以前の「ひとこと」2025年4月後半

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4月16日(水)　あやとりで正十二面体

　4月後半です。今朝はちょっと寒いです。

○

　4月12日に発売になった　「数学セミナー」2025年5月号　に、シシドユキオさんの正十二面体をご紹介したのです。

　記事では完成写真は大きくは載せられなかったので、ここで少しご紹介をしたいと思います。下の2枚の画像は、かなりがんばって正十二面体に近いかたちになるように調整を試みたものです。写真の下には、見る方向をおおよそ合わせた正十二面体のCGを置いてみました。

　あやとり写真のほうで、正十二面体のかたちがわかるでしょうか？

○

　このあやとり作品は、両手の合計10本の指すべてに1つずつ輪がかかっていて、その輪の両端が正十二面体の各頂点になっています。（正十二面体の頂点数は20です。）　なので、両手で取った状態で自分でかたちを整えるのはほぼ不可能です。（両手以外のものを利用してかなりがんばって調整はしました。）

　上記の写真はこんな環境を用意して、そこでじっくりかたちを整えて写真撮影をしています。

　この作品のすごさ、面白さが伝わるといいなあと思っています。

＜おまけのひとこと＞
　最近は社外とのリモート会議が増えて、わりと遅い時間まで仕事をしています。

4月17日(木)　シシドユキオさんのpolyhedron-IVa

　「数学セミナー」2025年5月号にシシドユキオさんの polyhedronシリーズ3作品の取り方を掲載しました。そのうち特にご紹介したかったのが正十二面体のかたちになるpolyhedron-Vaでした。昨日、このサイトに掲載するとともにX(twitter)にも画像を投稿してご紹介したのです(こちら)。そうしたら、私のXへの投稿のうちこれまでで最大の閲覧数になっていて、嬉しく思っています。

　今日はシシドさんの polyhedron-IVa の画像と図をご紹介します。

○

　正十二面体のかたちは5回回転対称形でしたが、polyhedron-IVa は4回回転対称形です。左右4本ずつの指に輪がかかり、各指から伸びる2本の糸が、多面体の２つの頂点をかたちづくります。これもデュプロブロックで固定して調整して写真を撮ってみました。

　上の写真と視点や向きをおおよそ合わせた図を作ってみました。

　こうやって回転するアニメーションを見ると、これがどんなかたちの多面体なのかイメージしやすいでしょうか。

　小さな正方形の面が２つ、角度が45°違いで向かい合っています。正方形の４辺には、それぞれ五角形が４枚つながっています。面の数が10、頂点の数が16、稜の数が24です。

○

　このあやとり作品を取ってみた写真です。

　立体なので、この写真１枚から、上のCGで表した多面体のかたちを連想するのは正直ちょっと無理があると思います。でも実物を自分で取ってみて、いろいろな方向から見てみるとこの多面体が確かに自分の両手の間にできていることがわかって感動的なのです。

　取り終わった後であやとりのかたちを自分で整えるのはかなり難しいので(私の場合は素足であぐらをかいて足の指を使ったり、口を使ったりします)、途中の手順の操作のときに最終形をイメージしながら「ここは強く引いておく」「ここは緩めにしておく」「この糸の掛かりの位置はこのあたりにしておく」といった工夫をしています。それでも上の写真程度にするのが今の私の技術では精一杯でした。

＜おまけのひとこと＞
　先日、車で会社から帰る途中、自宅近くの信号機で信号待ちをしたのですが、そのときにすぐ前にいた車が沖縄ナンバーだったのです。かなり新しいきれいな軽自動車でした。近所に公立大学があるのですが、そこの学生さんかなあと思いました。沖縄～四島のあいだのフェリーを調べると、いわゆるカーフェリーでドライバーも一緒に乗船していけるのは大阪（神戸）からと鹿児島からの航路があるようですが、車両輸送サービス（車だけを送る）ならば東京（有明）とか名古屋とかからも送れるのですね。若いころだったら楽しそうだなと思いました。

4月18日(金)　多面体模型を飾る

　2日まとめての更新です。

○

　1辺の長さが約9cmくらいの立方体のかたちの透明なケースを100円ショップで買いました。多面体模型をいれてみました。

　これだとホコリが付かないのでいいなと思います。

○

　17日～18日は出張で新橋に行きました。虎ノ門ヒルズのグラスロックにmagmabooksという本屋さんが新しくできたというので、打ち合わせが終わった後、19時半くらいにちょっとのぞいてきました。　本好きなら迷い込んでみよう！丸善ジュンク堂が仕掛ける新スタイル書店「magmabooks」の面白さ　という記事が参考になります。

