以前の「ひとこと」 ： 2004年9月前半
9月1日(火) 立方体３つの相貫体の最内殻(その3)
だいぶ間があいてしまいましたが、8月18日、19日に書いた、立方体３つの相貫体の共通部分の形についての話の続きです。
まずは図を載せておきます（8月19日に載せた３つの図とは違います）。
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| 図 1 |
このかたちを基本単位とした造形をいろいろ作っておられる、積み木インテリアギャラリー いたち丸というページの「いたち丸」さんからメールをいただきまして、空間を充填する多面体や平行多面体などについて、お話させていただきました。 そのときに上記のいたち丸さんのサイトを教えていただいたのですが、そこを見て、「あ、この形は以前CGにしたことがある！」と思ったので、その旨お返事させていただいたのでした。
積木インテリアギャラリーのページは面白いです。こういうものを木工で実際に作れる技術と環境を持った方は本当に羨ましいです。また、私のページにもリンクしてくださってありがとうございました。この多面体については、ikuro's-homepageでも詳細に検討されていて、こちらも非常に面白いです。ikuro's-homepage は、数学の様々な分野のコラムがたくさんあるページで、多面体に関する話も何度も登場していて、以前から時々見せていただいていました。１つ１つのコラムの内容が充実していて、とてもお勧めのページです。
さて、何年か前に初めて図1のかたちをCGで描いたとき、一瞬だけ「あれ？ これって切隅八面体だっけ？」と思いました（参考図）。小さな正方形が6つと、その回りを六角形が取り囲んでいたので、誤解したのです。
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| 参考図 |
もちろんちょっと考えればそうでないことはわかります。図1では、六角形が３つ、１つの頂点に集まっています。仮にこれが正六角形だとしたら、その頂点を囲む角度はちょうど360度になって、まっ平らになってしまいます(図2)。
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| 図 2 |
もしも、紙で無理やり正六角形12枚と正方形6枚から図1の模型を作ろうとしたら、例えば正六角形を谷折りで二等分して組めば、図3のようなものができるでしょう。これはもう凸多面体ではありませんし、六角形は２つの台形になってしまいます。
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| 図 3 |
これは立方体の六面それぞれに正四角錐台を貼り付けた形です。正四角錐台の側面の等脚台形は、正六角形の半分ですから正三角形3つ分ということになります。（ちなみにこの図3の形は、帯で編む手法で作ることができます。）
では、この図3の形を、正六角形ではなくて、正三角形6枚で置き換えたらどうでしょうか？ 正方形が６つと、正三角形が72枚の多面体ができないでしょうか？ もちろん凸多面体ではありませんが、図3とはまた違った形ができないでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
8月25日に、「波のシミュレーション」というアプレットの画像を御紹介して、「どこのページだったか忘れました」と書いておいたら、http://www.falstad.com/mathphysics.htmlではありませんか、というメールをいただきました。 そうですここです。 ありがとうございます。このページは大変お勧めです。
昨日、下の子が学校の運動会で、リレーの選手に選ばれました。いや驚きました。
9月2日(木) 立方体３つの相貫体の最内殻(その4)
立方体３つの相貫体の最内殻の話からだんだんずれてきましたが、１辺の長さが同じ正方形６枚と正三角形７２枚を使って多面体を組んでみようということを昨日書きました。図1 は、昨日ご紹介した正六角形を谷折りにしたものを正三角形に分割した骨格モデルです。詳しくは昨日のひとことをご覧下さい。
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| 図 1 |
さて、これは凸多面体ではないので、複数の安定状態があるのではないか、つまり面の形やつながり具合は変えずに全体の形が変わるのではないかと予想できます。そこで、その座標を数値計算で求めてみることにしました。上の図1の正方形の頂点をＡ、折り曲げた正六角形の中心を頂点Ｂ、正六角形の頂点３つが集まっているところを頂点Ｃとします(図2)。
