以前の「ひとこと」　：　2017年11月前半

11月1日(水)　立方体と正六角柱の共通部分のペーパーモデル(その1)

　先日ご紹介した、立方体と正六角柱との共通部分の多面体ですが、模型の写真をご紹介します。

図 1

　カッティングマットの上に置いて、真上から写真を撮っています。CGでイメージした通りの形ができました。今回は通常のペーパーモデルの手法で、ひとつながりの展開図にのりしろを設けたものを用意して、それをA4の用紙に印刷して切り出して組み立てています。

図 2

　中空の小さな三角錐台のスタンドの上に立てたところです。真上から見下ろすと正六角形になっています。イメージ通りのものができて満足しました。

(つづく)

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　昨年の11月に、会社の勤続25周年のイベントに出席しました。同じ事業部からは、1991年入社ということで、戦略のH部長、設計のI課長、技術のMさん、管理のMさんなどが出席していて、お互い「あなたもそうだったんですか」という感じでいろいろな話をしました。

　そのときに、2016年12月1日から2017年11月30日の1年間のどこかで、連続する最大5日間の「パワーアップ休暇」を取得する権利をいただきました。その期限があと1ヵ月になりました。私はなんとか11月13日(月)から、このパワーアップ休暇を取得したいと思って、仕事を調整しています。上司からも「迷惑がかからないように調整してね」と言われつつ、休暇取得の承認印ももらいました。（やった！）

　他の方々に、「もうパワーアップ休暇を取りました？」と尋ねると、I課長も技術のMさんも「忙しくて無理そう」と言っていました。H部長は「11月27日が山場なので、28日から30日の3日間、なんとか取りたいと思っているんだけど」とのことでした。上の立場の方はぜひ取得していただくと、下々の者は休みが取りやすくなるのでありがたいと思います。

　11月17日(金)は、長らく一緒に仕事をしてきた二人の方が、別の事業所の元職場に戻る「激励会」があるとのことで、お休みは取っていても、飲み会だけは参加しようかなと思っています。

＜おまけのひとこと＞
　11月3日(金)の祝日の朝に、11/1〜11/3の3日分の更新をしています。

11月2日(木)　立方体と正六角柱の共通部分のペーパーモデル(その2)

　昨日の模型ですが、図1の2種類の五角形をそれぞれ6枚ずつで構成されています。

図 1

　実は若干寸法が不正確で、模型を組み立ててみたら、少し誤差がありました。でもまあ作り直すのも面倒なので、まあいいか、と思ってこれで満足することにしました。

　展開図はこんなかたちになります(「のりしろ」なし)。

図 2

　中段に6枚、細長い平行な辺の組を持つ五角形が並び、上下に3枚ずつ、もともとの立方体の面の正方形由来の、直角を持つ五角形が並ぶかたちになっています。

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　10月30日(月)に、来月から別の会社に転職する同僚のTさんと二人で飲みに行きました。いろいろな話ができる友人だったので、個人的には残念に思っていますが、彼のためにはとても良い選択だと思うので、心から「おめでとう」と言って送ってあげたいと思っています。

＜おまけのひとこと＞
　作りたい模型がいろいろあるのですが、設計をしている時間が取れません。

11月3日(金)　長方形の用紙から折る箱の折り図

　先日、こんな箱の折り紙をご紹介しました。

再掲図

　この折り方、どこかで見たことがあるんだけれどもどこで見たんだっけ…と思ったのですが、思い出しました。安曇野中央図書館で、「消しゴムのカス入れ：ご自由にご利用ください」という表示とともに、上記の箱が畳まれた状態で、ひと回り大きな丈夫な箱にぎっしり詰まったものが図書館のテーブルに置かれていました。箱には興味があるので、ひとついただいて、どんな風に作っているのか確認したのでした。

　検索してみると、折り方の手順を公開しているサイトや、写真や動画もありましたが、自分のメモ用に、折り図を作ってみましたので載せておきます。(自分用なので、説明が不親切です。すみません。)

図 1

　長方形の紙を半分に折って(1)、折り目の側を左右から中心線に合わせて三角に折ります(2)。1枚だけ、巻くように2回折ります(3)。裏返して(4)、左右から中心線に合わせて折ります(5)。上の部分を、巻くように2回折ります(6)。最後に立体化します(7)。箱の底の外側に、直角二等辺三角形の「ひれ」のような部分が出来ます。それを底に合わせて平らにすれば完成です。

　形はしっかり定まりにくいですが、箱のそれぞれの面が、紙が何重にもなっていて丈夫です。すぐに折ってゴミ等を入れて箱ごと捨てる、といった用途には向いていると思います。ゆで卵をゆでている間に折って、卵の殻を入れて捨てる、といった使い方をしています。

