以前の「ひとこと」 ： 2023年9月後半
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9月16日(土) 正五角錐を裏返す(その1)、あやとり
フォールディング(折りたたみ)パズルの話とあやとりの話です。
先週、雑誌「数学セミナー」1983年3月号の表紙に載っていた「ピラミッド裏返し」(池野信一)に書かれていた正四角推を裏返すフォールディングパズルのご紹介をしました。
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文章の最後に「5つの面をもつ5角ピラミッドでえは、ひとつの面を2重化するだけでえきれいに裏返すことができる」と書かれているのです。やってみることにしました。
正六角形の用紙を切り出して、中心から１つの頂点までを切断します。
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切断した左右の三角形を重ねて、外周の下の辺をセロテープで留めます。
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表と裏の色を変えておくとか、表面の三角形には印をつけておくなどしておくとわかりやすいです。
正三角形の面にいくつかの折り線を入れて、その線以外では面の平面性を保ったまま折ってゆくだけでこの五角推を裏返したい（頂点の凹凸を逆にしたい）のです。作ってみると一見不可能な気がしますが、対称性のあるきれいな手順がありました。どんな折り線を付けたら良いでしょうか？
あやとりグループ展に出したパネルです。
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上が「5本指の構え」から内側の輪を薬指側に集めて「７つのダイヤモンド」を取ったもの、下が「4本指の構え」から内側の輪を中指に集めて「７つのダイヤモンド」を取ったものです。
＜おまけのひとこと＞
三連休です。本業のほうの仕事がいろいろ手が回っていなくて、「仕方ない、連休にやるか」と先送りしていた仕事がいくつもあります。でもなかなか手が付きません。
9月17日(日) 正五角錐を裏返す(その2)、あやとり
フォールディング(折りたたみ)パズルの話とあやとりの話です。9/18(月)の午前中に9/17と9/18の2日分をまとめて更新しています。
昨日ご紹介した正五角錐を裏返えす折りたたみパズルですが、普通の15cm角の折り紙から六角形を切り出して使うことにしました。六角形の対角線の長さと対辺の中心の距離との比は 2対√3 です。2：√3 ＝ 15：x として幅を求めると、x＝12.99038… となって、13cmで極めて近似精度が高いです。
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これで正六角形を切り出して、中心から１つの頂点までの半径をカットして(写真1)、
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| 写真 1 |
まずは側面になる正三角形を二等分する折り線を付けて(写真2)、
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| 写真 2 |
半径をカットした左右の正三角形を重ねて下の辺をセロテープで留めます(写真3)。
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| 写真 3 |
無事裏返すことができました(写真4)。
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| 写真 4 |
ただ、これだと折り線が多すぎるのです。不要な折り線があることで、手数の選択肢が増えてパズルの難易度が上がる効果と、折り線が対称性があって見たところが良い、という価値はあるかもしれません。明日の更新では必要のない折り線は省いたものの写真と、中間段階の画像（パズルの大きなヒント）を載せたいと思います。
あやとりグループ展「あやとりひろば」、あやとり協会の吉田さんや伊藤さんがほぼ毎日会場に行って下さってメンテナンスをしていただいているそうです。本当にありがとうございます。残念なことにいくつかの展示パネルはかたちが崩れてきてしまっているそうです。同じパネルに同じあやとり紐で自宅の壁に飾っているあやとりパネルは2年半以上メンテナンスフリーでかたちを保っているので、今回も大丈夫だろうと思っていたのですが甘かったです。
下の画像のあやとりは完全に崩れてしまったそうです。残念です。
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昨日は東京に住んでいる娘夫婦とご両親がわざわざ見に行って下さったそうで、本当にありがたいと思っています。展示が不完全だったのが悔やまれますが、反省は次回に活かしたいと思います（次回があるかわかりませんが）。
＜おまけのひとこと＞