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| 図 2 |
この多面体の対称性から、A,B,C の３頂点の座標を図2のように定めます。そして、
| AB=BC=CA=2a |
という条件で、a,b,cを求めます。これは面倒なので、Maximaというフリーの数式処理システムを利用しました。（Maxima の日本語の簡単な入門はこちらにあります。）
私が実行した結果をこちらにおいておきます。(C1)から(C4)の４行を入力するだけで、ご覧のとおり複素解も含めて、複数の解が出てきました。（図１に相当する、2a=b=c=2-√2 の解は出てきませんでした。）この中からa,b,cがいずれも正の実数になっている解２つをCGにしてみました。
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| 図 3 | 図 4 |
最初の図1の形と比べて、左の図3は頂点Ｂがちょっと飛び出してきて、「丸く」なった形、右の図4はさらに頂点Ｂが飛び出してきて、そのかわりに頂点Ｃがぐっとへこんだ形です。
＜おまけのひとこと＞
今年の6月23日のひとことから何日か、「将棋パズル３」という、4×4の16個のマス目に15個の将棋の駒を配置して、空きマスを利用して飛車と角を入れ替えるというパズルを御紹介しました。 昨日、このうちの問題６の答を教えてもらえませんかというリクエストをいただいたので、解答（最短手数は62手）をお送りしました。こういうリクエストは歓迎です。 解いてもらっていることがわかりますし、どの問題が難しいのか、自分以外の人の意見がきけるからです。ありがとうございました。
9月3日(金) 立方体３つの相貫体の最内殻(その5)
昨日、１辺の長さが同じ正方形６枚と正三角形７２枚を使ってできる多面体の座標を決めて、CGにしてみました。これを、ジオシェイプスで作ってみました。CGと写真では視点が違いますが御勘弁下さい。
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正方形の6面には、パーツをはめていません。正方形パーツを入れれば、それぞれの形はしっかり安定するのですが、そうすると今度は変形が厄介になるので、今回は正方形パーツは割愛しました。また、配色の問題もあります。このモデルは、それぞれ正三角形6個から成る正六角形を、正方形の稜の位置関係になるように連結しています。この配置にすると、正方形の面に六色を割り振ると、三角形の部分とは対称性が違ってしまうので、美しくないのです。
実際に自分の手で形を変えてみると、とても面白いです。
＜おまけのひとこと＞
今日は時間がないので写真だけです。写真も、加工する時間がほとんどとれなくて、ちょっと大きくなってしまいました。
9月4日(土) 立方体３つの相貫体の最内殻(その6)
そろそろタイトルを「立方体３つの相貫体の…」から変えたほうがいいと思いつつ、惰性でそのままのタイトルで続けます。 昨日のジオシェイプスのモデルの配色を変えてみました。
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| 図 1 | 図 2 |
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| 図 3 | 図 4 |
こちらの配色ならば、正方形パーツも入れられてしっかりしますし、形の違いもわかりやすいかもしれません。
＜おまけのひとこと＞
今日はこれから小学校の学有林の作業に子供と出かけます。書かなければいけないメールもあるのに、時間がとれません。
9月5日(日) 正方形を三角形で囲むユニット(その1)
昨日、四角錐台６つを立方体の各面に貼り付けたかたちをジオシェイプスで御紹介しましたが、そのときのユニットになっていたものを２つずつ組み合わせてみました。
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| 図 1 |
左の紅白のものは、等脚台形８つと正方形２つの十面体です。正八面体の上下の頂点だけを切り落としたもの、と見ることもできます。
右のものは以前(02年10月1日)も御紹介した、捩れ四角反柱です。
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| 参考図 |
＜おまけのひとこと＞
2日分まとめて更新です。
