以前の「ひとこと」 ： 2016年3月前半
3月1日(火) 二進法のTシャツ
こんなデザインのTシャツがあるのだそうです(リンク先はgoogle imageです)。
デザインされている<文字（英文）は以下の通りです。
| There are 10 types of people in the world, those who understand binary and those who don't. |
「世の中の人は10種類に分類できる。二進法を理解している人々と、そうでない人々だ。」という意味です。
＜おまけのひとこと＞
野暮を承知で解説すると、10という数値は二進法で表記されていると解釈するのです。いいなあと思いました。
３月になりました。更新を一回スキップしてしまった影響で、今回も9日分の更新ですが、まだ以前のペースまでは戻せません。
3月2日(水) 与えられた数を連続する数字の和で表す(その1)
与えられた数を連続する数字の和で表せるか？という問題を知りました。例えば15なら、
となります。12なら
です。
とりあえず、10から20までの数字を同様に連続する数字の和で表してみてください。全部できるでしょうか？ できないものはあるでしょうか？ 21から30ならばどうでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
この問題をご存じない方、実際に考えてみると発見があると思います。すぐ下に続きを書いてしまうと種明かしになってしまうので、別な話題をはさみます。
3月3日(木) Flow Free というゲーム
前回の更新のときにも２種類ほどAndroid端末上で動くパズルをやっていますという話を書きましたが、もう一つ、最近やっているのがFlow Freeというパズルです。
ニコリのナンバーリンクのルールのパズルですが、必ずすべてのマスを通るという条件が課されています。そのため、簡単なショートカット解があるのに、わざわざ遠回りして全部のマスを通る解を見つけなければいけないという点がちょっと違和感がありました。
例えば、図1のような問題(No.94です)ならば、
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| 図 1 |
素直に解いてゆくと図2のようになります。
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| 図 2 | 図 3 |
でも、図2では不正解で、図３のようにすべてのマスを通る解を求められます。
ちなみに、問題を数問解くごとに広告が表示されて、数秒間スキップできないです。
＜おまけのひとこと＞
タブレット端末で動かしている Flow Free では、毎日数問の問題が出題されるて、「○日間連続で完答」とか表示されるので、なんとなく毎日解いてしまっています。そろそろ1ヶ月になります。
3月4日(金) 卒業式
息子の高校の卒業式が3月4日(金)にありました。最近は学校の入学式や卒業式に父親も出席することが多いということで、珍しく休みをもらって卒業式に出てきました。
校長先生が「個性的であれ、謙虚であれ」というはなむけの言葉をくださって、その中で「おうばいとうり」というお話をされました。「さくら、うめ、もも、すもも」と書くのだそうです(桜梅桃李)。
手元に配られた式次第の裏に校歌の楽譜と歌詞が載っていました。ざっと楽譜を見て、「あれ？」と思った音がありました。下の譜例の３小節目の最後のファ♯です。歌いにくそうだなあと思いました。
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校歌斉唱は５番まで全部歌われましたが、上記譜例のファ♯はすべてソで歌われていました。そのほうが自然だと思います。
卒業生入場のときは金管中心の吹奏楽の演奏でしたが、特に中音域、低音域の金管楽器が、曲や場面にふさわしい柔らくて美しい音色でとても感心しました。退場のときの合唱もよかったです。
自宅から駅まで車で15分、そこから電車で1時間弱、さらに学校の最寄り駅から学校まで自転車で15分、3年間毎日よく通ったなあと思います。無事卒業できてほっとしました。
息子は生徒会の活動(の裏方)をやっていて、特に学園祭の準備や当日は、毎年１週間くらい学校に泊まり込んでいました。卒業式が終わった後もいろいろあったようで、学校の最寄り駅を夜8時半くらいの電車で帰ってきました。きれいな花束を２つ、もらってきていました。充実した高校生活を過ごせたようで、学校には感謝しています。
＜おまけのひとこと＞
卒業式は13時からで、保護者は12時40分までに入場して下さいと言われていました。学校の近くのお店でお昼を食べようと思って、12時前にお店に入ったのですが、30分くらい待ってもまだお料理が出てこなかったので、お店の人におわびをしてオーダーをキャンセルさせてもらって学校に行きました。実はコーヒーとかをさきにいただいていたのですが、その分の御代は受け取っていただけませんでした。お昼時で待っているお客様も多く、時間もないしあまり押し問答をしても迷惑かなあと思って、お言葉に甘えさせていただいてしまいました。
