以前の「ひとこと」　：　2005年9月後半

9月16日(金)　ジョンソンの立体 J26 による空間充填

　このところご紹介しているジョンソンの立体の26番（J26）ですが、これによる空間充填のCGを作ってみましたのでご覧ください。

図 1	図 2	図 3

　この立体(図1)を並べると、図3のように、洗濯板のようにぎざぎざの波板のようになります。波の方向は表と裏で直交しています。

図 4	図 5	図 6

　この波板を重ねてゆきます。図4、図5は2枚目、3枚目の波板をちょっと離して重ねたところ、図6はそれをぴったり押し込んだところです。

　今回の J26 の話は、ずっと前この図5 のCGを作ってあって、これをご紹介しようと思って書いたシリーズでした。

＜おまけのひとこと＞
　明日は運動会です。プログラムが配布されているのですが、朝8時過ぎに開始で午後3時終了予定で、全27種目だそうで、その中で子供たちのどちらか、もしくは両方が出場する種目を数えてみたら、18種目ありました。　明日は忙しいです。

9月17日(土)　[3,4,3,4,3,4,4]

　珍しく土曜日の早朝の更新です。昨日、H.Hamanaka very private pageの表紙の画像を見たら、このところ連載中の帯で編む「スポンジ構造」の写真ではなく、ポリドロンで作られた図形の写真になっていました。これをぜひとも自分でも作りたくなって、昨夜、カメラのバッテリーの充電やら記録メディアの整理などをした後で、JOVO ブロックを使って自分でも組んでみました。今日の更新は、単に「種類の違うブロックで組んでみました」というだけのものです。

図 1		図 2

　最初は「三角形は白、正方形は黒」という配色で組んだのですが、正方形パーツが足りなくなって、全部ばらしてから今度は正方形パーツは4色を使いました。今度は白が足りなくなりましたが、そこで作るのをやめました。

　JOVO ブロックは穴の開いていない「面モデル」のブロックなので、その面の後ろ側は隠れてしまいますが、このような繰り返し構造の図形の場合は、逆にわかりやすいような気もします。また、表と裏がはっきりしているので、今注目しているところが、互いに行き来できない表側の空間と裏側の空間のどちら側にいるのか、わかりやすいです。

　なるほど、これは昨日ご紹介したジョンソンの立体26番(J26)の空間充填の構造に基づいた「スポンジ構造」になっているのですね。　私には、実際に作ってみないときちんと理解できませんでした。J26の話、こういう方向への発展は考えていませんでした。ありがとうございました。

＜おまけのひとこと＞
　「スポンジ構造」とか、[3,4,3,4,3,4,4]という頂点構造を説明する表現とか、ちゃんと説明していません。過去にも書いたかどうか自信がありませんし、「過去のひとこと」がこれだけ増えてしまうと、前に書いたからといって説明なしというのは不親切だと思います。とは思うのですがすみません、今日は説明なしです。
　おかげさまで昨夜、このページのアクセスカウンタが22万になったようです。いつもご覧いただいてありがとうございます。
　今、朝6時です。運動会決行の合図の花火がドンドンと上がっています。今日、予定通りやってしまうことができそうでありがたいです。

9月18日(日)　[3,4,3,4,3,4,4] (その2)

　すみません今日のトップページは画像がいつもよりもずっと多いです（枚数、画素数、ファイルサイズとも）。　ご迷惑をおかけします。

　昨日、濱中さんの真似をして作った模型の写真をご紹介しましたが、これがどんな構造なのか、まずは正三角柱を基本に、CGを作ってみました。

図 1

　この gif アニメーションだけを載せようかとも思ったのですが、わかりにくいので、それぞれの段のCGも載せておきます。サイズが大きくてすみません。

図 2		図 3

図 4		図 5

図 6		図 7

図 8		図 9

　CGを作ったら、説明する気力がなくなりました。

＜おまけのひとこと＞
　昨日の運動会は大成功だった、と思います。　競技中も、終わってからも、子供たちはとてもいい顔をしていました。私もすっかり日に焼けました。

9月19日(月)　[3,4,3,4,3,4,4] (その3)