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　11月中旬に、ちょっと標高が高いところを車で走ろうかと考えています。なので、例年より少し早いですがこの三連休に冬タイヤに交換してしまおうと思っています。冬タイヤにすると、乾燥した路面や雨の路面での性能は下がりますし、燃費も悪くなるし、タイヤも消耗するのであまりよくないのですが、凍結路の可能性を考えると早いに越したことはないかなと思っています。

　確か昨年は、11月23日の勤労感謝の日あたりに降雪の予報があって、慌ててタイヤ交換をお願いした記憶があります。さすがに11月初旬だと、まだ交換する人は少ないので簡単に予約できました。

＜おまけのひとこと＞
　久々に予定のない週末、だったはずが休日出勤になってしまいました。

11月4日(土)　紙の輪パズル(その1)

　どこで見たのか記憶がはっきりしないのですが、しばらく前にこんな紙のパズルを作ってみました。

図 1

　図のように、幅13cm、高さ10cmの紙に、11cm×3cmの窓を２つ開けて、左右の辺の中心から3cmずつ、図の黒い太線の部分を切ります。そして、青い一点鎖線を山折、赤い破線を谷折りにします。そうすると、コの字型の部分が左下は裏側に、右上は手前に重なります(図2)。

図 2		図 3

　これを、図3のように「絡ませて」ください、というのがこのパズルの目的です。

　図2と図3のどこが違うのかちょっとわかりにくいかもしれないので、gifアニメーションで交互に表示してみました。少し位置がずれていて気持ちが悪いですが、作り直すのが面倒なのでそのまま載せます。すみません。

図 4

　いかがでしょうか。方眼紙とかマス目のある紙から切り出して簡単に実験できますから、ぜひお試しください。面白いですよ。

(つづく)

　追記：いつもコメントを下さる濱中裕明さんから、「このアイディアは2010年のIPPのワークショップの冊子に掲載したものと同じです。たぶん（濱中さんの）オリジナルのはずです。」というご連絡を写真と共にいただきました。ありがとうございます。こちらの情報は知りませんでした。私が参考にしたページは2010年よりももっと新しかったと思います。(2017年11月8日追記)

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　実家の母から電話があって、「お風呂が壊れてしまったので修理してもらった。お金がかかった。」という電話がありました。大変です。

＜おまけのひとこと＞
　11月4日(土)の早朝に、11/4〜11/7の4日分の更新をしています。

11月5日(日)　紙の輪パズル(その2)

　昨日ご紹介した紙の輪のパズルですが、紙なので、あまり試行錯誤には向かないです。そこで、以下のような思考実験をしてみます。

図 1

　昨日の図1で、折り返したコの字型の部分が「ひも」だったとするとどうなるか、絵にしてみました。上の図の左側がスタートの状態、右側がゴールの状態です。

　こういうのは左側のスタートから考えると難しいので、右側のゴールの状態からほぐしてゆくことを考えます。例えばこんな風に…(図2)

図 2

　うーん、絡まっちゃいましたね。紙だとどうなるのかな？

(つづく)

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　仮想空間で「ひもを使った知恵の輪」をいじれるようなものってあるのでしょうか？　ちょっと探してみたのですが、ロープのシミュレーションはあるみたいですが、「ひもの知恵の輪」までは見つかりませんでした。

＜おまけのひとこと＞
　マウスだとこういう「ひも」の絵を描くのは大変です。

11月6日(月)　紙の輪パズル(その3)

　頭の中で考えていてもわからないので、実際に紙を切り出して実験してみました。

図 1

　こんな風に鉛筆でフリーハンドでしるしをつけて、カッターで切り抜きました。

　しばらくいじっていたら、ゴールのかたちにすることができました。

図 2

　隠れている部分をカットするとかの「ずる」はしていません。

図 3

　面白いのでぜひ作ってみてください。お勧めです。

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　ずいぶん前に「紙の輪の結び目」をいろいろ作ってみたことがありました。その時にも、輪を複数にする、という発展を考えていたのですが、それっきりになっていました。またこのあたりについても考えてみたくなりました。

＜おまけのひとこと＞
　最近、睡眠時間が不規則になってしまっています。

11月7日(火)　マンデルブロ集合

　先日、お休みの日のお昼ご飯にラーメンを食べに行こうと思ったのです。私は朝が早いので、いつも朝食は遅くとも朝6時には食べ終わっています。(炊飯器のタイマーでご飯を炊くときは、いつも朝5時には炊き上がるようにセットしています。)なので、お昼に外食に行くときは、一番混雑する時間より早く、11時半くらいにはお店に到着するように行くようにしています。

