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以前の「ひとこと」 : 2002年12月前半




12月1日(日) 和の分布の同じダイスの組の話(その3)

 ここ何日か、「シチャーマン・ダイス」、つまり出目の和が普通のサイコロ2つを振ったときと同じ分布になるようなサイコロの話をしてきました。昨日、合成数であれば2つの因数を掛けた形に表現できるので、その長方形を基本としたシチャーマン・ダイスが設計できるという説明をしました。今日はその続きです。

 たとえば、長方形が偶数個並んでいるような場合、長方形2個ずつのペアを考えることができます。これを2つに分解する方法が、どうやら一通りではなさそうなのです。下の図をご覧ください。これは、サイコロ2つの和のマトリクスの上の長方形を表した図です。 図ではマスに数字を書き込む代わりに同じ大きさの数字を太い青線で結んであります。

図 1 図 2

 図1は幅が2の長方形が2個ペアになったときです。左側が基本形で、出現する数字の数が {1,2,2,,...,2,2,1} と、両端だけが1つで、あとは全部2つずつというパターンになっていますが、数字を1つずつ貸し借りすることによって、 {1,1,2,2,2,...,2,2,2,1,1} と、両端の2個が1つで、あとは全部2つずつというパターンも可能です。(右と左で同じ構造にならなければいけません。)一昨日の8面のシチャーマン・ダイスの例がこれです。

 同様に図2は幅が3の長方形2個を分割する例です。基本形の左側は {1,2,3,3,...,3,3,2,1} ですが、右側のように {1,1,2,2,3,3,3,3,...3,3,3,3,2,2,1,1} というパターンも可能です。 (数字を追っていただくよりも、図を眺めていただいたほうがわかりやすいかと思います。)

図 3

 図3は幅が4の長方形の例です。2つの長方形の境界部分を階段状に変形すると、左右の数字の構造を同じにすることができるようです。図3中央は2マス単位の階段、右側は1マス単位の階段を構成してみました。

図 4

 図4は幅が5の長方形2個を同じ構造に分割する例です。5は素数なので、階段は1種類しか作れません。

 …というようなタイリングパズルのような発想にはまりこんでしまっていたら、これはある問題と同値ですね、というご指摘をいただきました。明日はそれについてちょっと説明して、このシリーズを終えたいと思います。

(つづく)

 <おまけのひとこと>
 とあるところで紹介されていた、峠と旅というページを読みふけってしまいました。私も、交通量の少ない険しい峠を車で通るのが好きで、バイパスとかトンネルとかがあったりする新しくてよい道よりも、旧道を通るのが好きでした。このページで紹介されている中で、自分の住んでいる近所にあるところはかなり行ったことがあります。同じく峠紀行が書かれているこちらの消失点よりというページも楽しいです。(こちらはバイクですけれども。)
 今乗っている軽自動車は四輪駆動で車体重量が660kgという軽量さで、最小回転半径も4.2m、全長も3.4m弱と、とても取り回しの楽な、悪路を走るのにも気兼ねのない、頼もしい車です。最低地上高が150mmというところだけが、もうちょっと欲しいと思うのですが。

 今日はこれから、冬を迎えるにあたっての水路の枯葉等の清掃作業があります。水路が詰まって水があふれると、道路がスケートリンクのように凍ってきわめて危険なので、毎年この時期にみんなで清掃をします。地域の共同作業としては、来週に公民館のお掃除があって、それで今年は最後です。




12月2日(月) 和の分布の同じダイスの組の話(その4)

 このところご紹介してきたシチャーマン・ダイスの問題、1から6までの普通のサイコロを2個振ったときに出た目の和の分布と同じ分布を与えるサイコロ2個を求めよ、という問題は、実は以下のような多項式(式1)

式 1

をうまく因数分解してください、というのと等価な問題です、と教えていただきました。(「うまく」というところをきちんと書くと、上の式1の多項式を、2つの「t=1を代入したときに値がNとなる、係数が自然数の多項式」に因数分解してください、となります。)

 なるほど、上の式を展開すると、項の分布が {1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1} となることがわかります。確かに(6面の普通の)シチャーマン・ダイスは

式 2

 と書くことができます。

 xN=1 という式があります。これをxのN次方程式だと見ると、一番素朴な解は x=1です。この式を移項してxN-1=0と書いて、因数定理で(x-1)をくくりだすと、この式は

(x-1)(1+x+x2+・・・+xN-1)=0

と表されます。この(x-1)を除いた部分をよくご覧いただくと、式1の2乗をはずした形になっています。この部分の解は、複素平面上の中心ゼロ、半径1の単位円をN等分した点になっています。そのため、この式は円分方程式と呼ばれるそうです。 大数学者のガウスが正17角形が定規とコンパスで作図できるということを見つけたときにかかわっていたのがこの円分方程式だそうです。