卒業式やPTA解散式、最期のホームルームとかが終わった後、ほとんど夕方になっていましたが、帰りがけにゆっくり食事をしました。
3月5日(土) Grafting Number(その1)
こんな数字を知りました。
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| 図 1 |
764の平方根をとると、7,6,4 という数字の列が現れます。76394の平方根をとると、7,6,3,9,4 という数字列が現れます。
このように、ある整数の平方根を計算すると、その整数を構成する数字列が現れるような整数をグラフト整数(Grafting Integer)と呼ぶようです。(日本語の定訳や情報は見つけられませんでした。)
こういった性質は、たとえば9が偶数個並んだ数（99,9999,999999…)とか、そこから1をひいた数とか、9と7で構成されたシリーズとか、いくつかあります(図2)。
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| 図 2 |
図2に関してはぜひ電卓をたたいてみてください。
ただ、図1のものは、図2に示したようなグラフト整数の系列とはちょっと様子が違います。これはどうやって見つけたものでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
この話題もちょっと別の話を間に挟ませていただきます。
3月6日(日) 与えられた数を連続する数字の和で表す(その2)
ちょっと昔のCPUのソフトウェアパイプラインのように、いくつかの話題の連載を並行して交互に掲載しています。読みにくくてごめんなさい。
3月2日にご紹介した、「与えられた数を連続する数字の和で表す」話の続きです。ちょっと考えてみるとすぐにわかりますが、まず奇数ならば必ず連続する２つの数の和として表せます。
13 = 6 + 7
15 = 7 + 8
17 = 8 + 9
19 = 9 +10
また、3の倍数ならば必ず連続する３つの数の和として表せます。（奇数はできることがわかっているので、偶数だけ書きます）
18 = 5 + 6 + 7
24 = 7 + 8 + 9
30 = 9 + 10 + 11
36 = 11 + 12 + 13
3の倍数は3で割り切れますから(当たり前です)、3nと表記できます。なので、3で割った数と、その前後の数を足せばよいのです。
同じことはほかの奇数の倍数についても言えます。例えば5の倍数ならば
となります。実例として、100ならば、
となります。
では、例えば14だったらどうでしょうか？ 14は7の倍数ですから
です。書き下してみると、マイナスの数字がでてきますが、それは差し引きされるので
14 = 2 + 3 + 4 + 5
となります。
ということで、すべての奇数とその倍数は連続する数字の和で表すことができるのです。それでは、「それ以外の数（すべての奇数とその倍数）」として残っているのはどんな数でしょう？ それは連続する数字の和にできるのでしょうか？
すみません、この話題ももうちょっと引っ張ります。（次回の更新で解説します。）
3月7日(月) Grafting Number(その2)
さて、先日の「平方根を取ると元の数字列が現れる整数」(再掲図)の話の続きです。
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| 再掲図 |
この系列がこの後どのように続くかというと、次のようになります。
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764 76394 7639321 763932023 76393202251 7639320225003 763932022500211 76393202250021031 7639320225002103036 |
これは画像ではなくテキストにしておいたので、電卓ソフト等にコピー＆ペーストして試してみてください。私の環境でやると、こんな風になりました。
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| 図 1 |
実はこの系列は、 ３−√５ から作られています。この 3-√5のことをグラフト数(Grafting Number)と呼ぶようです。
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上の表と数値を見比べてみてください。小数点以下を２桁ずつ追加して、最後を切り上げています。式で書くとこうなります。
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絶対値記号の上の部分だけ、カッコのように曲がった記号は、ceiling(天井)関数といって、その値以上の整数のうち最小のものを表します。