9月6日(月) 正方形を三角形で囲むユニット(その2)
昨日と同じ構成のものを、凸多面体ではなくしてみました。時間がないので写真だけ御紹介します。
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| 図 1 |
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| 図 2 |
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| 図 3 |
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| 図 4 |
＜おまけのひとこと＞
Windows XP SP2 をあててみました。
9月7日(火) キューブパズル(その1)
先日、とある会合のときに、30分ほど「ただ立って待つだけ」という空き時間ができてしまいました。 そのときに思いついたちょっとしたパズルをご紹介しようと思います。
単位立方体を、田んぼの田の字のように２×２に４つ並べた四角柱を考えます。そこに、単位立方体を面の正方形の対角線で二等分して出来る直角二等辺三角柱１つをくっつけます。単位立方体の体積を１とすると、体積は4.5ということになります。
この、体積が4.5のピースを６個集めると、体積は4.5×6＝27 で、3×3×3の立方体ができるのではないだろうかと思われます。
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私が最初に思いついた、3x3x3の立方体が組めるパーツのセットを図でご紹介します。上図では２段３列に並べてありますが、左の列のものと中央の列のものは、上下のペアがちょうど右手と左手のような関係になっています。右の列のものも、図では鏡像対称として描いてありますが、この２つはひっくり返せば同じになるのは明らかだと思います。
有機化学の用語で言うと、左の列や中央の列のもののように、鏡に写したものが重なり合わないようなもののことをエナンチオマーとか、鏡像異性体と呼びます。で、右手型と左手型が同じ量だけ混ざり合っている状態をラセミ体と呼びます。(参考)
図のセットは、ピースの組成は全て同じで、連結された構造は３種類×２個ずつあって、うち２種類はラセミ体、残りの１種類はアキラルな（＝鏡像異性体を持たない）ピースだ、と言えます。
さて、この６個をどのように組み合わせたら立方体になるかわかりますか？ また、「2×2の四角柱＋0.5の直角二等辺三角柱」という構成で、もっと面白い（もしくはきれいな）セットは構成できるでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
「立体化学：Stereo Chemistry」というのは、有機化学の中でも特に面白いと思っていました。上記の参考ページ(http://www.chiral.jp/)は簡潔にエッセンスがまとまっていてわかりやすいと思います。
有機化学といえば、以前もご紹介したことがありましたが、有機化学美術館が大変お勧めです。
9月8日(水) キューブパズル(その2)
昨日、体積が同じ６ピースを使って立方体を作るパズルの話を書いておいたら、途中の考え方も含めて全く意図通りの解をさっそくメールでいただいて、嬉しく思っています。
もう１つ、昨日のものより易しい、というか昨日のもののヒントになるようなパーツの組を考えてみました。これは体積５のピースが３つ、体積４のピースが３つです。いずれも「アキラルな」ピースです。この６つのピースを組み合わせて、3x3x3の立方体にしてください。
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＜おまけのひとこと＞
今年は本当に台風が多いですね。昨日広島で最大瞬間風速60.2mを観測した、というニュースが出ていました。これ、“消失点より”の昨夜の日記にもコメントされていましたが（STMileさんありがとうございます）、時速に直すと216.72km/h ということですね。すごいですね。そりゃ屋根も飛ぶし木も倒れるだろう、と思います。
昔々、高校の物理の先生から、「秒速10m が時速36km だ、という関係をものさしにして、時速と秒速を考えると感覚的に理解しやすい」と教わりました。オリンピック級の短距離走者が100mを走るのが10秒程度ですから、まあだいたい 10m/s くらいでしょう。この、速度と時間と距離の換算をいろいろしてみるだけで、楽しめることがたくさんあります。
