以前の「ひとこと」 ： 2017年2月前半
2月1日(水) 『作図で身につく双曲幾何学』
1ヶ月か2ヶ月に一度、大きな本屋さんに行きます。そうするとつい何冊も本を買ってしまいます。先日行ったときに購入した本の一冊が、『作図で身につく双曲幾何学 〜GeoGebraで見る非ユークリッドな世界〜』(共立出版：阿原一志[著])でした。
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| 図 1 |
GeoGebraをいじり始めたのも、この本がきっかけです。
ご存知のように、ユークリッド幾何学の基本的な前提として５つの公準が示されており、それに基づいて様々な定理が展開されてゆきます。
[第1公準] 任意の2点を直線で結ぶことができる。
[第2公準] 任意の有限の線分を自由に延長することができる。
[第3公準] 任意の点を中心とし任意の長さを半径とする円を描くことができる。
[第4公準] すべての直角は等しい。
[第5公準] 1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
この第5公準(平行線公準)がそれ以外の４つの公準から導出されるのではないか？ということがずっと研究されてきたのですが、結局これは4つの公準からは導くことができず、それどころかこの公準を満たさない幾何学体系がある、ということが見いだされ、非ユークリッド幾何学が研究されるようになりました。
ユークリッド幾何学では、与えられた直線に対して、その直線上にない任意の点を通る平行線はただ１本だけ定まります。平行線公準を満たさない幾何学体系では、与えられた直線に対して、その直線上にない点を通る平行線が存在しなかったり(楕円幾何学)、逆にその点を通る平行線が無数に存在したり(双曲幾何学)します。
この本では、タイトルにもある「双曲幾何学」を表現するモデルとして、「ポアンカレディスク」モデルを採用しています。ポアンカレディスクモデルでは、半径１の円Cの内部が全世界Uであり、Uの内部の任意の２点A,Bを結ぶ直線は、A,Bを通って円Cに直交する円弧と定義されます。
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| 図 2 | 図 3 | 図 4 |
点A,Bをいろいろ動かしてみました(GeoGebra便利！)。第一公準の「任意の２点を直線で結べる」第二公準の「直線は自由に延長できる」が示せています。(この世界は円Cの内側がすべてで、円周上の点は無限遠点に相当し、円周上には到達できない「お約束」です。)
さらに、この世界では「与えられた直線ABと、その直線上にない点Cを考えたとき、点Cを通って直線ABと交わらない直線は無数に存在する」ことを示します(図5)。
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| 図 5 |
図では直線は3本しか描いていませんが、無限に存在することは明らかだと思います。
また、この世界での「三角形」（３つの「直線」に囲まれた図形)はこんなかたちになります。
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| 図 6 |
とりあえず「直線はこんな定義だ」「三角形の内角の和は180度より小さい（多角形の内角の和はユークリッド幾何学より小さい）」ことだけ覚えておきます。
すみません、世の中にたくさん情報があるものについてはそんなに詳しく書かなくてもいいと思っているのですが、今回はそういう(すでに各所で解説されている)内容です。
具体的な作図については、ここでは詳しく説明はしません。ぜひ本をみつけて読んでみてください。
2月2日(木) 円に関する鏡映
普通の平面の幾何学で、「線に対する鏡映」（線対称）というのはなじみ深くわかりやすい概念だと思います。それと比べて、「円に関する鏡映」というのは、多くの方にとってはあまり馴染みのない考え方ではないかと思います。
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| 図 1 |
円の半径を r としたとき、点Xと点Yが円に関して鏡映の関係になっているというのは、円の中心OとXとYが一直線上にあり、かつ
| r^2 = OX・OY |
の関係を満たすときです。これを作図してみます。
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| 図 2 | 図 3 |
直線OXが円と交わる点をAとします。BをAとは異なる円周上にとります。点Aを通り、直線XBと平行な直線と、直線OBの交点をCとし、Oを中心としてCを通る円を描きます。その円と直線OXの交点Yが求める点になります。
図2、図3のように動かしてみるとわかりますが、点Xが円周に近づくほどその像Yも円周に近づきます。Xが円の中心Oに近づくほどYは遠ざかります。XがOに一致するときはYは無限遠点になってしまいます。
この、「円による鏡映」の面白い性質として、「円は円に移される」というものがあります。
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| 図 4 |