「明日の更新では必要のない折り線は省いたものの写真と、中間段階の画像を載せたいと思います。」と書きましたが、2日分まとめての更新ですので、この下にすぐ続いて「ヒント」になる画像があります。
9月18日(月) 正五角錐を裏返す(その3)、あやとり
フォールディング(折りたたみ)パズルの話とあやとりの話です。正五角錐を裏返す途中の画像を載せています。
正五角錐を裏返す折りたたみパズル、折り紙から切り出すモデルだと大きすぎて持ち歩きに不便かなと思って（持ち歩く必要もないのですけれども）、小さいものを作ってみました。厚紙に印刷して切り抜いて、手描きで表と裏の見える面にペンで縁取りしてみました(写真1、2)。必要な折り線のみ、けがき線を入れて折り目をしっかり付けています。
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| 写真 1 | 写真 2 |
まず、黒が外側、オレンジが内側になるように組み立てます。セロテープで２つの三角形の底辺を貼り合わせます。
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| 写真 3 | 写真 4 |
付けてある折り目でうまく畳むと、写真5、写真6のように表裏同等の平面のかたちに畳むことができるのです。
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| 写真 5 | 写真 6 |
これはサイズに対して紙が厚すぎるので、あまりきれいに平面にはなりませんでした。
ここから、中心をどちらに凸にして復元するかによって、内側と外側の色を決めることができます。最初とは逆のオレンジ色が外側になるように立体化してみました(写真7、8)。
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| 写真 7 | 写真 8 |
四角推の裏返しに比べるとずっと易しいです。フォールディングパズルというと、ヘキサフレクサゴンに関してはweb上にたくさんの情報がありますが、四角推や五角錐の裏返しに関してはほとんど情報がありません。これも(作るのは)簡単で面白いと思います。作ってみることをお勧めします。
もうひとつ、あやとりグループ展「あやとりひろば」で展示しようと思って準備したのに設営時に落下して展示できなかったパネルの画像を載せておきます。
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明日が最終日で三連休明けの平日なので、明日、パネルを交換してももはや仕方がないかなとも思いますが、それでも崩れてしまった作品くらいは交換しようかなあと思っています。
「隣の家の丸太の上で猫がお昼寝してる」と妻が教えてくれたので写真を撮ってみました。
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今日は薄曇りで気温もそれほど高くないのでそこで寝られるんだろうなあと思いました。
＜おまけのひとこと＞
この連休中になんとかしようと思っていた「持ち帰り仕事」、まだ終わっていません。いかん。
9月19日(火) 正四角推を裏返す(その3)、あやとりグループ展撤収
フォールディングパズルの解説図です。9/20(水)の朝に2日分まとめて更新しています。
このところご紹介してきた「正四角推を裏返す」フォールディングパズルの手順、将来の自分のために途中経過の写真を撮って1枚の画像にまとめてみました。
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ご覧になりたくない方は縮小画像で雰囲気だけご覧ください。クリックすると拡大します。11枚の画像がありますが、5枚目→6枚目のところと7枚目→8枚目のところでひっくり返しています。11枚目の正三角形に「ひれ」のような三角形が飛び出している状態がほぼ中間の状態で、この「ひれ」の部分がもともとの型紙のちょうど真ん中の三角形を二つ折りしたかたちになっています。この「ひれ」を三角形の面の反対側に飛び出させると、「ひれ」の色が赤になります。ここから上の画像を逆順で辿ると裏返しできて、外側の面が赤い三角形になります。
あやとりグループ展「あやとりひろば」、9/19(火)が最終日でした。6日間、おかげさまでなんとかパネルは落下せずに済んだようです。あやとり協会の吉田さんをはじめ、現場でメンテナンスをして下さった皆様、またご来場下さった皆様本当にありがとうございました。(ここに御礼を書いてもおそらく読んでいただけない方が多いかと思いますが。)
今回展示をした中で一番長い紐を使ったのがこちらでした。（これも少し形がひずんでしまいました。）
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これはアウトドア用の紐(長さ5mで600円くらいでした)を使って取っています。網目状の美しいかたちだと思います。
展示パネルの固定の仕方やあやとりそのものをどう固定するかなど、いろいろ気付きがありました。もし次の機会があるようでしたら改善したいと思います。
