以前の「ひとこと」 ： 2024年3月後半
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3月16日(土) あやとり関係の話
3月も後半になりました。今日はあやとりの関係の話です。
雑誌「数学セミナー」に今月号から「あやとりの楽しみ」という連載記事を書かせていただいています。紐を思わせるページデザインやタイトルのフォントなど、感激しています。
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連載記事なのですが、できる限りその回の記事単独で楽しんでいただけるようにしたい、連載の以前の回を参照しなければご紹介しているあやとりを取る手順や表記法が理解できないということがないようにしたい、という方針です。また、「詳細はウェブサイトや動画などをご覧ください」ということも極力採用しないつもりです。頂いているページは2ページなのですが、言葉(日本語の自然言語)による説明だけで取り方の手順を記述し、完成形の写真もしくは図のみ掲載するということで省スペース化をはかっています。ただ、それを読み解いてあやとりを取ってみるというのは大部分の方にとっては馴染みのないことなので、果たして思惑通り実際に紐を手にしてあやとりを取ってみてくださる方がどのくらいいらっしゃるのかは不明です。図や文字をあまり小さくすることも避けたいですし、悩みどころです。それでもお一人でも多くの方に面白いと思っていただけるようにと考えています。
初回、あやとり紐の準備についてコラム的に書こうかとも思ったのですが、とてもスペースがありませんでした。そこはまあ適当に工夫していただく、ということにしてしまいました。ごめんなさい。
同じく今月号からの新連載に「輪ゴムで楽しむテンセグリティ」(藤田伸)があって楽しみなのですが、こちらの連載は表紙と本文1ページです。本文を1ページの収めるためにさぞかしご苦労されているのだろうなと想像しています。
この連載に関して、国際あやとり協会(日本)のサイトにご紹介いただきました。こちらです。本当にありがとうございます。特に1970年代以降、あやとり協会の会員の方々を中心に、現在に至るまですばらしい研究が発表され続けています。これらのなかのごく一部だけでもご紹介できると良いなと思っています。
あやとりといえば、こんな研究を見かけました。導電性あやとり紐を用いた形状変化する入力インタフェース(永山 晃誠、高田 崚介 2023)です。昨年11月のWISS 2023: 第31回インタラクティブシステムとソフトウェアに関するワークショップ で発表されたもののうようで、こちらのWISS 2023予稿集の [3-A08] に pdf ファイルがあります。
左右の親指・中指・小指に導電性の指輪をはめてそれを電極とし、導電性のあやとり紐を用いてあやとりを取ります。それぞれの指の間の糸のかかり方によって6本の指の電極間の抵抗値が変わります。あやとり紐のパターンの形状を観察したり指の動きを観察するのではなく、この6本の指の間の電気抵抗値を測定することで、あやとりの形状や手の形状やそれらの変化に関する何らかの情報が得られるのではないか、という研究です。
まず、こういうことを思いついて、導電性のあやとり紐や指にはめる電極や計測環境を準備して実際にいろいろやってみる、ということそのものが大変すばらしいと思うのです。この研究室では導電性繊維を用いた様々なユーザインタフェースの研究をされているようなので、その一環ということなのだとは思いますが、それでも普通この発想は出てこないと思います。あえて書きますが、意味のある情報が得られそうな気がしないのです。
仮に真っ暗闇の中で手探りであやとりを取ったとして、指の間の抵抗値の情報だけで狙い通りのあやとりが取れているか判別できるか、というとこれはなかなか興味深い問題です。（実用上の意味を考えてはダメです。）この計測方法では、絡みと交差の区別は（少なくとも静的には）むつかしいのではないかと思いますが、たとえば「はじめの構え」と「2本指の構え」「3本指の構え(中指の構え)」ならば明らかに抵抗値だけで区別できそうです。
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| はじめの構え | 2本指の構え | 3本指の構え |
たとえば「2本指の構え」で中央の交差を絡みにするとします。抵抗値は変わらない気がしますが（紐を円柱で近似して、紐の表面の接面積に比例して電気伝導率が上がる＝抵抗値が下がるならば区別が可能かもしれませんが）、左右の手を前後逆方向にひねると、交差の場合は中央で接することなく「ねじれ」の関係にできるかもしれません。摂動を加えることで発生する変化を観察すると、もう少し得られる情報が増えるかもしれません。
＜おまけのひとこと＞
こういうことを考えてみるのは楽しいです。
3月17日(日) ショパンのマズルカ
ピアノの話です。すみません、二日分まとめての更新です。
ここ数年、鍵盤楽器を演奏するときにはほとんどバッハしか弾かなかったのです。先月くらいから、久しぶりにショパンを弾いてみようかなと思って、マズルカを片っ端から弾いてみています。相変わらず暗譜ができなくてしかも練習しないので早いパッセージは弾けません。マズルカは、単に楽譜に指定された鍵盤を叩くという意味では高度なテクニックが無くても弾ける曲が多いのです。ただし曲として仕上げるのはとても難易度が高いです。誰かに聴いてもらうことは無いので自分の楽しみのためだけに弾いていますが、昔はよくわかっていなかった曲の構造、調性や和声の変化、旋律の工夫などがわかるようになってきて、感動しながら楽譜を音にして曲を追いかけています。
いい曲がたくさんあります。例えばop.30-2、これは旋律は単純なパターンを繰り返すのですが、和声が極めて巧みに付けられていて感動的です。特に好きなのが下の譜例の部分です。