 シチャーマン・ダイスの問題を円分方程式の二乗の因数分解の問題に変換することによって、「素数のシチャーマン・ダイスが存在しない」ことを証明できるそうです。 抽象的な論理構造の世界で、「これとあれは同じなんだ」とわかるというところが、数学の醍醐味の1つだと思います。

 <おまけのひとこと>
 昨日、以前からずっと欲しいと思っていた「ジャグリング・ボール」を3個購入しました(写真)。

 1つ950円でした。とりあえず一番基本的な技であるカスケードと呼ばれる技(左右交互に投げ上げて、投げたのと反対の手で受け取るもの)と、シャワーと呼ばれる、日本のお手玉の基本的な技(利き手で投げ上げて、反対の手で受け取り、受け取ったらすぐに投げる側の手に手渡す)しか知らないのですが、1時間ほど練習してみました。調べてみると技のパターンやその記述に関して、パズル的(数学的)にもいろいろ面白い話がたくさんあるようなので、またおいおいご紹介してゆきたいとおもいます。




12月3日(火) セブン・イレブン問題

NetNewsの rec.puzzles というところで昔読んだ数字のパズルです。(ということでオリジナルは英語です。)

 ある人が、セブン・イレブンで4つの品物を買ったところ、値段が$7.11(7ドル11セント)だったそうです。この数字がお店の名前と同じだったので、面白いと思って店員に尋ねると、店員はなんと4つの数字を掛け算してこの答を出したというのです。「掛け算じゃなくて足し算をしてくれ!」と苦情を言って、足し算をしなおしてもらったのですが、驚いたことにその答も同じく$7.11でした。購入した4つの品物は、それぞれ何ドル何セントだったのでしょう?

 この問題の誤った答えとして、$1.01, $1.15, $2.41, $2.54 というのがあるんだそうです。この4つの数字の合計は 7.11 になるのですが、積は 7.1100061 になってしまいます。正解はこのような近似解ではなく、和も積も正確に 7.11 になります。

 この問題、うまく状況を日本に変えた問題設定(つまりドルやセントというお金の単位を使わない設定)にできないかなと思ったのですが、よいアイディアが浮かびませんでした。

 この問題、考えるのが面倒だったのでちょっとプログラムを書いて答を探索してみました。とりあえず 7.11 には解は1つしかなさそうだ、ということがわかりました。ちなみにこれを日付の問題にできないかと思って、4つの小数点以下第2位の桁までの数字を足しても掛けても同じ値になるものを探してみたら、近いところでは12月6日(12.06)に解がありました。ただし解は3つ出てきました。 同じく、「12月24日に4つのプレゼントを買ったら、その金額の和も積も$12.24になりました。4つの品物はいくら?」というのも考えたのですが、これも解が3つ出てきてしまいました。

 以下、プログラムに興味がある方のみご覧ください。下の例は、C言語でこの問題を最も素朴にプログラムにしてみたものです。慣れた人ならばこんな恐ろしいコーディングはなさらないと思います。

悪いプログラム

#define  GOAL    7.11

main()
{
  double  a,b,c,d;

  for ( a=0.01 ; a < GOAL ; a += 0.01 ) {
    for ( b=0.01 ; b < GOAL ; b += 0.01 ) {
      for ( c=0.01 ; c < GOAL ; c += 0.01 ) {
        for ( d=0.01 ; d < GOAL ; d += 0.01 ) {
          if ( a+b+c+d==GOAL && a*b*c*d==GOAL ) {
            printf("%lf %lf %lf %lf\n",a,b,c,d);
          }
        }
      }
    }
  }
}

 浮動小数点の変数を4つ、a,b,c,d という名前で用意して、それを 0.01 から 7.11 まで、0.01刻みで増やしてゆきます。毎回、和と積を計算して、それが目的の数字になっていたら表示するというだけのものです。このプログラムをコンパイルして実行してみたら、さんざん待たされた挙句、何も出力せずに終了してしまいました。さて、何がいけなかったのでしょうか?

 <おまけのひとこと>
 技術面接、というのをやらなければいけないことがあります。一緒に仕事をすることを希望される方の適性について、技術的観点からどう思うかを判断してくださいといわれるものです。一応、相手の方の過去の経験などを伺いながら、「そういう経験があるならこのくらいは知っているはずだよね」ということを尋ねるようにしています。たとえば、C言語でのプログラミングが得意です、と言われたら、

 ・配列(文字列)のコピーの関数
 ・配列の最大値(最小値)を見つける関数
 ・2つの変数の中身を入れ替える関数(or マクロ)

といったプログラムを(ライブラリ関数を呼ぶのではなくて)その場で適当にホワイトボードに書いてください、とか、電子回路が得意ですと言われたら、電源回路(整流回路)とか発振回路とかを描いてみてください、とか、電子工学科出身でデバイスをやりたいと言われれば、あなたにとって電磁気学において一番偉大だと思う業績、もしくは一番印象深い人は誰ですか、と尋ねてみたりとかしています。

