以前の「ひとこと」 : 2015年1月後半
1月16日(金) 立方体の稜を4色で塗り分ける(その2)
立方体には12本の稜(辺)があります。それぞれの稜を、赤・青・黄・緑のうちのどれか1色を選んで色付けして、立方体の6つの正方形がすべて赤・青・黄・緑の4色で囲まれるようにしてください、という問題を出していました。
これはそんなに難しい問題ではないので、答を書いてしまいます。
図 1 同じ色の稜が頂点を共有すると、その時点でその2辺を含む正方形が4色になりません。(同じ色を2回使ってしまうので。)なので、同じ色の稜は頂点を共有しません。最初にどこかの正方形の4辺を4色にして、後は同じ色が頂点を共有しないように色を決めていけばできます。
図 2 このように4色が3つずつになるのですが、では、同じ色の点を結ぶとどんなかたちになるでしょうか?
(つづく) <おまけのひとこと>
1月17日(土)に、1週間分(1/16〜1/22)の更新をしています。
1月17日(土) 立方体の稜を4色で塗り分ける(その3)
昨日の問題の答を図示します。立方体の12の稜の中心を頂点とする立体は立方八面体です(図1)。これを昨日のように4色の色を付けます(図2)。
図 1 図 2 図 3 図 4 同じ色どうしを結ぶと、それぞれ正三角形になります(図3)。外側の立方八面体の格子を外すと、図4になります。これは、このページでも何度かご紹介している、正三角形を4枚組むかたちです。
図 5 4色の正三角形の配置がわかりやすいように、途中経過をgifアニメーションにした図も作りました。ご覧ください。
<おまけのひとこと>
先週、1月11日(日)に小正月の伝統行事の「どんど焼き」の準備として、「幟建て(のぼりたて)」をしました。その日の夕方から雪になったため、今年の組長さんが幟を下したそうなのですが、翌日12日の成人の日に、幟旗(のぼりばた)を引き上げる棒が幟竿(のぼりざお)の先端から降りてこないので手を貸してほしいという召集がかかりました。
幟竿はたぶん10メートルくらいの高さがあって、これを立てたり倒したりするのは少なくとも人手が10人以上はないと危険です。幟竿は2本あって、石でできた丈夫な土台があり、そこに幟竿の根元を差し込んで、石の土台と幟竿に軸木を差し込んで、軸木を軸に竿を持ち上げて垂直に立てて、最後にかんぬきを通して固定します。2本の竿の土台は距離も近くて、倒す方向が同じなので、順番に立てる必要があります。
今回、2本とも幟旗の棒が降りてこないということで、いろいろ案を出して検討した挙句、結局2本とも倒して立て直すことになりました。私の住んでいる地区は80戸くらいあるので、幟建てのときには70名以上が参加するのですが、今回は急な話で12名くらいしか集まれなかったため、かなり大変な作業になりました。
1時間くらいかかってなんとか復旧しました。寒い日でしたし、大変でした。
1月18日(日) 四角柱の平面交差(その1)
紙の筒を組んで、六本組木をはじめ、いろいろな構造を作る話を以前ご紹介しています。例えば、2004年4月8日のひとことでは、四角柱を上下・左右・前後に交差させるときの「向き」について、再掲図1と2のような方法を紹介しています。
再掲図 1 再掲図 2 これまで、主に図1のように、交差させる四角柱の面をそろえる方法でいろいろなジョイントを設計して、それを用いた紙模型をいろいろご紹介してきました。例えば図1は、3本の四角柱を平面で交差させるジョイントの例です。2007年12月23日にご紹介しています。
図 1 面がそろっている平面交差のジョイントは考えやすいのですが、参考図2のようなタイプの四角柱の平面交差をどのように設計したらよいのか、ちょっと考えてみました。
図 2 図 3 図 4 図 5 図2が組み合わさったかたち、図3と図4がパーツ、図5はアニメーションにしてみました。このジョイントを使って、実際に紙模型を作ってみることにしました。
(つづく) <おまけのひとこと>
お休みの日、妻は実家の近所で不幸があったということで一日外出、息子は模試でやはり一日外出でした。面倒だったのでカップヌードルを作って食べようと思って、準備をしました。食べる直前に入れるというオイルのパックがあったので、それをふたの上で温めておいたのですが、それを開けるときにちょっと手についてしまいました。さあ食べようと思ってカップを手に取ったところ、オイルのせいで手がすべって、まだ一口も食べていないカップヌードルをこたつの上に倒してしまいました。もったいないことをしてしまいました。
