以前の「ひとこと」2004年4月後半

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4月16日(金)　三角柱4本を組む

　紙の筒4本をきれいに組もう、ということで考えていたことを、このところずっとご紹介してきました。昨日は六角形4本の交差するモデルをご紹介しましたが、これは安定して組み合わさっていませんでした。もっとしっかり安定するように、ということで、今日は三角柱4本を組んだモデルをご紹介します。まずは写真をご覧下さい。

図 1 図 2

図 3 図 4

　これも、いつものように長方形の紙を平行に折りたたんで紙の筒を作って、そこに切り欠きを入れたものを組み合わせて作っています。今回のものも４つのパーツは全て合同です。接着剤等は一切使っていません。これを組むときには、残念ながらパーツを変形させる必要があります。

　このモデルは、昨日の六角柱4本と違ってかなり安定していて、転がしたり落としたりしてもちゃんと形を保持しています。

　図4で、柱の中をのぞいてみていますが、3本のパーツが交差しているところが見えています。昨日の六角柱4本と同様、のぞく柱によって見え方は異なります。

　今日の写真のモデルがどんなかたちなのか、どのように作られているのかについては、明日以降にCGを使って簡単にご説明しようと思っています。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　昨日は、とあるちょっと高価な実験装置を使わせてもらうため、出かけていました。2時間くらいで終わるかな、と思っていたら、最初の調整だけで3時間、測定にそれから3時間かかって、予定よりかなり遅くなってしまいました。しかもその間ずっと立ちっぱなしで、久々にかなり疲れました。
　測定装置を制御しているPC(Windows 2000でした)からデータを持ち帰るため、ノートPCを持っていってネットワークをクロスケーブルで直結して取り込もうと思っていたら、相手のPCにはネットワークインタフェースがありませんでした。
　そんなこともあろうかと、CD-Rのメディアを持っていっていたのですが、CD-R のドライブは搭載していたのに、writing ソフトがインストールされておらず、OSからは CD-ROM としてしか見えていませんでした。
　仕方がないので、USBメモリを使って少しずつデータの受け渡しをしました。それも時間がかかった理由の1つでした。

4月17日(土)　三角柱4本を組む：解説

　昨日、正三角柱4本を組むペーパーモデルの写真をご紹介しました。今日はそれがどんなかたちなのかご説明しようと思って、今朝ちょっとCGを作ってみました。

　言葉で説明するのも難しいので、今回はアニメーションにしてみました。そうしたらファイルサイズがかなり大きくなってしまいました。トップページにこんな大きなファイルを置いてしまってすみません。

　いかがでしょうか。ここ数日の間に何度かご紹介している六角柱4本の交差パターンから、この三角柱4本の交差パターンができる理屈がご覧いただけますでしょうか。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　こういうややこしいかたちのものは、ぐるぐる回転させたりできるといいのですけれども、CGアニメーションはファイルサイズが大きくなってしまいますし、VRMLのような記述言語だと、普通のブラウザではそのままでは見ることができないですから、どうしたものか・・・と思っています。

4月18日(日)　三角柱を組む(その3)

　昨日、六角柱4本を組むかたちを拡張して、三角柱4本を組むかたちをアニメーションでご覧頂きました。これは、六角柱の側面に、一辺の長さが同じ三角柱を３つ、1つおきに貼り付けたものでした。

図 1

　断面で表したのが図1です。このように、正六角形に、辺の長さが同じ正三角形を３つくっつけると、1辺の長さが3倍の大きな正三角形ができます。4本を組んだ六角柱それぞれに、このような小さな正三角柱を貼り付けたものが、先日ご覧頂いた三角柱4本を交差させたモデルの形でした。

再掲

　これは一昨日(4月16日)の図4の写真です。　柱をのぞいてみると、共通部分の六角柱の周りに三角柱の隙間が見えているのがご覧いただけるかと思います。

　では、図1のBのように、くっつける三角柱の位置を１つずらしてみたらどうなるでしょう？

・・・少し間をあけて・・・

　下の図2は昨日のアニメーションと同じ絵の静止画で、図3が、三角柱を貼り付ける位置を変えたものです。視点や光源の位置、芯になっている六角柱4本の位置などは全て同じです。

