以前の「ひとこと」 ： 2004年7月前半
7月1日(木) ガラス細工
7月になりました。今日は何をご紹介しようかな、と昔撮った写真などを眺めていたら、こんなものがみつかったのでご紹介します。（これ、以前に載せたことはなかったと思うのですが）
|
昔々、学生時代は今とは全く違う専門で、化学の実験をたくさんやっていました。化学実験では、必要に応じて器具を作ったり加工したりすることがあります。（まあどんな実験でもそうですけれども。）といっても学生実験ですから、必要なガラス加工作業といえば、高々ガラス管を必要な長さに切るくらいのものでした。
実験中、ちょっと手があいたときなど、ガラス細工の練習をしていました。ガラス細工といっても、もちろん動物などを作ったりするものではなくて、あくまでも実験道具の加工です。あまり腕がよくなくて、Ｔ字管とかは減圧に耐える気密性の高い丈夫なものは結局作れなかったと思います。
好きだったのは、細いガラス管の端を加熱して封印して、それをゆっくり吹いて小さな丸底フラスコを作るというものです。最初は加減がわからなくて、大きくしすぎて非常に薄くて割れやすいものが出来たりしましたが、写真のものはかなり小さいですがそれなりに丈夫で、手で持っても「握りつぶしそう」という感じはありません(笑)。
中には1cm角の折り紙で折った、赤と青の折鶴が1羽ずつ入れてあります。フラスコの口は消しゴムで作りました。
＜おまけのひとこと＞02年12月4日の＜おまけのひとこと＞でご紹介した紙のリング3枚の星型の写真を送ってくださった方から、カウンタ「0120120」の画像とともに、久しぶりにメールをいただきました。ありがとうございました。
ずっと昔に作ったものや撮った写真を掲載しようとすると、「これってもう載せたっけ？」と思うことがだんだん増えてきました。
7月2日(金) 「球に近い」
多面体に関する、ちょっとした問題です。ご存知の方も多いかもしれません。
 |
 |
|
| 正十二面体 | 正二十面体 |
プラトンの５つの正多面体のうち、面数の多いほうの２つである正十二面体と正二十面体を比べてみます。この２つのうち、どちらがより「球に近い」でしょうか？ 「球に近い」ということの定義も含めて考えてみてください。
ガラス細工の器具といえば、昔、自宅の文房具の引き出しに、私の父が手作りしたというホールピペットが入っていました。中央の液溜まりのところは細長くなくて球状で、先端はガラスを引いて円錐形に尖っていました。 今思い出してみると、液溜まりの前後のガラス管の軸がきちんと揃っていました。 当たり前のようですが、これは腕が悪いと軸が揃わなくて、ピペットを転がしてみるとガラス管が歳差運動をするようになってしまうのです。 自分の技術はそのレベルまで達しなかったな、と思いました。
＜おまけのひとこと＞今週は、同じ地区の役員さんたちと、地域の公民館行事への参加のお願いに各戸にお願いに回ったりして大変です。
本職のほうで、アイディアを検証する実験系が出来なくてこのところずっと困っていたのですが、ようやくそのめどが立ってほっとすると同時に、やってみたいことがさらに増えました。
7月3日(土) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その1)
昨日、正十二面体と正二十面体ではどちらが球に近いでしょうという話を書きました。この２つの多面体は双対の関係にありますから、正十二面体のほうは頂点が20、正二十面体のほうは頂点が12あります（ややこしい）。 ということで、この２つのうちで頂点の数が少ない、正二十面体に注目して、12個の頂点の位置がどうなっているのか、考えてみたいと思います。
もちろん、正二十面体の12の頂点の位置（三次元座標）というのは、理論的に厳密に求めることが出来ます。ちょっと検索すれば、容易にみつけることができると思います。でも、これを計算するのではなくて、簡単な規則から自動的に生成させるようなことはできないだろうか、と考えてみました。それについて今日からちょっと書いてみようと思います。
正二十面体の12の頂点の位置関係について、定性的な性質を考えてみると、 1.同一球面上にある というのと 2.隣り合う5点までの距離が同じ という２つが思い浮かびます。この２つの条件を満たすように、12個の点の位置を少しずつ徐々に変えていったら、自然に正二十面体ができないでしょうか？