なぜこの数(3-√5)が出てきたかというと、次の式から導かれました。
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最初の式の中の10は十進法だからです。2は、この系列の数の平方根を取った時に現れるその数そのものの並びの前に2があるのが由来です。詳しくは以下のページをご覧ください(英語です)。
ここからわかるのは、他にもグラフト数は作れそうだということです。試している時間がないのですが、教材として面白いのではないかなあと思いました。
＜おまけのひとこと＞
「なぜ２桁ずつなのか」「なぜ切り上げるのか」といったところを説明していませんが、平方根の開平の筆算のやり方を知っていると、このあたりの理由が感覚的によくわかります。義務教育を35年以上前に終了した私の時代ですら、すでに開平や開立の筆算は教科書には載っていませんでした。小学生のころ、開平の計算ができたら素敵だなと思って練習したことがあります。開平の筆算の覆面算や虫食い算のパズルも世の中にはあるそうですが、極めてマイナーだと思います。
3月8日(火) "Things to Make and Do in the Fourth Dimension"
今回の更新(3月5日(土)に、3/1〜3/9の１週間分を更新しています)でご紹介している３つのトピック（二進法のTシャツの話、与えられた数を連続する自然数の和で表す話、グラフト数の話）は、いずれも"Things to Make and Do in the Fourth Dimension" (Matt Parker,2014)の最初の３章くらいまでに出てきた話題です。
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先日、2月27日(土)に、息子の春からの住まいを探しに家族で東京に行ったのですが、そのときに新宿の紀伊国屋に30分くらい寄る時間があったので、数学の関係の洋書を３冊ほど買ってきたうちの１冊です。まだ全体の３割くらいにしか目を通していないのですが、面白い話題がいろいろありそうで楽しみです。
表紙が手描きの文字と図ですが、本文中の図も同じようなタッチの手描きのものが中心で、まるで黒板を前に講義を聴いているような雰囲気です。（本文の文字はもちろん活字で、手書き文字ではありません。）
ちょっと前にNetで話題になっていた、「ピザを公平に切る方法」といった話もこの本に出ていました。先日ご紹介して、まだ続きが書けていないマジックの話は、また別の本に出ていたものです。
＜おまけのひとこと＞ペーパーバック版で、2,000円くらいで買いました。現物を見て選ぶのが好きなので、本屋さんで買うのが好きです。
3月9日(水) 論理のパズル
論理のパズルで、「正直族と嘘つき族」という条件のものがあります。正直族は質問に対して必ず正しく答えます。嘘つき族は必ず嘘の答を言います。例えば「あなたは正直族ですか？」と尋ねると、正直族は正直にYesと答えますし、嘘つき族はうそをついてYesと答えます。外見等からは正直族なのか嘘つき族なのかわかりません。さてこの前提でこんな問題がありました。
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正直族か嘘つき族かわからないA,B,Cの３名がいます。3名のうち少なくとも一人は正直族、また少なくとも一人は嘘つき族だということがわかっていますが、誰がどちらなのかはわかりません。 A,B,Cの３名は昨日ある競技を行って、だれか１名だけが優勝しました。Aさん、Bさん、Cさんと、以下の会話をしました。 Q.「Aさんに質問です。Bさんは優勝しましたか？」 A.「いいえ。Bさんは優勝していません。」 Q.「Bさん、あなたは優勝しましたか？」 B.「いいえ。私は優勝していません。」 Q.「Cさん、あなたは優勝しましたか？」 C.「はい、私は優勝しました」 優勝したのは誰でしょう？ |
私は場合分けして考えましたが、わりとシンプルに説明できる方法がありました。
＜おまけのひとこと＞
今回も、いろいろな話題のまとめや説明が終わらないまま新しい話題を書いています。すみません。
3月10日(木) 定幅図形ふたたび(その1)
ルーローの三角形というかたちがあります。2001年9月7日のひとことでご紹介していました。
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| 再掲図 1 |
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| 再掲図 2 |
これは「定幅図形」といって、どの方向から測っても幅が等しい図形です。この性質をもつ図形は円が代表的ですが、無限に存在します。有名なのが正奇数多角形（正三角形、正五角形、正七角形…）を円弧で膨らませたかたちの系列で、対称性が高いですが、そういった対称性（鏡像対称性や回転対称性）を持たない定幅図形が無限に存在します。対称性を持たない定幅図形、思いつきますか？
