cm角（7.5cm角ではないところが不思議）の折り紙２枚が入っていました。
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| 図 1 |
まず、小さいほうの１枚で、昨日ご紹介した、2月7日に載せた正四面体を折ってみました。
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| 図 2 | 図 3 |
普通の折り紙と比べると若干折りにくいですが、それでも心配したほどではありませんでした。あと、ちょっとほこりがつきやすいかな、と思います。
正四面体は、かなり分厚くなるので、小さな折り紙で折ったため透明感はあまりありません(図2)。それでも、光に透かしてみるとなかなかきれいです(図3)。
この「透明折り紙」には、「ふうせん」の折り図が付いてきます。確かにふうせんを折ったらきれいそうだな、と思って１つ折ってみました。
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| 図 4 |
いかがでしょうか。ほかにも、ユニット折り紙の多面体とか、いろいろ折ってみたくなりました。
＜おまけのひとこと＞最近は、職場でまた机に向かう時間が長いスタイルになっていて、万歩計の歩数が伸びません。そこで最近はお昼を遠くまで食べに行って、帰りも遠回りして帰ってくるということをしてみています。いい気分転換になります。
5月31日(水) 透明折り紙(その2):ツイストローズ
透明な折り紙で別のものを折ってみました。以前ご紹介した、ツイストローズという折り紙です。
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| 再掲図 |
これを透明な折り紙で折ったら、こんな感じになりました。
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| 図 1 | 図 2 |
この透明シートは、紙とはかなり違った性質があるので、正直言って折りにくいです。でも、出来上がりの効果が面白いです。
先日ちょっとご紹介したスヴェーリンクですが、有名な“Mein junges Leben hat ein End”（我が青春は過ぎ去り）の楽譜のpdfデータが公開されているところがあります。1ページ目はドイツ語の解説で、２ページ目以降が１ページごとに変奏になっていて、使いやすい楽譜です。
このサイト、Werner Icking Music Archive というところには、たくさんの楽譜のデータがあります。お勧めです。
＜おまけのひとこと＞しごと・あそびごと・ひとりごとの「どっちが近い？」という話、「三角形の二辺の和は第三辺に等しい」という誤った極限操作の説明図を思い出します。これ、（以前も書いたような気がしますが）私が小学校の６年生のときに、卒業間際の算数の最後の授業のときに担任の先生が黒板に図を描いてくれました。「三角形の二辺の和は第三辺に等しい」とか、「任意の２つの線分の長さは等しい」（これは２つの線分の全ての点は１対１対応がつけられるから、という図で説明されました）といった「間違った」証明をいくつもやってみせてくれて、「この説明のどこがいけないと思う？」という問いかけがなされました。そのときには、自分としてはその場では納得できなかったのですが、その「不思議さ」はとても強く記憶に残りました。
「どっちが近い？」の話は、道の幅がゼロではないとすると・・・という方向に話が進むのかなと思っていました。