　その日は古楽の発表会に向けて、11時くらいから妻の鍵盤と合わせる練習をしていました。その後で「お昼をどうしようか」「今日はラーメンを食べに行きたいな」ということになって、家を出るのがちょうど一番混雑する時間帯の12時前くらいになってしまいました。お目当てのお店に着くと、すでにお店の外まで行列ができていました。それを見て行先を変更することにしました。

　たまたま焼肉屋さんの前を通ったら、すぐに入れそうな感じだったので入ってみました。お昼のランチセットを頼んで、ふとテーブルを見るとこんなものが眼に入りました。

図 1

　妻が「誰かが火を落として焦がしちゃったんだね」と言いました。その通りなのですが、私はこれを見て「マンデルブロ集合みたいだ」と思ったので写真を撮りました。妻はなんでこんなものの写真を撮るのか、不思議そうでした。

　マンデルブロ集合というのは大変面白くて美しい数学の概念です。検索するといくらでも情報が出てくるので細かい説明はしませんが、「数学で最も複雑な図形」などと称されることもあります。

　皆さんは電卓で遊んだことはあるでしょうか？　たとえば、適当な正の数を入力して、[√]キーをずっと押し続けていると、最後は必ず1になります。1よりも大きな数字はどんどん小さくなりますし、1よりも小さな正の数字(小数)はどんどん大きくなって、いずれも1に近づいてゆきます。

　一方、[x^2]キー(二乗のキー)がある電卓で実験してみると、今度は違ったことが起こります。[x^2]キーがない電卓ならば、[×][＝]で二乗の計算ができるものが多いと思います。最初に1から始めると、何度二乗しても1のまま変わりません。1よりも大きな数から始めると、たとえ1.0000000001 のような「ほとんど１」であろうと、少しずつ大きくなって、最後は無限大に発散してしまいます。逆に、1よりも小さな数(正の数)だと、二乗を繰り返すと最後はゼロに収束します。

　マンデルブロ集合というのは、この考え方を複素数に拡張したもので、「ある複素数を二乗して、定数cを足す」ことを繰り返したとき、無限大に発散する場合と発散しない場合があるのですが、発散しない複素数cの集まりがマンデルブロ集合なのです。

　マンデルブロ集合のCGは検索するとたくさん出てきますが、こんな感じのものです。

図 2

　こうして図1と図2を見比べてみると、実はかたちは全然違うことがわかります。でも、真ん中が真っ黒で、そのまわりに明るい縁取りがあって、という色遣いが、よく描かれるマンデルブロ集合に似ているなあと思ったのでした。

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　マンデルブロ集合は、日経サイエンスの連載記事「コンピューターレクリエーション」で初めて知りました。1980年代だったと思います。衝撃を受けました。カオス、フラクタル、セルオートマトンといった概念が面白くてたまりませんでした。

　「コンピューターレクリエーション」は、別冊サイエンスで4冊出ています。すでに絶版のようですが、ものすごく影響を受けたと思います。このシリーズに関してコメントされているこんなページを見つけました。MSX2でアセンブラでフラクタル描画をされたとのこと、すごいです。

＜おまけのひとこと＞
　「コンピューターレクリエーション」に触発されて作ったプログラムや考えたものなどを思い出しました。その辺の話もまた書きたいと思いました。

11月8日(水)　正五角形4枚の輪の多面体の模型を作る(その1)

　こんな模型を作ってみました。

図 1		図 2

　これは何かというと、9月下旬に五角形4枚と四角形4枚の八面体について少し考察していたことがあって、そのときに正五角形4枚の輪の多面体についてCGをご紹介しましたが、その模型です。CGを再掲します。

再掲図 1		再掲図 2

　図1のほうは正五角形の面を床に接して置いた場合、図2のほうは台形を床に接して置いた場合です。ひとつながりのパーツで、いわゆる「のりしろ」に相当する部分を逆台形に広がるかたちにすることで、接着せずに組み立てています。ちょっと隙間が空いてしまってあまり美しくない出来になってしまいました。

(つづく)

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　一昨日に掲載した「紙の輪のパズル」、いつもコメントを下さる濱中裕明さんからメールをいただいて、これは2010年のIPP(パズル愛好家にはとても有名です)ワークショップで濱中さんが作製された冊子に掲載されているものと同じアイディアだそうです。すみません、存じませんでした。その旨追記させていただきました。

＜おまけのひとこと＞
　妻が風邪をひいてしまって心配です。私は気が利かなくて、買い物をしてきても、洗濯をしても、どうも妻が気に入ったようにできていないみたいです。もちろん感謝してくれているのは伝わってくるのですが、こころから「ありがとう」と言ってもらえるようにできないのがもどかしいです。

