以前の「ひとこと」 ： 2016年7月前半
7月1日(金) 全ての正方形がちょうど３つの正方形に辺で接している状態(その2)
先日、「すべての正方形が、ちょうど３つの正方形と互いに辺(の一部)を共有して接しているようにしなさい」という問題をご紹介しました。答そのものではないですが、大きなヒントを載せたいと思います。
正方形の大きさを問わないならば、正方形６個のこんな解があります、というのを紹介しました。
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| 再掲図 |
これをグラフ表現してみます(図1)。
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| 図 1 |
図1の白マルが正方形を表し、黒い線が正方形どうしが接していることを表しています。グラフの頂点(白マル)の数は6で、これが正方形の個数になります。全ての正方形が、接している相手が３つなので、グラフのすべての頂点から出ている枝の数(次数といいます)は３です。
さて、先日出題したのが、「正方形の大きさが同じという条件で、すべての正方形が、ちょうど３つの正方形と互いに辺(の一部)を共有して接しているようにしなさい」という問題でした。
答そのものではなく、答のグラフ表現を載せます。このグラフから実際の配置を作るのもちょっとしたパズルです。
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| 図 2 |
一応正解の図をこちらに置いておきます。リンクをクリックすると、いきなり正解の図が現れるので見たくない方は開かないでください。
＜おまけのひとこと＞
このグラフがきれいなので、このグラフを描きたくなったのです。本当はパズルの答は簡単に公開してはいけないと思うのですが。
7月2日(土) 小惑星の問題
突然ですが、地球を一周する距離がどのくらいなのかご存知でしょうか？ 地球は厳密には正確な球体ではありませんが、ほぼ球面だとみなすことができます。昔、1メートルという距離を決めるときに、北極から赤道までの距離(つまり地球の４分の１周)を基準に決めたというのは有名な話だと思います(今の1メートルの定義は違います)。
有名なパズルに「地球上である地点から１万キロ南に直進し、そこから東に１万キロ直進し、さらにそこから北に１万キロ直進したら元の場所に戻った。出発点＝到達点はどこか？」という問題があります。
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| 図 1 |
この話をご存じだという前提で、次の問題を考えてみてください。
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完全に球体の形状をした小惑星に、探検隊の宇宙船が着陸しました。宇宙船には７機の無人探査機が備わっていました。無人探査機は予めプログラムされた通りの動きをします。探検隊の隊長は、７台の探査機に同じ動作をプログラムしました。 1) 2) 90°左に向きを変え、さらに 3) もう一度90°左に向きを変え、さらに 4) 到達した地点を報告せよ ただし、進む距離 その結果、驚いたことに７台のうち６台が同じ地点に到達しました。さて、この小惑星の大きさはどのくらいでしょうか？ また、１台だけ、別の場所に到達したのは移動距離が何kmの探査機でしょうか？ |
球面上の「直進」というのは、必ず大円上を進みます。例えば地球上の「等緯度線」沿いに進むのは「常に東(または西)に進む」のであって、「東にまっすぐ進む」わけではありません。平面上であれば、まっすぐ
大変おもしろいパズルだと思うのですがいかがでしょうか。（今回の更新の中では解説や解答を書きません。)
7月3日(日) 台形のパズル
図形を分割するパズルです。図1のような台形を考えます。
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| 図 1 |
これは、底角が60°で、左右の斜辺と上の辺の長さが同じで、下の辺だけがその２倍の長さの台形です。図1のように、正三角形を３つつないだ形といってもいいですし、正六角形のちょうど半分と言ってもいいです。
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問題です。この台形（等脚台形）を４つの同じかたち(相似形)に分割してください。 1) ４つとも合同になるようにしてください。(２つの解が知られています) 2) ３つが合同で、残りの１つの大きさが違う分割をみつけてください。(３つの解が知られています) 3) ２つが合同で、残りの２つも合同、ただし２種類の大きさになる分割をみつけてください。（２つの解が知られています） 分割したかたちは、裏返し(鏡像)でもかまいません。１つのかたちは必ず連結で(飛び地はなく)、直線で囲まれた多角形です。 |