 まあ自分が聞かれるほうの立場だとすると、緊張もするでしょうし難しいとは思うのですが、「これだけ言えれば安心」という答を言ってくれる人、出してくれる人はそれほど多くありません。(ちなみに電磁気学の話は、個人的な趣味でファラデーかマクスウェルを期待して質問しています。もちろん半導体の話をしてくれてもいいんですけれども。)

 確か、藤原博文さんのページのどこかに、大学で物理をやっているという入社希望者との面接で、「正四面体の体積を求めてください」と尋ねたら答えられなかったというような話が出ていた記憶があります。




12月4日(水) ロープの結び目

 先週、Monkey's Fistというロープの結び方を教えていただいて、これは“あそびをせんとや”の4月17日のひとことの編んで作る立方体の原理なので、同様に編んで作る多面体の原理で、菱形十二面体や菱形三十面体のロープの結び目が作れるはずですね、という情報をいただきました。上記の作り方のページを教えていただいたので、さっそく挑戦してみました。とりあえずは立方体の構造になるものです。あんまりきれいに作れませんでした。

monkey's fist
写真 1

 昨日、H.Hamanaka's Home Pageを見たら、菱形十二面体の構造の結び目の美しい写真が載っていて感動しました。ぜひご覧ください。 同じ原理で作れるはずなのですが、私が作るときれいにまとまりません。でも、こんなにきれいにできるのならば、また挑戦してみようかな、と思いました。

 上の緑色の(自称)Monkey's Fist を作った後、十二面体にも挑戦してみたのですがあまりうまくいかないので、紐をもてあそぶうちに、Webで見つけた関連するロープの結び目の写真の中から気に入ったものをお手本にして、なんとなくこんなもの(写真2)を作ってしまいました(逃避行動)。 一応、正六角形を目指したつもりです。コースターにちょうどよいくらいの大きさになりました。でも紐がねじれているし、形も整っていないし、美しくありません。まあこんなものも出来るのか、といった程度です。

写真 2

 写真の2つは、先週末に夜お酒を飲みながらのんびり作ってみたものです。おそらくこういうのも何度もやっているとだんだんきれいにできるようになるのでしょうから、またやってみようと思います。

 <おまけのひとこと>
 11月17日のひとことに載せた、紙のリングを3枚で組む星のような形のモデルを作ってみました、という写真を送っていただきました。ありがとうございました。




12月5日(木) セブン・イレブン問題、シチャーマン・ダイスのその後

 一昨日、「セブン・イレブン問題」というパズルをご紹介しました。これは4つの小数点以下第2位までの数字で、和も積も7.11になるものを見つけてくださいというものでした。数字の数が多いほうが簡単になってゆくと思うので、逆に数字4つから3つに減らして、とりあえず和と積が等しい3つの数字(ただし小数点以下第2位まで)の解を、暇そうにしていたパソコンに探してもらうことにしました。やっていることは

a/100 × b/100 × c/100 = (a+b+c)/100

となる自然数 a,b,c を探索するだけなのですが、わりと面白い数字が出てきて楽しんでいます。一段落したらまたご紹介しようと思います。この手のパターンとしては、1×2×3=1+2+3というのが有名ですが、有理数に拡張すると、この {1,2,3} ほど美しくないにせよいろいろ面白いパターンが出てきます。3つの有理数の和と積が等しいものに関する知見というのがどんなものがあるのかなあと思っています。

 「シチャーマン・ダイス」のシチャーマンの綴りがわかりました、というメールをいただきました。 Sicherman だそうです。Wolfram の MathWorld の中のSicherman Diceというページがありました、ということでした。ここからたどれる、Efron's Diceというページがまた面白くて、4つのサイコロA,B,C,Dが、あたかもじゃんけんのように、AはBより有利、BはCより有利、CはDより有利、そしてDはAより有利、という目になっています。これもちょっとバリエーションを考えてみたいものです。

 <おまけのひとこと>
 今朝はこれから年に一度の資源ごみ分別収集の当番です。



12月6日(金) 回文歌

 先日、回文になっている和歌を2つほどご紹介しました。そのときは「回文和歌」という呼び方をしてしまいましたが、これは「回文歌」と言うのが正しいのだそうです。失礼しました。先日引用したものの出典を調べてみると

村草にくさの名はもし具はらばなぞしも花の咲くに咲くらむ
『奥義抄』『八雲御抄』『和歌色葉』『和歌大綱』『和歌肝要』『悦目抄』『三五記鷺末』『代集』などに収載。

惜しめどもついにいつもと行春は悔ゆともついにいつもとめじを
『悦目抄』などに収載。

長き夜のとをの眠りのみな目覚め波乗り舟の音のよきかな
『代集』『庭訓徃來註』『運歩色葉集』などに収載。

のように、昔から喜んで転載されたりしているようだということがわかりました。やはり昔から面白いと思う人が多かったということでしょう。

 「回文歌」というキーワードで調べてみると、いろいろ面白いページがたくさんありました。回文の窓というページには、回文歌がたくさんありました。さかさ言葉「回文」のすべてというページでは、同名の本の紹介がされており、これは買ってみたくなりました。