図 2 図 3

　このように、捩れの構造になっているので、右手と左手のように互いに鏡像関係になります。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　昨日は久しぶりにお休みらしいお休みで、ちょっとゆっくりしていました。

4月19日(月)　三角柱を組む(その4)

　六角柱4本が交差したものに、三角柱をそれぞれ3本ずつくっつけて、大きな三角柱4本が交差するパターンができる話をご紹介しました。今日は、芯になっている六角柱の部分を取り除いた、４方向3本ずつの三角柱の交差するCGをご覧頂きます。

図 1 図 2

　右手系と左手系です。これを六角柱にすると、昨年の12月10日にご紹介したペーパーモデルになります。

図 3 図 4

　＜おまけのひとこと＞
　今日は家庭訪問だそうです。ピアノのまわりに散らかった楽譜、勝手に片付けてもいい？　と尋ねられたのですが、行方不明になるものが出るのがいやなので、片付けてから出かけないと・・・

4月20日(火)　オルダム継手

　多角柱を空間的に組み合わせる話はちょっとお休みして、今日は単発の話題です。　今年の1月に発売された数学セミナー2004年2月号に、「博物館で見たオルダム継手」（西山　豊）という記事が載っていました。これが非常に面白くて、自分用のメモとして、自分のホームページで触れておこうと思っていて忘れていました。　いくつかリンクしておきます。

　オルダム継手というのは、平行な２つの軸に回転を伝えるための継手なのだそうで、非常に面白い機構だと思います。　まず、上記の数学セミナーの記事の元になったと思われる記事が、私達の教育改革通信　第６３号　２００３/１１というページに出ていました。

　こちらのページには模型の写真が載っています。ほかにもいろいろな機構の模型の写真が載っているページで、お勧めです。

　また、こちらの26.29 オルダム継手(その1)　Oldham's couplingというページには、mpeg形式のアニメーションで、実際にこの継手が動作する様子が出ています。とても面白いです。

　＜おまけのひとこと＞
　壁に耳あり障子にメアリーのページに紹介されていた、おきらくごくらくという、小学校の先生の学校でのちょっとしたエピソードのページが面白くて、つい全部読んでしまいました。

4月21日(水)　E2系あさまのトレーナー

　昨夜、珍しく子供たちがまだ起きている時間に帰宅すると、「見て見て、これ当たったの」と、E2系あさまのトレーナーを持って玄関に駆け出してきました。

前後

　しばらく前、私の実家からうちの子に鉄道おもちゃという雑誌をいただきました。ネコ・パブリッシングという出版社の雑誌です。　この雑誌をいただいたこと自体、大変喜んでいたのですが、その中に読者プレゼントのコーナーがあって、それに応募しておいたのでした。

　当たったトレーナーは、のりもの子供服ブランドオービーンズというところのE2系あさまトレーナーです。プレゼントは、トレーナーは4種類、Ｔシャツは2種類、その他おもちゃや本などがあったのですが、トレーナーやＴシャツはそれぞれ「各1名様」という条件で、まあ当たらないよなと思いつつ応募しておいたものでした。

　今日はこれを着て学校へ行くそうです。よかったね。

　＜おまけのひとこと＞
　通勤に使っている軽自動車のエンジンオイルの警告灯が、1～2回点灯しました。いつも点いているわけではなくて、コーナーを速くまわったときなｄ強い横方向の力がかかったときだったのですが、気になります。この週末にはオイル交換に行かないと。