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この8小節、右手の旋律は基本的には全く同じ2小節を4回繰り返します。（実際には若干装飾が加えられていますが、説明のために単純化しています。）もともとの調はロ短調(h-moll)ですが、装飾音のソの音にシャープが付いているので、ここでは属調の嬰ヘ短調になっています。装飾音符だけで転調していることがわかるというのが良いです。右手の旋律が4回の繰り返す間、左手の和声は4回とも異なる和音を鳴らします。最初の2小節は嬰ヘ短調、次の2小節は並行調の長調のイ長調、3回目は前半だけ単調に戻って後半は長調、最後の4回目は長調ですが違う和声を使って、そして最後の1拍だけ短調を予感させる五度の和音になります。
毎回違う和音を用いているのですが、それが特別に凝ったものではなくてごく自然な和音しか使っていないのです。なのにこれほど情感をたたえた音楽になっているのが素晴らしいです。
こういう「すごい！」と思えるところがそれぞれの曲にたくさんあって、本当に面白いのです。Youtubeに Chopin - 51 Mazurkas (Audio+Sheet) [Rubinstein, 1938-39]という動画があって、楽譜が表示されながら演奏を聴くことができます。古い演奏ですが… 上記の曲は大体冒頭から40分くらいのところから始まります。自分で弾くときはもっとゆっくり弾きます。速く演奏する技術が無いだけなのですが、でもゆっくり弾くと曲の構造がよくわかって楽しいのです。
＜おまけのひとこと＞
この週末もいろいろ原稿を書いたりしていて、あまり時間がありませんでした。
3月18日(月) 正四面体の展開図
図形の話です。
正三角形の面を4つ持つ正四面体は、プラトンの5つの正多面体のうちでもっともシンプルなものです。
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この正四面体は展開図が2種類だけあることが知られています。
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多面体の展開図というと、通常は1つの面は分割されず、稜に沿ってのみ切り開くことが前提となります。多面体を構成する面が稜で連結されたひとつながりの平面図形になるのが展開図です。
この「面は分割されない」という条件を緩和して、面を複数に切り分けても良いことにします。正四面体をどのように切り開いたとしても、そうして得られた展開図は平面を充填することが知られています。
正四面体を切り開いて、下の図のような頂角が120°の鈍角二等辺三角形にすることはできるでしょうか？
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逆に言うと、上記の鈍角二等辺三角形を折り曲げて正四面体を作れるでしょうか？ 実際にその辺りにある紙を使ってこの鈍角二等辺三角形を切り出して、折り曲げてみてください。
＜おまけのひとこと＞
簡単すぎるでしょうか。
3月19日(火) 正四面体の展開図(その2)
図形の話です。
昨日のこの二等辺三角形を折り曲げて正四面体を作る話ですが、
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こんな風に折るのです。
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CGにしてみました。
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いかがでしょうか。イメージが湧きますか。今日はこのCGを作ったら時間切れになってしまいました。
水さえあれば永久に動き続ける「水飲み鳥」で発電するシステムが登場、わずか100mlの水で50時間稼働で最大100ボルトの電圧も というGigazineの記事がありました。元論文はこちらのDrinking-bird-enabled triboelectric hydrovoltaic generator(Hao Wu, et al. 2024) です。中国の南華工科大学の研究だそうです。こういう研究ができて、それを発表できるというのは素晴らしいことです。
＜おまけのひとこと＞
勤務先で、4月1日からの新しい組織の体制が発表されました。昔一緒に仕事をしたことのある若い方（といっても会社には私より若くない方はほとんど居ませんが）数名にお祝いと期待のメッセージを送りました。それぞれの方らしいお返事が返ってきて、こういう人たちがいる間は、うちの会社もまだ大丈夫かもしれないな、と思ってうれしくなりました。
3月20日(水) 三角形を折り曲げて四面体を作る
図形の話のつづきです。
任意の三角形の各辺の中点を結ぶと、元の三角形と相似かたちの合同な４つの三角形に分割することができます。これが鋭角三角形の場合、このかたちを展開図として、合同な４つの三角形の面を持つ四面体を作ることができます。
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同じことを直角三角形でやると、四面体の高さがゼロになってしまって、平らな長方形2枚が重なったかたちになってしまいます。さらに、鈍角三角形だとうまくいきません。
ところが昨日見たように、鈍角三角形の場合には、最長の辺を合わせた平行四辺形を考えて、もう片方の対角線で分割した鋭角三角形を４つの面とする四面体を作ることができるのです。
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このテクニックを直角三角形に適用すれば立体にできるかも？ と一瞬だけ思ったのですが、直角三角形の場合は最長の辺(斜辺)を合わせた平行四辺形は長方形になりますから、もう片方の対角線で分割しても鋭角三角形にならないため立体になりません。
あれ、でもこの方法は任意の鈍角三角形に適用できるわけではないですね…
脚の先端が球状に加工されている椅子を使っているのですが、床面と点接触しているため、床のフローリングにへこみができてしまうのです。それを避けるために椅子の脚用のカバー（ソックス）をはかせています。
最近、ゴムが劣化してきたようで持ち上げるとソックスが外れて残ってしまうのです。タコ糸で縛ってみました。
