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以前の「ひとこと」 : 2005年5月後半



5月16日(月) カーペンターブロックによる多面体:紡錘型稜モデルの正二十面体(内向き)

 一昨日の土曜日に、カーペンターブロックの「紡錘型稜モデル」の正十二面体(正五角形が12枚の多面体)を、頂点の多角錐を内側にして組んだモデルをご紹介しました。これはかなり感じが変わってしまいました。先日ご紹介した正二十面体(下図)、これも頂点を内向きにして組んでみることにしました。どうなるでしょうか。

5月13日 図1

 図1が一般的な視点から見たところ、図2が頂点の方向(5回回転対称軸方向)からみたところ、図3は面の方向(3回回転対称軸方向)からみたところです。

図 1 図 2 図 3

 いかがでしょうか、こうしてみると一昨日のものととてもよく似ているのがわかります。

5月14日 図1

 比較のために頂点を内向きに組んだ正十二面体の写真を再掲しておきます。じつはどちらも、パーツの縁の部分を見ると、大菱形二十面十二面体の構造になっています。下に、以前載せた大菱形二十面十二面体の写真を載せておきます。

03年12月1日 図1

 つまり、今回の「正多角錐を内向きに作って、それをSQUAREパーツで繋ぐ」という手法は、正多面体から派生するある種の多面体を作る手法でもあったわけです。

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 昨日は日中ものすごい雨が降ったり、と思えばすぐにあがって晴れたり、不思議な天気でした。




5月17日(火) カーペンターブロックによる多面体:SQUAREのみによる大菱形二十面十二面体

 昨日まで、SQUAREパーツの両側にTREEパーツをつけた細長い六角形の形を稜として、正多面体を組む話をご紹介してきました。最初は頂点の多角錐が外側に出た金平糖のような形をご覧いただいて、後半では多角錐を内向きにした形をご紹介しました。ここまでは、細長い六角形を稜だと見なしていたのですが、各パーツ自体の縁に注目してみると、これは大菱形二十面十二面体の形になっていました。

 そこで今日は、もともとの頂点を角錐ではなくて角柱で組んでみたものをご紹介します。これだとSQUAREパーツだけを使うことになります。

図 1 図 2
図 3 図 4

 図1が一般的な視点から見たところ、図2が正十角形の面(5回回転対称軸方向)からみたところ、図3は正六角形の面の方向(3回回転対称軸方向)から見たところ、そして図4は正方形の面の方向(2回回転対称軸方向)からみたところです。使用パーツの数は、白は六角形の面の数の3倍ですから60個、あとの5色はそれぞれ18個ずつです。

 昨日の角錐モデルと今日の角柱モデルを並べて写真に撮ってあったので、それも掲載しておきます。

図 5

 実はこの形はずっと前に造ってあったのでした。そのときには六角形の面を単色の六角柱で組んで、それを黒のパーツで繋いであります。これを作ったときには、別に壊したくないモデルがあって、そこでかなりの色のパーツを使ってしまっていたため、あまった色で組んだら変な配色になってしまいました。

図 6

 これは、黒を30個、あとの5色は24個ずつ使っています。残念ながらいずれにせよ4色セット1セットでは足りません。

 <おまけのひとこと>
 先週の水曜日、木曜日が小学校の修学旅行だったのですが(ちなみに金曜日は計画休業だったのだそうです)、昨日の月曜日は修学旅行が終わって最初の登校日でした。早速国語の授業で「旅行記」の作文を書いているそうです。その時間に担任の先生が書いてくれたという、いつもより文章が多い「学級だより」が先生の旅行記でした。子供たちや先生ご自身も楽しかったという様子が書かれていて、読んで楽しくなりました。




5月18日(水) 格子を斜めにたどる話(その1)

 いわゆる市松模様とかチェッカーパターンというものがあります。2色の正方形のタイリングで、隣り合う色が違うように並べる方法です。 子供の頃から、天井だとか床の市松模様を見ると、なんとなく同じ色の正方形を斜めに目で追って見てしまいます。

図 1

 特に、図1の青い矢印のように、隅からはじめて別の隅に落ち着くまで、壁で反射しながら目で追ってしまいます。部屋の床や天井などの場合は、全体のかたちが長方形ではなくて複雑な形状になっていたりすることがあって、まるでビリヤードの球が境界で跳ね返る軌跡を追っていくようなイメージで複雑な軌跡を描いてくれると、なんだかとても楽しかったものです。

