以前の「ひとこと」 ： 2025年2月後半
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2月16日(日) 合同な12枚の鈍角二等辺三角形で二種類の多面体を作る
2月後半です。
先日、こんな鈍角二等辺三角形１２枚で、
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これら２種類の多面体が作れることをご紹介しました。
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こんな展開図を用意して、A4用紙いっぱいに印刷したものを２枚用意しました。
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これを使って２種類の多面体を作ります。どちらも凸でない多面体なので、直接面を合わせて同じ三角形であることを確かめることができません。そこで、面と同じ三角形を別に用意したのでした。
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上の写真(クリックすると拡大します)とだいたい同じ向きになるようなCGも作ってみました。
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この２つの多面体が同じ三角形の同じ展開図から作れるというのはやっぱりちょっと面白いと思うのです。
先日、凸でない二等辺三角形による十二面体のご紹介の中で立方体を畳む話をご紹介しましたが、自己交差を許して変形を続けるとどうなるか、CGにしてみました。
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正四面体になるのですね。
＜おまけのひとこと＞
空き時間に模型やCGをたくさん作っています。その説明を書いておくのは後々のために有益なのですが、それを書くよりも思い付いた新しいものを作りたくなります。おかげでこの週末は更新ができませんでした。
2月17日(月) ネコのポリゴンのペーパークラフト
工作の話です。
しばらく前に100円ショップのセリアに行ったら、ペーパークラフトが売っていました。これが110円！と驚いて、ありがたく買ってきました。ポーズは一緒で三毛猫のデザインのものと黒猫のデザインのものがあったのですが、黒猫にしました。パーツはA4サイズの用紙２枚に印刷されていて、全部で13ピースです。組立にはたっぷり2時間かかりました。
同じ記号どうしを合わせて貼ってゆくこと、山折りと谷折りの説明があることだけで、あとはパーツの表記だけを頼りに組んでゆきます。かなり大変です。しかも１か所誤りがあって、そこは剥がして貼り直しました（パーツNo.3です）。
でも、苦労が報われたと思える素晴らしいデザインの作品でした。（私の技術が足りなくて、粗が目立ちますが…） いつもの通り、速乾の木工用ボンドを使ったのですが、表面がコーティングされていて、しっかり押さえ続けないとすぐに?がれてしまうのです。時間がかかった一因です。
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石のコースターに載せて飾ってあります。どこから見ても美しくて感動しています。
＜おまけのひとこと＞
もう１つ買っておけばよかったかなと思いました。
2月18日(火) 凸でない等面十二面体の凸包(その1)
多面体の話です。
一昨日、立方体からの変形のこんなアニメーションをご紹介しました。これを眺めていて、途中の状態の立体の凸包はどうなっているのだろうと思ったのです。適当なところで止めて、凸包を描いてみました。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
これもデルタ十二面体と同相なかたちなのですが、これが鋭角二等辺三角形だとすると（上の図3の黄色い多面体は12面が合同な二等辺三角形にはなっていませんが）、先日ご紹介したような鋭角二等辺三角形の等面十二面体（下の図4）とは別のかたちであることがわかります。
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| 図 4 |
図3と図4のどちらの十二面体も面が8面、頂点が8点、稜が18本あり、稜は二等辺三角形の底辺の長さのものが6本、斜辺の長さのものが12本あります。図3の黄色い十二面体は短い稜6本は3本ずつの折れ線になっていますが、図4の細長い多面体は短い稜は中央で4本がループになっていて、残りの2本は一番離れた位置に孤立して存在しています。
さらに言うと、図3の黄色い十二面体は、双六角錐を半分に切って90°回転して繋ぎ直したかたちになっています。この変形、いろいろ発展が考えられそうです。
自己交差のある二等辺三角形の等面十二面体の面の配置を確認するために、1面ずつ順に面を張っていったCGも作ってみました。
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うーむ、かなりマニアックになってきました。
＜おまけのひとこと＞
年度末から新年度にかけて、仕事が忙しくなってきています。単に忙しいだけなら仕事をこなしてゆけば良いのですが、少々責任の重い役割を打診されていて、どうしたものかと思っています。
2月19日(水) 立方体の面分割と同相な鋭角二等辺三角形12枚による多面体
多面体の話です。
2月のはじめから、立方体の6つの面それぞれを対角線で二等分するやり方を調べていました。結論を1枚の図にまとめたものが下の図で、7種類の分割のしかたがありました。