図4で、黒い円（基準となる円）の内側に、同じ大きさで色が異なる5つの円を描きました。そして、その鏡映を同じ色で描いてあります。内側の円が中心Oに近づくほど像は大きくなり、遠ざかります。図では描いてありませんが、内側の円が中心Oを含むような位置になると、外側の円も基準円を内包する位置になります。
久しぶりにハルピンラーメン(リンクは「長野ウラドオリ」というサイトのページです)を食べました。子供たちが巣立って妻と二人なので、何かのついでにふと外食、というのがやりやすくなりました。夜7時前だったのですが、珍しく待たずに座れそうだったので「久しぶりに入ろうか」ということになりました。実は10年くらい来ていなかったような気もします。とてもおいしいラーメンなのですが、値段も良心的で、とてもお勧めです。
2月3日(金) ligne roset の CLOUDSで「岩」を作ってみる
先日入手したCLOUDS、妻から「竜安寺の石庭」みたいなものを作ってみたら面白いのでは？」という提案をされ、なるほど面白そうだと思って挑戦してみました。
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| 図 1 |
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| 図 2 |
写真だとなんだかよくわかりませんが、本物は意外と質感があって面白いです。古いクッションの中身とかを詰めてみようかなあと思っています。
＜おまけのひとこと＞きれいに整った、対称性の高い立体は作れなさそうなのですが、おもしろいオブジェが作れて楽しいです。
2月4日(土) 楽器の練習
久しぶりに数時間、妻に伴奏してもらってトラヴェルソの練習をしました。最初に、バッハの次男のC.Ph.E.Bach(エマヌエルバッハ) のフルートソナタを9曲くらい続けてやって、次にベンダのソナタを１曲、その後でフリードリヒ大王のソナタを4曲やりました。
エマヌエルバッハもベンダもフリードリヒ大王の「サンスーシ宮殿」の音楽家でしたので、その時代の曲ばかり練習したことになります。練習した曲のうち、一冊の表紙がこんな絵でした(図1)。
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| 図 1 |
サンスーシ宮殿の絵、というと、有名なメンツェルの作品がまず浮かびます（というか私はそれしか知りません）。なんとなく勝手にメンツェルの絵の一部分に色処理したものかなあ、なんて思っていたのですが、妻がこの楽譜の表紙のを見て、「この絵は面白い！」と反応しました。
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| 図 2 |
確かに改めてみると全然違います。ちなみに、上のメンツェルの絵ですが、こちらのTARO'S CAFEというblogに絵画とそこに登場する音楽家たちの話が詳しく書かれていて、たいへん読み応えがあります。お勧めです。
フリードリヒ大王と音楽というと、あの大バッハの「音楽の捧げもの」という作品がフリードリヒ大王に献呈されています。従来、偉大なるフリードリヒ大王がバッハを大変尊敬して尊重し、すばらしくもてなしたといった解説を目にすることが多かったのですが、以前もちょっとだけ触れましたが、2014年に日本語訳が出版された「音楽の捧げもの」が生まれた晩を読むと、現代の感覚からすれば大王はバッハに対して、はるかに意地悪く冷たく対応していただろう、ということが書かれていて、とても説得力があります。
フリードリヒ大王は若い頃からフランスに憧れ、音楽をたしなんでいましたが、父王からはそういった志向を否定され、親友の手引きで逃亡を試みたものの捕らえられ、自分の目の前で親友が処刑され…といった、心に深く傷を負うような経験を積み重ねて成長しています。多くの戦争を行い、健康面でも様々な病を抱えた大王が、バッハに対してあたたかく迎えるというよりは無理難題を吹っかけて、それをうまくこなせればそれもよし、失敗してその名声を貶めればそれも面白いといった極めて意地の悪い対応をしたのだろう、という解釈は、なるほど、さもありなんと思いました。
当時の劣悪な長い馬車旅で疲れたバッハを全く休ませずにすぐに即興演奏をさせたことや、対位法のテーマとしてはとてつもなく難しいテーマを準備して与えていることなど、従来の文献では「それだけバッハに期待し、歓待する気持ちが強かった」と説明されていた内容が、実は全く違うのではないか、という解釈は、大王の苦難に満ちた人生を知れば知るほど、きっとそうなのだろうと思えます。
妻が、「フリードリヒ大王と言えば、この本をぜひ読むべき」と勧めてくれているのが『ヴォルテール、ただいま参上！』(新潮社：ハンス=ヨアヒム・シェートリヒ／著、松永美穂／訳)です。そのうち読みたいと思っているのですが、まだ読んでいません。
フリードリヒ大王のソナタは、ゆっくりな楽章から始まり、先に進むほど速くなるというのが特徴だと思います。通常は変化をつけるため、緩・急・緩・急（遅い・速い・遅い・速い）という構成をとることが多いのですが、いかにも大王らしいなあと思うのです。
サンスーシ宮殿、いつか行ってみたいです。
＜おまけのひとこと＞最近、フルートをずっと吹いていると右の後頭部が痛くなります。痛くなってきたら休んで、鍵盤を妻と交替して今度は妻の歌曲の伴奏を弾きます。楽しいです。
2月5日(日) 中村治さんの“KITE3”