 同じようなことは、例えばラジオなどのスピーカーのところなどに規則的な周期で丸い穴があいていたりするパターンでもやってしまったものでした。この場合は、穴の大きさにもよりますが指先でなぞってみたり、棒の先でカタカタとなぞってみたりすることもありました。

図 2

 例えば図2では、隅からはじめたものがなかなか別の隅に到達しません。でも、図3のような場合だと、比較的すぐに別の隅にぶつかって終わってしまいます。

図 3

 なんとなく、1本の軌跡ができるだけ多くの○を通過するほうが嬉しい気がします。さて、どんなときにこの軌跡は長くなるのでしょうか? また、全ての○を通過するためには、何本の軌跡が必要でしょうか? もちろんこれは○の並んでいる縦横の数に依存する話なのですが、最低何本必要で、それはどんなときでしょうか?


(つづく)


 <おまけのひとこと>
 通勤に使っている車のエンジンオイルの警告灯が、コーナリングや急制動の際に点灯することに、昨日の朝気がつきました。オイルを足してやらないとまずいです。昨日の帰りにガソリンスタンドでオイル交換をしてもらおうと思っていたのですが、昨日は仕事で遅くなってしまって、できませんでした。  今朝は少し早めに出て、スタンドに寄っていこうと思います。




5月19日(木) 格子を斜めにたどる話(その2)

 昨日の「格子を斜めにたどる話」の第1回目に、やっぱり同じことをやったことがあるという感想をさっそくいただきました。大変嬉しく思っています。

 さて、昨日は碁盤目の格子点の全部の点に白丸(○)があって、それを斜めにたどってゆくことを考えましたが、この場合、四隅の扱いが問題になります。昨日の例では四隅はスタートとゴールにしていましたが、例外的な点である隅っこがなければ、すべての軌跡がループになるようにすることができるはずです。

 そこで今度は、下の図1のような格子を考えることにしました。こういうタイプのスピーカーのカバー(っていうんでしょうか)も見たことがあります。

図 1 図 2

 このタイプの格子についても、サイズが変わったときに、全ての点を通過するために必要な軌跡の本数がどうなるのか、ちょっと考えてみました。

 たとえば一番単純な正方形、これはサイズが大きくなればなるほど必要な軌跡の本数も増えます。

図 3

 一方、今回の場合は最低1本の軌跡で全ての点を通過することができます。図4にはそのような例をいくつか挙げてあります。

図 4

 さて、今回の格子パターンの場合、1本の軌跡で全部の点を通れるような格子のサイズにはどんな特徴があるでしょうか?


(つづく)


 <おまけのひとこと>
 昨日の朝、ガソリンスタンドでオイル交換をしてきました。
 すみません、最近は帰りが遅かったりして書きたいメールを書く時間がなかなかとれません。不本意ながら大変失礼をしております。




5月20日(金) 格子パターンの結び目(その1)

 一昨日からご紹介した「格子を斜めにたどる話」、これは何のためにこんなことをご紹介したのかというと、5月8日から4日ほどご紹介した「紙の結び目」のパターンの参考にならないかな、と思ったためなのです。

再掲図

 昨日、一本の軌跡として斜めに格子状に長方形を覆うようなパターンをいくつかご紹介しましたが、とりあえずその中で単純すぎず複雑すぎず、というものを1つ選んで結び目にしてみました。選んだのは下の図1のパターンです。

図 1

 交差している点の数を一行ずつ数えてみると、3-4-3-4-3 で17箇所あります。この17箇所の上下を適当に選んで、1枚の紙から切り出した輪っかから、切ったり貼ったりは一切しないで作れる結び目のうち、作り方が一目でわかるような単純すぎないものを作ってみたいと思いました。

図 2

 とりあえずこんな結び目(図2)を考えてみました。横長の長方形のラティス(格子)状の結び目です。長方形の四隅の部分はかならず「ひっかかる」ようにしたいと思って、このようにしました。このほどきかた、目だけでわかりますか?