たとえば、12人の人がいたとしましょう。この12人は、地球上の任意の緯度・経度に自由に動けるものとして、またお互いの位置はいつでもわかるものとしましょう。この12人の一人一人は、あらかじめ正二十面体の頂点の位置関係で定められた「お隣」5人が決められていて、その5人までの距離ができるだけ一定になるように地球上を動き回るとしましょう。もちろん移動中も常に他の人の位置が刻々と変わりますので、移動すべき方向も常に少しずつ変わるでしょう。
そうして、12人が常に動き続けたとしたら、最後には、それ以上一歩でも動くと隣人5人までの距離が変わってしまうので動けなくなって終わる、あるいは全体としてゆっくり回転する、という状態に安定するように思います。そのときには12人は地球に内接する正二十面体の頂点の位置に落ち着いているでしょうか？
確か、世界一大きな正多面体の彫刻を作ろう、というような構想があって、地球に内接する仮想的な正多面体（確か正二十面体）を考えて、その頂点が地上に露出している部分だけを実際に作ろうというような話があったような気がするのですが、調べている暇がありませんでした。仮想的な正二十面体を回転してみて、頂点ができるだけ陸地になるようにして、でも全部は陸上にはならなくて、一部はどうしても海の中になってしまう・・・というような話だったような。ご存知の方は教えてください。
今年は上の子は学校の行事で登山とキャンプがあります。今日は親子レクリエーションで飯盒炊爨の練習をすることになっています。下の子と私はお出かけしようと思っています。
明日は地区の運動会があって、手配してある飲み物やおにぎりや慰労会のお料理等の買出し等で一日駆け回ることになっています。
7月4日(日) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その2)
球面上に12個の点を置いて、あらかじめ決めた隣接する5点との距離ができるだけ同じになるように12点それぞれを動かし続けたらどうなるだろうか・・・という話の続きです。最初に、どんなシミュレーションをしようと思ったか、説明したいと思います。
 |
| 図 1 |
まずは正二十面体の頂点のつながり具合を調べます。図1のように12の頂点に名前をつけます。
int neighbor[POINT][POINT] = {
// N A B C D E F G H I J S
{0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0}, // N
{1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0}, // A
{1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0}, // B
{1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0}, // C
{1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0}, // D
{1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0}, // E
{0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,1,1}, // F
{0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1}, // G
{0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1}, // H
{0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1}, // I
{0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, // J
{0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0}, // S
}; |
これはCプログラムの一部です。12×12の表になっています。この表の交点が1ならば、２つの頂点は稜でつながっている、隣り合う頂点であるということを示します。