　昨日の構造、やっぱり「ジョンソンの立体 J26」を基本に組むCGも作るべきだなと思って、作ってみました。

図 1

　8段、積んだところです。これだと隙間がどうなっているのかぜんぜんわからないので、1段ずつの画像を載せることにしました。床の影にもご注目ください。

図 2		図 3

図 4		図 5

図 6		図 7

図 8		図 9

　こうしてみると明らかなように、各層の積み方には自由度があります。（面心立方格子と六方最密充填のようです。）

＜おまけのひとこと＞
　飼っている文鳥の足のつめがとても伸びてしまって、どこかの隙間に引っかかって取れなくなってしまって、小鳥自身がパニックになってしまうような事故がときどき起こるようになってしまったので、つめを切ってやりました。　手芸用の針金のために買ってあった安いニッパを小鳥専用にすることにしました。　意外と暴れずにおとなしく切らせてくれました。　これに懲りて嫌われてしまうかな、と心配していたのですが、そうでもなさそうで安心しました。

9月20日(火)　セキレイ

　（17日に終わった）運動会もあることだしと思って、先日ズーム倍率の高いデジタルカメラを買いました。最近流行のデジタル一眼レフもいいのですが、携帯性だとか稼働率だとかを考えると、もったいないことになりそうなので、レンズ一体型の比較的小型のものにしました。（Panasonic の DMC-FZ5 という機種です。）

　先日の朝、小鳥のさえずりが聴こえたので、せっかくの高倍率カメラでちょっと写真を撮ってみました(図1)。

図 1		図 2

　小鳥が好きな上の子が、「あれはセキレイだ」と言うので、野鳥ハンドブックを調べてみたら(図2)、確かに「ハクセキレイ」でした。

　ちなみに上の図2の本ですが、日本の野鳥 山渓ハンディ図鑑という本です。初版が 1998年、手元にあるのは2001年の第2版ですが、実はこの本は昨年近所の図書館で除籍になったものをありがたくいただいてきたものです。コンパクトなのに非常に情報量の多い、よい本だと思うのですが。

＜おまけのひとこと＞
　意表をついて(?)、この3連休中は2回更新をしました。過去のページはCGの画像がたくさんあって重いです。
　子供たちは今日は17日(土)の運動会の振り替えでお休みです。
　すみません、またメールの御返事が滞っております。　昨日は家で一日、（本業のほうの）仕事をしておりました。

9月21日(水)　[3,4,3,4,3,4,4] (その4)

　ジョンソンの立体J26 による空間充填の話から、濱中さんのページに写真があるように、この空間充填パターンから半分のJ26を取り除いて、全ての頂点の構造が全く同じになる繰返しパターンについて書いています。　（CGをいろいろ作ってみたら思いのほか面白かったので、その面白さが少しでも伝わらないかと思っているのですが、全く説明が足りなくてすみません。　今日もまたトップページが画像が多くて重くてすみません。）

　この、「頂点の構造が同じ」というのは、頂点に集まっている正多角形の数と種類と順番が全く同じであるという意味です。[3,4,3,4,3,4,4] というのが、正三角形(3)と正方形(4)をこの順番に配置することを意味しています。正三角形の１つの内角は60度で正方形は90度ですから、こんなに正三角形と正方形を７つも集めてしまったら、当然頂点に集まる多角形の角度の和は360度を越えてしまいますから、頂点は単純に凸になることはできなくて、波打つようなパターンになります。

　このパターンは、このような J26 を並べた片側がぎざぎざになった棒のような構造（下の再掲図参照）を1本おきに置いてゆくことによって構成できます。

再掲図

　この「1本おきに置いてゆく」ものを4段重ねてみるまでの段階のものを真上から見下ろしているのが、図1のgifアニメーションです。

図 1

　すぐ下のJ26の正方形の面とぴったりそろえて、頂点が合うように重ねてゆくので、真上から見ると必ず隙間ができます。

　次に5段目（もう一度赤い色を使います）を置くときに、2通りの置き方が考えられます。図2のように1段目の隙間をふさぐように置く方法と、図3のように、1段目の真上にくるように置く方法です。