 これは、こんなかたち(図3)を紙から切り抜いて作ることができます。

図 3

 以前ご紹介した結び目の型紙と違って、これはとても細長いので材料の紙を効率的に利用することができます。 このパターンを方眼紙から切り抜いて、図2の結び目を作ってみました。結び目の帯の幅はとりあえず5mmにしてみました。こうすると図3の型紙は、高さが15mm、幅が235mmになります。A4サイズの方眼紙1枚から何本も切り取ることができます。

図 4

 写真ではわかりにくいですが、透明なカードフォルダに入れてあります。一見、不可能物体っぽく見えてくれないかなと期待していたのですが、どうでしょうか。少なくともこれを作るのは、パズルとして面白いと思いました。


(つづく)


 <おまけのひとこと>
 「格子を斜めにたどる話」を、あの“おれカネゴン”氏のあけてくれ - おれカネゴンの「算数できんのやっぱり気にしすぎとや」日記でご紹介いただきました。ありがとうございました。




5月21日(土) 格子パターンの結び目(その2)

 昨日、規則的な斜めの格子パターンの結び目をご紹介しました(再掲図)。

再掲図

 これを、昨日は帯の幅が5mmになるような型紙から切り出して、折って作りました。これを、もっと小さく作ったらもっと面白いかなと思って、帯の幅を2mmにして、作ってみることにしました。

図 1

 だいたいコインと同じくらいの大きさになりました。 どうでしょう、これは少しは作るのが難しそうだと思っていただけるでしょうか。これは、型紙は長さが94mm(10cm弱です)、幅が6mm のものを使っています。写真の結び目の右上の隅のループの部分、腕が悪くて組む途中でちょっと傷めてしまいました。

 多面体の紙工作でもそうなのですが、作るのも楽しいのですが設計するのがとても面白いです。 どちらかというと実際に作るのは、設計に誤りがないかを検証するために仕方なくやっているという気分すらちょっとあります。また、結び目の図を描く作業もとても楽しいです。

 <おまけのひとこと>
 そろそろ地下室の除湿機の運転をはじめないといけない季節になってきました。今、地下室の中はめちゃくちゃです。片付けないと…。
 実は、以前購入してあって、まだここでご紹介していない、ちょっと面白いものがいろいろあるのですけれども、それもどこにしまったかわかりません。そういったものたちも出てくるといいなと思っています。




5月22日(日) “杉原厚吉の自由広場”

 ずいぶん前になりますが、紙で作った「無限階段」というのをご紹介したことがあります。探してみたら02年の10月18日のひとことでした。

無限階段

 これは、東京大学の杉原厚吉先生のページの、「趣味のだまし絵立体」のコーナーからダウンロードさせていただいた型紙から作ったものです。 最近、この杉原先生の個人のホームページ、杉原厚吉の自由広場というページがあることを知りました。このページが大変お勧めなのです。

 “幾何計算駆け込み寺”というコーナーの、重心の偏ったさいころの考察の話とか、とても面白かったのですが、特に夢をはぐくむレッスンというメールマガジン、これが面白かったです。(バックナンバーが読めるのです。) いろいろ参考になった話があったのですが、たとえばバックナンバーの第37号「感動」の話がいいなあと思いました。

 <おまけのひとこと>
 日曜日は更新をお休みしました。これは日曜日の晩に書いています。




5月23日(月) リコーダーを吹いた話など

 昨日(22日)は2ヶ月ぶりくらいに、リコーダーを吹きに行きました。最近はメンバーが減って、練習は二人だけだったのですが、先日仕入れてきた二人用の楽譜をたくさん吹いてきました。

 モンテクレール(Monteclair 1667-1737)とかオトテール(Hotteterre 1674-1763)の二重奏をやりました。この時代のフランスものをやるときには、イネガルという前拍と後拍の長さを変える奏法が出てくるのですが(たとえばこことかこことかに説明があります)、修飾音を入れて、イネガルを考えて・・・なんてやっているとミスを連発しました。要するに頭で考えているうちはまだだめだということなんだと思うのですが。

 それから、テレマンの鍵盤楽器用のファンタジーの楽譜をソプラノとバスリコーダーの二重奏で吹いてみました。これを鍵盤でさらっているときに、リコーダー2本でもできそうで面白そうだと思った曲があったので楽譜を持っていったのでした。そうしたら、これをリコーダー2本でやるというのは有名な話なのだそうで、楽譜が出版されているそうです。知りませんでした。

 こういった「オトテール」とか「イネガル」とかで検索すると、いつも楽しみに見せていただいているせろふえさんのblogが出てきます。この“せろふえ”さんの昨日の更新で、ショートオクターブの話が図入りで解説されていました。先週のひとことで、テレマンの楽譜の表紙の写真をご紹介しましたが、これがその例ですね。ショートオクターブについては、私の持っているチェンバロの教則本にも解説があって、近いうちに私もちゃんと図を描いて説明しようかと思っていたのですが、せろふえさんが書いて下さったので、とりあえずいいかなと思いました。いずれ譜例なども含めて書きたくなったら書こうかと思います。