4月22日(木)　ビーズ多面体

　今日は、いずれ詳しくご紹介しようと思っていた多面体のシリーズのビーズ模型の１つを写真でご紹介します。

図 1 図 2 図 3

　さてこれはどんなかたちでしょうか？　ビーズは2種類使っていますが、それぞれいくつずつあるでしょう？

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　通勤に使っている車のエンジンオイルの警告灯が点いた話ですが、結局昨夜、高速道路のインターチェンジの近くにある、24時間営業のガソリンスタンドによって換えてもらいました。
　

4月23日(金)　ビーズ多面体(その2)

　昨日の続きです。今日の形はどんなかたちでしょうか？

図 1 図 2 図 3

　実は、使っている2種類のビーズの数は、昨日のものと全く同じです。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　昨夜家に帰ったら、子供たちが作ったという小さな「よもぎだんご」が小皿に３つ、私の分ということで載っていました。

4月24日(土)　ビーズ多面体の骨格

　一昨日、昨日と、2種類のビーズを使った多面体をご覧いただきました。この2種類の多面体の骨格をCGにしてみましたのでご覧下さい。

図 1 図 2

　この２つの多面体はとても関係が深くて、どちらも面の数が36、稜の数が72、頂点の数が38です。　さらに細かく言うと、36面のうち、どちらも菱形が12面と凧型が24面になっています。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　hirax.netで知ったのですが、NHKの「みんなのうた」の、1961年から現在までに放映された歌から、168曲をDVD12枚組みにして発売されているのだそうですね（こちら）。
　168曲のリストをたいへん懐かしく眺めました。さすがに初期のモノクロ映像のものは記憶がないのですが、第6集あたりに特に気になるタイトルがありました。「空にはお月さま」とか、「アスタ・ルエゴ　～さよなら月の猫～」など、また聴いてみたいなと思います。でも予算オーバーです。

4月25日(日)　テレマンのカノン・ソナタ

　先日、ちょっと実家に行ったときに、手元で行方不明になっている楽譜を捜してみました。結局みつからなかったのですが、そのかわり、いつ買ったのか記憶のない、存在すら忘れていた楽譜が出てきて、大喜びしています。昨夜、いくつか簡単なMIDIデータにしてみましたのでご紹介します。

　これは、テレマンの６つのカノン・ソナタというもので、２つの旋律楽器（ヴァイオリンとかフルートとかリコーダーとか）で演奏できるものです。ところが、楽譜は下のように完全な単旋律のものが1本あるだけです。

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　これをどのように２つの楽器で演奏するかというと、楽譜の1段目に1と2という数字が見えると思いますが、最初に演奏を始めたパートが1小節先に進んだところで2つ目の楽器が先頭から演奏を開始します。　最後の段の最後から2小節目の先頭にフェルマータがついていますが、後ろから追っかけるパートは、このフェルマータのところで音符を長くのばして一緒に終止します。

　いわゆる「カノン形式」ですが、6つのソナタの3つの楽章全てが同様に書かれています。１つの小節に注目すると、自分が先行しているときは1小節前と協和しなければいけませんし、相手が先行しているときは1小節後と協和しなければいけません。　リズムやフレージングが変わるところや、例えば上の譜例の下から2段目の29小節目のように、和声が変わるところなど、巧みに処理されていて面白いです。

　とりあえず上記の譜例の第1楽章のMIDIデータを作ってみましたので聴いてみてください。1パートだけのものと、2パートの作意通りのものです。　最初に1パートだけのものを聴いて、これがカノンになるとどんな印象になるか、想像しながら聴いてみると面白いです。

tel6k11a.mid 第1楽章：1パート

tel6k11.mid 第1楽章：2パート

　なお、ためしに3パート目もカノンとして加えたデータも作ってみましたが、当然ながら全く合わないところがたくさんあって美しくありませんでした。（お聴きになりたければご連絡いただければ差し上げます。実験としては面白いかもしれません。）