　それぞれのコーナーごとに特色のある品揃えで、良い本が推されていて感心しました。閉店が20時だったので30分弱くらいしか滞在できなかったのですが、時間があればもっと心おきなく本を眺めたいところでした。

○

　17日(木)の13時に社外の方との重要な打ち合わせがあって、　東京ステーションホテルのラウンジカフェ　で１時間ほどお話をしました。3人でコーヒーやカフェオレを１杯ずついただいて6,200円でした。自腹を覚悟して行ったのですが、いったん私が立て替えて後で会社の儀礼接待費で費用処理させてもらえることになりました。(事後処理になるので却下されたらつらいなと思っています。)　東京駅丸の内南口改札を出てすぐのとても便利な立地なのに、静かでゆったりしたところでたっぷりとお話ができて良かったです。

＜おまけのひとこと＞
　そろそろ冬タイヤの交換をいつやるか決めないといけないです。

4月19日(土)　等辺多角形によるタイリング(その1)

　この週末は(この週末も)本業の仕事が忙しいです。

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　X(twitter)で「七角形だけでは平面のタイリングができない」という記述を見かけたのです。ブックマークとかをしていなかったので、見つからなくなってしまいました。これは「凸七角形だけでは平面のタイリングができない」の間違い(もしくは記載不足)だと思います。凸でない多角形でも良いのであれば、単一の七角形で平面を充填できるものを見つけるのは難しくないと思いました。

　すべての辺の長さが等しい等辺多角形に限定して考えてみることにします。まず、正多角形のうち、正三角形、正方形、正六角形だけが平面を充填できます。（そもそも三角形と四角形は任意のかたちのものが単独で平面を充填します。四角形の場合、凸でなくても大丈夫です。）

　五角形も、等辺五角形で平面を充填するかたちは存在します。（凸五角形も凸でない五角形も、等辺五角形で平面を充填するものがあります。）等辺七角形も、凸では無理ですが凸でない等辺七角形で平面を充填するものがあります。考えてみてください。

(つづく)

○

　昨日は東京駅18:45発（新宿駅19時発）の特急「あずさ」で帰りました。いつもなら新宿から2時間くらいで到着するのですが、昨夜は20:19ころに地震があった影響で113分遅れで最寄り駅に到着しました。（特急料金払い戻しになる2時間よりもわずかに早く到着しました。）甲府駅付近で職場の上司から珍しく電話がかかってきて、こんな時間に何だろうと思って電話に出たら、長野県が震源の震度5弱の地震が発生したので、緊急連絡網で安否確認をしているとのことでした。びっくりして「大丈夫です」と回答したのですが、実はそれからがけっこう大変でした。とはいえ、駅に停車している特急列車の中にいるだけなので、身体に負担がかかるということはなく、本を読んだり携帯端末を使ったりしながら約２時間を過ごしました。車内はずっと静かで、特にうるさいようなことも全くありませんでした。

　ここ数年は国内出張の頻度が高いのですが、中央西線で大雨で特急「しなの」で中津川駅に4時間半足止めになったのに次ぐ遅延時間でした。今回は地震の影響で安全確認を行ったため2時間の遅延でした。昨年だったか、朝の上りの特急「あずさ」で、中央線の人身事故の影響で1時間半くらい遅延したこともありました。また、これも昨年だったか、乗車した帰りの（下りの）特急「あずさ」が鹿と接触して緊急停止して安全確認のために40分くらいその場に停車したこともありました。また別のときに、先行列車が鹿と衝突したときには15分程度の遅延でした。

　安全に運行して下さるJRをはじめとする関係者の方々には本当に感謝しています。

＜おまけのひとこと＞
　23時半くらいに自宅に帰り着いて、そこからゆっくりとお酒を飲みました。

4月20日(日)　勤続表彰記念の時計

　日曜日なので軽い話題です。

○

　先日、多面体模型を透明なケースに入れてみたという写真をご紹介しましたが、2016年に勤続表彰記念にもらった時計、確か和菓子が入っていた容器をケースとして再利用しています。

　ちょっと大きくて重量のある時計なので、机の上に飾ってあります。

○

　週末、持ち帰りの仕事があるのですがはかどりません。つい机の回りの整理などを始めてしまって、そうしたら「積読」状態になっている本が発掘されてしまって、それを眺めたりしていたら半日くらい無駄にしてしまいました。

　坂田靖子の「水の片鱗　マクグラン画廊」が出てきて、読んでしまいました。こんなに良い話だったんだ、とあらためて感動しました。こんなことをしている場合ではないのですが。