４つとも合同、という問題は知っていたのですが、２番目と３番目は知りませんでした。面白い問題だと思います。
妻が主に乗っている車を点検に出しました。すでに３回車検を通していて、まる８年になります。車検のときに加入しているメンテナンスパックで、エンジンオイルとかフィルタとかは替えてもらえるのですが、それ以外の消耗品は有償です。これまで一度もスパークプラグを替えていなくてだいぶ劣化しているなど、合計で12,000円弱かかります、とのことでした。あまり距離は乗らない車なので、整備して大事に乗ってゆきたいと思っています。
7月4日(月) ゴリゴン(その1)
「まっすぐ進んで直角に曲がってまたまっすぐ進んで…」という話つながりの話題です。ゴリゴン(golygon)という図形があります。1単位の長さだけ進んで直角に曲がって、2単位進んで直角に曲がって、3単位進んで直角に曲がって…を繰り返して出発点に戻ってくるかたち、というのが素朴な定義です。いろいろ研究されていて面白い図形なのですが、ご存知でしょうか。
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| 図 1 |
まず、辺の長さが1〜8の八角形のゴリゴンとして、図1のようなものが知られています。他にも辺の長さがもっと多いものも知られていますが、このかたちの面白い性質の１つとして、この八角形ゴリゴンは平面を充填するタイリング可能な図形なのです。
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| 図 2 |
図1と、それを180°回転させたものを配置してみた図です。これらはそれぞれ平面を充填します。イメージが湧くでしょうか？
タイリングパターンは図3のようになります。図3の赤い菱形マークは、タイリングパターン全体が、そこを中心に180°回転対称になっていることを表しています。このパターンには鏡像対称は存在しません。４つの２回回転対称点の配置は平行四辺形の頂点になっています。
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| 図 3 |
このタイリングパターンは、任意の四角形の平面充填パターンと同じです。
さて、ここまでお読みいただいた皆様、ぜひ一度自分で方眼紙（もしくはパソコン）で、正解を見ずに「１単位、２単位、３単位…」と進みながら八角形ゴリゴンを描いてみてください。どちらに曲がるかがポイントです。さらに８回で出発点に戻ってこられたら、その図形をタイリングしてみてください。私は久しぶりに記憶だけで今回の更新の内容の図を描こうとしたら、タイリングパターンをすぐに見つけられなくて焦りました。
最近また時間があるときに英語の勉強を細々としています。早朝に目が覚めてしまったときに、小声で英語の例文を繰り返し発音していたら、妻から「フランス語の勉強を始めたのかと思った」と言われました。英語に聞こえなかったということですね。うーむ。
（私は大学で第二外国語はドイツ語でした。大学院入試のときにはドイツ語もありました。辞書持ち込み不可で全文訳の問題だったのですが、内容が確かベンゼン環の構造を提案したケクレの話で、有名な「夢を見てベンゼン環の構造を思いついた」という内容だったので助かりました。
フランス語も第三外国語で一応登録はしたのですが、最初の１ヵ月で諦めて受講申請を取り下げました。なのでフランス語は全くわかりません。（ドイツ語もほぼ全て忘れましたが。）
7月5日(火) ゴリゴン(その2)
ゴリゴンの定義では、距離を１単位ずつ伸ばしながら「必ず直角に曲がる」のですが、曲がる角度を直角に限らないことにすると、違うかたちのものができる、ということを知りました。ゴリゴンをご存知の方でも、これは知らない方もいらっしゃるかも、と思って紹介します。
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| 図 1 |
辺の長さが1,2,3,…,8の八辺形です。頂点はすべて格子点に乗っています。面積も整数値になります。ご覧のとおり、3:4:5の直角三角形を利用しているのです。例えば5:12:13という直角三角形も知られていますが、それを利用したもっと大きなゴリゴンもどきも作れるそうです。
残念ながらこの図1のかたちは、どちらも平面を充填することはできないようです。