 また、思い出してみると、福音館(だったと思います)の絵本で、「つつみがみつつ」(包みが3つ)という回文だけの絵本があったような気がします。

このこどこのこ
このみくんさんねんさんくみのこ
がむが
たいつについた

 「この子どこの子?」「このみ君、3年3組の子」「ガムが」「タイツに付いた」といった感じで全て回文でストーリーが語られる、というものです。図書館で探してみようかと思っています。

 回文というのも多くの人が創作している奥の深い世界なのだな、ということがよくわかりました。今回ちょっと探し回って印象に残っているのは、「師走の諏訪市」(しわすのすわし)というのと「意外や意外」(いがいやいがい)という2つの回文です。「意外や意外」が回文だったなんて、まさに「意外や意外」でした。

 <おまけのひとこと>
 下の子が保育園の合奏で「大太鼓」をやることになったと言うので妻とほめてやったら、わずか数日後に「カスタネット」に変わることになったというのです。なんでも練習のときに、本人が緊張したのと、曲がまだ把握できていなかったのと、(おそらく)まだ周りがあまり合っていないのとで、いつ叩いていいかわからずにいたと本人が言います。
 まあ確かに、大太鼓は周りに引きずられずにリズムを刻むことを期待されていたのでしょうから、「うまく合わせよう」と努力したのが仇になったのでしょう。 本人がだいぶがっかりしているようです。 まさか変わるとは思わなかったので、大太鼓は大事な役なんだよ、よかったね、と言い過ぎたかと反省しています。




12月7日(土) 2進木

 フロッピーディスクを整理していたら、以前遊びで作ったちょっと変わったフロッピーが出てきました。「変わった」と言っても、フォーマットが違うとかコピープロテクトうんぬんとかそういう話ではありませんし、ましてやウイルスとかワームとか、コンピュータに悪さをするものでもありません。(正確に言うと、ちょっと負荷はかけるかもしれません。)

 右の図がそのフロッピーをWindowsのエクスプローラで表示してみたものです。ほんのごくごく一部分しか表示できていませんが、11階層にわたって、どのディレクトリ(フォルダ)の中にも0という名前のフォルダと1という名前のフォルダが1つずつ作られている、というものです。フォルダの数は全部で3000近くあります。ファイルは1つもありません。空き容量もほとんど(まったく)ありません。(なんで4095とかそういうきれいな数字ではないかというと、フロッピーがいっぱいになってしまうからです。)

 このように、ルートディレクトリから0,1 の2つの枝が出て、そのそれぞれから同じように0,1,の2つの枝が出て、と次々と2つずつに分岐してゆく形を2進木とかバイナリ・ツリー(binary tree)と呼びます。このような論理構造は計算機の中ではよく使われます。

 大昔、コンピュータがまだ非力でハードディスクがぜいたく品だったころ、パソコンにはフロッピーディスクドライブが2つ付いていて、片方にOSとアプリケーションの入ったフロッピーを入れて、もう片方に自分のデータを入れるフロッピーを入れて運用するという形態が一般的だった時代がありました。その時代に、やっぱりこんなバイナリ・ツリーのディレクトリ構造のフロッピーを作って遊んでいたことがあります。

 それで何をしたかというと、特定のフォルダの中にパスワードとか秘密のメッセージの入ったファイルを入れておいたりしたのでした。フォルダは2進数で指定できますから、たとえば 105 という数字ならば、2進法では 1101001 となりますから、ディレクトリとしては a:\1\1\0\1\0\0\1 を示すことになります。

 そのうちにもうちょっと凝ったことをしたくなって、たとえば指定したフォルダの中のファイルの指示に従って次に読むべきフォルダを指定する、という一種の迷路のようなパズルのようなものも作ってみたりしました。

 今ならば、ファイルの検索機能とかで簡単にみつかってしまいますが、当時はコマンドラインからのコマンドでディレクトリ・ツリーを辿ったりしていたので、自分でこんな迷路を作ってみたり、簡単なプログラムを書いて迷路を自動生成したりして遊んだものでした。

 ところで、当時はC言語でこのディレクトリのバイナリ・ツリーを作るプログラムを書いて実行したのですが、Windowsのコマンドプロンプトのバッチファイルでも可能だということがわかって、ちょっと書いて実行させてみました。そうしたら、高々フロッピー1枚をディレクトリで埋め尽くすのに、なんと3時間もかかってしまいました。フロッピードライブを酷使してしまいました。

 <おまけのひとこと>
 プログラミングが出来る方でしたら、UNIX系のshellでも、スクリプト系言語でも、C言語でも何でもいいですので、この「フォルダのバイナリ・ツリー」作成プログラムを作ってみると面白いです。