片づけ終わって、別のものを作って食べようかなあとも思ったのですが、もう1つ、同じカップヌードルがあったので、それを作って今度は慎重に食べました。あまりにひどい失敗で、我ながらちょっと笑ってしまいました。
1月19日(月) 四角柱の平面交差(その2)
最初に、2本ずつが直交する井桁のかたちを作ってみることにしました。図1のようなパーツを4枚用意して作ります。
図 1 色の濃い二等辺三角形の部分を切り抜きます。パーツを4つ切り出して、折り曲げて四角柱を4つ作って組みます。
図 2 この「紙の筒」、そのまま組むと図1の左下端部が開いてきてしまいます。仕方がないので今回は四角柱の重なり合う面は軽く接着することにしました。
図 3 図3を見ると、四角柱の断面が正方形になっていることが見て取れると思います。きちっとしたモデルができて気持ちがいいです。
(つづく) <おまけのひとこと>
こうして紙模型をご紹介していると、写真のほうが実物よりきれいだと思う場合と、逆に実物のほうが写真よりきれいだと思う場合があります。もちろん写真撮影の技術の問題もありますが、写真のほうが良いというのは、実物には何かまずい点があって、写真ではそれが見えない角度から撮っているというような場合です。今回のものは、実物のほうが写真よりいいなあと思います。言い換えると「うまく写真が撮れていない」です。
1月20日(火) 四角柱の平面交差:60度系(その1)
四角柱を45度回転させて交差させる紙模型を作ってみています。今日は四角柱の中心線の交叉角が90度ではない場合の設計について説明したいと思います。
四角柱の底面の正方形の1辺の長さを1とします。すると、四角柱の中心線(四角柱の上下の底面の正方形の中心を結ぶ線)を含む平面で切った断面の幅は√2になります。図1は、角度θで交差する2つの四角柱の中心線を含む平面での断面図です。
図 1 2つの四角柱の幅は等しいので、2つの四角柱の共通部分は菱形になります。その菱形の1辺をLとします。また、菱形の中心から辺に垂線を下した点と、菱形の頂点との距離をWとします。すると、L,Wとθとの間には図1のような関係があることがわかります。
図 2 型紙を設計するときに大切なのは、交差する四角柱によって切り取られる三角形の大きさとかたちです。四角柱の底面の1辺の長さは1と決めたので、LとWが決まれば切り抜くべき三角形が決まります。
図 3 θの角度によって、LとWがどのように変化するか、表にしてみました。このデータを使って型紙を設計していきます。
図 4 まずは60度で交差する場合の型紙を考えてみました。設計が正しいかどうか確かめるため、一番シンプルな「継手が1つだけ」というモデルを作ってみることにしました。
図 5 筒を接着しなくて済むように、2面を重複させることにしました(図5)。
図 6 図5のパーツ2枚で作った、交差する四角柱です。2組作ってみたのは、鏡像のパーツを使ったらどうなるか確かめたかったためです。
(つづく) <おまけのひとこと>
今回の設計の説明、とても「工学的」だと思います。三角関数ってとても便利です。
1月21日(水) 四角柱の平面交差:60度系(その2)
さて、昨日の継手の確認ができたので、3本組で正三角形を作ってみることにしました。
図 1 パーツはこんな感じです。今度は重畳は1面で、軽く接着することにしました。
図 2 出来上がった三角形です。シンプルですが出来栄えには満足しました。
(つづく) <おまけのひとこと>
足の裏の「いぼ」の治療はまだ続いています。2〜3週間に一度、皮膚科で削ってもらって液体窒素で焼くという治療を受けています。治療を受けるととても痛いのですが、治療を受けないと足の裏全体が痛くなって歩けなくなります。治療も3年目になりました。まだまだ「いぼ」の勢いは強いそうです。気長に付き合うしかなさそうです。
1月22日(木) 四角柱の平面交差:60度系(その3)
昨日の3本組の正三角形、きれいだと思うのですが自立しないのが若干物足りないです。4本組みの菱形を作ることにしました。
図 1 なんだかブロック塀の飾りみたいです。
図 2
図 3 期待通り自立させることができました。これはパーツを接着していません。
図 4 パーツの長さは図4のようにして決めました。黄色い正三角形と、緑色の合同な2つの長方形を補助線として使って長さを合わせました。
(つづく) <おまけのひとこと>
更新のための時間が尽きたので、続きはまた次回にしたいと思います。