図 2		図 3

　実は、一昨日のひとことまでにご紹介した積み方は、いずれも図2のパターンのものでした。斜めから見た図で比べると、図4と図5のようになります。

図 4 (9/19の図9)		図 5

　ちょっとわかりにくいですが、たとえば図4（これは一昨日の図9です）の画面左側の赤と黄色のJ26に注目していただきたいのですが、一段ずつ左へ左へと積みあがっているのがおわかりいただけるかと思います。それに対して図5では、１つの色に注目していただくと、上のものが下のものの真上に来ているのがなんとなくわかるのではないかと思います。

　同じパターンを、視点を変えて見てみました。図4のパターンは、常に一定方向に斜めに積みあがっていっているので、その斜め方向から見下ろしてみれば、やはり素通しの穴が見えるはずです。図4の床の影がまさにそれを示していて、この図の光源の方向から見ると、床の影になっていない部分が素通しで見えるはずです。

　そこで、その視点から図4と図5を見てみることにしました。それが下の図6と図7です。

図 6		図 7

　このように図3、図5の積み方だと、真上から見たときに素通しの穴ができましたが、図2、図4の積み方だと斜めから見たときに素通しの穴が見えます。

　いずれの構造も、積み上げた部分と隙間の部分はまったく同じかたちをしています。

＜おまけのひとこと＞
　この J26 のシリーズの話題の後半は、ちょっとマニアックだったかなと反省しています。

9月22日(木)　生物の種類

　ちょっと古いデータですが、先日聴く機会のあった講演会でいただいたデータをクイズ風にご紹介します。

　下の表は、現在世界で知られている生物の種数を分類群ごとに挙げたものです。　（私がいただいた資料によると、出典は Wilson(1992) とだけ書かれています。）　ただし並べ替えてありますので、1.ウィルス、バクテリア が a.75万1千種 という風には読まないでください。

　さて、この表の 1〜7 と、 a〜g は、どのように対応付けるのが正しいでしょうか？　（左右の点を線で結ぶという問題のイメージの書き方にしてみました。）

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分類群を並べ変えたもの				種数を並べ変えたもの
1.ウィルス、バクテリア	・		・	a.751,000
2.藻類	・		・	b.281,000
3.菌類	・		・	c.248,400
4.高等植物	・		・	d.69,000
5.原生動物	・		・	e.30,800
6.昆虫	・		・	f.26,900
7.その他の動物	・		・	g.5,800

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　生き物の種類というのは、ごくおおざっぱに言って、赤道に近くなるほど増えるのだそうです。特に熱帯雨林にはまだまだ知られていない生物種がたくさんいるのだそうで、非常に乱暴な研究手段として、熱帯雨林の1本の樹全体に殺虫剤をまいて、落ちてくる虫を全部集めて調べるという方法があるのだそうですが、そうやってみると「既に知られている、名前がわかるものが2割もあればいいほう」なんだそうです。

　上の表の種数の合計は140万種以上になるのですが、研究者によっては、地球上に現在生息している種数は一億種を超えるのではないかという意見の方もいるそうです。

　上の問題の答えを画像で載せておきます。（コントラストを下げて、180度回転してあります。）

＜おまけのひとこと＞
　昨日までの J26 のCGについて、「わかりやすいです」というコメントをメールをいただけてとてもうれしくなっています。ありがとうございました。

9月23日(金)　パラドックス

　最近、e-教室というサイトを知ったのですが、そちらに野崎昭弘先生が紹介されていた、おもしろい問題がありましたのでご紹介します。

　１＝３−２　です（下図１−�@）。　この２を（２／１）と分数で表します。この分母の１に、同じ式、１＝３−（２／１）の右辺を代入します。これはずっと繰り返すことができますから、下図１−�Eのように表すことができます。