＜おまけのひとこと＞
展示会の撤収のため、車で聖蹟桜ヶ丘まで往復しました。三連休明けということで、高速道路のパーキングエリア(PA)のゴミ箱が大量のゴミであふれていたり、カプセルトイマシンで面白そうなものが売り切れだったり、「前日まではさぞや混雑していたのだろうな」という感じがしました。聖蹟桜ヶ丘の京王デパートでちょっと面白いと思ったパズルがあったのですが、買いそびれました。またどこかでもし出会ったら買おうと思います。
9月20日(水) 正四角推・正五角錐を裏返す紙模型、あやとり
時間が取れず簡単な更新です。
フォールディングパズルを小型化してみました。
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セロテープを使わない設計にしてみたのですが、一晩置いておいたら折り目からちぎれてしまっていました。テープで補修しました。この大きさだと名刺入れとかに入れておいて誰かに見せたりできるかなと思ったのですが、その場で渡して挑戦してもらうには難しすぎるパズルだなと思いました。
結び目のない 180cm のあやとり紐の色が黄色なのです。これを背景を白に飛ばして写真を撮るのにどんな条件で撮影するといいのかなと思ってちょっと試してみています。
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| あやとり「カニ」 |
上記の画像だと、背景に少し色が残ってしまっているのですが、これを単純に色調整で消そうとすると紐の色がさらに不自然になってしまうのです。なかなか難しいです。
＜おまけのひとこと＞
最近は容器は中が見える透明(半透明)なものに限るなと思うようになりました。中に何を入れたか忘れるのです。端からいちいち開けてみないとわからない、というのは良くないなと思います。
9月21日(木) 電卓で遊ぶ(その1)、あやとり、他
電卓の話と伝承あやとりのご紹介です。
50年くらい昔、電卓が普及し始めたころに自宅に複数台あった電卓を、当時小学生だった私と姉がそれぞれ１台ずつ持って遊んでいた時に姉から教わった遊びのことをふと思い出しました。きっかけは雑誌「数学セミナー」1979年5月号の表紙の「電卓ひまつぶし：西山豊」です。
電卓の数字の並びは昔からこうなっています。画像はWindows 11 の標準の電卓のものです。（関数電卓にしていますが、標準の電卓にすれば良かったです。）
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1 から 9 の部分を拡大してみます。
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この数字の並びで、数字の[5]を囲む8つの数字を3桁ずつ、最初と最後の数字を重複しながら足し算をするのです(下図左)。
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たとえば上の辺の[7]から始めたとすると、
789 ＋ 963 ＋ 321 ＋ 147 ＝ 2,220
足し算ですから、どの角から始めても答は同じになります。まだ1桁同士の足し算しか習っていなかった当時の私は、それすら驚いたものでしたが、これを角の数字(奇数)から始めるのではなく、正方形の辺の中央の偶数の数字、たとえば[8]から始めてみると
896 ＋ 632 ＋ 214 ＋ 478 ＝ 2,220
となって、やっぱり同じになるのです。これは小学生ならずともちょっと驚くのではないでしょうか。（当時は「一周目（3桁の数字4つ）は足して、二周目は引くとゼロになる、どの数字から始めても大丈夫」という遊び方をしていた記憶があります。）
ちなみにこれ、逆回りでも同じになります。
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さらに、西山先生の記事（雑誌の表紙）には、数字の 5 だけ仲間はずれなのはかわいそうなので 5 にはその場で足踏みしてもらうと、
555 ＋ 555 ＋ 555 ＋ 555 ＝ 2,220
となってやっぱり同じになる、ということも紹介されています。これは気が付きませんでした。
今改めてこの問題を見ると、なぜそうなるのか（この手順で、どこから始めてもどちら向きに回っても同じ答えになるのはなぜか）を説明するのは難しくありません。当時は「なぜこうなるのか」を考えることはできませんでしたが（「おもしろい」と思ったところで止まってしまっていました）、でも、ボタンを押して表示がいろいろ変わるというだけで楽しかった記憶があります。
今の子供たちの身近にある計算機というとスマートフォンでしょうか。スマートフォンでわざわざ電卓アプリを起動してこんな遊びをする、ということはきっとあり得ないのだろうなと思います。そのかわり、今の子供たちは昔は体験し得なかったまた別のことをいろいろ体験して成長するのだと思います。
しばらく新しいあやとりを取っていなくて、過去の未紹介のあやとりの記録を眺めています。以前取ったこんな伝承あやとりがありました。ガイアナのあやとりすばるです。