＜おまけのひとこと＞
　暑かったり寒かったりがめまぐるしく切り替わって、体調がかんばしくありません。うすぼんやりと頭が痛い感じです。

4月21日(月)　封筒のゴミ箱

　先週折ったゴミ箱です。

○

　2016年5月に、封筒から折るゴミ箱をご紹介したことがありました。使っているとだんだん汚れたり傷んだりしてくるので、数か月～2年くらいごとに作り直しています。今回また四角反柱のゴミ箱を折りました。

　ぴしっと折れると気持ちがいいです。余った部分は外側に折り返してセロテープでとめています。底が厚くなって丈夫になって良いです。

＜おまけのひとこと＞
　月曜日のお昼休みに、2日分をまとめて簡単な更新です。

4月22日(火)　等辺多角形によるタイリング(その2)

　すみません忙しかったのと体調不良が重なって、4日分まとめてしまいました。

○

　先日、単一の等辺多角形で平面を充填するという問題を考え始めました。五角形はすぐに思い付きました。また、この五角形の２カ所に手を入れて、凸でない等辺七角形で平面を充填するパターンも思い浮かびました。

等辺五角形 (凸でない)等辺七角形

　これは、下の図のように、正方形と正三角形を組合せて（足したり引いたりして）作った図形です。

　この等辺七角形、他の並べ方ができないかなと思って少し試してみました。隙間を許すならばいろいろきれいな模様は作れそうです。

(つづく)

○

　国際あやとり協会の吉田さんが、「あやとりトピックス」263にダイヤモンドを１個ずつ増やしたり減らしたりする方法（マヌジエの槍の応用）という記事を公開されています。その中で２本の輪を使う手法として私が以前公開した情報を掲載していただきました。ありがとうございます。マヌジエの槍は素晴らしい作品だと思います。また、パターンを増やすというのはあやとりの楽しみ方の中でもとても面白いと思います。

＜おまけのひとこと＞
　まだ体調が戻りません。

4月23日(水)　等辺多角形によるタイリング(その3)

　等辺七角形のタイリングです。

○

　等辺七角形のタイリング、最初に思い付いたのはこちらのパターンでした。

(凸でない)等辺七角形

　これは、こんな風に正六角形から6分の1の正三角形を切り取ったかたちです。

　３色に塗分けてみました。

(凸でない)等辺七角形

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　この更新は25日(金)の早朝にやっているのですが、23日(水)の朝あたりが体温が一番上がっていたころでした。

4月24日(木)　雑談

　実は24日は職場で大切な報告があって、体調と相談しながらずっと準備をしてきました。報告の結果はうまくゆきました。

○

　21日(月)に全身の節々が痛くて、「なんだろう？筋肉痛？心当たりがないなあ」と思っていたら、実は熱がありました。22日(火)の朝にかかりつけの病院に行きました。

診療所薬局

　検査をしていただいて、「コロナ」とか「インフルエンザ」等、出社ができないような感染症ではないだろうとの診断で、一安心しました。

○

　24日(木)の12:30から報告を行った後、体調不良もあって早めに退社しました。先日から気になっていた「天ぷらそばバーガー」があったので買ってみました。

　思った以上に美味しかったです。また買うかもしれないと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　25日現在、まだ完全には熱が下がっていないのですが、今週の最大の山場を越えたので一安心です。

4月25日(金)　等辺多角形によるタイリング(その4)

　タイリングの話のつづきです。

○

　先日のこの図の

　真ん中の「正方形の隣接する２辺に２つの正三角形を貼り付けた等辺六角形」でのタイリングパターンをいろいろ考えてみています。

　いろいろ試しながら見つけた周期的なタイリングパターンを4例ほどご紹介します。

パターン1 パターン2

パターン3 パターン4

　これらの違いがわかりますか？　それぞれのパターンを塗分けてみると面白いです。

(つづく)

○

　いろいろなパターンを試してみています。敢えてランダムにすることを意識してみています。

　たくさん作って手で並べてみると面白いかもしれません。

＜おまけのひとこと＞
　連休明けまでにやらなければいけないことが本業のほうでいろいろあって、打ち合わせを調整しています。5月6日(火)が振替休日だということに今更ながら気が付きました。5月4日(日)の祝日と日曜日の重複の振替が、翌5日(月)も祝日のため翌々日の6日(火)になったという解釈なのですね。

4月26日(土)　キツネタイル（キツネの顔型等辺六角形）によるタイリングの検討(その1)