　実際にふたりで演奏してみると、おそらくずれてしまったら復帰は難しいだろうなと思います(笑)。今度やってみたいと思っています。

　＜おまけのひとこと＞
　昨日、「アスタ・ルエゴ」が懐かしいと書いたら、あのアニメーションはよかったですねという感想をいただきました。ありがとうございます。　今にして思うのは、研ナオコは歌がうまかったと思います。あのシュールな歌詞の不思議な雰囲気の歌、下手に歌うと全く何がなんだかわからないつまらない音楽になってしまうと思うのですが、あれをこれだけ強烈な印象を残すものに仕上げているのはすごいと思います。

　強烈に暑かったり寒かったり、ちょっと家族が体調を崩しています。私は職場が建物の北側の日の当たらない寒いところで、先日の夏日のときにも外へ出ると暑いのですが、席にいると涼しい（むしろ肌寒い）感じで、幸いにして助かっています。　実は、暖房がなくなるこれから梅雨にかけてが、一年で職場が一番寒い季節なのです。

4月26日(月)　テレマンのカノン・ソナタ(つづき)

　昨日ご紹介した、テレマンのカノン・ソナタの第2楽章と第3楽章のデータも載せておきます。

tel6k12a.mid 第2楽章：1パート

tel6k12.mid 第2楽章：2パート

tel6k13a.mid 第3楽章：1パート

tel6k13.mid 第3楽章：2パート

　いずれも譜面の上では完全なカノンです。　カノンの基本は、先行するパートを完全に模倣するのですが、そのときにアクセントや音符の長さ、強弱のつけ方なども含めて同じにするというのがルールです。　幼いころの遊びで、誰かの真似をするという遊びがありますが、ちょうどそんな感じです。　こういうのはやってみるととても楽しいです。

　この完全な模倣から派生して、転回とか逆行とか反転とか拡大とか、さらにこれらの組み合わせとか、いろいろなパターンのカノンがあります。音楽を幾何学的に楽しむような、とても面白い世界です。さらにこれが発展したのがフーガです。

　＜おまけのひとこと＞
　植えて5年になる庭のライラックが、そろそろ咲きそうです。すぐ隣のマルメロの木は、今年はつぼみがたくさんついています。ついに今年からは実がたくさんつくかな、と楽しみにしています。

4月27日(火)　j-多面体のペーパーモデル

　ここ2日ほど割り込みでカノンという形式の音楽の話をちょっと書きましたが、その前に何を書いていたかというと、ビーズの多面体を２つほどご紹介して、その形をCGでご覧頂いたのでした。今日は、そのうちの１つをペーパーモデルでご覧頂きます。

再掲図

　最初に、今日の模型の元になったCGをもう一度載せておきます。これは全ての面が四辺形ですので、面が連結した帯で編む手法で作ってみることにしました。12個の面（＋オーバーラップ分の2面）が連なる同じ帯が6本で編めます。

図 1 図 2

　図1は一般的な視点から見たところ、図2は3回回転対称軸方向から見たところです。図2は最近話題の三菱のマークのような形が見えています。

図 3 図 4

　図3は4回回転対称軸方向から見たところです。凧型が４つ集まっている頂点です。この４つの凧型が集まった十字手裏剣のようなかたち、これがちょうど立方体の6つの面の位置関係に配置されます。そして、立方体の稜の位置に12個の菱形がある、というかたちです。　図4は１つの菱形の面を見下ろしたところです。

　作って手にとって見ると、対称性や構造がちょっととらえにくい、おもしろいかたちです。面を色分けしたりするとわかりやすくなるだろうと思うのですが、真っ白な状態で構造をあれこれ考えるのも楽しいです。

　＜おまけのひとこと＞
　実はこの多面体は、最初にCGを作って、次にペーパーモデルを作って、それからビーズ多面体を作ったのでした。この話はこれで一旦終了です。
　昨夜から、雨と風が強いです。このところ気候の変動幅が大きくて、寒くなったり暑くなったりしていて、上の子が風邪をひいてしまいました。昨日は熱があって休ませました。今年一年生の下の子が、連絡帳などを上の子の担任の先生に届けてくれました。　下の子のクラスは全部で18人なのですが、昨日は5人もお休みしていたそうです。