11月9日(木)　チェスの駒

　先日の三連休、私は休日出勤とその準備だったのですが、妻は息子の大学の学園祭を見に行っていました。そのときに、前から探していたチェスの駒を買ってきてくれました。

図 1

図 2

　西荻の雑貨屋さんでみつけたそうです。（チェスボードは昔から持っているものです。）立派な駒で、ちょっとチェス盤が狭いですね。

＜おまけのひとこと＞
　本当は昨日の続きを書こうとおもって準備していたのですが、時間がなくて簡単な更新にしました。

11月10日(金)　フルートソナタの繰り返しの変奏案

　11月12日(日)に、小池香織さんのガンバの発表会にトラヴェルソで参加をさせていただくのですが、先日レッスンをしていただいたときに、三楽章のメヌエットのリピートを何か工夫ができないでしょうか、という話になって、少し考えてみることになっていました。

　こんなパターンを考えてみました。図1がもとの楽譜、図2が考えたほうです。

図 1

図 2

　うーむ、やってみないとなんとも言えないです。

＜おまけのひとこと＞
　11月8日(水)の朝に、11/8〜11/10の3日分の更新をしています。お洗濯をしたりメールを書いたり調べたりしていたらあっという間に時間がなくなってしまいました。いろいろ中途半端です。

11月11日(土)　正五角形4枚の輪の多面体の模型を作る(その2)

　先日ご紹介した模型の座標と寸法を計算した結果を載せておきます。

図 1

　図1では、正五角形の一辺の長さを2にしています。実はこの図は前回の更新のとき(11/8の朝です)、掲載するつもりでした。そのときには、このCGを描いたときに使ったプログラムの計算をそのまま載せていました。

　わかりにくいですが、上記のプログラムの4行目にP1という座標を定義している箇所があります。kという変数を導入しています。黄金比を gr と置くと、kは gr/(gr+1) なのですが、実はこれは整理すると gr-1 となることがわかりました。というように簡単にしてゆくと、上記の図1のように表記できることがわかったので、前回の更新で掲載するのをやめて、今朝、図を作り直しました。

　ちなみに、この多面体は五角形4面、台形4面の八面体です。稜の本数は18本あります。正五角形の一辺の長さを1とすると、この多面体の大部分の稜は長さが1になります。

図 2

　ちなみに台形のほうは図3のようにして作図しました。

図 3

　正五角形の底辺を半径として２つの円弧を描いて、別に台形の上辺の線分を用意しておいて、上辺を水平にして中心を合わせながら上下に平行移動して、円弧にぶつかるところを探しました。

　展開図は図4のようになります。（のりしろなし）

図 4

　模型を作ってみて、なかなか面白いかたちだったなあと思いました。

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　先日、高速道路の出口でETCのレーンを通過しようとしたら、すぐ前のトラックが「読み取りエラー」になってゲートが閉じてしまいました。私の後ろにももう1台、車がついてきていました。ETCレーンでトラブルがあった場合、危険なので絶対にバックしてはいけません。隣のETCレーンは次々と車が通過してゆきます。「あ、失敗したなあ」と思いました。

　しばらくして係員の方が地下通路を通ってやってきて、まずは操作パネルのボックスを開けて、ゲートの上の表示を(おそらく)進入禁止といった表示に変える操作をしました。それから、手動でゲートを開けて前のトラックを誘導しはじめてくれました。前のトラックがまた反応が遅くて、係員が一生懸命誘導しようとしているのにそれになかなか気付かないのです。私は状況が知りたくて窓を開けていたのですが、トラックは窓を閉めていて、車の走行音がうるさい状況なので、聞こえなかったようです。

　

　結局10分近く足止めされました。こういうときの10分は長く感じるものです。でも一番気の毒だと思ったのは、必死で誘導しようとしていた係員さんでした。ようやくトラックが退避してくれて通れるようになったとき、窓を開けていたので、「ご苦労様です」と声を掛けたら、元気に「ありがとうございます！」と返してくれました。

　このやりとりをしたおかげで、この一件はとてもさわやかな記憶になりました。

　30年くらい前、自動車の運転免許証を取得するために自動車学校に通っていたとき、学科の講義の中で先生が「皆さん、車は譲り合いが大事です。私くらいの年齢になると、若い女性ドライバーに道を譲って、ちょっと会釈とかしてもらったりすると、胸がスーッとしてその日は一日心がぽかぽかするんですよね」と面白おかしく話をしてくれたのを思い出しました。

＜おまけのひとこと＞
　体調が良くないです。妻もまだ風邪が回復していなくて、二人で不調で困りました。