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| 伝承あやとり「すばる」 |
冬の花であるシクラメンの鉢をここ15年くらいずっと窓枠に置いています。夏場は葉もすっかり枯れて根っこだけになるのですが、秋口には芽を出して冬には咲いてくれます。今年は猛烈に暑かったので、なかなか芽が出てこないなあと心配していました。
鉢は２つあるのですが、昨日見たら2つとも小さな芽が1つずつ出始めていました。
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上の左側の写真のどこに（上の右側の写真の）芽があるかわかりますか？（画像をクリックして拡大するとわかるかもしれません。） 下の画像のほうはどこに芽があるか、ややわかりやすいかなと思います。拡大しないと厳しいですが。
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⇒ |
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植物は強いですね。
＜おまけのひとこと＞
頭を使ってできることも、身体を使ってできることも、明らかに昔より今のほうが進化していると思います。平均寿命が延びているというのはその端的な例だと思います。いろいろな道具や環境に助けられたり、様々な知識が蓄積されたりした成果だと思います。本当に喜ぶべき素晴らしいことだと思います。
9月22日(金) 電卓で遊ぶ(その2)、あやとり、他
電卓の話とあやとりの話です。
昨日、電卓で「数字の[5]を囲む8つの数字を3桁ずつ、最初と最後の数字を重複しながら足し算をする」という遊びをご紹介しました。
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こうなる理由は簡単で、筆算の形に書いてみるとすぐにわかります。
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1の位、十の位、百の位の和がいずれも20になっています。逆回りにしても答が同じになることは同様に考えるとわかります。この解説は書くまでもないかなと思ったのですが、一応書いておくことにしたのでした。
ご紹介しそびれていたあやとりです。
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| hh230922-1 |
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あやとり紐の結び目の位置が悪いです。もうちょっときれいに整えれば見栄えが良くなりそうなのですが…
自宅で仕事をしている窓のすぐ外の隣家の切妻屋根の先端に最近よく来るカラスがいます。写真を撮ってみました。
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これは昨日の写真なのですが、今朝も来ていました。窓から鳥が見えるのは嬉しいです。
＜おまけのひとこと＞
大相撲、平幕になってしまった元大関の御嶽海を相変わらずひっそりと応援しています。昨日の12日目で8勝4敗と勝ち越してくれて嬉しいです。
9月23日(土) カプセルトイ、伝承あやとり
カプセルトイと伝承あやとりの話です。週末なので2日分まとめて、いずれも軽い話題です。
昨年の7月に、職場の同僚からT4ファージのカプセルトイの情報をもらって買いに行ったら最後の1つで、それが欲しかった単体のモデルではなく情景模型だったという話を書きました。
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先日の3連休直前に、その情報をくれた彼が「諏訪インター出口近くの万代書店にT4ファージのカプセルトイマシンがあった」という情報をTeamsのchatで教えてくれたのです。それを読んだのが三連休明けだったので、9/23(土)の朝、教えてもらった万代書店に行ってみました。
ありました。機械の中を隙間から覗いてみると、まだ少なくとも5〜6個はありそうでした。これなら単体モデルが手に入るかもしれない、と思ってまずは1つ目を回してみました。一番欲しかった単体モデルのクリアモデルが出てきました。やった！
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一番上の写真と一番下の写真、一見同じに見えるかもしれませんが違います。（特にフォーカスの位置が違います。）
ちなみに昨年は300円のマシンに入っていたのですが、今回は400円のマシンでした。1回で目当てのものが入手できたので満足して、せっかくなので他に何か面白そうなものはないかなと思って、球状のパズルのものを回してみたのです。そうしたら品物が出てこないのです。隙間から覗いてみたら、中は空っぽでした。中身が無くなったことを検知する機能がないのか、うまく機能していないのか、わかりません。返金ボタンも機能しませんでした。店内のレジまで行って状況をお話して、当該マシンを見て確認していただいた後で返金処理をしていただきました。お手数をおかけしてしまってすみません、と思いました。