＜おまけのひとこと＞
例によって別の話題をはさみます。すみません。
3月11日(金) 正直族と嘘つき族のパズルの解説
一昨日のひとことでご紹介した「正直族と嘘つき族のパズル」の解説と答を書きます。問題はすぐ上に書いてあるので参照してください。言葉だけの問題と解説なので、特に間を開けたりはしません。
私が最初に解いた方法は、A,B,Cの３名のうち、誰が正直族で誰が嘘つき族なのかという全部の組み合わせを書き出して、発言に矛盾があるかどうかを確かめるという泥臭い方法でした。３名それぞれが正直族、嘘つき族の可能性があるので、2の3乗で8通りありますが、「3名のうち少なくとも一人は正直族、また少なくとも一人は嘘つき族だ」という条件があるので、全員が正直族の場合と、全員が嘘つき族の場合は除外できます。
この方法だと、６通りの組み合わせを検討しなければなりません。これだとメモがしたくなります。(私はメモをして考えました。)
そうではなくて、「誰が優勝したか」を仮定することでもっとすっきり推定できます。まず、Bさんの優勝が話題になっているので、優勝者はBさんだっとしましょう。すると、AもBもCも嘘を言っている(全員が嘘つき族)ということになります。これは条件に反します。次はCさんが優勝したと仮定しましょう。今度はAもBもCも本当のことを言っている(全員が正直族)ということになります。これまた条件に反します。
ということで、ここまでで優勝はAさんしか考えられないということになりました。これで答は出ています（誰が正直族で誰が嘘つき族かは問われていない)。でも、これが定まることで誰が正直族で誰が嘘つき族なのかは容易に決まります。
＜おまけのひとこと＞
「そんなこと言われなくても最初からそうやって考えたよ」という意見がありそうだなと思いながらご紹介しています。
3月12日(土) ちょっとしたサイクリング
この3月に高校を卒業した息子が、高校に通うときに使っていた自転車があります。自宅最寄駅から電車で1時間くらいかかる駅に置かれているのですが、この土曜日にその自転車を引き取りに行ってきました。
息子が友達と会う約束があるということで、10時過ぎに高校最寄り駅(松本)に来るというので、私も最寄り駅(豊科)から松本に電車で移動して、そこから自転車を現在の住まいまで乗って移動しました。
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| 図 1 |
前日の3/11(金)に職場の飲み会があって、ものすごく飲んで二日酔いの状態だったので、どうなることやらと思っていましたが、約12kmほどの距離をのんびり1時間ほどかけて走って、とても楽しかったです。
自転車のルートナビを試したのですが(図1)、それとはちょっと違う道を通りました。自動車と同じ速度で巡航できるような自転車でも乗り手でもないので、できるだけ交通量の少ない、車に迷惑のかからない安全な道がいいなと思ってルートを選択しました。
松本駅からはまず北松本駅まで行って、白板の交差点を渡って橋を渡ったら最初の信号で右に折れて音楽文化ホール(島内駅)方面に住宅地の中を抜けて、そこからも県道316号は通らずに島内小学校の前の道(昔、私の会社の事業所があったところ)をまっすぐ北に走ります。国道１９号の平瀬口交差点のハープ橋を目印に国道147号高家バイパス（たきべバイパス、ちゃんとカナ漢字変換できるのですね）に向かいます。「ラーラ松本」という温泉施設があるのですが、そこを起点にあずみ野やまびこ自転車道(リンクは長野県のサイトです)に入りました。
南部総合公園のところで自転車道を外れて、南中学校南の交差点で高家バイパスを横断し、そこからはできるだけ北西の道を選びながら成相の交差点を目指しました。気温は2℃〜3℃くらいでちょっと寒かったですが、天気も良く、初心者にはとても楽しいサイクリングでした。これから、時間があったら安曇野を自転車で走ってみたいものだと思いました。
＜おまけのひとこと＞
でもお休みの時にはほとんど安曇野にはいないので、そんな機会はないかもしれませんが。
3月13日(日) 定幅図形ふたたび(その2)
先日、対称性を持たない定幅図形の話をしました。今日はその作図方法をご紹介しようと思います。
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| 図 1 |
最初に、長さの同じ線分5本で適当に星型を描きます(図1)。対称性を持たせないためには、角度を変えるところがポイントです。
次に、各頂点から線分の長さを半径とする円を描きます(図2)。ルーローの三角形と原理は一緒です。
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| 図 2 |
それぞれの円弧の共通部分を取り出します(図3)。
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| 図 3 |