双曲幾何学の図を簡単に描けるツールがないかなと思って検索してみたところ、高知大学の山口研究室の三次元双曲空間LOGO : KITE3.EXEというページにたどり着きました。これがとても面白かったので、この週末の土曜日、久しぶりにほとんど徹夜してしまいました。
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| 図 1 |
ユークリッド幾何学では、正多角形で平面を重なりなく隙間なくうめつくせる(タイリングできる)のは、正三角形、正方形、正六角形しかありません。しかし双曲幾何学では、正多角形によるタイリングの自由度がとても高いのです。GeoGebraでマクロを組んで、というのも考えたのですが、もっと手軽にそういった図が描きたいなと思ったのでした。
図1では、
| polytiling 4 5 2 |
という命令を実行しています。これは組み込み命令ではなくて、サンプルプログラムのページにあるものをテキストファイルに保存して、読み込んでいます。
詳しくは次回の更新で述べますが、図1は、双曲正方形(四辺形)を、各頂点の周りに5つずつ配置するというタイリングになっています。計算時間がかかるので、あんまり遠く(円周近く)までは描画していません。
基本は対称性の高い図になるように描かれますが、タートルグラフィックスなので、開始点の位置と向きを変えてやると、全体として平行・回転移動します。ユークリッド幾何学のタイリングで平行・回転移動してもあんまりおもしろくないですが、双曲幾何学では面白いことになります。
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| 図 2 |
図2のgifアニメーションは、双曲三角形の3頂点のうち、2つの頂点回りには6つ、3つ目の頂点回りには8つ配置するというタイリングになっています。描画開始点を少しずつ変えて、できる図の違いをアニメーションにしています。
＜おまけのひとこと＞こちらのポアンカレ万華鏡の制作というページも参考になりました。ありがとうございます。
2月9日(木) ホームページ領域のオーバーフロー(その1)
先週の2月5日の更新のときのことです。いつものようにローカルで更新データを作成し、ブラウザで意図通り表示されていることを確認してサーバにアップロードしようとしたのですが、途中で失敗するのです。「おかしいなあ」と思って何度かやってみたのですが、ダメでした。
ここでようやくエラーメッセージを見ました。（最初から見ないとダメです。）
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552-Transfer aborted. Disk quota exceeded STOR: notice: quota reached: used 100.00 of 100.00 upload Mb |
要は、このサイトのデータを置いているサーバが、容量の上限に達してしまった、ということのようです。
このサイトは2001年から始めて、昔のスタイルのまま途中で中断しつつ、17年目になりました。当初はホームページのサイズは１アカウントあたり10MByteでした。１ヶ月500円(!)で、10MByteずつ増量ができました。(2002年から数ヶ月間「10MB増量」の契約をしていました。) そのうちに１アカウントあたり50MByteになって割増料金は不要になり、さらに１アカウントあたり100MByteになりました。ついにその容量を使い切ってしまいました。
これは困ったと思って問い合わせてみると、家族のアカウントがあるので、その分が使えるとのことでした。ただし、容量を合計することができず、新たにそのアカウントのサイトを開設する必要がある、ということです。おそらくほとんどのユーザはホームページなど開設しないでしょうし、しても容量が不足するような使い方をする人は少ないだろうと思います。でも、サーバ側の設定を変えるのはかなり大変でしょうから、「二人分の容量をマージして使えるようにしてほしい」とお願いしても難しそうです。
現在、このサイトではそれぞれのページ間のリンクや埋め込まれている画像などのコンテンツは、全て相対パスで指定しています。そうすることで、ファイル構成を全く変えずにどこか別のサーバに置いたり、ローカルでブラウザで動作確認が簡単にできるのです。 たとえば家族のアカウントを利用するとなると、その手が使えなくなります。さてどうしたものかと思っています。
手っ取り早いのは古いページを削除してしまうという方法ですが、それなりに検索エンジンなどにも捕捉してもらっているようですし、一部のページはそれなりにリンクもしていただいているようなので、ちょっともったいないかな、申し訳ないかなという気がしないでもないです。
固定IPを申請して、自分でサーバを立てるという手もありますが、個人でPCをずっと運用しておくというのもちょっと違う気がしています。自分のページがそこまでの価値があるものとは思えないのです。
毎日（といいつつここ数年は週に一度ですが）の更新をやめて、今まで公開してきた内容を整理する、ということもできますが、いずれリタイアしたらそういうことも考えたいですが、まだそんな状況ではないです。
どうしようかな…と考えています。
というわけで、日付がちょっと飛びます。2月12日(日)の夕方にページ構成のアイディアを決めて、作り直しました。
