以前の「ひとこと」 ： 2018年4月前半
4月1日(日) タングラムのバリエーション：７つの三角形を作る切り方(出題編)
先週の月末の更新は、タングラム(正方形を7つの凸多角形に切り分けて、それを並べ替えていろいろなかたちを作る遊び)の話を書いたのですが、少し調べてみると「正方形を7つに切って、並べ替えて多数の凸多角形を作る」とか「正方形を7つに切って並べ替えて多数の三角形を作る」といった試みがあるようなのです。試してみたら面白かったのでご紹介します。
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| 図 1 |
図1は、正方形を7つに切って、並べ替えることで7種類の三角形が作れる切り方です。こちらのページによりますと、1968年に出題されたのだそうですが、この7種類を超える切り方があるのか、それともこれが最高なのかはわかっていないそうです。
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| 図 2 |
この切り方は、三角形が6枚、四角形が1枚になります。鏡像対称性を持つパーツは１つもありません。
「本当に7種類作れるのかなあ」と思って、PCの中でパーツを反転したり回転したりしながら試行錯誤してみました。7種類全部の解を見つけるのに2時間くらい、たっぷり楽しませていただきました。厚紙などで現物を作ってそれで試すほうが簡単な気がしますが、ちゃんと記録を取りながらやらないと、ぱっと見て同じ三角形の別解なのか新しい解なのか、混乱します。
たいへん面白いパズルなので、挑戦してみることをお勧めします。
1月に車の半年点検をする予定だったのですが、何かと用事がある週末が続いて、延び延びになっていました。この際、冬タイヤからノーマルタイヤに交換するタイミングでいいかなと思い始めたのですが、前回のオイル交換から8,000キロくらい走ってしまっていることに気が付いたので、昨日(3/31(土))点検をしてもらってきました。
タイヤはどうしようかな、と思ったのですが、4月に雪が降る可能性はゼロではないので、今回はタイヤ交換を見送りました。タイヤ交換は5月連休かな…と思っています。
＜おまけのひとこと＞持ち帰りの仕事になかなか取り掛かれません。ついほかのことをやってしまいます。
4月2日(月) 空間を充填するリング多面体(その1)
空間を充填する多面体を調べていたら、こんな立体を知りました(図1)。
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| 図 1 |
これは、Paul Bourkeという方が2014年に発表しているものだそうです。外側に等脚台形の面が8面、内側に正方形の面が4面あります。
CGも作ってみました(図2、図3)。
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| 図 2 |
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| 図 3 |
さてこのかたちがどのように空間を充填するかわかりますか？
毎週日曜日14時から本放送、翌日の月曜日の7時25分から再放送されている、NHK-FMの「きらクラ！」のイントロクイズ「きらクラDON!」に応募していたのですが、番組の中でメッセージを読んでいただくことができました。
今回はラヴェルの「マ・メール・ロア」でした。先週の日曜日、妻と二人で「資源ごみ」を出しに行ったとき、車の中でちょうど出題を聴くことができて、「ああ、あれだよね」と意見が一致しました。
この曲の楽譜は、20年以上前に今の会社に入社して間もなく知り合った、たぶん会社の中で一番親しかった友人からもらったものです。「きらクラDON!」を聴いて、彼のことを久しぶりに思い出しました。転職して行った彼とはもう長いこと音信不通です。元気に幸せに暮らしていてくれるといいな、といったことを書きました。
「きらクラ！」でメッセージ取り上げていただくと、番組オリジナルステッカーをいただけるのですが、確かステッカーが新しくなったときいたような気がします。いただけるのが楽しみです。
＜おまけのひとこと＞といいつつ、前のステッカー、大事にしまってあるはずが、どこにあるかわからないのです。
4月2日(月)の早朝に、4/2〜4/4の3日分の更新をしています。今週も週の途中で1回くらい更新ができるといいなと思っています。
4月3日(火) タングラムのバリエーション：７つの三角形を作る切り方(シルエット編)
日曜日の更新で、「正方形を7つに切って、重ねずに並べ替えて7種類の三角形がつくれるかたち」をご紹介しました。
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| 再掲図 |
答えそのものは載せませんが、7種類の三角形がどんなかたちなのか、シルエットの図にしてみました。
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| 図 1 |
当たり前ですが、これ、左上の正方形も含めてすべて面積は一緒です。でもなんだか正方形が小さく見えませんか。
ちなみに、すぐに見つかった解は図の B と C でした。それからだんだん細長い鈍角三角形が見つかって、最後に見落としていた A を見つけました。
繰り返しになりますが、このパズル、楽しかったです。スチレンボードか何かで自作してみようかなとも思いましたが、７つあるという解が全部見つかったので、作らなくてもまあいいか、と思っています。