＜おまけのひとこと＞こういのは、方眼紙とエンピツでいろいろ考えるのが面白いです。私にとってコンピュータ（パソコン）は図面を描くときにはまだまだ「清書マシン」としてしか使えていないなあと残念に思います。
7月6日(水) ポリアモンドのタイリング(その1)
タイリングについてちょっと調べていたら、面白い(難しい)問題を知りました。正三角形18個をつないだ図1のような形で平面を充填せよという問題です。あのペンローズが発見したものだそうです。
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| 図 1 |
普通にやったのではとても解がみつからないので、今回は今日と明日の更新で答まで載せてしまいます。
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| 図 2 |
まずは与えられたかたちを４つ組み合わせて図2のかたちにします。このかたち、なんとなく「ひし形っぽい」です。でも、残念ながら平行移動だけではタイリングできません。
いったんここで切ります。
7月7日(木) ポリアモンドのタイリング(その2)
昨日の図2のかたちを「ひし形」とみなして、それを３つ集めて「正六角形っぽい」かたちを作ります(図1)。
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| 図 1 |
実はこれこそが平行移動だけでタイリングできる基本図形になるのです(図2)。
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| 図 2 |
このかたちを、普通に正六角形で平面充填するように並べると、図3のようになります。
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| 図 3 |
とても面白くて図を描いてしまったので、ご紹介することにしたのでした。
＜おまけのひとこと＞最近、仕事で海外と英文のメールをやり取りする機会が増えました。今は自動翻訳とかのサービスが利用できるので、昔よりもだいぶ楽ですが、それでも自分がイメージしている英文とは違った翻訳案が出力されて、それを逆に自動翻訳で日本語にもどして「やっぱりおかしいよなあ」と思ったりすることが多いです。
ビジネス上の微妙な内容というよりは、技術的な話が多いのですが、一応内容は伝わっているようです。困るのはweb会議とかで英語で会話すると、相手の言っていることはだいたいわかっても、とっさに言葉が出てこないのです。普段英語でメールのやり取りをしているので、私がそれなりに英語がわかると(誤った)期待をされているようで、会議では寡黙になってしまって迷惑をかけています。
7月8日(金) 「命がけで南極に住んでみた」
先日、図書館で「命がけで南極に住んでみた」という本を借りてきて読み始めました。
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| 図 1 |
子供のころ、探検や冒険の物語が好きでした。過酷な環境に対して知恵を絞って目的を果たして凱旋する、という話が単純に楽しかったのです。ただ、特に極地ものは過酷で厳しい話が多くて、読み進めるのがつらいものもあります。
この本を読み始めて最初に、訳注として「East Antarcticaは『東南極』と訳すべきかもしれないが、「トウナン」と読めてしまう。「東・南極」と中点を入れるのもいやなので「南極東部」と訳す」と書かれていました。ハテ、南極大陸の中心は南極点で、東とか西とかは同心円上の円周方向の左回り、右回りの向きを表していて、南極点から放射状に離れる方向はすべて「北向き」のはずなのに、西部とか東部とかいうのはいったいどういうことだ？ と疑問に思いました。 本の中の地図をみて理解したのですが、この疑問を持ったこと自体がちょっと恥ずかしくなりました。南極東部、南極西部とはどういう意味なのかわかりますか？ 南極北部とか南極南部はあるのでしょうか？
そういえば、A.A.ミルンの「くまのプーさん」の中で、「北極」を探しに行く話が出てきます。その中で、「西極」「東極」もあるんじゃないかなあ、みんなあんまり話したがらないけれど、というようなセリフが出てきたのを思い出しました。
この本は、南極の基地にいる研究者の暮らしや南極の生き物の話、天文の話など、面白く読んでいます。リアルで重たい話もでてきます。
＜おまけのひとこと＞サラリーマンを長年やっていると、こういった物語も「組織論」とか「リーダー論」とか教訓的に読もうとする記事などを見かけたりするのですが、あくまでも物語として楽しみたいです。