1月23日(金) 四角柱の平面交差:60度系(その4)
断面が正方形の四角柱を45度回転させて平面上で交差させるモデルをご紹介しています。先日、3本で正三角形になるように組んだものをご紹介しましたが、その応用で、六角形を作ってみました。
図 1 最初に完成形です。パーツはけっこう長くて20cm弱あります。
図 2 パーツはこんな設計になりました。
図 3 パーツを切り出して折り曲げ始めたところです。四角柱になるように、接着しています。
図 4 6本とも筒にしました。一番手前だけ向きが違いますが、パーツはすべて合同です。これを組むと図1になります。
図 5 組み上がったものを立ててみました。断面が正方形なのが見えると思います。
(つづく) <おまけのひとこと>
例によって1週間分を1月24日(土)に更新しています。先週(1/19(月)〜1/23(金))は本業のほうの仕事がとても大変でした。このところずっと綱渡り状態が続いていて、神経がすり減ります。ただ、職場の周囲の人は大部分がとても良い人たちなので、それは救いです。
1月24日(土) 四角柱の平面交差:36度-72度系
昨日は六角形の星型をご紹介しましたが、今日は五芒星をご紹介します。四角柱5本で五芒星を作るというのは、昨年の10月2日のひとことでご紹介しています(再掲図)。
再掲図 今回は四角柱を45度回転させたので、こんなかたちになりました(図2)。
図 1 このパーツは長くて、26cmくらいの長さがあります。
図 2 先日ご紹介した手法で切り欠きを設計しました(図2)。
さらに、これらの切り欠きどうしの位置関係を、図3→図4のようにして決めます。
図 3 図 4 これを5本作って組むことで、図1のかたちを作ることができました。残念ながら自立しませんが、これはこれできれいなかたちだと思います。
(つづく) <おまけのひとこと>
今回の設計については、将来の自分のために、やり方や数値を公開して残すことにしました。例えば図2には数値が入っていますが、以前だとこんな数字を図に書き加えるのは面倒なのでやっていませんでした。
図3や図4、色遣いが美しくありませんが、要は見分けがつけばいいということで色を選んでいます。これも公開するか迷いましたが、載せることにしました。
1月25日(日) 四角柱の平面交差:立方体
これまで、四角柱を45度回転させて平面交差させるモデルをいくつかご紹介してきましたが、このジョイントで立体構造も作ってみたくなりました。例えば、断面が正方形の四角柱を平面上で組み合わせて立体を作るというのを、2007年12月11日のひとことでご紹介しています。
再掲図 1 再掲図 2 再掲図 3 これを今回のジョイントに変更して作ってみることにしました。
図 1 パーツは全部で12本必要です。図1がパーツの設計図です。直角に交わるため、図中の二等辺三角形は高さを1とすると底辺が√2というかたちです。
図 2 12本のパーツのうち、半分は鏡像になるようにします(図2)。図2の左側と右側が6本ずつ、鏡像対称になっています。この左のグループと右のグループから1本ずつ取って、中央のジョイントで組み合わせた十字型を6つ作ります(図3)。
図 3 これを組んでいきます。
(つづく) <おまけのひとこと>
この更新をしているのは1月24日(土)の夜なのですが、1月25日(日)は、朝は8時から公民館のお掃除の当番があって、1時間ほど掃除機をかけたりしてきます。午後は昨年10月4日のコンサート以後、初めての練習を予定しています。メンバー4名中、お一人はご家族でインフルエンザが発症したそうで、保菌者の可能性があるので欠席という連絡をいただきました。夜は毎月定例の地区の常会があります。忙しい一日になりそうです。
1月26日(月) 四角柱の平面交差:立方体(その2)
昨日、途中までの図を載せましたが、完成形の写真を載せます。
図 1 一般的な視点から見たところです。
図 2 図 3 対称性が高い視点から見たところです(図2,図3)。いかがでしょうか。これもきれいなかたちだと思います。が、ほんの少しジョイントがきつかったようで、パーツがややまがってしまっているのが残念です。きつすぎてもゆるすぎても美しくないのです。
このジョイントを使ったかたちのバリエーションはまだいろいろ考えられますが、今回はいったんここまでにしたいと思います。
○ 寒い日が続いています。北側の窓の外に、室内から見える温度計を貼ってあるのですが、朝見るとマイナス10度とかいう日が何日もあります。