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これは、直角二等辺三角形12枚による多面体であるとみなすことができます。直角二等辺三角形の場合は2枚ずつが同一平面上にあって正方形となり、全てが立方体でした。この直角二等辺三角形を他の二等辺三角形に変えるとそれぞれの立体はどうなるのか、模型を作ってみました。
最初に展開図を作ってみました。配置は上の図と合わせました。
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A4の用紙3枚に8種類の展開図（7種類のうち1つだけはL型とR型があるため、全部で8種類です）をレイアウトして、印刷して切り出して組み立ててみました。用いる三角形の大きさはすべて同じになるようにしています。
上の図と同じ位置になるように8つの模型を並べて写真を撮ってみました。
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少し視点を下げた写真です。
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100円ショップで買ってきたこんなケースに収納しています。ちょっとスペースがもったいないので、関係する他の模型も入れる予定です。
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これらがどんなかたちなのか、考えてみます。
＜おまけのひとこと＞
年度末に向けて、やらなければならないことが増えていて忙しいです。しばらくは作り貯めた模型のご紹介が続くと思います。24日の祝日も仕事になりました。
2月20日(木) 正二十面体を3か所へこませる
昨日のつづき、ではなく別の話題です。
先週、正二十面体の展開図から、普通の凸の正二十面体だけでなく、へこんだ正二十面体も作れるという話をご紹介しました。
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| 普通の凸な正二十面体 | へこんだ正二十面体 |
これをご覧くださった大阪のKさんから、3か所へこませるとおもしろいというメールをいただきました。ありがとうございます。
最初に上のCGを作ってみたとき、向かい合う反対側の頂点もへこませられるよなあと思って、でも内部で干渉するのかな？ と思ってそれ以上は考えませんでした。改めて考えてみると内部では干渉しないですね。 計算間違いをしていました。
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| 向かい合う頂点の五角錐をへこませた |
また、教えていただいた五角錐3か所をへこませたかたちをCGにしてみました。(すみませんこれもへこませた部分、正三角形ではありませんでした。)
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3箇所へこませたものを斜めから見て、回転するCGにしてみました。
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手元の多面体ブロック玩具ではこの二面角は組めませんでした。これはCGを作ったので模型は作らなくてもいいかなと思っています。（でも作るかもしれません。）
＜おまけのひとこと＞
メールをいただいて、急遽内容が変わりました。ありがとうございます。楽しかったです。あわてて計算間違いしてしまいました。ちゃんと準備しないとダメです。失敗。
2月21日(金) 鏡の像のCG
最初におわびです。昨日の「正二十面体をへこます」CG、計算が間違っていて、押し込んだ五角錐の三角形が正三角形ではありませんでした。よく考えてから投稿すべきでした。申し訳ありません。昨日の記事は訂正しました。
昔作ったCGをおおきく描画しなおしてみたくなって、20年くらい前のpovrayのソースコードのフォルダを探していたら、個人的になつかしいものがいろいろ出てきたので、画像のサイズやアニメーションのフレーム数などを増やしたものを作り直したりしています。コードを書かずに設定だけ変えて実行するだけなので楽なのです。
こんな鏡の像のCGを、サイズを大きくして描画してみました。
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| 図 1：矢印 |
図1、矢印をイメージした円柱と円錐を空中に配置してみます。白いステージに矢印の影がうつっています。
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| 図 2：鏡を置いてみた |
図2、鏡（表面の反射率をパラメータで定義した板）を追加しました。矢印とその影が鏡の中に現れました。ステージの像がちょうど揃う位置に鏡を置いています。
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| 図 3：鏡を2枚置いてみた |
図3、鏡を2枚、直角に配置しました。矢印と影の向きが逆になりました。要はこれが描画したかったのでした。
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| 図 4：矢印を鏡に近づけてみた |
図4、矢印を鏡に近づけると、左右に1回反射の像が見えてきます。なぜ矢印の左右が逆になるのか、これを見ると明らかだと思います。
本日の My 俳句 [ 綾取りや初めて触れた少女の手 ](2013.11.29)という記事を教えていただきました。私も子供のころは毛糸であやとりをしていました。この記事にあるように、やっぱり赤い色でした。
＜おまけのひとこと＞
昨日はあわてて間違ったCGを作って公開してしまって後悔しています。反省しました。