4月は職場の歓送迎会がいろいろあります。幹事をやらないといけないものもあります。ちょっと大変です。
4月4日(水) The Map of Mathematics
Gigazineに数学の広大な分野の広がりを収めた一枚の図「The Map of Mathematics」という記事が出ていて、面白く読みました。
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| 図 1 |
「数学の分野の広がりを図にしたもの」というと、思い出すのは、「数学ガイダンス2016」(日本評論社)の「数学ランド」のイラストです。blogとね日記さんに画像がありました。
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| 図 2 |
類似のものとして、東京図書のPOP・ポスターのページに、「数学の樹形図」という図を公開していただいています。
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| 図 3 |
「書店様の拡販や身近な方への内容紹介などにご活用ください」と書かれていて、pdfで公開されています。たいへんありがたいことです。
図ではないのですが、濱中裕明先生のwebサイトだったかブログだったかで、テキストでRPG仕立てで数学の様々な分野について書かれたものがあったと思うのですが、見つけられませんでした。あのテキスト好きだったのですけれども。
＜おまけのひとこと＞今のwebの「なんでもあり」の時代が過ぎたら、コンテンツも管理されるようになってゆくのでしょうか。最近図書館で借りた「折りたたみ北京 〜現代中国SFアンソロジー〜」というSF短編集の「沈黙都市」を連想しました。この本については読み終わったところで感想を書こうと思いつつ、なかなか読み終わりません。
4月5日(木) 空間を充填するリング多面体(その2)
先日ご紹介した、空間を充填するというリング状の多面体の話の続きです(再掲図)。
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| 再掲図 |
内側の面は正方形ですので、こんな風に鎖のように絡ませると(図1)、内側の正方形の面をぴったり合わせることができます。(gifアニメーションにしてみました。)
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| 図 1 |
図2のように、１つのリングには４つの別のリングが絡まります。筒の内側の４つの正方形の面が、それぞれ別のパーツの正方形の面に合わさるのです。
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| 図 2 |
すべてのパーツについて、このように４つずつのパーツが絡まることで、空間が隙間なく充填されます。
こちらの3D Chainmail(3次元の鎖かたびら)というページに、たくさんのCGが出ています。とても面白いと思います。「四次元の世界の騎士の防具」というサブタイトルがついています。「なるほど！」という思いと、「ん？ この三次元鎖かたびらの次元を１つ下げたら、我々のよく知っている鎖かたびらになるのかな？」という疑問が湧きました。ちょっと違うような…
こういう三次元の構造のイメージをわかりやすくCGにするのは、かなり工夫が必要です。その意味で上記のページのCGはすばらしいです。
先日、自宅の水回りにコルクボードを貼った話を書きました。パーツが足りなくて途中で作業を中断したのですが、妻が部材を買って来てくれているのですが、実はまだ続きをやっていません。
40年以上前、福音館の「くまのパディントン」のシリーズが好きでした。（今も妻のピアノ教室の本棚に置いてあります。）その中でも、「パディントンのクリスマス」の巻が好きでしたが、その中に「怪装事件」という話があって、一家の主であるブラウン氏が部屋の改装用の材料を買ってあるのになかなか仕事を始めないため、パディントンが自ら改装に挑戦するという話がありました。
私もはやく続きをやらないと、たいへんなことになってしまうかもしれません。
＜おまけのひとこと＞4月は人の異動もあって、歓送迎会も多くて、なかなか大変です。
4月6日(金) Tracks
最近、Simon Tatham's Portable Puzzle Collectionという、ブラウザ上で遊べるたくさんの種類のパズルのサイトにはまっています。
古典的なパズルや、「パズル通信nikori」に載っているペンシルパズルの系統のものがたくさんありますが、知らなかったルールのパズルもありました。本日ご紹介するのは、その中の1つのTracksというパズルです。
図1は10x10のサイズの盤面の新しい問題です。盤面に鉄道線路がいくつか描かれています。盤面の上と右には数字がずらっと書かれていますが、この数字は、それぞれの数字の列と行の中で、線路が通過するマスの数を表しています。
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| 図 1 |
盤面の左と下に[A]と[B]の記号がありますが、これがこの盤面の線路の両端になります。このパズルは、AとBのマスを、ひとつながりの線路で結ぶことが目的です。ただし、各行、各列の線路が通過するマスの数は、問題の条件に合わせなければなりません。
図2は解き始めた直後の状態です。まず、下から4行目の「４」ですが、この行はすでに線路が通過するマスは4マス確定していますから、それ以外のマスは線路は通りません。「×」印を書き加えます。（右クリック）