あやとりの操作手順の参考になるかなと思って、石野さんのサイトで紹介されているあやとりを取ってみたりしています。今日はツポロクラです。
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| 伝承あやとり「ツポロクラ」 |
＜おまけのひとこと＞
9/22(金) に松本で19時から飲み会がありました。普通列車で間に合うように行こうとすると、16時47分に乗らないといけなくて、17時半には到着してしまいます。一方、次の普通列車は18時09分発で松本駅到着は19時02分、間に合いません。18時02分発の特急に乗れば18時29分に松本駅に着くのでちょうどよいのです。今は特急列車は全席指定で、車内で特急料金を支払うと割高です。事前に購入すると特急料金は760円、チケットレスだと660円です。まあたまにだし特急を使うか、と思ってチケットレスで購入したのです。ところが乗車予定の特急が25分遅れで、18時09分発の普通列車のほうが先に松本駅に到着するとのことでした。駅員さんに尋ねると、申し訳なさそうに「チケットレスですと窓口では何もできないのです。電話でお問い合わせいただくしか…」とのことでした。この金額のために電話をしたり、嫌な思いをしたりするのも馬鹿らしいかなと思って、結局660円は諦めました。夕方に主要駅に到着する普通列車が90分以上間隔が空く、というところが悲しいです。
9月24日(日) カプセルトイ、伝承あやとり
カプセルトイと伝承あやとりの話です。
9/19(火)に、先日のあやとりグループ展の撤収に車で聖蹟桜ヶ丘に行ったのです。三連休明けということで、高速道路のサービスエリアやパーキングエリアは少々「宴の後」という雰囲気がありました。ゴミ箱からゴミがあふれていたり、カプセルトイマシンの目ぼしいものが売り切れになっていたりしていました。
談合坂サービスエリアの上り線で、NTTの公衆電話のカプセルトイがあって、前から気になっていたのでやってみようかなと思ったら売り切れでした。その隣にカードゲームのUNOのカプセルトイがあって、小型ですが遊べそうなサイズだったので１つやってみようかなと思ったのです。そうしたら出てきたのはドス というUNOの後継ゲームでした。こんなパッケージでした。
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箱の裏に簡単な遊び方が描かれています。ルールは上記のサイトをご覧ください。
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カードはこんな大きさです。
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ちなみにこれは400円のマシンでした。１つ買ったら、それが最後の１つだったようで「売り切れ」になりました。UNOよりも戦略性が高そうです。このカプセルトイを回さなければ DOS という後継ゲームがあることを知りませんでした。これはやって良かったと思いました。
伝承あやとり、今日はナウルの妖精です。
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| 伝承あやとり「ナウルの妖精」 |
バランスを取るのが意外と難しいです。
＜おまけのひとこと＞
今日(9/24)は7年くらい使ったスマートフォンを交換します。めんどくさい…
9月25日(月) 一面だけ重なった四角推を裏返すパズル(その1)、伝承あやとり
紹介しそびれていたフォールディングパズルの話と伝承あやとりの話です。
このところ、四角推や五角錐を裏返すフォールディングパズルをご紹介してきました。
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| 五角錐を裏返す | 四角推を裏返す |
五角推のほうは1面だけが重なっていて、面内の折り目が多いものでした。四角推のほうは3面が重なっている代りに面内の折り目は1本だけで、手数がかかりました。
調べてみると、四角推にも「1面だけが重なっていて面内の折り目が多いもの」があることがわかりました。日本数学コンクール 2010年で出題されているのを見つけました。問題番号4.「パネルの裏返し」です。こんな図です。
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「20個の正三角形に分割された台形から、底のないピラミッド型を図に示された手順で作ります。これを裏返す手順を詳しく書いて下さい。」という出題です。
これ、よもやペーパーテストではないよね、と思いました。図中に「deに沿って折る」と書かれていますが、これは谷折りなのでしょう。最後の図、これがピラミッド型だとは初見では見えませんでした。（この最後の図の頂点を表す文字を2つくらい消して、「ここの頂点は最初の展開図のどの頂点ですか？」と尋ねたら、それだけでそんなに易しくない問題になりそうです。）実物を作ってひねくり回して手順を発見し、それが確実に再現できるまで理解し、さらにそれを他人に伝える表現ができる、ということを問うているのだと思います。これ、かなり難しいのではないでしょうか。