12月8日(日) 時計

 子供たちに、トランプを使った一人遊びを教えてやっています。トランプ一人遊びというと、最近ですとWindowsに付属の「ソリティア」とか「フリーセル」を連想される方が多いと想像するのですが、こういったシークエンスを作るタイプ以外にも、いくつかのタイプがあります。(そもそも「ソリティア」という言葉自体、一人遊びという意味だと思います。いわゆるWindowsのソリティアは「クロンダイク」というような名前があったと思います。)

 一人遊びの中でも易しいものに、「時計」という遊びがあります。これは、図のように時計の文字盤に相当する12箇所に中央の1箇所を合わせて13箇所に、裏返しにそれぞれ4枚の山を作ります。 13×4=52 で、一組全部を使います。最初に文字盤中央の山のカードを1枚表に向け、その数字を見て、たとえば2だったら2時の山の一番下に表向きに入れ、2時の山の一番上のカードを表に向け、それをまた正しい時刻の位置の山の一番下に入れます。(キング(K)ならば中央です。)このように、カードを正しい山に持っていって、その山から1枚めくる、という動作を繰り返します。最後に全部のカードが正しい山の位置で表向きになれば成功です。

 大人がやるには単純すぎて面白くないかもしれませんが、下の子が喜んで遊んでいます。問題は最初に12枚の文字盤の山の位置を決めるところで、さすがにこれはうまくできないので、新聞紙に13箇所の山を作る位置をマジックで書いてやったら、それをガイドにして山を作っています。

 最初はカードを伏せた状態になっているので、どの位置が何時なのかという訓練にもなっていいな、と思っています。(もちろん新聞紙に描いたガイドには、数字は書き入れてありません。 見ていると5時と7時を一瞬だけ迷っている様子がわかりました。)

 まだ小さいので配るのもめくるのも大変なのですが、飽きずに何度もやっています。(シャッフルだけはしてやっています。)見ていると、カードを配るときに成功するように「仕込み」をしようとしている様子が伺えました。ところが、6時のところに6のカード、7時のところに7のカード、というような仕込みをするものですから、完全に逆効果になっています(笑)。こういう連鎖や置換についての感覚を身に付けてくれると嬉しいな、と思って、特に口は出さずに眺めています。

 <おまけのひとこと>
 時計の時刻の表現の仕方というのは、本当に面白いものだと思います。私たちの日常生活の中で、角度を読み取る機会というのは、時計を見るときがやはり一番多いのではないかと思います。方角などを「○時の方向」などと言ったりするのも、多くの人にとって、角度の感覚は時計の文字盤を基準にすると理解しやすいからだと思います。

 通勤で使っている軽自動車は、速度計が140km/hまでの表示があるものです。だいたい60km/hが時計の11時くらいのところになります。いつもはメーターの表示が時計で言うと10時くらいになるようにして走っています。たまに、速度計が180km/hまでの表示の普通乗用車を運転すると、いつもの車と速度計の角度が同じくらいになると、80km/hくらいになってしまいます。

 普通乗用車のほうが走行雑音やら振動やらが少ないものですから、体感速度としては、ちょうど軽自動車の速度計のメーターの針の角度と普通乗用車の速度計のメーターの針の角度が同じになったくらいのときに、体感的にも同じ速度が出ているような気がします。これもとても面白いです。




12月9日(月) 大雪

 ここ数日、ずっと天気がよくありません。一昨日の土曜日、重い腰を上げてやっと車のタイヤを冬用に交換しました。その日の夕方から雨が雪に変わり、昨日は一日、雪がちらちら舞っていました。今朝起きると、外は20cm以上積っています。まだ12月上旬だというのに、もう大雪です。 土曜日にタイヤを替えておいて本当によかったと思いました。

 私の住む地域では、雪が15cm以上積ると朝みんなで通学路の雪かきをします。(家に子供がいる、いないは関係ありません。)雪かきがある日は朝5時に放送があって、5時半から作業を開始します。今朝も5時過ぎに起きて用意をして、5時半から6時過ぎまで、まずみんなで通学路の雪かきをして、それから自分の家の前や車の雪下ろしをして、終わったら7時を過ぎていました。

 今、朝ごはんを食べてこうしてページの更新をしているのですが、わずか30分程度の間にすでに数センチ積っています。子供たちは大喜びですが、これはまた雪かきをしないといけないな、と思うとちょっと気が重いです。

 クリスマス用のオーナメントで、小鳥と巣と卵のものがあったので、買ってきました。クリスマスセールで、600円の2割引でした。

 巣の直径が8cmくらい、卵が2cmちょっとくらいで、ウズラの卵よりちょっと小ぶりなくらいです。

 <おまけのひとこと>
 一昨日ご紹介した、フロッピーにディレクトリの二進木を作ったときに使ったバッチファイルを掲載しようと思ったのですが、たとえばハードディスクなどでパラメータを間違って実行したりすると悲惨なことになると思うので、ソースを掲載するのはやめることにしました。