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もうちょっと太い紐で装飾結びとかにしようかなと思ったのですが、目立たないほうが良いだろうということでタコ糸にしました。余長は残して、何かの時に縛り直すことができるようにしました。紐は便利です。
＜おまけのひとこと＞
朝起きたらしっかり雪が積もっていました。10時過ぎくらいに隣家の雪かきの音が聞こえてきたので、運動を兼ねて雪かきに出ました。今年は春先の雪が多くて驚きます。夏はすごく暑くなるのだろうか、と今から心配です。
3月21日(木) 不等辺鋭角三角形による等面多面体(その1)
等面多面体の話です。
鈍角三角形を四面体の展開図だとみなして折り曲げて等面多面体を作ってみたのをきっかけに、3辺の長さがすべて異なる鋭角三角形の等面多面体を作ってみたくなりました。まずは四面体を作りました。
「適当な不等辺鋭角三角形」を描くのは意外とむつかしいものです。展開図を作図するとき、きれいな有理数比の角度のほうが楽だなと思って、正三角形と直角二等辺三角形を重ねたこんな三角形を使うことにしました。
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こんな展開図を用意して、同じものを複数個作ってみました。
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同じ向きで並べて写真を撮ってみました(写真はクリックで拡大します)。
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各面は合同な不等辺三角形なのですけれども、あまりそうは思えません。なんとなく側面が二等辺三角形の角錐のようにも見えます。
合同な四面体を複数個作って気が付いたのですが、2つの四面体の面をぴったり合わせることができません。これは当然で、面を構成する不等辺三角形が鏡像対称性を持たないからです。改めて、展開図をひっくり返した型紙を用意して、鏡像対称な四面体も作ってみました。
下の写真(クリックで拡大)の２つ、濃い影ができているのが鏡像対称な四面体のペアです。その向こう側に４つ、今度は様々な姿勢にしてみた四面体がありますが、これはすべて合同です。つまりこの写鏡像対掌体いる6つの四面体のうち、手前の2つのうちどちらかだけが鏡像対称体で、残りの5つがすべて合同なのです。（正確には、手前の２つは若干寸法が大きいです。）
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手前の２つのうち、どちらが「仲間外れ」「特別な存在」なのかわかりますか？ 真剣に考えていただきたいわけではなくて、見分けるのがむつかしいということを実感していただければ十分です。
四面体2つの面を合わせてみたかったのは、この不等辺三角形6枚で凸多面体が作れないか試してみたかったのです。できると思いますか？
＜おまけのひとこと＞
最近、お湯を沸かしているときとか乾麺をゆでているときとかホットサンドを焼いているときとか、数分間の時間にスロースクワットをしています。おそらく気休め程度の効果しかないのだろうとは思うのですが、それでもやらないよりはましかなと思っています。
3月22日(金) 不等辺鋭角三角形による等面多面体(その2)
等面多面体の話です。
不等辺鋭角三角形の各辺の中点を結んで四等分したものを折り曲げると、もとの三角形と相似な面を持つ等面四面体ができました。
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できた等面四面体も、各稜の中点を結んで、全体と相似な等面四面体４つを切り取ることを考えます。
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この四面体の各稜の中点を結んで
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４つの合同な等面四面体を切り取ると
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同じ不等辺鋭角三角形の面だけから成る等面八面体ができるはずです。
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この模型も作ってみたくなりました。展開図を考えてみます。
そもそも、この不等辺鋭角三角形4枚から成る等面四面体は何種類できるでしょうか？ このかたちは鏡像対称性を持たないので（キラル）、鏡像対称体をべつなかたちだとするならば、合同なものと鏡像なものと2種類のかたちがあることになります。でもそれ以外の組合せ方はありません。
同じ不等辺鋭角三角形を使って凸八面体を作ろうとしたら、複数の形が考えられるでしょうか？ いくつか考えてみました。
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上でご紹介した、二倍体の等面四面体から４つの四面体を切り取って残る八面体は、上記の展開図のA,B,Cのどれでしょうか？ これらは違うかたちになるでしょうか？ ちゃんと面が平面の、通常の意味での多面体になるでしょうか？
東京の有明、国際展示場のすぐ近くにあるパナソニックセンター東京が2024年12月25日で閉館するのだそうです。グループショウルームの一部機能を東京・汐留に移転というプレスリリースがありました。以前、何度もワークショップを担当させていただいていたご縁で、メールでお知らせいただきました。
パナソニックセンター東京にリスーピアが開設されたのが2006年で、それ以来毎年1〜2回のワークショップを担当させていただいておりました。コロナ禍で中断し、そのまま再度担当させていただく機会がないまま今日に至りました。このような活動を続けてこられたということは企業として本当に素晴らしい社会貢献活動をして下さっていたと思います。ありがとうございました。
＜おまけのひとこと＞
お彼岸の中日も過ぎたというのに、寒いです。
3月23日(土) 不等辺鋭角三角形による等面八面体
等面八面体を比べる話です。
