あそびをせんとや

2001.02.27 公開
2026.03.28 更新

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ひとこと

3月28日(土)　４つのスイッチの問題

　週末ですが、数学パズルの話を続けます。

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　これもどこかできいたことがある問題です。

同一のラベルなしスイッチ4個が電球に直列に接続されています。スイッチは単純なボタンで、状態を直接観察することはできませんが、押すことで変更できます。スイッチは回転可能な正方形の四隅に取り付けられています。4つのスイッチを見分けることはできません。あなたは任意の時点で任意のボタンを同時に押すことができますが、あなたがスイッチを操作するたびに、正方形はルーレットのようにランダムに回転されてしまいます。ある一定の回数以下のスイッチ操作（およびそれに続く回転）で電球を確実に点灯できるアルゴリズムは存在するでしょうか？

　「直列に配線されている」ということは、4つのスイッチの状態がすべてオンの時に限り電球が点くということです。スイッチが４つなので、状態の数は2⁴で16通りありますが、最初から点いていたら問題にならないので、初期状態は全部がオン以外の15通りのいずれか、ということになります。もちろんそのうちのどの状態なのかはわかりませんし、スイッチ操作の結果わかることは「4つすべてオンになって電球が点いた」か、「点かなかった」かどちらかです。それ以上の情報は得られません。

　「スイッチにこっそり印をつける」とかは反則です。4つのスイッチが位置をランダムに変えられてしまうのではなくて、あくまでも「４つ一緒に回転する」のです。（その結果たまたま回転前と同じ状態になっているかもしれません。）これもつかみどころのない問題ですが、「問題を単純化する」例で考えてみるのがお勧めです。スイッチがたった1つしかなければ、今電球が点いていなければ、スイッチを入れれば電球は点きます。「ランダムに回転」の出番はありません。ではスイッチが2個だったら…

(つづく)

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　25日(水)にご紹介した以下の問題ですが、

任意の正の整数 n に対して、平面上の有限個の点からなる空でない配置であって、　　 　　その配置内のすべての点がちょうど n 個の他の点から距離 1 にあるという性質を　　 　　持つものは存在するでしょうか？

　マッチ棒グラフの話をヒントとしてご紹介したのでもういいかなと思ったのですが、一応こちらに説明抜きで結論だけ簡単に用意してみました。興味がある方はご覧ください。

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　昨日の首飾りを公平に分ける問題、私は「ハムサンドイッチ定理」を思い出して、首飾りをきれいな円のかたちにして（正二十四角形の頂点にルビーとダイヤモンドが存在するようにして）、仮にルビーとダイヤモンドはすべて同じ重さだと仮定して（少なくとも2つのルビーや2つのダイヤモンドの重さが違っていたら数が同じになるように分配しても公平ではないので、重さが同じというのは妥当な仮説のような気がしました）、ルビー10個の重心とダイヤモンド14個の重心をそれぞれ求めて、その２つの重心を結ぶ線で分けたらどうだろう？と思ったのです。24個の宝石の重さがすべて等しければ、全体の重心は円の中心になるので、ルビーの重心とダイヤモンドの重心を、それぞれの重さの総和の比で内分した点が中心になるはずです。なので２つの重心を通る直線は円の直径になるはずです。

　でもこれだとちょうどぴったり宝石のある頂点を通る直径が出てくる場合もあるだろうか、その場合は宝石の間になるように直径をちょっと動かしたらどうだろうか…と考えたら、そもそもそんな重心とかおおげさなことを考える必要はなかったのだ、ということに思い至りました。

＜おまけのひとこと＞
　昔、「ハムサンドイッチ定理」についてこのサイトで書いたことがあるのですが、どこに書いたのか見つけられませんでした。