これも紙で作ってみました。
伝承あやとり、イースター諸島のあやとりです。「ハカヒチ」とか「イースター展開」といった独特の手順が使われます。
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| 伝承あやとり「クハとラチ」 | 伝承あやとり「モトゥ ロア」 |
上記の２つは1か所だけ手順が異なります。この２つに限らず、さまざまな派生作品が伝承されているようです。手順も覚えられませんが、そもそも名前が全く覚えられません。でも完成形はあやとり作品らしくて好きです。
Presidentオンラインに｢出社は月火だけ､水木金は視察という名の旅行｣という記事があって興味深く読みました。朝は2時半に起きて3時に仕事を始めること、出張は朝5時に家を出ること、当然夜ははやく休まれるのでしょう。出社する日は6時には職場に着いて、13時半には仕事を終えるそうです。専務取締役という役職でも出張は一人で行き、夜の付き合いや儀礼の挨拶なども無し、だそうです。
私も生活のサイクルとしてはこれに近いので、共感することがいろいろありました。もちろん私は役職定年を過ぎた平社員ですからこんなに偉くないですが。
＜おまけのひとこと＞
昨日はプライベートで使っているスマートフォンの機種変更をしたのですが、有償の環境(データ)移行サービスをお願いしたのです。いくつかのアカウントのパスワードを忘れてしまったので、パスワードを指定して初期化をお願いしました。ところが、アカウント情報更新の際の本人確認のためのワンタイムパスワードの送付先が別端末でしか受信ができない設定にしているのを忘れていて、その確認のために自宅に戻ったりなど、かなり手間取りました。過去数年間でポイントがかなり溜まっていて、それを使えたので端末料金は発生しませんでした。このタイミングでの機種変更というと iphone15 という人が多いようで、お店にも iphone の機種変更の人がたくさん来ていましたが、私の新機種は引き続きAndroid端末です。
9月26日(火) 一面だけ重なった四角推を裏返すパズル(その2)、伝承あやとり
フォールディングパズルの話と伝承あやとりの話です。
一面だけ重なった四角推を裏返すパズル、昨日のこの図
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が私にはわかりにくかったので、自分で図を作ってみました。こんな風に正三角形が５つ連なった台形を考えて、
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上の図の赤い線で谷折りします。紙の表と裏を違う色で表すと少しだけわかりやすくなるかなと思いました。
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昨日の最後の図、下向きの四角推だったのでした。
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上の図で、下向きの(底のない)四角推の右側のオレンジ色の面だけが二重になっています。この四角推の外側は、3面がオレンジ色で手前の1面だけが緑色、内側は緑色とオレンジ色が2色ずつになっています。
さてこの四角推を裏返すとき、必要な折り線は上記の点線のうちのどれでしょう？
イースター諸島の伝承あやとり、「アモ モエンガ」です。
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| 伝承あやとり「アモ モエンガ」 |
どのように仕上げるべきなのかよくわかりません。ちょっと違う気がします。
昨日の朝、通勤で家を出るときに妻が「今日は気温が低い」と外気温の温度計を見て教えてくれたのです。温度計の写真を撮ってみました。
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| 2023/09/25(月) 6:30ころ |
指針のあたりを拡大してみます。
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なんと6℃くらいです。ひょっとすると東京だと真冬並みの気温でしょうか。日中はまだ暑かったりするのに、過酷な寒暖差です。まさに「暑さ寒さも彼岸まで」、秋分の日を過ぎた途端にこれです。これから短い秋と長い冬が来るのだなあと思いました。
＜おまけのひとこと＞
2カ月に一度くらいのペースで定期通院しているのですが、9月の予約の日時をすっかり忘れていて、手元の薬がほとんど無くなってしまいました。時間を見つけて今日明日くらいには行かないとまずいです。
9月27日(水) eπとπeを比べる、あやとり
娯楽数学の話題とあやとりの話です。
娯楽数学の話題で時々見かける、
と
とどちらが大きい？という問題があります。関数電卓を叩いてみると、23前後の数字が現れて、意外と近い値になっています。