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| 図 2 |
また、下から4つ目の一番右のマスは、左から線路が入ってきていますが、これは上のマスにつなげることしかできません。そうすると、一番右の列の[6]が確定するので、一番右の列の上から4マスが「×」印になります。
こうして解いていって、解き終わった状態が図3です。
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| 図 3 |
「ピクロス」とか「イラストロジック」とか言われる系統のパズルと、「一筆書き」の経路を作るパズルを組み合わせた、面白い解き味の手軽なパズルだと思いました。これはペンシルパズルとしても成立しそうです。
自宅の屋根の塗り替えをお願いしました。最初に洗浄をするのですが、自宅にいた妻が「ものすごくうるさかった」と言っていました。
4月7日(土) Signpost
昨日に続いてSimon Tatham's Portable Puzzle Collectionというページのパズルのご紹介です。本日ご紹介するのは、Signpostというパズルです。
図1が開始直後の状態です。これは5×5マスの問題ですが、各マスには矢印が１つずつ描かれています。矢印の向きは8通りありますが、この矢印の向きはそれぞれの問題で固定されていて、向きは変えられません。
このパズルの目的は、１から25までの全てのマスを1回ずつ訪れて、1つながりの経路を作ることです。経路は、矢印が指している方向のマスにしか移動できませんが、距離はいくつ離れていても飛び越えられます。
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| 図 1 |
図1の問題を見ると、そもそも矢印の行先が1箇所しかないところがいくつかみつかります。それを図示してみました(図2)。
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| 図 2 |
図2の a,b,c,d は、それぞれその方向の行先のマスが１つに確定しています。このパズルはありがたいことに、このように番号が確定していない部分は、勝手に名前を付けて色分けしてくれます。
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| 図 3 |
だいぶ解き進みました(図3)。図2で、[a]のマスに侵入できるマスを探してみると、実は左上の[1]しかないことがわかります。そこで[1]→[a]とつなぐことで、1,2,3が確定しました。
図4は完成直前です。グレーのマスが[20]になります。
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| 図 4 |
これも中毒性があるパズルで、ついついやってしまいます。危険…
ちなみにこのパズルは無料で全39種類がプレイし放題のWindows/Mac/Unixで動くパズルゲーム集「Simon Tatham’s Portable Puzzle Collection」でも解説されています。
先週は、朝3時とかからその日の仕事の報告の準備をしたりすることが何度かあったのですが、そんな時に行き詰まると「ちょっと気分転換」とか自分に言い訳してパズルを始めてしまったりしました。
4月8日(日) 覆面算／Signpost(その2)
今日は掛け算の筆算の覆面算を１つご紹介します。
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覆面算というのは、筆算とかの数字を文字に置き換えて、それぞれの文字に対応する数字を見つけるパズルですが、単語として意味があるような文字を選ぶという問題の作り方をする場合が多いです。でもこの問題はそうではありません。
ではこの問題の何が面白いかというと、筆算の真ん中の部分が、[ABCDE],[BCDEA],[CDEAB]と循環しているところです。
ちょっとこれを考えてみました。割と易しい覆面算だと思いますが、解き方の例として「取っ掛かり」の部分の考え方をご紹介しておきます。
まずは右側の小さな桁から考え始めます。左から2列目、A ＋ A ＝ B ですから、Bは偶数です。また、H × H の1の位がBですから、H も偶数だということがわかります。
そこで、H ＝ 0, 2, 4, 6, 8 の5パターンを考えてみることにしました。 H を決めると B は自動的に決まります。A は、桁上がりしない場合と桁上がりする場合が考えられますので、「違う文字は違う数字」のルールから、この時点で可能なパターンは以下の(黒文字の)5パターンということになります。
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次に特徴的なのは、筆算の左から3番目の列の、Eを3つ足すと1の位がEになっている部分です。これが成立するEはどんな数でしょうか？ 桁上がりが無い場合は、3倍して1の位が同じになるのは、0 と 5の２つです。 桁上がりがある場合、3倍して1を足して、1の位がもとの数と同じになる数字はありません。
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ということは、Aは4以下ということになります。ここまでで(H,B,A)は(4,6,3)か(8,4,2)のどちらか、ということがわかりました。後はそんなに苦労せずに解けるのではないかと思います。
昨日のSimon Tatham's Portable Puzzle CollectionというページのSignpostというパズル、なんとなく何度もやってしまいました。