昨日、不等辺鋭角三角形8枚による等面八面体の展開図を３つご紹介しました。まずはそれを組み立ててみた写真を載せたいと思います。
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３つの写真の八面体の位置は、昨日の展開図の位置と同じです。奥がA, 手前左の緑のものがB, 手前右がCの展開図から組み立てました。この３つ、何が違うかというと「鏡像面」のつながり具合が違うのです。
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展開図Bは、どの面に注目しても隣接する面はすべて鏡像になっています。Aは3辺のうち最も長い辺だけは鏡像面ではなく合同な三角形と接しています。Cは最も短い辺だけが合同な三角形と接します。（もう１つ、残った中間の長さの辺だけが合同な三角形と接するパターンがありますが、それは作っていません。）
それぞれの八面体の向きを少し変えてみました。
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この多面体の違いや面白さは、1枚の写真からは伝わらないと思うのですが、それぞれ、ちょっと特別な視点から見てみます。最初に最も整った対称性を持つ展開図Bの八面体です。これは向かい合う頂点を結ぶ対角線が直交していて、三次元版のひし形ともいうべきかたちです。
どの対角線の方向から見てもひし形に見えます。
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展開図Aから作った多面体は、上の多面体を一番長い辺どうしが接している稜で二等分して、それを90°回転してつなぎ直したかたちをしています。その結果その等辺四角形は平面を保つことができずに折れ曲がりますが、その面に直交する方向から見ると正方形に見えるのです（下図左）。別方向から見ると凧型に見えます。
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展開図Cの八面体は細長くて、一見展開図Bの八面体に似ていますが、下図のように正方形に見える方向があります。
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同じ三角形8枚で、こんな風に違った多面体が組めるというのが面白いと思うのです。（奥行きがあるので写真のピントの位置がおかしいものがあるのが残念ですが、撮り直すのも大変なのでこのまま載せます。）
不等辺鋭角三角形による等面多面体、もっと面の数を増やしてみることにしました。
今朝もまた雪です。朝6時くらいに外を見たときには何も降っておらず、積もってもいませんでした。この画像でも雪が見えるくらいしっかり降っています。
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犬のお散歩の人が家の前の道を通って行ったようです。人と犬の足跡が見えます。
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マンホールのふたは周囲の地面より温度が高いようで、いつも雪が積もらずに溶けます。中を流れている生活排水の排熱のせいだと思います。
＜おまけのひとこと＞
お休みの日に雪が降るのは嫌いではありません。インドア派なので、家に閉じこもって何かをしているのが大好きです。それにしても今シーズンは雪が多いです。こんなに頻繁に雪が降る（そして積もる）年は記憶にありません。
3月24日(日) 不等辺鋭角三角形による等面八面体と等面四面体による二倍体
等面八面体と当面四面体です。
せっかくなので、不等辺鋭角三角形の二倍体を作ってみることにしました。先日のこのCGです。
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四面体を３つ並べて、
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間に八面体を入れて、3つ目の四面体を載せます。
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面を揃えます。
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妻が上の二倍体モデルをやってみてくれて、「昔あなたにあげた石のパズルを思い出した」と言ってくれました。2002年10月10日のひとことに載せていました。
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この日はちょうど結婚10周年だったのでした。このパズルは今でもだいじに飾ってあります。
昨日、午後になって雪がやんで日が照ってきたので、家の前の雪かきに出ました。たぶん放っておいても大丈夫だろうとは思ったのですが、溶け残った雪が翌朝に凍ると厄介なので、道路だけでもやっておこうと思ったのです。自分の車の向こう側に足跡がありました。なんでわざわざ雪の中を…と思って見上げてみると、
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隣の家の給湯器のひさしの上に猫がいました。
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給湯器の発熱であたたかいのでしょうか。
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すぐそばで私が雪かきをしていても、ちらっと一瞥しただけでまた向こうを向いてしまいました。耳だけはこちらを向いています。あんまり人間を信用してひどい目に合わないといいなと思います。
＜おまけのひとこと＞
大相撲春場所は今日は千秋楽ですが、御嶽海が昨日ようやく勝ち越してくれてほっとしました。中日8日目に6勝2敗になったときは、このままがんばって優勝争いに加わってくれたら…とはかない望みを抱いたのですが、そこはやっぱり御嶽海、最後まで勝ち越せるかはらはらさせてくれました。勝敗が気になる力士がいる、というのは楽しみです。