7月9日(土) ２種類のサイズの円による最密充填
同じ寸法の円をぎっしり詰めるには、ハチの巣のように三角格子に並べるのが最も隙間が少なくなります。では、円の大きさを２種類使っていいとしたら、もっと充填率を上げられるでしょうか？
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| 図 1 |
素朴に考えると、通常の円の最密充填の隙間にちょうどぴったりおさまる小さな円を詰めれば、その分だけ隙間は少なくできます(図1)。では、２種類の円で隙間なく詰める方法はこれだけでしょうか？
Tom Kennedy (2006). "Compact packings of the plane with two sizes of discs". Discrete and Computational Geometry 35 (2): 255-267によると、２種類の円で最密充填するやり方は９種類あるそうです。図を眺めているだけで楽しいので、上記論文からあと４つほど図を引用させていただきます。
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| 図 2 |
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| 図 3 |
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| 図 4 |
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| 図 5 |
大変面白いです。
追記：Polyhedronの日記のYさんからメールをいただきました。こちらで議論・整理していただいています。ありがとうございます。興味を持っていただけたことがとても嬉しいです。でも、軽々しく「最密充填」などという誤解を招く表現をしてしまいましたことをお詫びします。(2016.07.16 追記)
＜おまけのひとこと＞7月9日(土)に、7/9〜7/15の一週間分の更新をしています。
7月10日(日) 時間の小町算
小町算というパズルがあります。１〜９の９種類の数字、もしくは０〜９の10種類の数字を１つずつ使って何らかの数式を作るという遊びです。
こんな問題を知りました。図1の10個の□に0〜9の数字を１つずつ入れて、等式が成立するようにしなさい、というものです。
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| 図 1 |
手で解いてみようかなあとも思ったのですが、プログラムを書いてパソコンに解を探してもらいました。
先週の木曜日、7月7日はとても暑い日でした。今日(更新をしている7月9日)は台風の影響で雨が降っていて気温が上がらず涼しいです。最高気温が21℃くらいということで肌寒いくらいです。
7月11日(月) 小惑星の問題(解答)
先週、こんな問題をご紹介しました。
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完全に球体の形状をした小惑星に、探検隊の宇宙船が着陸しました。宇宙船には７機の無人探査機が備わっていました。無人探査機は予めプログラムされた通りの動きをします。探検隊の隊長は、７台の探査機に同じ動作をプログラムしました。 1) 2) 90°左に向きを変え、さらに 3) もう一度90°左に向きを変え、さらに 4) 到達した地点を報告せよ ただし、進む距離 その結果、驚いたことに７台のうち６台が同じ地点に到達しました。さて、この小惑星の大きさはどのくらいでしょうか？ また、１台だけ、別の場所に到達したのは移動距離が何kmの探査機でしょうか？ |
そうしたら、久々にメールで回答をいただきました。大変嬉しいです。ありがとうございました。
正解はこちらに置いておきます。（リンクをクリックすると正解のテキストを画像にしたものが開きます。）
追記：この解答を公開したところ、Oさんという方から「この問題、解は無限個考えられます」というご指摘をいただきました。私は気が付いていませんでしたが、ご指摘の通りでした。ありがとうございました。上記の「正解」はそのうちの最大のものです。いずれの解も、一台だけ別の場所に到達する探査機は同じものになります。とすると、小惑星の大きさを問うのではなく、「一台だけ別の場所に到達した機体はどれでしょう？」ということだけを尋ねる問題にすべきだったなあと思いました。まあでもそのままにしておきます。(2016年7月10日 13:00）