これに関して論じているMonday puzzle: what is greater: e^pi or pi^e? というページがありました。6つほどの手法が紹介されています。面白いです。
先日、伝承あやとりナウルの妖精をご紹介しましたが、
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| 伝承あやとり「ナウルの妖精」 |
ここから「はしごの終了処理」をしてみました。
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| hh230927-1 |
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ちょっといいかも、と思いました。
あやとり協会の吉田さんから、昨日ご紹介した「アモ モエンガ」が「INAXの世界あやとり紀行」の6ページに写真があることを教えていただきました。完成形、私の整え方は違っていますね。教えていただいてありがとうございます。
＜おまけのひとこと＞
忙しくて簡単な更新です。
9月28日(木) 正三角形の板を釘で動かなくする(その3)、あやとり
正三角形を点で固定する問題のつづきととあやとりの話です。忘れたころの続編ですみません。
9月13日に第2回を書いて、つづきを書きそびれていた「正三角形を点で固定する」話のつづきです。前回はこんな3点に釘を打ったら正三角形は固定されるでしょうか、というところで止まっていました。
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これは固定されていません。この正三角形、平行移動はできませんが回転は可能です。これは以下のように示すことができます。ある1辺に釘が1本打たれていたとします(図1)。点Pを固定して、その回りに回転ができるかどうか考えてみましょう。
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| 図 1 |
三角形を点Pの回りに時計回り(赤い矢印方向)に回転することはできません。無理やり回転させると釘が三角形の内部にめり込んでしまいます。逆に反時計回り(青い矢印方向)には回転可能で、こちら方向に微小回転すると釘と三角形の間には隙間が空き始めます。
このようになるのは、点Pの位置が釘から三角形の辺に立てた垂直な線の左側にあるためです。逆に点Pが垂線の右側にある場合は時計回りの回転が可能で反時計回りの回転ができないことになります。
さきほどの「各辺を3対2に内分する点に釘を打ったもの」に、この考え方を適用してみます。それぞれの釘から垂線を引きます。3本の垂線は三角形の内側に小さな正三角形を描きます。この小三角形の内側に点Pを取ります(図2左)。
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| 図 2 |
この点Pはいずれの釘から見ても垂線の左側なので、この点を中心に正三角形の板を反時計回り(青い矢印方向)に微小回転させることが可能なのです(図2右)。点Pの位置は小三角形の内側であれば任意ですし、ひとたび隙間が空けば平行移動も可能になります。
3本の垂線が1点で交わっていない場合、この3本は平面を７つの領域に分割します。（球面幾何だったら8領域ですね。）三角形の3つの辺に打った釘にA,B,C と名前を付けて、赤・緑・青に色分けすることにします。7つの領域のそれぞれの内側に正三角形の板の回転中心の点Pを打ったとき、3本の釘それぞれが許容しない回転方向が時計回り(R：右回り)なのか反時計回り(L：左回り)なのかを色分けして図示してみました。
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| 図 3 |
このように、中央の小さな正三角形の領域だけが拘束する回転方向が揃っているため、逆方向の回転が可能なのです。それ以外の6つの領域はいずれも回転ができないのです。
なので3本の釘で正三角形の板を動かなくするためには中央の小さな正三角形の領域を無くせばよい、つまりそれぞれの釘から辺に対して引いた3本の垂線が1点で交わればよいのです。
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| 図 4 |
ここまでわかると、上の図3の赤い釘の位置は計算できると思います。
次に気になるのは、正三角形の板の3辺に釘A,B,C を打って固定したい場合、任意に与えられた A, B の位置に対して、三角形を固定できる位置 C は必ず存在するのか、それとも C を第3辺上のどこに打っても三角形を固定できない位置 A, B の組が存在するのか、どちらだろう？ ということです。またその場合(ダメな場合があるならば)、適切にCの位置を決めれば三角形が固定できるような A, B の位置の条件は何だろう？ と思いました。
伝承あやとりタイガーショベルノーズキャットフィッシュから「はしごの終了処理」をしてみました。