3月25日(月) 不等辺鋭角三角形による等面十二面体(その1)
等面多面体の話です。
不等辺鋭角三角形の等面多面体、十二面体を作ってみました。双六角錐のようなかたちです。展開図はこんなものを用意しました。
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一般的な視点から見たところです。半分の6つの面が見えています。
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六角錐を真上から見てみました。この方向から見たシルエットは等辺六角形になります。ただし円には内接しません。シルエットの六角形の6つの頂点を1つおきに結ぶと正三角形ができますが、その大きさが違います。
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上の写真とは直交する方向、この多面体を真横から見てみました。
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もしこれが正三角形だとすると、真っ平な正六角形が2枚になってしまって立体になりません。逆に、不等辺鋭角三角形の最も小さな角をどんどん小さくしてゆけば、この双角錐の面の数はいくらでも増やすことができます。
＜おまけのひとこと＞
昨夜、午前2時前くらいに近くの大きな道を救急自動車が盛大にサイレンを鳴らして走って行きました。その後、午前3時すぎくらいから強い雨が降っていました。やけに外の音が聞こえるなと思ったら、二重窓の内側の窓が開けっぱなしでした。昨日は気温が高かったので、部屋を掃除したりして窓を開けていたのですが、閉め忘れました。
3月26日(火) 不等辺鋭角三角形による等面十二面体(その2)
等面多面体の話です。明日の朝は忙しいので、今日まとめて２日分書いてしまいます。
昨日の等面十二面体は六角錐を２つ合わせたようなかたちでしたが、それを三角形１つ分ずらしてみました。今日のものを左に、昨日のものを右に並べて載せてみます。今日のものはクリーム色、昨日のものはピンク色です。
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見えている６枚の三角形のつながり具合は同じなのですが、二面角が違います。
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今日のものは回転対称軸方向から見るとシルエットは正六角形になっています。
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一方、横から見ると水平面で分割はできず、２つの六角錐構造のつなぎ目はジグザグになっています。凧型による双反角錐のようなかたちです。
仕事先で知り合った方から、こんな「おみやげ」を頂いたのです。
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ハバネロマンipaというクラフトビールです。辛いのですがとてもおいしいです。
王冠がまた良いです。
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「長野県の方に長野県のビールを差し上げるのもなんですが(笑)」というコメントと共にいただいたのです。幸い、この存在を知りませんでした。これは素晴らしいです。辛い物が好きな方で、辛い物が合うお料理と一緒に飲むと良いと思いました。ちょっと甘みを感じる、味そのものも好みです。ごちそうさまでした。
＜おまけのひとこと＞
双反角錐の図を用意したかったのですが、時間がありませんでした。
3月27日(水) コースター、あやとり
久しぶりにあやとりのご紹介です。ただ、手順は研究中なので完成形のみです。
先日、こんなコースターを入手したという話を書きました。
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| コースター |
これを眺めていたら、なんとなく正三角形に見えるところがあるのに気が付きました。その部分を重ねて比べてみました。
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かなりきれいに重なります。
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なんとなく面白いなと思いました。
こんなあやとりができたのです。
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| 孤独な嵐の雲 |
「嵐の雲」という素晴らしいナバホの伝承作品があります。
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| 嵐の雲 |
これはどんどん雲を増やしてゆくことができるのですが、どんどん人差し指に糸が巻き付いて、つらくなってくるのです。また、手から外して形を整えるのがむつかしいです。今回できたあやとりを「孤独な嵐の雲」と呼んでみました。これを孤独ではないように増やしたいのですが、よい方法が見つかっていません。
＜おまけのひとこと＞
遅くなってしまいました。急がないと…
3月28日(木) カードゲーム「ベガー・マイ・ネイバー(すかんぴん)」(その1)
トランプによるカードゲームのご紹介です。
トランプを用いたカードゲームのご紹介です。“Beggar My Neighbour” という名前で、昔から知られている伝承ゲームのようです。いくつか別名があるようですが、いずれも「身ぐるみをはがす」とか「ぜんぶ奪い取る」のような意味のきつい言い回しの名前が付いているようです。完全に運だけで決まるゲームです。日本には百人一首の読み札を使った「ぼうずめくり」というゲームがありますが、「ぼうずめくり」がスリリングなのと同じように、この「ベガー・マイ・ネイバー」（長いので以下は BMN と書きます）も盛り上がるゲームのようです。