 |
| 図 2 |
最初に、12個の頂点を球面上にランダムにばらまきます(図2)。シミュレーションでは、頂点は常に球面上にあることにします。（頂点の位置ベクトルを常に大きさ1に正規化します。） 隣接する頂点がお互いに距離が近くなるように動かしてしまうと、おそらく全部の点が1箇所に集まってしまうでしょうから、引力ではなくて斥力でシミュレーションしてみようと思いました。
例えば図1の頂点Nならば、頂点A,B,C,D,Eと隣接しますから、ベクトルN-A,N-B,N-C,N-D,N-Eを考えて、それぞれの距離の二乗に逆比例する大きさのベクトルの和を、Nに対する移動ベクトルだとしてNを動かして、その後でNのベクトルの大きさを正規化する、という方法で計算してみることにしました。
早い話が、「隣り合う5点のうち、距離が近い点ほど強い力で離れようとする」ということです。こうやって徐々に12点を動かしてゆくと、最後はどうなるでしょうか？ これでうまいこと12点がバランスして、正二十面体の頂点の位置に落ち着くでしょうか？
上の子と妻は、昨日はクラスの親子ＰＴＡ活動で、キャンプに備えて学校の庭で飯盒炊爨の練習でした。実際にご飯を炊いて、カレーも作って食べたそうです。 炎天下の校庭でフォークダンスの練習までしたそうで、（親は）大変だったようです。
私は下の子とお出かけをして、帰りに以前も立ち寄った模型屋さんに寄りました。エポック社の昔のボードゲーム（情報完全公開型で運の要素のないアブストラクトゲームです）を買ってみたのですが、下の子がこれがとても気に入ってくれて、私と何度も対戦してみました。今朝もさっそく「やって！」と頼まれたのですが、今日は一日球技大会で出ているので、勘弁してもらいました。
これは、6月2日のひとことでご紹介したお店で買ったのですが、ゲームのルール等については、いずれまた改めて書きたいと思います。
7月5日(月) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その3)
正二十面体の12の頂点の座標を、単純なルールに従った数値計算で求めてみようという話を書いています。ようやく今日はCGを載せるところまで話が進みました。前々回(7月3日)、前回(7月4日)をお読みでない方は、さきにそちらからお読みいただくほうが、本日のCGの意味がわかって、より面白いと思っていただけるのではないかと思います。
さて昨日も書きましたが、12の頂点の１つの頂点に注目して、隣接する5点から距離の二乗に反比例する変位を受けて次の位置を決める、という計算を次々と行ってゆきます。物理シミュレーションではなく、あくまでも「つりあいの位置」を簡易的に求める目的で計算していますので、計算方法はかなりラフなものです。
最初に12の頂点の初期値として与える座標を擬似乱数で生成するのですが、その乱数の種(seed)をいろいろ変えて、どんなパターンに収束するのか試してみました。また、数字で3次元座標を見ていても何がなんだかわからないので、いつものように計算結果はPovRayのソースとして生成するようにしました。
では、計算結果として、数多く現れたパターンをご覧下さい。
 |
| 図 1 |
 |
| 図 2 |
昨日は一日グラウンドにいて、腕が真っ赤に焼けてしまいました。
7月6日(火) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その4)
正二十面体の12の頂点の座標を、単純なルールに従った数値計算で求めてみようという話の続きです。昨日は、あらかじめ定義した隣接する点の間にだけ斥力が働くと考えると、変な傘のようなかたちに収束してしまう例がありました、という話をご紹介しました。
 |
| 図 1 |
傘の縁の１つの頂点に注目してみました。あらかじめ定義した5つの点から、距離に応じた斥力を受けているのですが、距離は3種類ありました。近い方から順番に、緑、黄色、赤と色をつけてあります。
距離が違うのになぜ安定してしまったかというと、この5点からの斥力のベクトルの和が、この12点が乗っている球の中心から注目している点までのベクトルと同じ方向になってしまっているので、結局この点は動けないのです。