ところで、風速をニュース等で表現するとき、毎秒とか秒速とかいう言葉が抜けてしまって、単に風速○○メートルと言っていることが多いような気がします。まあ、車などの速度も、例えば「この車は60キロで走っている」というように、「時速」「毎時」どころか「メートル」という主単位すら省略して言われることもありますので、慣用的に許されているのだと思うのですけれども。
すみません、忙しくてメールの御返事が遅れています。ごめんなさい。
9月9日(木) パソコンが壊れた
昨夜は地区の役員の集まりがあって、会合が長引いて家に帰ったのは夜１１時前でした。やれやれ疲れたと思って、いつも使っているノートＰＣを起動したところ、「かっこんかっこん」という不吉な音がします。あ、これはハードディスクだ、まずいな、と思ったら、案の定ＰＣがブルースクリーンになってしまいました。
次に電源を入れたら、BIOSの起動画面は出るものの、ハードディスクから起動に行ったところで変なアクセス音がして、「BOOT.INI が壊れています」という表示が出て真っ暗になってしまいます。何度か試したのですが何度やっても同じ。あーあ壊れてしまいました。
このPCを買ってそろそろ３年です。ハードディスクの寿命としては、特に短いというわけでもないと思います。うかつだったのは、そろそろバックアップをとろうかと思っていた矢先で、メールをすっかり失ってしまったことです。
CGやjava、あるいはパズルを解析するプログラムなどのソース等は全てバックアップがありますし、アプリケーションは基本的にフリーのものを使っているので、時間をかければ環境はもとにもどせます。でもいただいたメール、差し上げたメールがなくなってしまったのは大変困りました。 特に、メールをいただいて、まだお返事を書いていなかった方のアドレスがわからなくなってしまいました。大変申し訳ありません。
とりあえず無線LANのアクセスポイントに接続している、緊急用の古いwin98マシンにftp等の環境を整えて、メールとホームページ更新はできるようにしました。が、いろいろなツールが入っていなくて、はやくノートＰＣを復活させないと、とても不便です。
＜おまけのひとこと＞
学校の先生の研修(?)で、子供たちは今日はお休みです。
今年は６年に一度のお祭りがあって、本番が９月の２５、２６日なのですが、その準備がだんだん忙しくなってきていて、あと２週間ほどのあいだに、夜は１０日くらいは予定が入ってしまっています。今月さえ乗り切れば楽になるのですけれども……。
9月10日(金) ハードディスクの交換
さて、壊れてしまったハードディスクを取り出してみることにしました。私の機種はSonyのVAIOのPCG-FX33V/BPというものなのですけれども、動作音などからして、まんなかあたりにハードディスクがありそうです。おそらく、多くのノートパソコンと同様に、キーボードを外せばアクセスできるかなと思いました。キーボード周辺を見ると、電源スイッチ等のついた、キーボード上部のパネルの左側にネジが１個だけあります。まずこれを外してみました(図1)。
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| 図 1 |
「当り」でした。この部分だけがちょっと右にずれて、持ち上がってきました。図２は裏返してみたところです。
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| 図 2 |
中央にフレキシブルケーブル（リボンケーブル）があります。このケーブルを経由して、電源等のボタンの操作情報やら左右のスピーカへの音声信号がメインボードとやりとりされているようです。これを傷めないように気をつけて外します。
すると、キーボードを固定しているとおぼしきネジが１本だけ中央に見えました。これも外します。するとキーボードが持ち上がって外せました。キーボードは幅の広い緑色のフレキシブルケーブルでメインボードにつながっています。このケーブルに注意しながら、キーボードを手前からめくるように持ち上げると、見えました、中央にハードディスクがいます。ここまででネジを２本外しただけです。かなり楽な部類だと思います。
ハードディスクはマウンタ（固定のための金具）４箇所でメインボードに固定されています。これを外します。ハードディスクとメインボードの間は、ケーブルではなくてコネクタで直接接続されていますので、そのコネクタを外しながらハードディスクをマウンタごと取り出しました(図3)。
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| 図 3 |