カードは通常の一組52枚を用います。A,K,Q,J の４種類が特殊カードで効果を持ちます。二人で対戦するゲームです。自分の山からカードを１枚ずつめくって場に出して、ある条件を満たしたときに場のカードすべてをもらって自分の山の下に入れる、という操作を繰り返して、相手の山のカードを無くしてしまったら勝ち、というゲームです。カードを１枚ずつ出し合って強いカードを出した側がそのターンの２枚をもらえる、という「戦争」というシンプルなゲームがありますが、このゲームにアレンジを加えたものになっています。「戦争」はなかなか終わらなくて盛り上がりに欠けますが、このBMNはカードのやりとりがもっとダイナミックです。「ぼうずめくり」のような、最後に大逆転といったことは起こりにくいですが、カードをまとめて取れるということがしばしばあります。通常10分程度で終わるゲームのようです。
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カードはシャッフルして２つに分けて伏せて２山にします。それぞれの山が自分の持ち札になります。先手・後手を決めます。それぞれA、Bとします。
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最初にAが自分の山の一番上のカードをめくって表にして場に出します。ダイヤの3でした。続いてBも自分の山の一番上のカードを出します。クラブ5でした。
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特殊カードが出ないので、交互に１枚ずつカードをめくって出していきます。
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次はAはスペード2、Bはクラブ7でした。続けます。
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Aの3枚目はハート10、Bの3枚目に特殊カードのキングが出てきました。相手にキングを出されたので、Aは3枚、自分の山から出さなければなりません。
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Aが出したカードはスペード9、ハート6、クラブ6でした。いずれも特殊カードではなかったので、この段階で場に出された9枚のカードはすべてプレーヤーBのものになります。
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Bは場のカードの順番を変えずにカードを揃えて、ひっくり返して自分の山の一番下に入れます。これで一区切りです。次はカードを取ったBから新たにプレイを始めます。
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さきほど、プレーヤーBが特殊カード「クラブK」を出したとき、プレーヤーAが出した3枚のカードには特殊カードが含まれていませんでした。もし、強制されて出している途中で特殊カードが出てきたら、その時点で強制の効果はリセットされ、今度は相手が強制的にカードをプレイしなければならなくなります。例えばAが出した3枚目が上の図のようにダイヤQだったとしましょう。そうするとプレーヤーBがこの場の山をもらえる権利は無くなって、今度はプレーヤーAが権利を持つことになります。
特殊カードQは相手に2枚のカードを強制するので、プレーヤーBが2枚のカードを出します。
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プレーヤーBの出したのはクラブ9とクラブ8でした。この段階で場に出されている11枚はすべてAのものになりました。
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Aは、カードを揃えて自分の山の下に入れます。次はAが新たにプレイを始めます。
以上のように、「最後にプレイされた特殊カードによって強制されたカードを出して、その中に特殊カードが無い場合のみ、場にプレイされたカードの山をすべてもらえる」というのがカードを増やす唯一の手段です。勝利条件は、「相手がカードを出すべき時に、カードが一枚も無い」ならば勝利です。「自分の山札がゼロになった瞬間」が負けなわけではないところにご注意ください。たとえば、相手がKを出して自分が3枚プレイしなければいけないのに自分の山には2枚しか残っていないとします。2枚目を出したときにそれがA(エース)だったら、そこで強制プレイはリセットされます。その時自分の山にはカードは1枚もありません。でもそれは「負け」が確定したわけではなくて、今度が相手が4枚プレイしなければならなくなります。その4枚がすべて通常カードだったら（特殊カードがなければ）、場に出された全てのカードをもらえるので、自分の山は復活するのです。その4枚の中に1枚でも特殊カードがあったら、その時点で負けが確定します。
松本で朝散歩と老舗喫茶モーニングという記事があって、興味深く読みました。カプセルホテルのMマツモトは2回ほど利用したことがあります。喫茶店「まるも」はおすすめです。以前行ったときにお店のマッチを頂いてきました。
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いまどきマッチをもらえる喫茶店は珍しいのではないかと思います。私はたばこは吸いませんが、マッチで点火する石油ストーブを愛用しているので、一冬でマッチの小箱は5〜6箱消費します。
＜おまけのひとこと＞
今日は多面体の話ではなく、カードゲームの話にしました。
3月29日(金) カードゲーム「ベガー・マイ・ネイバー(すかんぴん)」(その2)
トランプによるカードゲームのご紹介のつづきです。
昨日、Beggar My Neighbour(ベガー・マイ・ネイバー) という二人用のカードゲームのご紹介をしました。このゲーム、実際にやってみるとあっけなくあっさり終わってしまうこともあれば、自分の山のカードがほとんどなくなった状態から大逆転勝利、ということもあります。（昨日ひとりで3ゲームくらいやってみたのですが、そのうち1回は「残り2枚」まで追い詰められた側が最後には勝ちました。左右にカードの山を置いて、「左手さん」対「右手さん」の戦いをやりました。プログラムを書いて観察しようかとも思ったのですが、手っ取り早く実物で試しました。）