 今朝は雪かきで時間がなくなってしまったので、これだけです。




12月10日(火) 大雪続く

 今朝も5時半から1時間ほど雪かきをしました。昨日は、いつもならば30分の通勤路が渋滞していたため1時間半も車の中にいました。今(朝7時です)出発すると一番混雑する時間帯ですが、少しでも早く出かけようと思います。標高1,500mの峠を通ってゆく遠回りのルートもあるのですが、さすがに危険ですし結局余計に時間がかかるでしょうから、素直に渋滞するであろう国道を走ります。

 昨日の朝雪かきを壊してしまったので、昨夜仕事の帰りに買ってきました。新しい雪かきは軽くて丈夫で頼もしいです。急な大雪で、売り切れていないか心配していたのですが、2軒目のお店にたくさんありました。

 今日も時間がないので、以前作ったペーパーモデルの写真をご紹介します。時計塔のある建物、です。これもツリーの飾りにいいかもしれません。

 このサイズの建物を2〜3作ってみています。子供がプラレールの情景に利用しています。

 <おまけのひとこと>
 私が住んでいるところは小さな谷間に面しています。通学路はその谷を下って、反対側の斜面を登って学校へ続いています。いつも学校へ行く子供たちが通って行くのが見えます。昨日は、みんな楽しそうに雪で遊びながら学校へ行くのが見えました。子供に聞いてみると、遊びすぎて遅刻した友達が何人もいたそうです。




12月11日(水) 多面体の名称など

 私のページでは、多面体についていろいろ書くことがあります。そんなときにまず困るのが、多面体の名称をどうしようか、ということです。

 このページを開設した当初は、手元に唯一あった参考書として、『多面体の折り紙』(1995:川村みゆき/技術評論社)を用いていました。そこで、準正多面体に関しては、この本に掲載されていた名称をそのまま使わせていただいているものがほとんどでした。折り紙の関係の方、例えばユニット折り紙で有名な布施知子さんの著書でも、この川村みゆきさんの名称と同じ系統の名称が使われています。(布施さんの本の方が古いのかもしれません。)

 その後、多面体について研究している方の多くが、『正多面体を解く』(1983:一松信/東海大学出版会)を参考書として挙げられているのを知り、先日図書館で見る機会がありました。なるほど確かにとてもよい本だと思いました。

 私のページの9月10日のひとことで、山口陸幸さんの『CGで知る相貫体』という本を紹介させていただいています。この本自体、とても美しくて価値の高い本なのですが、著者の山口さんのホームページであるThe Polyhedra world 多面体の世界へようこそというページがたいへんすばらしくて、多面体に関してこれだけ網羅的に、しかも深く解説されたページというのは見たことがありません。しかも日々精力的に情報が追加・更新されており、教科書として、カタログとして優れたページです。

 著者の山口さんに多面体の名称などについて何度か相談させていただいたりもしているのですが、そんな中で、多面体の日本語名を統一していけたら、と思うようになりました。山口さんは、基本的に『正多面体を解く』をベースに名称を構築されているということで、私のページでも、それに合わせて名称を統一してゆきたいと考えています。

 といっても、過去のページ全ての名称を変換するというのは簡単ではありません。私のページはファイル数が多いので、とりあえずファイルの変換フィルタで名称を一括で変換しようと思っているのですが、算用数字と漢数字の混用をしていたりとかいろいろ問題があって、完全に自動で変換するのは難しいかなと思っています。徐々に手作業で確認してゆきますので、しばらく時間がかかるかと思います。

 今まで何度も登場した多面体で、今後別の呼び名になるものとして一番種類が多いのが準正多面体の一群だと思います。これまで使っていた名称を今後どのように呼ぶかの対応を書いておきます。

	切頂四面体     ⇒	切隅四面体
	切頂六面体     ⇒	切隅六面体
	切頂八面体     ⇒	切隅八面体
	切頂十二面体    ⇒	切隅十二面体
	切頂二十面体    ⇒	切隅二十面体
	立方八面体
	20・12面体     ⇒	二十面十二面体
	斜方切頂立方八面体 ⇒	大菱形立方八面体
	斜方切頂20・12面体 ⇒	大菱形二十面十二面体
	斜方立方八面体   ⇒	小菱形立方八面体
	斜方20・12面体   ⇒	小菱形二十面十二面体
	ねじれ立方体    ⇒	捩れ立方体
	ねじれ十二面体   ⇒	捩れ十二面体

 これらの立体の形や生成過程については、上記の山口さんのページの準正多面体をご覧ください。

 何度かご紹介しているH.Hamanaka very private pageの表紙の画像が、ロープによる二十面十二面体になっています。(一昨日の夜に気が付いたのですが、昨日の朝はあわただしくてコメントするのを忘れました。)多面体を見慣れていないと「よくわからない」という感想になるかもしれませんが、これはとても難しくて、たいへん美しい造形です。ぜひご覧ください。