普通のサイズだと物足りなくなって、10×10の100マスのパターンを解いてみました。
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| 図 4 | 図 5 | |
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| 図 6 | 図 7 |
このパズルは、特にサイズが大きくなってくると紙と鉛筆で解くのはかなり大変だと思います。上記のサイトのwebアプリケーションは、マスの上で左クリックすると、そのマスの矢印の行先のマスをハイライトしてくれます。右クリックすると、そのマスを指している矢印のマスをハイライトしてくれます。特に後者の「そのマスを指している矢印を教えてくれる機能」がとても便利で、盤面が大きくなると、この機能なしには解くのは難しいと思います。
＜おまけのひとこと＞夜中の1時半くらいに目が覚めてしまって、そのまま起きてこの更新の準備をしました。4月8日(日)の早朝の更新です。今朝は8時から春の地域の「出払い」(共同作業)があります。
4月9日(月) 全ての面が三角形の穴あき多面体
先日、空間を充填する四角い「穴あき多面体」をご紹介しました。それは、外側の面（等脚台形)も内側の面(正方形)も四角形の多面体でした。
それでは、全ての面が三角形の穴あき多面体はできるでしょうか？ 空間を充填する、という条件は外すことにして、ちょっと考えてみました。
こんなかたちが見つかりました。模型を作って写真を撮ってみました。
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| 図 1 | 図 2 |
これ、どんなかたちなのかわかりますか？
庭のスイセンを妻が玄関に飾ってくれました。
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| 図 3 |
花瓶にしているのは球根の水栽培用の容器です。
＜おまけのひとこと＞4月9日(月)の早朝に、4/9〜4/11の3日分の更新をしています。
昨日(4/8)の朝は氷点下でした。その中での共同作業は寒かったです。最近は仕事が少なくて、半分以上の時間はただ立っていたので、さらに寒かったです。
4月10日(火) 正二十面体を基にした穴あき多面体(その1)
昨日ご紹介したかたちは、正二十面体を基本にした穴あき多面体でした。正二十面体はこんなかたちをしています。
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| 図 1 |
(骨格モデルよりも面モデルのほうが画像が単純なので、ファイルサイズが小さくなります。)
この正二十面体の向かい合う２つの面を取り去ります(図2→図3)。
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| 図 2 | 図 3 |
取り去られた二面は正三角形です。二つの面の三角形の向きは逆になっています。手前の三角形の辺と奥の三角形の頂点を結びます。そうすると三角反柱ができます(図4)。
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| 図 4 | 図 5 |
これを、図3の面を外した正二十面体と重ねると、目的の穴あき多面体ができます(図5)。
図4を見ていると、外側の三角形(正三角形です)と内側の黄色い三角形のかたちは、一見さほど変わらないように感じるかもしれません。でも、内側の筒は正二十面体の両側をつないでいるわけですから、もちろん正三角形よりもずっと細長い三角形でできています。
視点を変えてみると、内側の黄色い三角形がかなり細長いことがわかります。
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| 図 6 | 図 7 |
いかがでしょうか。私は図6、図7の視点のCGもわりと気に入っています。
先週、「きらクラ！」のステッカーが送られてきました。以前のバージョンとは違うデザインでした。新旧のステッカーを並べて眺めてみました。次の更新では写真を載せたいと思います。
来週末に自分が幹事を担当している次の週末の職場の飲み会のお店を予約しました。例年だと4月10日過ぎというとちょうど桜が見ごろなので、駅から遠い、お城に近いお店を考えていたのですが、今年は来週だともう桜は終わっているでしょうから、どうしようかな…と思っていました。
でも結局そのお店にすることにしました。先日、出席する同僚にちょっと相談したときにも名前が出てきたお店ですし、妻にちょっと相談したときにも「あそこがいいんじゃない？」と出てきたお店だったのです。今回は比較的世代が近い人ばかりの飲み会(若い人はいない)なので、まあ無難かな、と。
会社の「働き方を改善しましょう」という活動の一環として、職場単位で毎月どこか一日、「早く帰る日」（プレミアムフライデー）を決めて、その日は15時に退社する、という制度を昨年度から始めたのですが、今年もそれを継続することになっています。別に月末の最終金曜日である必要はなくて、好きな週の好きな曜日にしてよいことになっていますが、毎週水曜日と金曜日が定時退社日なので、その曜日になることが多いです。
今回の飲み会の参加者は職場はばらばらなので、飲み会は通常通り19時スタートなのですが、私はその日が15時退社の日なので、早めに会場付近に移動して、缶ビールでも片手に桜を見てから飲み会に行こうかな、と思っていたのですが、そううまくはいきませんでした。