このゲーム、勝負がつかない（＝終了しない）ことはあるのだろうか？ という問いがあるのだそうです。たとえば、1セット52枚ではなくて、もっとカードを減らしてみましょう。プレーヤーAとBはそれぞれ3枚ずつカードを持つとします。Aの特殊カードはJが1枚目（山の一番上のカード）、Bの特殊カードはJが2枚目で、残りの2枚ずつは通常カードだとします。これを A={J,-,-} B={-,J,-} と表記することにします。それぞれ一番左が山の1枚目で、通常カードはなんでも同じなので - で表現します。Aが先手です。
実際のプレイをイメージして、このミニゲームを可視化してみました。便宜上自分の山のカードは表向きにしていますが、実際は裏向きです。
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| 図 1 |
| A={J,-,-} / B={-,J,-} ↓ A={-,-,J,-} / B={J,-} |
AがJackを出して、場のカードを取る権利を持ちました。Bは通常カードを出したので、この2枚はAのものになって、Aの山の一番下に順番を崩さずに入れられました。この回はAの勝利です。
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| 図 2 |
| A={-,-,J,-} / B={J,-} ↓ A={J,-} / B={-,-,J,-} |
次の回もAからです。Aが通常カード、BがJackを出し、ここでBが場のカードを取る権利を持ちました。次にAが出したのは通常カードなので、場の3枚はBのものになりました。このターンでAとBの手が入れ替わっているのがわかります。もちろん手番も入れ替わっています。なので、このゲームは終わりません。
もう少し続けてみます。
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| 図 3 |
| A={J,-} / B={-,-,J,-} ↓ A={-,-,J,-} / B={J,-} |
さらに続けてみます。
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| 図 4 |
| A={-,-,J,-} / B={J,-} ↓ A={J,-} / B={-,-,J,-} |
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| 図 5 |
| A={J,-} / B={-,-,J,-} ↓ A={-,-,J,-} / B={J,-} |
手の構造はすぐに同じになりましたが、カードの組合せが再現するのはここまでかかりました。図5から図2になって、あとはずっと繰り返されます。
少なくともミニゲームなら「終わらないゲーム」が成立することがわかりましたが、1セット52枚を26枚ずつに分けたときに「終わらないゲーム」は存在するのでしょうか？ 計算機でランダムにシャッフルして探索しても見つからなかったのだそうです。それが最近見つかった、という論文があったのです。
逆に、最もはやく終わるゲームについて考えてみます。26枚ずつに分けたとき、片方の山に「特殊カード(A,K,Q,J)」が1枚もなければ、カードは全部取られて終わりです。それはあまりにも不公平なので、片方の山には黒のカード26枚（スペードとクラブのカード13枚ずつ）、もう片方の山には赤のカード26枚（すべてのハートとダイヤのカード）があるとします。このとき、片方が一度も勝てずに終わることはあるでしょうか？
＜おまけのひとこと＞
雨が降っています。昨夜は風と雨が強かったです。
3月30日(土) カードゲーム「ベガー・マイ・ネイバー(すかんぴん)」(その3)
トランプによるカードゲームのご紹介のつづきです。
一昨日から“Beggar My Neighbour”(ベガー・マイ・ネイバー)という二人対戦用のトランプゲームをご紹介しています。裏向きに積まれた自分の山札からカードを１枚ずつ場札の山に表向きに積んでいって、ある条件が成立したときに場の山札をすべてもらって自分の山札の下に入れる、という操作を繰り返して、どちらかの山札がなくなってカードが出せなくなったら負け、というゲームです。詳しくは一昨日のひとことをご覧ください。
このゲーム、勝負がつくまでに時間がかかることもあれば、短時間にあっさり終わることもあります。ゲームの最初に山札が配られた段階でどちらが勝つかは決まっており、運の要素だけで勝負が決まります。通常のトランプ一組52枚をふた山に分けてプレイするとき、永遠に勝負がつかないようなパターンはあるか？ という問いがあるのだそうです。あのJ.H.コンウェイが、この問題を「反ヒルベルト問題」と呼んだことがあるのだそうです。ヒルベルト問題というのは、1900年8月8日にヒルベルトが国際数学者会議で提示したという23の数学の問題で、20世紀に研究されるべき問題として発表されたものです。コンウェイはこのBeggar My Neighbourが終わらないパターンがあるか？という問題を、難問だが、もしこの問題が解けても数学の進歩に何ら貢献しないので真剣に取り組むべきではない、というジョークのような意味を込めて「反ヒルベルト問題」と呼んだのだと思います。
ところが、コンウェイのありがたい助言にもかかわらず、この問題に挑戦する人たちがいたのでした。先週、A Non-Terminating Game of Beggar-My-Neighbor(Brayden Casella, et.al 2024) （終わらないBeggar-My-Neighbour）という論文がarXivで公開されました。一昨日からこのゲームをご紹介したのはこの論文を読んだことがきっかけです。52枚一組のトランプで、終了しない＝前と同じ状態が現れて周期的になるゲームが見つかったのです。