メールでもコメントをいただいたのですが（ありがとうございました）、通常はこのように球面上の点が互いにできるだけ離れるように配置しようとする場合は、全ての点の間に斥力が働くものとして計算しておいて、2点間の距離のうちで一番近いものだけを結んでやると、正二十面体になるはずなのですが、今回は最初に頂点の相対的な位置関係を定義してしまって、定義上隣接する5点以外は無視しているため、図1の傘のようなかたちに収束することがあったのです。
ちなみに傘の先端のところには２つの頂点があります。この2つはもともとの正二十面体の骨格ではちょうど反対側に相当していたのですが、今回の計算ではこれらの2点の間にはなんら力が働かないので、このように正十角錐のような形になってしまったのでした。
もちろん、このような形になるばかりではなくて、頂点がちゃんと均等に分布する例もたくさんありました。
 |
| 図 2 |
比較的わかりやすい視点の結果を選んだつもりなのですが、これがどんな形なのかわかりますか？
毎日暑くて大変です。
書きたいメール、書かなければいけないメールがたまりつつあるのですが、このページの更新の時間をとると、あとは全然時間がとれないでいます。失礼をしております。
7月7日(水) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その5)
正二十面体の12の頂点の座標を、単純なルールに従った数値計算で求めてみようという話の5回目です。今日は寝坊して時間がないので、図だけ載せます。
 |
| 図 1 ： 初期状態 |
 |
| 図 2 ： 収束 |
途中経過のアニメーションを、こちら(icosa2.gif : 261kbyte)においてあります。自動的に捩れがとれてゆくところなどの動きが面白くて気に入っています。こんなアニメーションを作りたかったのでした。
自宅のプリンタの調子がちょっとよくなくて困っています。
7月8日(木) 正多面体の頂点をシミュレーションで(その6)
球面に12個の点を均等にばらまいて正二十面体の骨格を作りたい、ただし、あらかじめ12点の隣接関係は決めておきたい、そうして、複雑に折りたたまれた状態からきれいな多面体骨格に変形してゆく様子をアニメーションにしたい、という話を書いています。
話をわかりやすくするように次元を１つ下げて、円周上に点を等間隔に配置する例で説明してみます。
 |
| 2次元の例 |
上の図Aは、円周上に４つの点を配置しているところです。ただし、赤と青が交互に並ぶようにしたいのです。たとえ最初に赤・赤・青・青という初期状態から始めたとしても、赤と青が自動的に入れ替わるようにしたいのです。
ここで、色の異なる点の間にのみ距離に応じた斥力が働くとすると、この4点が円周上に拘束されている系は、図Ａの状態よりも図Ｂの状態のほうが、より安定した解になります。（わかりやすいように図Ｂでは赤と青をわずかにずらして描いていますが、これは一致するでしょう。）このほうが赤と青の間の距離が長くなるからです。
今回の一連の話題で、最初に12点が正十角錐の頂点になるように収束してしまった例を挙げましたが、これはちょうど今日の図でいうところの図Ｂのようなものです。 また、同様なシミュレーションを他の多面体骨格に対して行ってみると、頂点が2色で塗り分けられるタイプの多面体については、まさに図Ｂのように、1本の棒に折りたたまれてしまう例が観察できました。
・・・この話題、シミュレーション自体は何年も前に行ったもので、CG等はストックがあるのですが、解説はこのところ毎朝即興で無計画に書いています。 毎日暑くて夜の眠りの質が下がっていて、朝の時間が短くて、その結果更新内容の質も下がっているように思えます。すみません。
また、この話題に関して、「同じようなことをしているサイトがありました」という情報をいただきました。こちらです。私もまだちゃんと見ていないのですが、面白そうです。情報ありがとうございました。
7月9日(金) CG
暑くてややこしい説明を書く気力が出ないので、今日は以前作ってあったCGを１つ載せます。
 |
３つの壁（床）に映った影にご注目下さい。解説はまたいずれ。
＜おまけのひとこと＞厳しい暑さが続いています。どうかご自愛を。
昨日の夜、打ち合わせから自分の席に戻ると、数日前に依頼しておいた試作があがったとの連絡が届いていました。時間が遅かったので昨日は受け取れなかったのですが、今日はそれをもらってきて試します。うまくいっているとものすごく嬉しいのですが、さあどうなるか、今日は期待と不安でいっぱいです。