　タイリングの話のつづきです。

○

　正方形の隣り合う2辺に正三角形を貼り付けたかたちの等辺六角形のタイリングについて考えてみています。はるか昔、2002年6月にこのタイルのかたちを「キツネ」と呼んだことがありました。このかたちを「キツネの顔形等辺六角形」と呼ぶことを考えたのですが、長いので「キツネタイル」と呼ぶことにしました。

キツネタイルによるタイリングの試み

　まず、2つのキツネタイルの位置関係を調べてみることにしました。黄色いタイルを固定して、赤線でマークした辺に注目して、その辺に白いタイルを向きを変えながら連結してみました。鏡像対称は同じとみなすので、黄色いタイルの左側の３辺について作業してみました。

図 1：黄色のタイルを固定して、白いタイルを向きを変えながら連結してみる

　上記の18種類のうち、回転したり反転したりして同じになるものは同じとみなします。（このとき、黄色と白のタイルは区別しません。）まず、２辺を共有しているパターンを青枠で囲ってみました。また、唯一タイルが重なっているものを除外します（右上の赤枠）。さらに、この２枚のキツネタイルの位置を初期値として、周囲にキツネタイルを並べていったときにタイリングができないもの３種類を除きます（赤枠）。なぜできないと判断したかの説明はすみません省略します。

図 2：２辺が接するもの(青枠)とタイリング不可能なもの(赤枠)

　こうして残った２つ組は、図3の７種類になりました。

図 3：７種類の配置

　この７種類、１番だけは(２辺を共有しているので)八角形ですが、2～7番は十角形です。これらそれぞれを八角形もしくは十角形のタイルだと考えたとき、それぞれは単独で平面を充填できるでしょうか？

(つづく)

○

　どうでもいい話ですが、上の図を作りながら、(5)は座っているキツネが首を左に曲げてこっちを見ているように見えるなあと思ったのです。そう思ってみると、(2)は丸くなっているキツネが首を右に向けてこっちを見ているように見えてきました。

キツネの顔と胴体にみえる

　一度そう見え始めると、(6)はくびをかしげているように見えますし、(3),(4),(7)は上を見上げているように見えてきました。シンプルなかたちから何を連想するか、という「見立て」はけっこう高度な情報処理なのではないかと思います。今のAIにこういうことをやらせたらどの程度納得感のある解釈ができるのだろうか、と思いました。

　この「見立て」、２つのキツネタイルの間の線が重要で、それがなければ上記の解釈はできないと思います。

＜おまけのひとこと＞
　ここ数か月、冷蔵庫で氷を作るのをやめていたのですが、昨日、製氷用の給水タンクをセットして今シーズンの氷を作り始めました。

4月27日(日)　キューブ・リング(その1)

　2×2×2の立方体を変形する話です。すみません月曜日の朝に２日分まとめての更新です。

○

　昨日、本屋さんでタイリングで実感する幾何学（小松和志：2024,技術評論社）を見かけて喜んで買ってきました。その中の 2.2.4節：キューブ・リングというのが興味深かったので、模型やCGを作ってみました。

　よく見かけるようになった「無限に開く立方体」(Infinity Cube)という構造があります。この本によると、この構造を初めて発表されたのは物理学者の江口雅彦先生なのだそうで、初出は1959年だそうです。私は江口雅彦先生というとあやとりを思い出しますが、「無限に開く立方体」も江口先生の考案だったとは驚きです。

　この節には、一番有名なInfinity Cube以外に、類似の構造がいくつも知られていること、またスライド変形を許すともう少し数が増えることが例示されています。これについては、あの有名なM.C.エッシャーのご子息のG.エッシャーが研究されているのだそうです。（中身は閲覧できないですがFolding Rings of Eight Cubes(George Escher)というページがありました。）

　上記の文献でA12と分類されているという構造が紹介されていたので、変形する様子をCGにしてみました。図の1行の４つが1アクションです。6アクションでもとに戻ります。

　gifアニメーションも作ってみました。こちらです。（別窓で開きます。）変形の途中で常に図形の重心が一定の位置にとどまるようにして描画しています。

　6つのアクションのうち、1行目が1×2×4 → 1×2×4 のスライド変形で、2行目 1×2×4 → 2×2×2 の二つ折りです。3～6行目は1行目と2行目の向きや時間方向を変えただけで同じ操作をしています。なのでCGを作るのは3行目以降は簡単でした。

　実は最初、重心の位置を固定するのに苦労してしまいました。プログラムのどこが間違っているのかわからなくて少し悩んでしまいました。わかってみたら、単に sin と cos を間違えていただけでした。情けない…