この論文では、冒頭にこのゲームで終了までにどれだけ長くプレイされたか（トリック数）を指標にしたコンテストが1991年に開催されたこと、この話を聞いたコンウェイが優勝者に100ドルの賞金を提供したことが語られています。このときに、参加者は合計おそらく1,000億回のゲームを調べて、最長713トリックのゲームが見つかったのだそうです。
このゲームの探索空間は非常に広いので、全てのパターンを調べることは現実的ではありません。この論文では、逆方向のプレイを調べる方法（必ずしも決定論的ではありません）や、カードの枚数が少ない周期的なゲームを調べ、そこからどのようにして終了しないゲームを見つけたかが述べられています。とても面白いです。（昨日ご紹介した J--/-J- という最短の周期的なゲームは、この論文で紹介されていたものです。）
こうして見つかった周期解はこちらだそうです。
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Player1が先手で、4トリック（場に出された山がどちらもののか決着するのが１トリックです）経過後、周期62のトリックが繰り返されるのだそうです。繰り返しの最初の状態は下のようになるそうです。
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非常に面白い論文でした。最近は自動翻訳もだいぶ読みやすくなりました。
最短のゲーム、つまり全てのトリックをPlayer1が取ってしまうゲームというのは簡単に構築できます。お互い、特殊カードA,K,Q,Jを２枚ずつ、合計8枚持っていたとします。
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だとすると、Player1から始めると、最後の特殊カードを出すのはPlayer1ですから、それまでの場のカードをすべてPlayer1が取ることになります。あとはPlayer2の手には特殊カードはありませんから、Player2がカードを増やす手段はありません。
昨日の午前中は強い雨が降っていました。ヒヨドリが庭の木に来ていました。
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| ヒヨドリ |
＜おまけのひとこと＞
いろいろやっていたら更新がお昼になってしまいました。
3月31日(日) カードゲーム「ベガー・マイ・ネイバー(すかんぴん)」(その4)
トランプによるカードゲームのご紹介のおまけです。
明日から4月、新年度です。本や模型やパズルをしまっている、作り付けの棚を造作した部屋がものすごく散らかっているので、一念発起して片付けました。いろいろと忘れていたものが出てきたのですが、その中にCollins Little Books - Card Games: Games for all agesという本がありました。東京に出張に行ったとき、新宿のサザンテラス口のタカシマヤ南館6階の紀伊國屋書店の洋書専門店で買ったものです。税込みで1,176円でした。2018年に出版された本なので、そんなに古いものではありません。
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ああそういえばこんな本も買っていたなあと思って目次を見てびっくりしました。このところご紹介している “Beggar my neighbour” が載っているのです。
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ルールを改めて読んでみてびっくりしました。ゲームの目的(Aim) には “To win all the cards in an agreed time limit.” （制限時間内に全てのカードを勝ち取ること）と書かれています。なのに、勝利条件(Winning the game)には“The winner is the player who first goes out by using up all their cards. If nobody has gone out at the end of the time limit, the winner is the player with fewest cards.” (勝者は、最初に自分のカードを使い切ってゲームから抜けた人です。もし制限時間内にだれもゲームから抜けられなければ、その時点でカードの枚数が一番少ない人が勝ちです。) と書かれているのです。
改めてwebでルールを検索してみても、ゲームの名称が示す通り、カードを奪い取ることが目的のゲームだと思うのです。 組合せゲームでは、勝利条件を真逆にして遊ぶということはしばしば行われます。たとえばニムという二人ゲームがあります。石がいくつかの山に分けて置かれていて、プレーヤーは交互にどれか１つの山から好きなだけ石を取って行って、最後の１つを取った人が勝ち、というのが典型的なルールですが、最後の１つを取らされた人が負け、という変形ルールもあります。カードゲームでも、目的のカードをできるだけ集めたほうが勝ち、というものもあれば、指定のカードをたくさん取らされた人が負け、というものもあります。
この本、列車で移動中に読むのには向いていると思って買ったのです。英語なので読むのに時間がかかりますし、でもゲームの話なのである程度内容は想像ができますし、カードのイラストも美しいです。他にもなじみのないカードゲームが紹介されているので、しばらく出張のときに持ち歩こうかなと思いました。
【長野県】長野県民が愛して止まないローカルグルメ「あんかけ焼きそば」厳選3選！という地元の記事があって興味深く読みました。上田の「福昇亭」の焼きそばの大ファンなのですが、その流れをくむという「開花亭」というお店が紹介されていて、今度行ってみたいと思いました。ただ、開店時間が11:30〜14:00で、日曜日がお休みだそうです。ちょっとハードルが高いです。
＜おまけのひとこと＞
部屋を片付けながら、「いつかもう一度読むかも、参照するかも」と思って持っている本、そろそろ減らしてもいいかなあと思い始めました。