 数日前から「格子を斜めにたどる話」、「格子パターンの結び目」をご紹介したら、面白い、と感想をいただきました。 そういっていただけるのが非常にうれしいです。 また、日々雑感の blog でもとりあげていただきました。ありがとうございます。



 これまで楽しみに拝見していたblog“ろくはロッパの・・・”がしばらくお休みされるそうです。幾何学作図ソフト「シンデレラ」をはじめとして、非常に楽しい話題に出会えたページです。これまで公開して下さった内容にとても感謝しています。

 <おまけのひとこと>
 今日は2日分まとめて更新しているのですが、ちょっといつもより軽い内容です。最近またいろいろご紹介しようと思っている話題もあるのですが、紹介する順番によって、内容がわかりやすくなったり、逆に先が読めてつまらなくなったりしそうで、どうしたものかと思っています。




5月24日(火) 3枚の直交する鏡の像(その1)

 もうずいぶん以前のことになるのですが、02年の4月4日から何回か、直交する3枚の鏡を考えて、そこに何本かの棒を置くと、どんなイメージが見えるでしょうか、という話をご紹介したことがありました。下の図はその一例で、菱形を置くと、菱形十二面体のかたちが見えます。

菱形 菱形十二面体

 久々にこのシリーズの続編です。下の図1をご覧ください。この図では直交する3枚の鏡のかわりに黒い板を置いてあります。2枚ずつが交差している軸が3軸ありますが、その3軸それぞれから、3つの面に沿って短い棒が1本ずつ出ています。その短い棒の先端から、長い棒が3本、1点で集まるように伸びています。

図 1

 さてこのプロペラのような形、これを3枚の互いに直交する鏡に映してみると、どんなかたちが見えるでしょうか?

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 昨日は一日中しゃべらなければならない時間が多くて、のどが痛くなってしまいました。




5月25日(水) 3枚の直交する鏡の像(その2)

 昨日から、久しぶりに3枚の鏡を直交させて多面体の骨格の像をつくる話を書いています。昨日のものの答を書く前に、今日は第2問を。

 3枚の黒い板の上に、それぞれ点が2つずつあります。そのまんなかの空中には1つの点があって、それが下の図のように結ばれています。

図 1

 さて、この3枚の黒い板を鏡に変えたら、どんなかたちが見えるでしょうか?

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 ちょっと体調がよくないので、簡単な更新です。




5月26日(木) 3枚の直交する鏡の像(その3)

 一昨日、昨日と、3枚の鏡を直交させた場合にできる像を想像してください、という問題を出しています。タイトルには「鏡の像」と書きながら、まだ鏡の像の画像を掲載していなくてすみません。もう1日だけ、問題を出します。

 昨日までは、斜めから見たところの図(CG)だけを掲載していたため、どんなかたちなのかわかりにくかったかもしれません。そう思って、昨日までの2つの形についても、真上から見たところ(上面図)を載せることにしました。

図 1 : 真上から見たところ 5月24日の図 : 斜視図

 まず、一昨日の問題のかたちです。この図1は真上から見たところです。そのため、3つの黒い板の面のうち1面だけが見えています。そのほかの2つの方向から見たときにも、この図1とまったく同じものが見えるようなかたちになっています。

図 2 : 真上から見たところ 5月25日の図 : 斜視図

 これは昨日の問題のかたちです。この図2も、これを真上から見たところです。この場合もやっぱり他の2方向から見たとしても、この図2と同じかたちに見えます。

図 3 : 真上から見たところ 図 4 : 本日の問題

 さて、最後に本日の問題です。これは一昨日のものにちょっとだけ似ています。正三角形のまわりに短い棒が3本プロペラのように突き出したかたちになっています。真上から、もしくは真横から見ると図3のように見えます。

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 明日から順次解説を書いてゆきたいと思っています。




5月27日(金) 3枚の直交する鏡の像(その4):正十二面体

 鏡を3枚直交させたところに棒と玉を置いて、その像がどうなるか、という話をしています。今日はようやく面を鏡にしてみました。まず、最初の日(24日)にご紹介した形です。

図 1 : 正十二面体

 ご覧のように、正十二面体になります。知っている人には別に珍しくもないと思うのですが、こういう対称性の立体が、直交する3枚の鏡の間に現れるのはちょっと面白いと思うので、ご紹介しました。