2月22日(土) ネコのポリゴンのペーパークラフト(その2)
PCのトラブルで土日は更新ができませんでした。3日分まとめての更新です。
先日、100円ショップで購入した、ネコのポリゴンのペーパークラフトをご紹介しました。実はこのパッケージには型紙が小さく印刷されているのです。
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これをスキャナでスキャンして、いつも多面体模型を作るときに使っている厚紙に印刷して切り取って組み立ててみました。自分で型紙に起こしたので、鏡像反転したデータを作ってそちらを印刷してみました。組立の手掛かりになる数字や記号もすべて反転されるので、ちょっとだけ難易度が上がったかもしれません。
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| 顔を見合わせている感じ |
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| いっしょに向こうを見ている感じ |
オリジナルのものより一回り大きくなってしまいました。白のほうがポリゴンの面の角度に応じた輝度の違いがはっきりわかって「ポリゴンっぽさ」が強調される気がします。
オリジナルのペーパークラフトの製品は折り筋が付けられてプレカットされていますが、自分で印刷したものは自分で折り筋を付けてデザインナイフで切り出す必要があります。そのため作るのには3時間ほどかかりました。ただ、オリジナルのものは表面がコーティングされていて接着しにくかったのですが、いつも使っている用紙は速乾性の木工用ボンドとの相性が良いので接着作業はやりやすかったです。
22日(土)の朝、多面体について検索していて、不用意に展開図の画像ファイルをダウンロードしようとしたら、ブラウザの警告メッセージが出るようになってしまいました。NortonとかMcafeeとかのサイトを模したページに誘導して、クレジットカード番号をだまし取る手口のようです。こういうのは踏まないつもりでいたのですが、ついうっかりボタンを押してしまいました。
今使っているPCは1年ほど前に購入したもので、アンチウィルスソフトは3か月有効な体験版が入っていました。その期限が切れた後は改めてライセンス購入をしていませんでした。仕事で使っている勤務先のPCの運用ルールでは「誤って変なサイトにアクセスしたり変なメッセージが出るようになったら、まずはネットワークから遮断して管理者に報告」ということになっています。おそらく大丈夫だろうとは思いつつ、ネットワークから遮断して、ブラウザのセキュリティ関係の設定を厳しくしたりしてみたのですがメッセージが出続けます。気持ちが悪いのでいったんそのPCを使うのをやめて、プライベートのPCを使わない作業をすることにして、対策を考えることにしました。
国際あやとり協会であやとりしてみようというページを公開して下さっている石野さんから、「数学セミナー」3月号の「あやとりの楽しみ」の記事で「エイディオウィナゴ」と呼んだものは間違っている、誤った情報を広めるのはとてもまずい、とご指摘をいただきました。本当にすみません、誤りをご指摘いただくのはこれで2回目です。
ウェブサイトと違って本文の修正はできないので罪が重いことは承知しているつもりだったのですが、反省しました。3月号のサポートページがまだ作れていないので、そこで訂正をさせていただきます。（PCトラブルでまだできておらず申し訳ありません。）
最初にナウルの作品を勉強し始めたころに誤解してしまっていたことがいくつもありました。ナウルの作品はとてもすばらしいと思うのですが、自分にはそれを紹介する資格はなかったかなあと反省しています。私はもうナウルの作品の紹介はしないほうがよさそうです。
でも、こうしてご指摘いただけるということはとてもありがたいことで感謝しています。
＜おまけのひとこと＞
PCのトラブルと連載記事で嘘を書いてしまったこと、どちらも自分が悪いのですが、悪いことが重なってかなりへこんでいます。2月22日はネコの日ということで白いネコのペーパーモデルを準備したのですが、PCトラブルのせいでその日に公開できませんでした。
2月23日(日) 多面体模型：等面二十四面体(その1)
こんな多面体模型を作ってみました。
こんな多面体を作ってみたのです。
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一般的な視点からの写真と、対称性が高い方向から見た写真です。同じ多面体模型なのですが、3枚目だけ、光の加減で色が違ってしまいました。補正が面倒だったのでそのまま載せます。
プライベートで使っているPCで、変なサイトにアクセスしてしまって警告メッセージが出るようになってしまった話のつづきです。頭を冷やして考えたのですが、流行のなりすまし詐欺も「自分は大丈夫」と思っている人ほど危ないという話もあるので、この際アンチウィルスソフトを購入してインストールすることにしました。ただ、PC上でクレジットカード番号を入れて決済するのは嫌なので、PCを購入した電気屋さんに行って、そこでソフトのパッケージを購入してラインセンス番号をPCから入力することにしました。
店頭で店員さんに相談すると、「有償になりますがPCをお預かりしてインストールサービスと、ウィルスが見つかったら駆除作業を承ります。その場合、アンチウィルスソフトのライセンスも割引になります。」とのことでした。地元のお店のこういうサービスには価値があると思ったので、お願いすることにしました。すぐに自宅に戻ってPCを持参して、お店のサポート担当の方と一緒にログインしたりアンチウィルスソフトのユーザ登録をしたりして、インストール以降の作業はお願いして自宅に戻りました。「遅くとも翌日の夕方にはできます」とのことだったのですが、できれば早いほうがありがたいとお願いしたところ、3時間後くらいに「無事終わりました」との連絡があり、すぐに取りに行きました。