＜おまけのひとこと＞今回の出題で、想定外の解答があったことがわかりました。ちょっと恥ずかしかったですが、複数の方からメールでコメントを頂くことができてとてもうれしかったです。ありがとうございました。
7月12日(火) 等脚台形を４等分する
先日、正六角形の半分の等脚台形を４つに分割するというパズルをご紹介しました。一般に等脚台形を４つの合同なかたちに分解する方法についてちょっと考えてみました。
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| 図 1 |
まずは与えられた等脚台形(図1左)の左右の辺を斜辺とする直角三角形を考えます。それを２つ、図1中央のように組み合わせて、等脚台形の真ん中に置きます。隙間の部分は等しい長方形になりますが、それをさらにそれぞれ縦に二等分します。得られた長方形をそれぞれの三角形に連結すると、図1の右のようになります。
ということで、「正六角形の半分」という特別な等脚台形ではなくても４つの合同なかたちに分割することができることがわかりました。しかし、これはどんな等脚台形でも使える手法でしょうか？
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| 図 2 |
例えば図2のような場合、図1の手法は使えないことがわかります。図1の方法が使える限界の条件は(すぐにわかると思いますが)上の辺の長さと下の辺の長さの関係から決まります。
＜おまけのひとこと＞先週、義父が眼の手術で入院しました。経過が順調ということで、ほっとしています。
7月13日(水) 時間の小町算(解答)
時間の小町算
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の解答です。私が最初に書いたプログラムでは、全部のマスの数字を0〜9まで振って、計算が合うものを出力させてみたのですが、そうしたら41個の解が出てきました。
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| 図 1 |
すみません、これ、テキストではなくて画像です。この中から題意の答（分、秒が60を超えていなくて、時間のところが1以上)を見つけてみてください。１つだけ正解があります。
分と秒の十の桁は6以上になってはいけなかったですね…。でも「47分38秒×2＝95分16秒」なんていう解は許される気がしました。
＜おまけのひとこと＞プログラムミス(60以上を探索している)を逆手にとって、今回の更新のネタにしてしまいました。
過去にも何度も書いていますが、こんな計算を一瞬で解いてくれる計算機はありがたいです。
7月14日(木) Animal Balance(その3)
妻がアニマルバランスでこんな作品を作ってくれました。
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| 図 1 |
ゾウが真ん中の中心にいること、キリンがいちばんてっぺんに乗っていること、全ての動物は自然な姿勢（足が下）になっていること(ワニだけがちょっと斜めかな…)、左右の動物の顔の向きが内側になっていて、「そっぽを向いている」動物がいないこと、など、とてもバランスの良い造形だなあと感心しました。
＜おまけのひとこと＞なかなか安定性がよくて、半日くらいずっとこのまま立っています。
7月15日(金) 温度計パズル
最近、温度計パズルというのをやっています。
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| 図 1 |
画面上には温度計が配置されています。温度計は各マスに１本ずつ乗っています。最初は全部濃い紺色のシルエットになっています。枠外の数字を手掛かりに、各マスをアルコール(問題では「水銀」と書かれていますが、この色はアルコール温度計に見えます)で満たすか、それとも白にするかを決めてゆきます。枠外の数字は、アルコールがある（赤い色の）マスの数です。温度計ですから、アルコールは根元の球状の「アルコールだまり」に繋がっている必要があります。全部が赤でも全部が白でもかまいませんが、赤と白が逆転することは許されません。これが大きなヒントになります。
図1は8×8マスの問題の例ですが、4×4から11×11まで、全部で260問あります。そろそろ解き終わってしまいそうです。
＜おまけのひとこと＞今年から社会人になった娘が、先月「銀行業務検定」の「信託業務３級」というのを受験したそうです。合格率は35％くらいらしいのですが、受験者４千名余のうちで二桁台の順位（上位１％くらい）で合格したそうで、とても頼もしく思いました。