図 4 早く春になってほしいです。
<おまけのひとこと>
この週末(1/24〜1/25)は持ち帰りの仕事があるのですが、なかなか始める気持ちになれません。やっておかないと来週とても苦しいのですが…
1月27日(火) 平方根の語呂合わせ
とあるパズルの設計図を見ていたら、幅が2cmの板を斜めに切った長さが2.83cmという数値が出てきました。板の長さ方向の寸法にも、1.83とか3.83、5.83といった数値がありました。3.41、5.41といった数値も出てきました。
これは45°系で出てくる数値だなと気が付きました。まず、2.83という数字は2√2です(2√2=√8=2.8284...)。√8は√2の2倍ですから、1.4142... (ひとよひとよに…)という語呂合わせを知っていれば、それを2倍すればいいです。でも昔読んだ本に、√8の覚え方として、「ニヤニヤよ」というのがあったのを思い出しました。野崎昭弘先生のπの話だったような…。
と思って今、本棚の奥から本をひっぱり出してきて見てみました。手元の「1974年6月29日 第1刷発行」版の76ページに載っていました。改めて見るとこの本、すばらしく面白いです。さすが野崎先生です。
話を元に戻して、この設計図の中の小数点以下の部分は、ゼロか、.83か、.41の3通りです。.83は2√2、.41は√2の小数点以下の部分になります。実用上、こういった数値に気が付けると、いろいろな設計に役立ちます。
「πの話」に出てくる語呂合わせは、√2、√3、√5、√6、√7、√8、√10でした。これらの近似値を言えることが役に立ったことがあったかどうかはっきり思い出せませんが、でも数学の問題を解くときとかにおおよその値を見積もったり予測したりということを半ば無意識にやるようなときには役に立っていたような気もします。もちろん今は電卓を叩けば平方根なんて一発で求まりますが。
以前も書きましたが、計算機が出してくる答を盲信するのは危険です。昔、計算尺が使われていた時代は(といっても私もその世代ではありませんが)、計算結果は有効数字3桁くらいで読み取って、桁は操作者が考えるものでした。ある数値がだいたいどのくらいなのか、という感覚を持つことはとても大切だと思うのです。
…なんて偉そうなことを書いていますが、私は会計の数字には弱くて、昔、初めて管理職になったとき、初めての予算申請のときに、入力する単位が(千円)だったのですが、一項目だけですがうっかり(万円)のつもりで必要額の10分の1の予算申請をしてしまったことがあります。予算確定の厳しい予算折衝の中で気が付いて、とても叱られました。恥ずかしかったです。
<おまけのひとこと>
「岩波科学の本」のシリーズは本当に素晴らしかったです。全部は持っていませんでしたが、「πの話」「数は生きている」「ぼくらはガリレオ」「関数を考える」が特に好きでした。
1月27日と1月28日の分の更新は、実は一度載せた内容を変更しています。
1月28日(水) リスーピアワークショップ
今年も6月13日(土)、14日(日)にリスーピアでワークショップをやらせていただくことになりました。今回は以前やったのと同じ内容になります。
図 1 この「正三角形」か、「正六角形」か、尖った三角形か、余剰パーツの数次第なのですが、ともかく4枚のカードを組むというワークショップをやります。新しい内容にしてもよかったのですが、余剰パーツを使い切ってしまいたいというご要望もいただいたので、以前と同じ内容にすることにしました。とはいえ何か新しいお話ができるように準備したいと思います。
<おまけのひとこと>
最初、1/27、28に掲載したのは「Kパズル」というものでした。出典がわからなかったのですが、こちらの「Puzzle in Wood」ですよという情報をいただきました。面白いパズルですので、興味のある方はぜひ調べてみてください。
1月29日(木) 面と頂点の数が等しい等稜多面体の模型を作る(その1)
昨年の暮れ、12月26日のひとことで、面と頂点の数が等しい凸多面体の系列の話をご紹介しました。そのときに、六角柱の底面の頂点を切り落とした形(再掲図)を載せましたが、このかたちが妙に気に入って、今回実物を作ってみることにしました。
再掲図 底面は正六角形とします。せっかくなので、すべての稜の長さが等しい等稜多面体にすることにしました。すると、側面の三角形は正三角形になりますし、四角形は菱形になります。正三角形は形が定まりますからよいとして、菱形のほうはどのくらい細くすればいいでしょうか?