インソールしたばかりのソフトでPCを完全にスキャンした結果、特に問題はなさそうだとのことで胸をなでおろしました。ソフトの金額の差分として手数料を少しお支払いしたのですが、このサービスにはとても満足しました。お店にも感謝を伝えました。こういうサービスを利用する、というのも地域の経済にとって良いことだと思うのです。
＜おまけのひとこと＞
偽の警告メッセージは巧妙で、だます側もどんどん進化しているのですね。うんざりします。
2月24日(月) 多面体模型のCG
昨日の多面体のCGです。
昨日の多面体のCGを作ってみました。
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これは、正5角形12枚の正十二面体の五角形の面を２つに分割してふくらませたかたちにも見えますし、正八面体の正三角形の面を3つに分割してふくらませたかたちと理解することもできます。
また、菱形十二面体から凧型二十四面体に至る途中に出てくる等面二十四面体と理解することもできます。
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この模型の型紙、Wikipediaのこの多面体のページからダウンロードさせてもらって組み立てたのですが、ブラウザのキャッシュや履歴を消したりする対策を取ったため、どこからダウンロードしたのかわからなくなってしまいました。名称も失念してしまいました。すみません。
2月14日に妻からもらったチョコレートに入っていたチョコレートグラシン紙(という名称なのですね)を使って、デルタ六面体（双三角錐）と正八面体（双四角錐）を折ってみました。
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つるつるしたコーティング紙なので、合わせ目が少し開き気味になってしまうのが残念です。
＜おまけのひとこと＞
今日の午後はリモート会議があるのですが、その準備がまだ途中です。このページの更新が終わり次第準備に取り掛かります。
2月25日(火) 多面体のCGの座標
すみませんまた3日分まとめての更新です。2/27(木)の朝に火・水・木の３日分です。2月27日は2001年にこのサイトの公開を始めた日です。ずいぶん時間が経ちましたが、自分はあんまり成長していないなあと思います。
Xのほうに先日のアニメーションを載せておいたら、４点が平面上にあるのはなぜ？といったコメントをいただきました。平面になるように４点目を決めています、というのがこたえなのですが、一応図を作ってみました。私はpovrayを使うので、３次元座標は左手系です。(改めてみたら、D,E,Fの順番が変です。ごめんなさい。)
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青い点をx,y,z軸上に原点から距離1になるように取って、赤い点はxy平面、yz平面、zx平面上に、図の赤い三角形(△OAF,△OBD,△OCE)が合同になるように取ります。赤い点の取り方は2自由度あります。青い点と両隣の赤い点の３点が張る平面を考えて、その交点が黄色い点です。
＜おまけのひとこと＞
時間がなくて、書くべきこと、書きたいことが書けていません。
2月26日(水) 多面体のCGのアニメーション
CGアニメーションです。
昨日、青・赤・黄色の頂点を図示したので、その色の頂点の小球を追加したアニメーションを作ってみました。
赤い点は原点からの距離が1になるように、a=sinΘ, b=cosΘとしています。
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このとき、黄色の点の座標は変化します。ちょうど凧型二十四面体になったときに原点からの距離が最も遠くなります。
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| 点Gの座標値 |
＜おまけのひとこと＞
CGアニメーションの背景色が間違っていますがこのまま載せます。
2月27日(木) 多面体のCGのアニメーション(別バージョン)
別パターンのCGアニメーションです。
昨日のアニメーションは菱形十二面体を2分割したところから始めていましたが、菱形十二面体→正十二面体→正方形（の各面の2分割）のアニメーションを作ってみました。
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＜おまけのひとこと＞
CG、楽しいです。
2月28日(金) 多面体のCGのアニメーション(改良)
今日もCGアニメーションだけです。
昨日の「菱形十二面体→正十二面体→立方体」のアニメーションですが、途中のいろいろな面のかたちの十二面体の頂点が、最終的な立方体の６つの面の各面に２つずつあることがわかりにくいかなあと思ったので、手を加えてみました。
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このアニメーションの途中で、正十二面体のところでいったん止まりますが、その後、立方体に近づいていくかたち、こんなかたちの鉱物結晶があったような気がします。
＜おまけのひとこと＞
昨日は一日中立ちっぱなし、しゃべりっぱなしでとても疲れました。有意義な一日ではありましたが、今朝になってもまだ疲れが残っています。今日も同じような一日になります。しかも今日は夕方にとても重要な会議が設定されていて、その時間にどれだけ体力と気力が残っているか、やや不安です。