　同じように、２＝３−１ です（下図２−�@）。　今度は右辺の１を（２／２）と表すことにしましょう。同じように分母の２に、同じ式 ２＝３−（２／２）の右辺を代入します。これもやっぱり同じように、ずっと繰り返すことができますから、下図２−�Eのように表すことができます。

　さて、それぞれの最後の式、１−�E と ２−�E を比べてみましょう。　あれ？　おんなじ形です。

　ということは　１＝２　なんでしょうか？　そんなことはないはずですね。　何がいけなかったのでしょうか？

＜おまけのひとこと＞
　最近は夕方暗くなるのが急にはやくなって、「秋の日はつるべ落とし」という感じです。

9月24日(土)　車

　通勤に使っている軽自動車のエンジンの調子が悪いのです。さすがに7年で9万キロをこえて、ちょっと各所が傷んできた感じです。　そこで、買い替えの検討をはじめました。条件はいろいろあるのですが、「楽器が積めること」というのが外せないところです。

　2台ほど試乗車を借りて、自宅に乗ってきて、楽器を積んでみるテストをしてみました。

図 1

　後部座席の片側を倒しただけで、なんとか積めないか試してみたところです。

　私の楽器は「ベントサイド・スピネット」と言って、なめらかにカーブした曲線部分を持つ楽器なのですが、その「ベントサイド」の部分がちょうどタイヤハウスにマッチしていいかな、と思ったのですが、2cmほどはみだしてしまうことがわかってがっかりしたところです。

＜おまけのひとこと＞
　車、悩むところです。「4WDでマニュアル車」を探そうとすると、とても選択肢が少ないのです。ついにマニュアル車はあきらめなければいけないかな、と思っています。

9月25日(日)　鹿教湯温泉

　用事があって、鹿教湯温泉というところに行きました。（鹿が教えた湯、と書いて「かけゆ」と読みます。）

図 1

　境内の縁の石の柵のところに、改修の際の寄付をした人の名前が刻まれていて、私の祖父の名前があるはずだときいていたので、それを写真に撮ってきました。（これが鹿教湯に行った主目的ではありません。）

図 2

　写真だと大きさがわかりませんが、高さ 80cmくらいでしょうか。

＜おまけのひとこと＞
　この週末は車の検討をしたりしていました。単なる日記になってしまいましてすみません。

9月26日(月)　文殊堂

　鹿教湯には、文殊堂と薬師堂があります。

図 1

　筆を買ってきました。子供たちが毎月お習字をやっているので、そのときに使おうと思います。

＜おまけのひとこと＞
　今日、明日あたりでカウンタが[222222]になりそうです。

9月27日(火)　点列の収束

　先週の金曜日のひとことで、e-教室というサイトにあった、連分数に関する問題を紹介させていただいたところ、「e-教室」を主宰されている国立情報学研究所の新井紀子先生から、「類題」として次のような問題を教えていただきました。

問 1

　問1：この「無限に続くルート」の値は何でしょう？

問 2

　問2：それでは、こちらの「無限に続くルート」の値はどうなるでしょう？

　ヒント、になるかどうかわかりませんが、先日の連分数の問題も含めて「とりあえず実験してみるとしたら」、お手元のたとえば電卓で、こういった無限に続く計算の行き着く先を予想するにはどうしたらいいでしょうか。　もうちょっと高級な、Excelのような表計算ソフトを使ってもいいですけれども。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　この問題に関しては、ろくはロッパの…で、簡潔で的確なヒントとコメントをいただきました。ありがとうございます。また、λx.x(λx)'(tELL Diary)という日記でもコメントいただきました。ありがとうございます。

9月28日(水)　あそびのコラム 36

　このところ忙しくて、帰りが遅いのです。　ホームページ更新のための話題のストックがまた徐々に減ってきています。今日はそんなストックの中から、久々に「あそびのコラム」の更新です。「嘘を見抜く」というコラムを追加しました。

＜おまけのひとこと＞
　昨日の話のつづき、いろいろと面白い方向に発展しそうなのですが、図などを用意する時間がとれません。また、メールの御返事が遅れていて、申し訳ありません。