図 1 詳しい説明は省きますが、菱形のほうは対角線比が1:√11になるようにすればよいということがわかりました。興味がある方(いらっしゃるでしょうか?)、考えてみてください。
底面の正六角形を6つの正三角形に分割して考えて、図2のような型紙を3枚用意して、編むようにして構成すればできそうです。
図 2 さっそくパーツを印刷して切り出して、折り曲げて組み立ててみました。
(つづく) <おまけのひとこと>
週末になると、普段の仕事とは全く違う、こういった模型を考えたり設計したり制作したりしています。楽しいです。とはいえパソコンを使っていろいろなソフトウェアを使ってドキュメントを作っているという点では、オンもオフもやっていることはあんまり変わらないとも言えます。
1月30日(金) 面と頂点の数が等しい等稜多面体の模型を作る(その2)
昨日のパーツ3枚を組み立ててみました。
図 1 図 2 図1がななめから見たところ、図2はほぼ真上から見たところです。このかたちが、頂点の数と面の数が等しいこと、辺(稜)の長さがすべて等しいこと、菱形の対角線比が1:√11であること、などが「おもしろいなあ」「きれいだなあ」と思うのです。
なんだか鉛筆の先端のような、テントのようなかたちになりました。このかたちが作れて満足です。
<おまけのひとこと>
有限の平らな面で囲まれた多面体の中で、もっとも対称性が高くて美しいのはプラトンの多面体と呼ばれる5つの正多面体だと思うのですが、多面体マニアの度合いが進んでくると、正多面体から離れたかたちの、それぞれの面白さや美しさを感じるようになってきたように思います。
1月31日(土) ライフゲーム?
先日、妻の買い物のお供で楽譜屋さんに行ったのですが、買い物を済ませてお店から出たときに、足元のタイルを見て、「あれっ、これってライフゲームのパターン?」とびっくりしました。
図 1 ライフゲームというのは、(2004年11月30日のひとことでご紹介していましたが)ひとことで説明するのがとても難しいのですが、簡単なルールでパターンが変化してゆくシミュレーションで、とても面白いものです。
写真のタイルには、ライフゲームのルールとしては安定な細長いパターンと、ライフゲームのグライダーから1セル足りない4セルのパターンがあります。この「グライダー−1」は、タイルの目地をはさんで隣のタイルとつながっていると考えると、セル10個で構成されるナナメのパターンが繰り返されているというふうにみることができます。
お店を出たとたんにしゃがみ込んでカメラで地面の写真を撮っている私を見て、妻が「不審者だと思われないかしら」と心配してくれました。
<おまけのひとこと>
この更新は1月31日(土)の朝からやっています。このところ、来年度の計画を会社の偉い人に報告するための準備がとても忙しくて、在社時間が毎日14時間とかになっています。この週末(1/31, 2/1)も持ち帰りの仕事もあって、土曜日に準備して、日曜日は会社に行かなければならないです。
楽譜屋さんに行くのは大好きです。