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| hh230928-1 |
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これ、言われなければ中央の部分が「タイガーショベルノーズキャットフィッシュ」だ、ということは気が付きにくいのではないかと思いました。
＜おまけのひとこと＞
読みたいと思っていた本を入手して嬉しくなっています。ここに紹介しそびれている本が何冊かたまってきました。おいおい書きたいと思います。
9月29日(金) 正三角形の板を釘で動かなくする(その4)、あやとり
正三角形を点で固定する問題のつづきととあやとりの話です。
「正三角形の板の3辺に釘A,B,C を打って固定したい場合、任意に与えられた A, B の位置に対して、三角形を固定できる位置 C は必ず存在するのか、それとも C を第3辺上のどこに打っても三角形を固定できない位置 A, B の組が存在するのか、どちらだろう？」という疑問を書きました。お気づきかと思いますが、これは後者が正しいです。
下の図は、点Aと点Bに釘を打った時、第3の辺に釘を打つべき場所が辺の外側になってしまう例です。
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| 図 1 |
点Aにおける垂線と点Bにおける垂線は60°の角度で交わります。そこから第3の辺に垂直になるような直線を引くことは必ずできます。この垂線と第3の辺との交点が三角形の外側になってしまうと釘が利かないことになって、三角形が固定できなくなるのです。
ということは鈍角三角形ならば、鈍角(直角より大きな角)の両側の辺の任意の箇所に釘を打っても、必ず第3の辺上に三角形を固定できる（釘を打つべき）点があるのですね。
以前 3m の紐で取ったあやとりが、紐が短すぎてきれいに整えられなかったのです。4m の紐(結び目無し)で再挑戦してみました。
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| hh230929-1 |
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うーむ、これでもまだ中央部分がごちゃごちゃしてしまいます。もっと長い紐を使ってみるか…
京都に泊まりで出張でした。京都駅付近に投宿しました。チェックイン前と翌朝のチェックイン後に京都タワーの写真を撮りました。
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22時くらいにチェックインしてやれやれと思ったら、会社の偉い人からメールが来ていて青ざめました。結局午前1時くらいまで各所に依頼やお願いメールを書いていました。
＜おまけのひとこと＞
気が重いです。出張をはじめいろいろ忙しくて9/29(金)〜10/2(月)の4日分をまとめての更新になってしまいました。といいつつ週末は本を読んだりして過ごしていました。
9月30日(土) 正三角形の板を釘で動かなくする(その5)、あやとり
正三角形を点で固定する問題のつづきととあやとりの話です。
三角形を固定する話、蛇足かなあと思いましたが「与えられた2点から、安定する3点目を計算する方法」を実例で書いておきます。
正三角形の底辺と右側の辺を 3 対 2 に内分する点に釘が打たれていたとします。このとき、3本目の釘を打つ位置（＝3点から伸ばした垂線が1点で交わる位置）は、以下のように計算できます。 3 対 2 なので、正三角形の1辺の長さを 5 として、左側の辺は図のように x 対 5-x に内分することにします。
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| 図 1 |
三角形の各辺ごとに三平方の定理を適用すると、こんな式が立てられます。
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この3つの式を縦に足し算します。
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こうすると a2 + b2 + c2 が左右両辺にあるのでキャンセルされます。また x2 の項もキャンセルされて、簡単な x の一次式（10x - 35 = 0）になるのです。結果的に第3辺を 7 対 3 に内分する点に釘を打てば安定することがわかります。
4mの紐で「5本指のアムワンギヨ」を取ってみました。
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| hh230930-1：5本指のアムワンギヨ |
まあこんなものか…
＜おまけのひとこと＞
今日 9/30(土) は久しぶりに諏訪の酒蔵の飲み歩きのイベントがあったようです。参加費4,000円とのことで、国道20号線を通行止めにして歩行者天国にして実施されたようです。つい飲みすぎてしまう危険なイベントなのですが、また参加したいです。