9月29日(木)　二人ゲーム

　こんな二人ゲームをご存知ですか？　これ、まだご紹介したことはなかったかと思うのですが。こういったボードゲームに興味がある方ならば、ご存知である可能性が高いと思います。

図 1

　上から見下ろしたところ。これはプレーヤーの視点ではなくて、観戦者の視点からの写真です。二人の対戦者は、それぞれ写真の右と左にいます。

図 2

　視点を下げてみました。駒は白で、「おばけ」の形をしています。写真ではわかりにくいですが、背中には青か赤のマークが入っていて、これは対戦相手からは見えません。

　ルールを書く時間がとれないので、詳細はまた明日。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　また、中断している話題を増やしてしまっています。反省。

9月30日(金)　Geister

　昨日ご紹介したのは、“ガイスター”(Geister) という二人ゲームです。私は「bit」というコンピュータ雑誌でこのゲームのルールを知って、機会があったら買いたいと思っていたのですが、昨年ようやく手に入れました。　ちなみに、「bit」では“ゴースト”(Ghost) という名前で紹介されていて、コンピュータによるゲームのアルゴリズム選手権ということで紹介されていたものでした。ルールを書いておきます。

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【名　称】　ガイスター

【人　数】　２人

【ゲーム盤】　６×６マス (図 1)

【ゲームの駒】　「よいオバケ」8駒、「悪いオバケ」8駒の計16駒。プレーヤーはそれぞれ「よいオバケ」と「悪いオバケ」を4駒ずつ用いる。よいオバケと悪いオバケは、背中に小さなマークがあって、相手からはどちらなのか見分けられない。（自分はわかる。）駒は前後左右に1歩ずつ動ける。斜めには動けない。相手の駒がいるマスに入ると、相手の駒を「取る」ことができる。取った駒は再利用しない。自分の駒を、相手側の最下段の左右の端のマスから盤の外へ出すことができる。

【駒の初期位置】　図2のように、それぞれ自分の駒8個を、自分の手前側の中央の4列に2段並べる。「よいオバケ」と「悪いオバケ」をどのように配置するかは自由。

図 1		図 2

【勝利条件】　以下の３つのうち、いずれかの条件を満たしたプレーヤーの勝ち。

相手の「よいオバケ」を4個とも「取る」。

自分の「悪いオバケ」を4個とも「取らせる」。

自分の「よいオバケ」1個が、相手の最下段の左右の端のマスからゲーム盤の外へ出る。

　ゲームが少し進んだときの様子です。（うちの子供たちが対戦しているところです）

図 3

写真(再掲)

　ルールブックにはかかれていなかったと思うのですが（間違っていたらすみません）、「悪いオバケ」を自ら相手の最下段から盤の外へ出せるのか、がルール上よくわかりません。「A.出せない」という解釈と、「B.出すとそれは相手に取らせたことになる」という解釈と、「C.出せるがそれは相手に取らせたことにはならない」という解釈が可能かと思います。このあたりを雑誌「bit」ではどのように定義していたか忘れてしまいました。　ここのところの定義によって、ゲームの性質がかなり変わる気がします。ご存知の方は教えていただけたらと思います。

　「bit」という雑誌でこのゲームが紹介されたときには、これを麻雀パイで代用してやってみるとよいと書かれていました。「中」「白」「發」「一筒」の4種類のうち、2種類ずつを「よいオバケ」「悪いオバケ」ということにして、６×６マスを用意してやってみるのです。　それ以外でも外見が区別がつかなくて、背中に2種類のしるしをつけられるものであればなんでもよいと思います。

＜おまけのひとこと＞
　ときどき見に行くデイリーポータルZというページに、たこやき食べたかったという記事が出ていて、たいへん懐かしい、駒場の「みしま」というたこやき屋さんが紹介されていて、また行ってみたくなりました。最後に行ったのはもう何年、どころか二十年くらい前のことなんだということに気がつきました。