7月10日(土) 楽器が来た
今年の春、春山工房というところに、スピネットという楽器の製作をお願いしました。梅雨が明けるころには出来ますというお話でした。
今朝7時過ぎに滋賀の楽器工房から電話があって、楽器が完成したので、これから車に積んで昼ごろにお届けしますとのことでした。まさか今日だとは思っていなかったのでびっくりしました。
楽器を設置する場所の掃除をして、搬入のじゃまになりそうなものをとりあえず片付けて、午前中はあっというまに過ぎました。予定通りお昼過ぎに楽器は到着しました。音色も姿も期待以上に美しくて感激しました。
・・・気がついたら7時間ほど弾いていました。楽器の写真を撮るのも忘れていました。
＜おまけのひとこと＞一昨日の昼休みに職場の消火栓訓練がありました。筒先が新しいものに変わっていました。消火栓の放水訓練未経験の若手メンバーがホースを構えていたのですが、筒先を絞っていなかったため、放水を始めると、水が広がってしまいました。以前の筒先だと一番広げても手前には水はこなかったのですが、新しい筒先は構えている人のほうにまで水が広がりました。そのため頭から水をかぶってしまいました。おかげでだいぶ涼しくなりました。
7月11日(日) 正方形を分割
一昨日のCGの話の続きを書こうかと思ったのですが、ちょっと単発の話題を。
一辺の長さが1の単位正方形が25個集まった、5x5の大きさの正方形を考えます（下の図のＡ)。これを切断して、小さな正方形に分けることにします。小正方形の辺の長さは同じものがあってもかまいませんし、違うものがあってもかまいません。ただし、単位正方形より細かい単位で切断してはいけません。 また、一旦切断したものをつなげて正方形を作ってはいけません。
 |
例えば、上の図のＢのように一辺が４の正方形を１つ切り出したとすると、あとは全部長さ１の正方形になります。この例では10個の小正方形に分割できたことになります。
図のＣでは、一辺が3の正方形が１つ、2の正方形が３つ、1の正方形が４つで、全部で8個の小正方形に分割されています。
このように、できるだけ少ない数の小正方形に分割することがこのパズルの目的です。ＡよりもＢ、ＢよりもＣが、より優れた解だということになります。
さて問題です。1辺の長さが13の正方形を、同様にできるだけ少ない数の小正方形に分割してください。
 |
2日分まとめて更新です。
今日は地区の行事で牧場に行きます。先週の球技大会で腕が日焼けしてしまって、細かい水泡のようなものが出来てしまって、我ながら気持ちが悪くてたまりません。皮膚が再生されればきれいになるのでしょうけれども、明日も日焼けしそうですし。
7月12日(月) 楽器の写真、他
楽器の写真を撮りました。
 |
 |
|
| 図 1 | 図 2 |
一部曲線がありますが、基本的には五角形のかたちをしています。一番長い辺の長さがちょうど畳の長いほうと同じ180cmくらいです。ですから、一畳分のスペースにおさまっています。
昨日の13×13の正方形を分割するパズルですが、12個という解をメールでいただきました。それも3種類も。 いずれも対称性の高い非常に美しい解でした。ありがとうございます。私の知る限りでは、もう１つだけ、小正方形の数が少ない解が存在します。
＜おまけのひとこと＞昨日は地区の公民館の行事で、午前中は道路のごみ拾いをしながら八ヶ岳山ろくの牧場まで歩いて、そこでバーベキューをやって、子供たちは馬に乗りました。先週の平日のように暑くもなく、前日の土曜日のように大雨でもなく、ハイキング日和でした。
夕方、アンサンブルのメンバーが、新しい楽器を見に遊びに来てくれました。テレマンのリコーダーソナタや、バッハのビオラ・ダ・ガンバのソナタなどを演奏して、とても楽しい夜になりました。
7月13日(火) たいまつ
今週の後半、小学校で登山とキャンプがあるのですが、そのときに各自が1本ずつ、トーチ（たいまつ）を用意してくださいという通知が来ていました。棒は、長さが1m〜1.2mくらいの生木であまり細くないもの、頭の部分に10〜15cmくらいぼろ布を針金で巻いて、布が持ち手のほうにずり下がってこないように、布の下にも針金をきつく巻いてください、ということでした。