＜おまけのひとこと＞初夏のように暑くなったと思ったら、また雪が舞って氷点下になったり、なかなか過酷な天候です。
4月11日(水) 正二十面体を基にした穴あき多面体(その2)
正二十面体の2つの面を外して三角反柱でつないだ「穴あき多面体」ですが、こんな型紙からペーパーモデルを作っています。
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| 図 1 |
内側の二等辺三角形が6枚、外側の正三角形が18枚（二十面体の20枚から2枚を引くので18面です)、あわせて24枚の三角形です。
さて問題です。1問目。この、内側の二等辺三角形はどんな寸法でしょうか？ 底辺の長さは正三角形の一辺と同じなのは明らかですが、高さはどれだけでしょう？
2問目。この穴あき多面体と同じ構造で、24枚の三角形がすべて合同になるようにこの多面体を変形することはできるでしょうか？ 内側も外側も全部同じ三角形にするのです。可能でしょうか？
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| 図 2 |
（このシリーズ、ここからが面白いのです。)
Simon Tatham's Portable Puzzle Collectionというページのパズル、Android版もあることがわかって、さっそく手持ちのタブレット端末にインストールして遊んでいます。ますますまずいです…
やってみなくてもルールはよく知っているパズルもたくさんあるのですが、Inertiaというパズルは見たことがなかったのでやってみました。これはペンシルパズルではなく、インタラクティブなコンピュータゲームならではのパズルでした。
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| 図 3 |
図3が起動したときの状態です。緑の小さなマルが自分のコマで、8方向に移動できます。移動を始めると、壁にぶつかるまで止まれません。描かれていませんが、最外周はすべて壁です。ただし、4つに切れた円が描かれているマス(図3の初期状態のマスもそうです)は、自分のコマを止めてくれるマスで、その上に移動すると通り過ぎずに止まることができます。
このゲームの目的は、黒い「爆弾」にぶつからずに、水色のダイヤ型の「宝石」をすべて取りつくすことです。
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| 図 4 |
図4が全部取ったところです。このパズルもなんとなくやってしまいます。
＜おまけのひとこと＞正二十面体の穴あき多面体、別に当たり前の話で、多面体が好きな方でも、「ふーん、で、だから何？」という感想の方もいらっしゃるかなあと思うのですが、「全部の面が合同にできるか？」というと、俄然面白い話になると私は思うのですが、正直あんまり自信がないです。
4月12日(木) 正二十面体を基にした穴あき多面体(その3)：三角形のかたち
前回の更新で、正二十面体を基にした穴あき多面体の、内側の筒を構成する二等辺三角形はどんなかたちでしょうか？という問いかけをしました。その解説をします。
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| 図 1 | 図 2 |
穴あき多面体を斜め上から見下ろしてみます(図1)。図2の赤い稜線に注目すると、ここから上の部分は5枚の正三角形による五角錐になっています。
この五角錐を切り取ってみましょう(図3,図4)。
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| 図 3 | 図 4 |
赤い稜線は正五角形ですから、内側の黄色い二等辺三角形は、正五角形の一辺を底辺として、向かい側の頂点を結んだ二等辺三角形になっていることがわかります。
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| 図 5 |
では、二種類の三角形ではなく、一種類の三角形24枚で穴あき多面体を作るにはどうすればいいでしょうか？
4/8,4/9に放送された「きらクラ！」で、同じ詩に別の作曲家が曲をつけた歌曲が紹介されていました。「日本の曲でそういう例はないんでしょうか？」というコメントがありましたが、いくつもありますよね。時節柄、「さくら横ちょう」なんかがいいかなと思いました。
番組にメッセージを送ろうかと思っていたのですが、忙しくて時間が取れませんでした。
＜おまけのひとこと＞4月13日の早朝に4/12,4/13の2日分の更新を軽く書いています。
4月13日(金) 正二十面体を基にした穴あき多面体(その4)：三角形を合同にする
昨夜(4月12日)、身内で不幸がありました。一週間ほど更新をお休みします。
正二十面体を基にした穴あき多面体は、こんなパーツから組み立てました、とご紹介しました。
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| 再掲図 |
三角形を変形して、こんなパーツにすると、内側も外側もすべて合同な二等辺三角形で、同様に穴あき多面体をつくることができます。
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| 図 1 |
今までご紹介してきたものは、内側の二等辺三角形の背が高かったので、その背の高さを少し低くします。その分、外側が横に膨らんで扁平なかたちになるのです。
本当は今日4/13は会社の飲み会の幹事だったのですが、代わってもらいました。