4月28日(水)　組み木パズル

　こんな形の組み木をご存知でしょうか？

図 1 図 2

　図1は一般的な視点から、図2は軸方向から見ているCGです。（手抜きで、全てのパーツの木目が全く同じパターンになっています。）　完成形がこの形の組み木を、石野さんの大変すばらしいページ、ちょいとパズルでも　で探してみたのですが見つけられませんでした。

　この形を紙の筒で組んでみようと思いました。さて、どんな長さのものを何本用意したらいいでしょうか？

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　毎日見せていただいているパズル工房『葉樹林』の、葉樹林日記の一昨日、04年4月26日に、「うさぎかも」というタイトルの作品が紹介されています。立体パズルで、変形しない1ピースのパズルというのは成立するだろうかという疑問を読んだことがあるのですが、これがその立派な解になっているなあと感心しました。　まあ本質的には2次元の作品だ、という意見もあるかもしれませんけれども、これはきっと自立するのですよね。面白いですね。
　多義図形というのはいろいろ面白いものがありますが、たいへんうまくまとまっている作品だと思いました。

4月29日(木)　組み木パズルを紙の筒で組む

　昨日CGでご紹介した組み木を、いつもの紙の筒を組む方法で作ってみました。

図 1 図 2

　いつもの通り、「接着はしない、切り取って折り曲げて組むだけ」というポリシーで作っています。今回のものは筒の断面のところが目立ってしまってちょっと美しくないかな、と思っています。このモデルに関しては、筒状に接着してしまったほうが美しいかもしれません。ただしこの設計では、筒をつぶして変形して組んでから膨らませるという操作が必要なので、接着してしまうとちょっと変形が大変になるかもしれません。

　これは、パーツの型紙がちょうどA4サイズの大きさの用紙1枚に入るように設計したのですが、そうしたら1本の筒の四角柱の正方形の一辺の長さがだいたい1cmになりました。ですから、手のひらにすっぽりと収まる小ぶりのモデルになりました。

　パーツの説明はまた明日。

(つづく)

　＜おまけのひとこと＞
　今月始めの地域のお祭りの日程に合わせて、金曜日に2度、勤務先がお休みの日がありました。そのかわりとして、今日は出勤日に設定されています。　4月16日の＜おまけのひとこと＞で実験室と装置を借りに行った話を書きましたが、今日もまた同じところに出かけます。今回は USBインタフェースのHDDケースを持っていくことにしました。　昨日、Windows 2000 に接続するだけで認識してくれるかなと期待してテストしてみたら、やっぱりドライバを要求されました。付属のフロッピーを入れてみると、「見つけた」と言ってインストール作業をするのですが、最後の最後で「失敗した」と言って終わってしまいます。
　生産終了の古いタイプの製品なものですから、メーカーのサイトに行っても、簡単に Windows 2000 用のドライバが見つかりませんでした。そのため Windows 2000 で認識させるのに少々苦労しました。ドライバインストール用のフロッピーを昨夜自作しました。

4月30日(金)　組み木パズルを紙の筒で組む(つづき)

　昨日の紙の筒の組み木ですが、これがどんなパーツを使っているか、簡単に書いておこうと思います。今回も、細長いコの字型のパーツを使っています(図1)。ただし、図のように、コの字の縦棒に相当する部分の内側は空っぽにしてあります。

図 1

　パーツは2種類使っていて、長いものと短いものです。長いものは6本、短いものを18本使います。パーツの図面がほしいという方はご連絡下さい。

○

　庭のマルメロとライラックの花が咲き始めました。写真を撮ってみました。

写真 1 写真 2

　上の写真から、サイズが大きい画像(ピクセル数が800x600、ファイルサイズがそれぞれ65kbyte,90kbyteくらい)にリンクしてあります。

　＜おまけのひとこと＞
　昨日は半日かけた実験が失敗で、がっくりしています。まあそういうこともあります。