さすが山の学校、こういうものを持ってこいと言われても、みんなそれなりになんとかなるんだなあと思いつつ、うちでも今朝、トーチを用意しました。 上の学年の人にきいてみると、生木といっても用意できない人もいるので、ほうきの柄を使っていた子、角材を使っていた子（手が痛そうですね）といろいろいたそうです。 とりあえず材料があったので、2本作ってみました。他の人のものの様子を見て、使う本人に選んでもらおうと思っています。
 |
これに名前を書いて、キャンプ前日までに学校に持っていっておいて、当日は先生が一括してキャンプの場所に運んでくださるのだそうです。どこにどうやって名前を書こうか・・・
＜おまけのひとこと＞本当は10〜11日の週末に用意しようと思っていたのですが、地区の行事と、楽器が来たのとで、時間がなくなってしまいました。今朝は5時に起きてトーチを作りました。気温が平年並みに戻ってくれたおかげで、涼しくて気持ちの良い朝でした。
7月14日(水) 正方形を分割する：その後
昨夜は職場の飲み会で、珍しく終電になりました。（といっても田舎なので、最終は22:45なのですけれども。） 家に帰ってみたら、7月11日に書いた、正方形を分割するパズルに関して、兵庫教育大の濱中さんから、すばらしいメールが届いていました。今日はその結果の数字だけ、簡単にご紹介したいと思います。
13x13の正方形は、11個の小正方形に分割することが出来る、というのが7月11日にご紹介したパズルの答でした。（図は載せてしまってはいけないと思うので、省略します。）濱中さんは、元になる正方形の一辺の長さをいろいろ変えた結果を、答の図とともに教えて下さいました。感激です。ありがとうございました。
結論だけ簡単にご紹介させていただくと、
| 3x3 | 6個 |
| 5x5 | 8個 |
| 7x7 | 9個 |
| 11x11 | 11個 |
| 13x13 | 11個 |
| 17x17 | 12個 |
| 19x19 | 13個 |
| 23x23 | 13個 |
| 29x29 | 14個 |
だそうです。とても興味深い結果です。ありがとうございました。
正方形分割に関しては、あそびのコラム27にもちょっと書いていますのでご覧下さい。
＜おまけのひとこと＞濱中さんのページは、表紙の更新日時が変わっていなくても日記が更新されたりしていることがあるので、まめに見せていただいています。
昨日の「たいまつ」は、柄の部分をナイフで削って、そこに名前を書くことにしました。昨日の写真の左側の細いほうのたいまつを使うことにしたそうです。
7月15日(木) 正方形を分割する：つづき
正方形を分割する話ですが、さらに先の数値の情報について、多倍長電卓LMの作者の高橋さんからご連絡いただきました。ありがとうございます。
やはり結論だけ簡単にご紹介させていただくと、
| size | 個数 |
|---|---|
| 31,37,41 | 15個 |
| 43,47,53 | 16個 |
| 59,61,67 | 17個 |
| 71,73,79,83 | 18個 |
| 89,97,101,103,107 | 19個 |
| 109,113,127 | 20個 |
だそうです。濱中さんも高橋さんもコメントくださったのですが、全体のサイズが増えているのに、個数が減るという例はなかったとのことです。 また、高橋さんは、サイズが大きくなってゆくと、個数も発散するのだろうか、それともある上限値に収束するのだろうか、という疑問を書いて下さいました。 確かに、どんな大きな素数のサイズのものでも有限個の正方形に分割できるとしたら面白いですね。 （私にはこれが偽であると言える論理を即座に思いつけません。）
いろいろ調べていたら、こんなページに正方形分割の話がまとめられていました。非常に興味深い内容でした。パーキンス夫人のキルト(Mrs. Perkins' Quilt)のページに、データが出ています。高橋さんのほうが大きな値まで調べて下さっていますね。 なお、素数以外の正方形についても分割のルールが定められていました。 これに従うと、40と41のところで逆転が起こっているようです。が、素数以外のものに関するルールは、個人的にはちょっと素直に納得しかねるような気もします。
＜おまけのひとこと＞今週はとても忙しいです。
梅雨が明けてしまって、また暑くなってきました。
今日は上の子が登山とキャンプに行きます。天気がよくてよかったです。