ちなみにLCVにメールで問い合わせたら、すぐにお返事をいただけました。本当にありがとうございました。感謝しています。
2月10日(金) ホームページ領域のオーバーフロー(その2)
とりあえず家族のアカウントで利用できる領域を使わせてもらうことにしました。方針として、
これまでのコンテンツは消さない、(できるだけ)修正しない できるだけ相対パスで記述できるようにする
と決めました。図とか画像だけを新エリアに置くことも考えたのですが、そうすると図へのリンクがすべて絶対パスになってしまって後々面倒なので、区切りよく2017年の「過去のひとこと」から、図や画像ごと新エリアに置くことにしました。
そうすることで、「過去のひとこと」のページと、このトップページくらいしか影響せずに移行できそうだと思ったのです。方針を決めたので、まずは新しいエリアに何かhtmlファイルを置いてみようと思って、まずはアカウントのパスワードを確認することにしました。
現在のインターネットサービスは2001年に契約をしています。これまで、PCを更新するたびに、FTPソフトの設定やメールクライアントソフトの設定のためにパスワードを確認しています。最後に設定したのは、今使っているPCを購入したときなので、３年ほど前になります。パスワードはインターネットサービスの契約書と一緒に管理しているのですが、それが見当たりません。定位置を決めていて、いつもそこに置いてあるはずなのに、見つからないのです。これはちょっと厄介なことになりました。
最近、記憶が怪しいことが増えてきたような気がして、「若年性痴呆？」とちょっと怖くなっていますが、でもよく考えると昔から記憶には自信がないのでした。
2月11日(土) ホームページ領域のオーバーフロー(その3)
私は「物探し」が苦手です。そんな時に妻は冷静に、ありそうな場所から順序立てて調べていって見つけてくれることが多いのです。今回も一緒に探してもらったのですが、なかなか見つかりませんでした。いつも必ず決まった封筒に入れて、決まった棚に置いてあるのですが、今回みると封筒しかなくて、中身が空なのです。おかしいなあと思って探索範囲を広げてみたのですが、見つかりません。
「もうあきらめて、問い合わせてパスワードを初期化してもらおうか」と思ったのですが、最後にもう一度、と思って空の封筒があった棚の中身を全部出して、１つずつ確認してみました。そうしたら契約書の入ったクリアフォルダが出てきました。
…思い出しました。前回使ったときに、クリアフォルダを封筒に入れるひと手間を惜しんで、封筒とクリアフォルダを重ねて棚に立てたのです。「隣にあるから見落とすはずがないよね」と思ったのです。ところが今回、目印の封筒をひっぱり出して、「あれ、中身がない！ じゃあ別の封筒なんだ」と思い込んでしまったのです。（ケーブルテレビや電話など、同じところと何回か別に契約をしているため、同じ封筒が複数あるのです。）
ほんのひと手間を惜しんだために、２時間以上無駄にしました。反省。
ようやくパスワードがわかったので、FTPで接続してhtmlファイルを送り込んでみようと思いました。ところが接続できません。LCVのサイトを見に行くと、デフォルトではホームページ領域は確保されておらず、申請が必要とのことでした。「申請用紙を郵送してもらって返送して…」と時間がかかりそうだなあと思ったのですが、ありがたいことにオンラインで申請ができて、あっという間に処理が完了しました。
さっそく2017年の「過去のひとこと」3ページ分（１月前半、１月後半、２月前半）のファイルと図・画像を転送してアクセスできることを確認しました。よかった、これで当面サーバの容量不足からは解放されました。
＜おまけのひとこと＞前にも書いたような気もしますが、家族の中で長女と私は探し物が苦手で、長男と妻は探し物が上手です。
2月12日(日) 古楽の楽譜のページを作りました
せっかくサーバの使える領域が広がったので、以前から考えていた「楽譜のページ」を作ることにしました。こちらです。
古楽の楽譜のページ今回、実験的に英語のページにしてみました。かなり怪しい英語なので、誰にも伝わらないような気もします。まだ3曲分しか置いてありません。まずは自分で通奏低音パートをリアライズした楽譜を置きはじめました。だんだん増やしたいと思っています。
＜おまけのひとこと＞今週(2/6〜2/10)も寒くて雪が降りました。妻が自宅のまわりの雪かきをしてくれました。また、妻は美容院に行って髪型が変わっていました。ところが私ときたらいつものようにそれに気が付かなくて、またもや妻をがっかりさせてしまいました。
2月13日(月) 不思議な統計の話(その1)
車で通勤しているのですが、ラジオでニュースを聴いていたら、こんな話が流れてきました。
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2016年の長野県の定職者の平均給与は前年と比較して0.6パーセント減少した。 しかし、そのうち男性の平均給与はわずかに増加した。 女性の平均給与も、やはり増加していた。 |
これ、どういうことだかわかりますか？
男性も女性も前年度との比較です。また「男性」「女性」以外のカテゴリがあるわけではありません。
珍しく平日に更新したくなりました。2月14日(火)の朝に１日分だけ書いています。