これも定幅図形になっているのがわかると思います(図4)。
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| 図 4 |
私は大変面白いと思いましたがいかがでしょうか。他にも、長さが異なる線分から始める方法もあります。これも先日ご紹介した"Things to Make and Do in the Fourth Dimension" (Matt Parker,2014)という本に載っていた話題です。
＜おまけのひとこと＞
先日、3月4日(金)に息子の卒業式があったときにお昼を食べようと思って入ったお店でなかなかお料理が出てこなくて食べそこなったという話を書きましたが、3月7日(月)に会社に行ったら、「金曜日のお昼にスパゲッティを食べそこなったでしょう？」とNさんに言われてびっくりしました。同じお店にいたそうです。さらに、Nさんのお子さんは私の息子と同じクラスで出席番号が１つ前だということがわかりました。(Nさんの苗字の頭の平仮名は「の」、私の苗字は「は」なのです。）４年前の娘の高校の卒業式でも、私の知り合いの息子さんが高校で同じクラスだったおということが卒業式で初めてわかったということがあったのですが、またもや…でした。
3月14日(月) 与えられた数を連続する数字の和で表す(その3)
先週、「与えられた数を連続する自然数の和で表す」という話を２回ほどご紹介しました。そのときに、「奇数およびその倍数は連続する数の和で表せる」ということを説明しました。
それ以外の数、というと奇数の素因数を持たない数字ということになりますので、2のべき乗が残っています。2のべき乗は連続する数の和で表すことができるでしょうか？
結論を言うと、「2のべき乗は連続する数の和で表せない」のです。これを示してみましょう。
まず、奇数個の連続する数の和は必ず奇数の倍数になります。3個の連続する数の和は3で割り切れる、5個の連続する数の和は5で割り切れる、7個の連続する数は7で割り切れる、以下同様になります。
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| 図 1 |
今、考えている数字の列は n から始まるものとします。数の分だけ○を並べてみました。白マルの部分はn×k、青マルの部分は1からk-1までの和になります。なので全体の和は
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| 図 2 |
となります。今、kは奇数ですから、図2右辺の(2n+k-1)は偶数です。なので、任意のnから始まる奇数k個の連続する数の和は、kで割り切れます。というわけで、仮に2のべき乗が連続する数の和で表せたとしたら、それは偶数個の和になるはずです。
では、今度は図2の式で、kが偶数だったらどうなるか考えてみましょう。今度は図2右辺のk/2は(kが偶数なので)自然数になります。一方、カッコの中の(2n+k-1)は奇数になります。つまり、偶数個の数の和も、必ず奇数の倍数になってしまうのです。
というわけで、連続する数の和は、必ず奇数かその倍数になるのです。したがって2のべき乗は連続する数の和では表せないのです。
＜おまけのひとこと＞
中高生でも十分理解できる面白い話題だと思うのですがいかがでしょうか。
3月15日(火) 車
3月前半のページの最後になるので、簡単な更新です。
先週、昨年6月から載っているAltoターボRSという車の走行距離が12,000キロを超えてしまって、あわてて３回目のオイル交換をしました。前回から5,000キロくらい走ってしまいました。当時、マニュアル車は出ない、Altoワークスは出る予定はないという話をきいていたのですが、昨年末にマニュアルのワークスが発売になりました。ディーラーでオイル交換とフィルタ交換をお願いしたときに、営業さんに「仮にこの車（9ヶ月で走行距離12,000キロ)を下取りに出してワークスのMTの4WDモデルに買い替えたら差額はどのくすいですか？」と尋ねてみました。
お返事は「すぐには査定できないのでわからない、ワークスも人気で３ヶ月以上待ちになる、この店舗でもまだ１台しか納車できていない」ということでした。もちろん私も本気で買い替えるつもりはないのですが、参考までに知りたかったのです。
この機会に改めてワークスとターボRSの違いや、ユーザの声を調べたりしてみました。乗り心地や燃費、価格やデザインという点で、意外とターボRSを推す意見が多くて驚きました。特に運転席と助手席のベンチヒーターを評価する声が多くて驚きました。私も妻もベンチヒーターの即効性には感心していたのです。乗り心地がよく、長距離のドライブでも以前の車よりずっと楽で、丁寧に運転すると燃費もいいし、やっぱりRSいいなあと思い直しているところです。気に入った車に乗れるのは幸せです。
＜おまけのひとこと＞息子の引っ越しの準備やらで、この週末は時間が取れなくて、簡単な更新になってしまいました。すみません。