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 図が大きいので、1つずつご紹介してゆきます。




5月28日(土) 3枚の直交する鏡の像(その5):菱形三十面体

 3枚の直交する鏡の像の話、保留になっていた2つを続けてご紹介します。

図 1 : 菱形三十面体

 これは菱形三十面体になります。解説は省略。

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 図のファイルサイズが大きくてすみません。にもかかわらず、図があまり美しくなくて不本意です。Jpegだともっと汚くなってしまうので、可逆圧縮の png を使っているのですが、24bitカラーだとあまりにサイズが大きいので、8bitカラー(256色)に減色しているのです。




5月29日(日) 3枚の直交する鏡の像(その6):正二十面体

 最後に残った3つめのものです。これはわかりやすいかもしれません。

図 1 : 正二十面体

 これは正二十面体になります。

 今回ご紹介した、正二十面体の対称性を持つ立体を3枚の直交する鏡で作る(CGをつくる)のはとても楽しかったです。まだ類似のCGをいくつも作ってあるので、もうしばらくしたらご紹介しようかと思っています。

 <おまけのひとこと>
 本当はもっといろいろやりたいことも多いのですが、この一週間は手抜きでCGの簡単な紹介になってしまいました。さて来週はどうしようかな。




5月30日(月) 旅行記など

 最近、睡眠の質が悪くなっていて体調があまりよくなかったので、この週末はあまりたいしたことができませんでした。 最近は Web もあまりよそを見に行く時間をとれないでいたのですが、久しぶりにゆっくりいろいろなページを読みに行きました。

 いつも楽しみに見せていただいているSTMileさんの消失点より、久しぶりに藪が原の狐の話の全話を通して読みました。うーん、やっぱり私このシリーズの大ファンです。 VTR250峠シリーズも全部読み返させてもらいました。

 もっとこんな文章を読みたいな、と思って、ちょっと検索してみました。「短い創作物語」のほうは、趣味に合う類似のページを見つけるのは大変難しいだろうと思って、紀行文のサイトをいくつか眺めてみました。

 くろべえという、数学とバイクとコンピュータと・・・というページの「旅行記」の、天界(あまさか)の郷(くに)・長野県上村下栗地区が気に入りました。プロフィールのページを拝見すると、私よりほんの少し年上くらいの方のようなのに、こんなとんでもない強行軍ができるとは驚きです。長いページの中ごろにある、目的地の上村下栗地区の写真、これを見て私も行ってみたくなりました。が、せっかくのお休みに家族を誘って行かれるところでもないので、いつか機会を見つけてひとりで行ってみたいと思います。このサイトのほかのページはまだあまり読んでいないのですが、少しずつ読ませてもらおうと思っています。

 “nara-tokyo”step by step!という、奈良から東京まで歩いた話を紹介しているページも読みました。 こういうのを読むのも好きなので、全部読んでしまいました。

 このジャンルも、すごいひとは本当にすごいなと感心します。

 <おまけのひとこと>
 5月もあっというまに終わってしまいました。来月は中旬にちょっとしたプランを考えていて、とても楽しみにしています。




5月31日(火) 絡み目の設計

 5月20日のひとことで、格子のパターンの結び目を設計して作った話をご紹介しました。これ、複数の輪っかが絡み合っている、いわゆる「絡み目」も何かおもしろいものができないかな、と思ってちょっと考えてみています。

 「おもしろいもの」と言ってもいろいろな「おもしろさ」の基準が考えられると思いますが、ここでは、一目で「絡み目だ」とわかって、そんなに複雑ではなくて、それなりにきれいなパターンで、でも作り方やほどき方が見ただけですぐにわかるほど簡単ではない、そんなパターンがいいな、と思っています。

 とりあえず1つ考えてみました。

図 1

 これはまだ紙で作ってみていませんが、小さな輪を中心に、大きな輪がラティス状になっているかたちです。これは作れるだろうと思っています。ほどき方、わかりますか?



 明日からは6月になるので、「カーペンターブロック」の手持ちのストックの画像の残りを公開してゆこうと思っています。「残り」と言っても、これまで温存してきた「とっておき」のものがいくつもあります。

 <おまけのひとこと>
 昨夜は大雨でした。
 先日、車を運転していたときに前の車のナンバーをぼんやり見ていたら、

2□ × 8 = 2□8

という、ものすごく易しい虫食い算を思いつきました。(二十なんとか かける 8 が 二百何十八になる、という計算です。)




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