 ペーパーモデルの建物シリーズその2、です。せっかくなのでご紹介を続けます。

 この建物は、サントリーオールドのミニチュア瓶(50ml)のカバーにしています。(何かのおまけ等でもらったりしたウィスキーのミニチュア瓶をいくつか並べてあるのですが、その1つです。)

 <おまけのひとこと>
 やっと晴れました。今朝はすごく寒いです。私の住んでいる近くの測候所では、朝7時の気温がマイナス7度でした。 今回の大雪で、私の勤務先のある市では、12月としては観測史上最高の37cmの積雪を記録したそうです。




12月12日(木) いろいろな将棋

 ゲームのルールをちょっと調べていたら、ボードウォーク・コミュニティーというゲームのサークルのホームページに行き着きました。特にこちらの将棋のページが興味深いです。駒の動きなどは記載されていませんが、盤面を見るだけで面白いです。

 特にこちらの大局将棋というのが圧巻で、盤の大きさは36×36で1096マス、駒はそれぞれ209種420枚ずつを並べて戦うのだそうです。ここまで来ると、駒の名前と動きと初期配置を覚えられないのではないでしょうか。実際にプレイされたことがあるのか疑いたくなってしまいます。

 中将棋に関しては、検索を掛けてみるとすぐにいろいろなページがみつかります。例えばこちらの遊楽街 - Hobby - 中将棋というページでは、駒の動きについてきちんと説明されておりますし、こちらの中将棋のページでは、ルールだけでなく基本的な戦略についても書かれています。

 チェス・将棋の系統のゲームは世界中にたくさんありますが、取った駒を再利用できるというのは日本の将棋の独特のルールなのだそうで、上記の中将棋・大将棋・大局将棋等々の巨大なゲームでは、駒は全て取られたらおしまいで、どんどん駒の数は減ってゆきます。 又聞きですが、以前日本の将棋を研究している海外の方が中将棋を知って、日本の将棋の仲間(祖先)なのだから当然取った駒の再利用ができるのだろうと誤解して中将棋をプレイしたら、勝敗が決するまでにものすごく時間がかかって、なんとスケールの大きいゲームだと思ったという感想を述べられたそうです。(ちなみにそのプレイは公開されたそうです。)

 以前、数千円くらいのパソコン用将棋ソフトで、おまけ(?)に中将棋がプレイできるものを見たことがあります。確かに取った駒を再利用しないのですから、大局的に見ると徐々に指し手は減ってゆくはずで、コンピュータにとっては将棋よりは扱いやすいのかもしれません。いくつか中将棋のページを眺めていたら、ちょっとやってみたくなりました。

 ペーパーモデルの建物シリーズその3で、“納屋”です(写真左側)。 右側に見えているのは機関車トーマスの駅の裏側です。

 機関車トーマスのプラレールのセットについてきた、牽引車のトレバーが納屋から顔を出しています。隣にいるのはトラクターのテレンスです。建物がアメリカ風で、イギリスっぽくないのが不釣合いです。

 <おまけのひとこと>
 また、いろいろ書きたい話が増えつつあるのですが、なかなか腰をすえて考える時間がとれなくて、ついつい軽い話題ばかり書いています。




12月13日(金) 寝るぞ根太

 電器売場店員のクレーム日誌というページを見ていたら、こちらのつれづれノートの2002年12月10日に、「誉めてもらいたいこんな特技」というエッセイがあります。 一口に言うと「朝起きたい時間に起きられる特技」の話なのですが、これを読んで、昔祖母から教わった「おまじない」を思い出しました。

 私がまだ3歳か4歳くらいのときでしょうか、「朝6時に起きたいときは、寝るときに枕を6つ叩いて、『ねるぞーねだー、たのむぞたぬきー…』っていうおまじないを唱えると、ちゃんと朝6時に起きられるんだよ」というのを教わりました。おまじないはもう少し長かったのですが、後半を忘れてしまいました。

 例えば子供のころの遠足の朝とか、とても楽しみにしている日の朝というのは目覚ましなんか鳴らなくても自然と早起きしてしまうものです。こうした「おまじない」というのも、この時間に自分が起きたいんだということを自分自身に対して明確にするための「儀式」として有効なんだと思います。 目覚ましをセットするとその直前に起きられるという上記の「電器売場店員のクレーム日誌」の作者eachtimeさんも、「目覚ましをセットする」という行為自体が重要なのだと思います。

 さて、せっかく思い出した「ねるぞーねだー」の続きを検索してみました。すると、ありがたいことに全文が紹介されているページがありました。(ただしgoogleのキャッシュに残っているだけでした。)World Wide Web というのは本当にありがたいです。

『寝るぞ根太、頼むぞ垂木、梁も聞け、まさかの時は起こせよ棟の木』

 なんと、たぬきではなくて、たるきだったのですね。 なるほど、根太・垂木・梁・棟と、自分を守ってくれている家に頼んでいるわけですね。これを教えてくれたときの祖母の口調やリズムまで思い出して、とても懐かしくなっています。 そうそう、むねのきというのも、どこか外に立っている木なのだと思っていたのを思い出しました。 これはぜひとも次の世代にも伝えようと、今夜子供に教えてみようと思っています。