＜おまけのひとこと＞
　模型とCG、どちらも楽しいです。

4月28日(月)　ねこふんじゃった

　音楽の話です。

○

　土曜日、楽譜屋さんにも寄ったのですが、ねこふんじゃった大全集　「オリジナル」から「パリのねこ」「オートバイに乗るねこ」まで(いとうたつこ：2006)という楽譜を買ってきました。

　昨日、一通り弾いてみました。なかなか面白かったです。こういう楽譜は持っていると楽しいので手放さないとは思いますが、たぶん取り出して弾くことがあるとしてもだいぶ先のことだろうなと思いました。

　久しぶりに全部の調で「ねこふんじゃった」を弾いてみようかなと思って半分くらいの調まで弾いてみましたが飽きて途中でやめました。

　また、「ねこふんじゃった」といえば、こんな旋律を一緒に奏でるという遊びがあった気がします。たぶん小学生のころに姉に教わりました。もとの調ではなくてハ長調で楽譜にしてみました。

　この旋律、いつ誰が作ったのだろう、どのくらい知られているんだろう、と思いました。「ねこふんじゃった」の和声進行は素直なので、他にも合う旋律がありそうです。

＜おまけのひとこと＞
　世間ではもう連休に入っている人もいるのだと思いますが、私はカレンダー通りなので今日は飛び石連休の谷間の勤務日です。

4月29日(火)　キツネタイル2連結パーツによるタイリング

　今日はタイリングの話です。

○

　先日、「キツネタイル」と呼んだ正方形に正三角形２つを貼り付けた等辺六角形を２つ連結したもののうち、タイリング不可能ピース3つを取り除いた残りの7種類をご紹介しました。

キツネタイル2連結のうちタイリング可能な７種類

　これらはいずれもタイリング可能は図形でした。先日、キツネタイルでこんな平面充填ができるという例をご紹介しました。上記の７種類のタイルは、これらのパターンのいずれかの構造で平面を充填できるのです。

パターン1 パターン2

パターン3 パターン4

　タイル1とタイル4はパターン1の充填形になります。タイル4の充填形は7種類のうち唯一２色で塗分け可能です。

タイル 1 タイル 4

　また、タイル5はパターン3の充填形になります。

タイル 5

　それ以外の4種類のタイルはいずれもパターン2の充填形になります。

タイル 2 タイル 3

タイル 6 タイル 7

　ペイントソフトでこれらの充填形の格子に色付けする作業はとても楽しいです。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　連休で、だいぶ県外からの車が増えてきた気がします。

4月30日(水)　キツネタイルによるタイリングの塗分け

　タイリングの話です。

○

　キツネタイルのタイリング、２種類の塗分けパターンです。特にパターン2を３色で塗り分けたものが気に入っています。

パターン1塗分けパターン2塗分け

　せっかくCGで描画しているので、平行投影図ではなく透視図にしてみました。こういう図が簡単に描画できるのは本当に楽しいです。

　これが床を覆うタイルだとして、足元を見下ろした視点から、少し遠くを見る視点まで変化するアニメーションを作ってみました。こちらです。

○

　図書館で波うちぎわのシアン(斉藤倫：2018, 偕成社)を借りてきて読みました。

　出だしは淡々とした話でしたが、後半、大きく盛り上がります。読後感はとても良かったです。人の名前とか地名など、国籍や時代を感じさせないもので、ごく最初のうちはそれが若干気になりましたが、この物語はこの設定でなければダメなのだということが読み進むことで納得しました。

　目次が出てくる前のプロローグが猫の語りという設定になっていて、その猫が「カモメ」という名前なこと、なぜ猫のなのにカモメという名前が付けられたのかということが語られます。図書館で手に取って、この辺りまで読んで「これは面白そうな気がする」と思って借りてきました。猫の「カモメ」は物語の中で重要な役割を果たしますが、主人公はこのお話のタイトルにもなっている「シアン」です。

　最初の章くらいまでは淡々と物語が語られますが、後半は手に汗握る展開になって、先が気になって一気に読んでしまいました。久しぶりに現実を忘れて物語の世界にひたることができて楽しかったです。

　地元の図書館は、作家名ごとに本が分類されています。「さいとう」のところには「冒険者たち」の斉藤敦夫、「ルドルフとイッパイアッテナ」の斉藤洋、先日もご紹介した「しじんのゆうびんやさん」の斉藤倫、が並んでいます。いずれも好きな作家です。

＜おまけのひとこと＞
　4月もおわりです。昼休みに更新しています。