9.5mmの2.5inchのドライブは一万円台で手に入るようですので、それを入手して環境を作り直そうと思っています。
＜おまけのひとこと＞
メールをなくしたのもショックだったのですが、ディジタルカメラの画像の一部がバックアップがないことに気がついたのもショックでした。（なぜか途中の数ヶ月分だけが抜けている）
9月13日(月) 天満宮御柱祭
9月12日(日)に、地元の子供育成会（小学校の地区のPTAです）主催で、天神様（天満宮）の御柱祭をやりました。公民館前から地元の白山神社というところまで、距離にして約1キロくらいを、小さな谷を越えて曳行(えいこう)しました。標高差にして出発点から谷底の橋のところまで30mくらい下って、そこからお宮まで10mくらい上る、という感じです。特に上りになってからは未舗装の参道になるので、柱の摩擦が大きくなって大変です。
春には地域全体の大きな御柱祭が6年ごとにあって、その年（御柱年）には夏から秋にかけて、各地の小さなお宮で地区の御柱をやってゆきます。これを小宮祭といいます。 企業などでもやるところもあります。（私の勤務先の会社でも、よその事業所では盛大に御柱をやっていました。）柱は、伐採して枝を落として、皮をむいて、ほぞ穴を掘って「めど」と呼ばれる触角のような柱を前後に2本ずつつけて、その「めど」に人が乗って、その状態で曳きます。この、実際に曳き始められるところまで柱を用意する作業を「木づくり」と呼んで、これがまた大変な作業になります。 今回の子供御柱は役員の方々がやって下さいました。
当日は10時から曳行開始で、2時間ほどかけてお宮まで曳き付けました。子供たちがたくさん柱に乗るので、曳き手の大人はとても大変でした。
＜おまけのひとこと＞
消失点よりのSTMileさんが、この天満宮御柱祭をやっていたすぐ近くにいらしていたらしい、ということがわかりました。
9月14日(火) PCその後
ハードディスクを入手して、PCの環境を作り直しています。とりあえずOSを再インストールして、普段使っているソフトウェア（ほとんどがフリーソフトです）を入れて、プリンタ等のドライバを入れて、メールやWebの関係(ftpなど)の設定をして、ようやく以前と近い使い勝手に戻ってきました。
デイリーポータル Zというページの過去の記事を面白く読んでいます。いろいろ面白い「あそび」をしていて、楽しそうです。
＜おまけのひとこと＞
すみません、PCを復旧したり、地区の用事が多かったりで、また更新が不定期になっています。
9月15日(水) 風速を測る
先日の台風で、最大瞬間風速が60m/sという数値が記録されたと報道されていましたが、さてこんな速度をどうやって測っているんだろう、と疑問に思いました。 風速計というと、飛行機の胴体のような、大きな垂直尾翼のついた流線型の先端にプロペラがついた、風向風速計が思い浮かびます。あのプロペラってどのくらいの風にまで追随できるのでしょうか。
プロペラは、その形状にもよるのでしょうけれども、工学的に考えると、ものすごく速い流体の中では回転できずに壊れるような気がします。 例えば、おもちゃの華奢な風車を高速道路を走行中の車の窓からかざしてみたとしたら、羽根車の軸の根元にかかる力はかなり大きくて、じきに壊れてしまいそうな気がします。 また、壊れるまで行かないまでも、流速が速くなると、おそらく乱流などが生じて誤差が出てくるのではないでしょうか。 さきの台風のときに記録されたという 60m/s 、これは時速200kmを越えていますから、下手な風速計では測るのは難しいのではないでしょうか。
というわけで、もっと精度の高い測定方法があるのではないかと思って調べてみました。すると、主な風速の測り方として、プロペラ式以外にも３種類ほど、メジャーな方法があるということがわかりました。きっと検索してみればすぐにわかると思うのですが、どんな方法だと思いますか？
＜おまけのひとこと＞
今日は「敬老の日」ではないんですね。
今週末が小学校の運動会、来週末が地区の御柱祭です。下の子が、運動会ではリレーの選手になっていて、御柱祭では「子供木やり」のメンバーになっています。「木やり」というのは、柱を曳くときに節回しをつけてろうろうと歌う歌で、歌詞はその場その場で指揮者の指示によって決まります。
今週は、朝はリレーの早朝練習があって、夜は夕食後公民館で「木やり」の練習があって、ちょっと疲れてきたようで心配しています。「子供木やり」は小学生が対象なのですが、お祭りが6年に一度なので、何年生であっても参加者はみんな初めてです。とにかく無事終わってほしいものです。