 余談ですが、梁と棟というと思い出すのですが、昔、「大工のとうりょう」というのは、頭領、もしくは統領という字を書くのだろうと思っていました。 正解を知って、棟梁というのはとてもよい字だと感心しました。

 ペーパーモデルの建物シリーズその4です。これは「サターン」という車のホームページからいただいた型紙で作ったモデルです。この模型そのものはすでに壊れてしまって、写真だけが残っていました。

 昨日までの3つのペーパーモデルは同じページから型紙をいただいたものです。参照元をちょっと再検索したのですがみつかりませんでした。

 <おまけのひとこと>
 祖母から教わった「朝起きるおまじない」はもう1つあったのですが、こちらは「しらかわ」「よふね」といった言葉が入っていたかな、程度のかすかな記憶しかありません。




12月14日(土) クリスマスの音楽

 もうすぐクリスマスです。 毎月1〜2回、3人のメンバーで集まってリコーダーアンサンブルをやっているのですが、クリスマスに内輪のミニコンサートをやってみようという話をしています。(演奏するのは3人でお客様も数人くらい。)

 そこで3声用のクリスマスソングの楽譜かデータがないかなと思って、近所の楽器屋さんとかネットとかをちょっと探し回ってみたのですが、あまり気に入ったものがみつかりません。では作ってしまおうということで、有名な旋律に適当に和声付けして5〜6曲データ(楽譜)を作ってみました。作業時間は1曲あたり10分〜15分くらいです。適当に作ったので、曲のタイトルとかもわかりません。そのあたりをちょっと調べて、明日にでもmidiデータをいくつか掲載しようかと思います。

 クリスマスソングの参考になるかと、近所の図書館でCDを借りてきました。賛美歌21シリーズというものです。(こちらのページで、一部「試し聞き」できます。)音はとてもきれいだと思いました。

 それはいいのですが、このレーベルを見ていてちょっと不思議に思いました(下図左)。 この切り絵のような絵は、キリストの最後の晩餐を描いているのかな、と思ったのですが、よくよくテーブルの上を見ると(下図右)、メインの2つのお料理、これは何でしょう?

 このCDは賛美歌を日本語で歌っているのですが、そのあたりの事情をひそかに表現しているのだろうか、などと考えています。

 <おまけのひとこと>
 陽が照ってきて、屋根の雪がときどきどさんと落ちています。つららから盛んに水が落ちています。




12月15日(日) クリスマスの音楽:リコーダー三重奏

 昨日ちょっとお話した、リコーダー三重奏用のクリスマスカロルのMIDIデータを掲載します。タイトル等はこちらの讃美歌&クリスマスソング&民謡というページを参考にさせていただきました。

あめには栄え 賛美歌98番1.53KB
神の御子は今宵しも 賛美歌111番1.17KB
ああベツレヘムよ 賛美歌115番1.15KB

 パートは、ソプラノ・アルト・バスの三声です。賛美歌なので、四声の楽譜が(世の中には)あるはずなのですが、近所で購入できなかったので低声と中声は適当に付けました。 自分が中声を担当するのですが、中声が一番変な動きをするようになってしまいました。 こういうの(和声付け)ってつくづくセンスと才能なんだな、と自分のセンスのなさを痛感します。

 例によって「聴いて楽しむため」ではなくて、楽譜化することを目的に作ったデータなので、フレージングも何もあったものではない、平板なものです。 さすがにこのあたりの曲は著作権上の問題もなさそうですので、ご希望があればご連絡いただければ楽譜のpdfデータ、もしくはpngやgif形式の画像データをメールで差し上げられます。

 <おまけのひとこと>
 私は保育園がキリスト教系だったので、このあたりの賛美歌を歌った記憶があります。(特に111番は好きだったので、歌詞が思い浮かびます。) 保育園ではクリスマスにはキリスト降誕の劇をやりました。先日、うちの子が「みにくいあひるのこ」でなぜか「犬」の配役をもらったという話をしましたが、私なんかクリスマスの劇で担当したのは「羊飼い6」で、せりふも1回、それもすごく短いものしかありませんでした。同じ羊飼いでも、リーダーはそれなりに重要な役だったのですが。
 女の子たちはほとんどが天使を担当しました。もちろん聖母マリアが主役です。(キリスト役を誰かが担当したのかどうか覚えていません。)男の子の配役としては、ヨセフ、東方の三賢者、兵士などが「かっこいい」役なのですが、羊飼いはといえば、ずたぶくろのような衣装に布の頭巾をかぶった姿で、まわりの子供たちがみんな素敵な格好をしてはしゃいでいるのに、羊飼い役(リーダー以外)の4〜5名だけがなんとなく意気消沈していました。



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