以前の「ひとこと」 ： 2001年9月後半
9月16日(日) フラストレーションキューブ
折り紙でフラストレーションキューブというのを作りました。作り方は以下の図のとおりです。
折り紙の４つの角を、中心に合わせて折ります。(1〜3） 同じ物を６枚つくり(4)、それぞれの向かい合った２箇所を直角に立てます。(5) それを 6. のように「えいやっ」と一気に組み合わせると、立方体ができます。小さ目の、丈夫な紙で折るほうがしっかりします。千羽鶴用の折り紙とかもお勧めです。
隣り合う面が交互にお互いを押さえ合って構造を保っています。フラストレーションキューブという名前は、完成してはじめて安定する構造であるため、組むのが厄介でイライラするため名付けられたそうです。
９月１７日更新です。
この原理を使って、いくつかの立体を作ってみました。改めて紹介します。
9月17日(月) 栗
うちの近所、歩いて２〜３分のところに神社があります。昨日の午後に子供たちと散歩に行ったら、神社の森のはずれにある栗の木から栗の実が道の方に落ちてきていました。
まだ虫もついていないきれいな栗の実だったので、子供たちと拾ってきました。だいぶ涼しくなって、秋らしくなってきました。
＜おまけのひとこと＞
庭に、いつのまにか増えたコスモスがたくさん咲いています。ほとんどが色の濃い花です。白いコスモスがいいな、と思っているのに全然ありません。ところが先日、ピンクのコスモスの株から出ている花のうち、数個が真っ白なコスモスでした。 この白いコスモスを増やしたいんですけれども、どうしたらいいんでしょうか。
9月18日(火) 折り紙探偵団
９月１６日のひとことに書いた、「フラストレーションキューブ」ですが、私としたことが創作者を書き忘れました。川畑文昭さんという方の、1999年9月の作品だそうです。日本折り紙学会発行の『第６回 折り紙探偵団 コンベンション：折り図集 Vol.6』という本（2,000円）の冒頭に載っていました。
オリジナルの川畑さんの折り図によると、慣れてきたらだんだん折る量を少なくしていって、より難易度が高いキューブを作るように提案されています。でも、出来上る立体の美しさという点では、正方形の四隅を中央に合わせて折るもともとの折り方が一番だと思います。
なお、折り紙探偵団のWebサイトはこちらです。
＜更新情報＞
５月２２日以来、本当に久しぶりにリンク集に４箇所ほど追加しました。
9月19日(水) 椿姫
日曜日にテレビでオペラ「椿姫」（ヴェルディ作曲）のハイライトを見ました。で、そのとき思ったことです。
・一時の怒りに身を任せて、感情をぶちまけるとろくなことはないなあ
・最後に全て理解されて惜しまれて後悔してもらって逝くのだから、最後まで理解されないよりはよっぽどいいよなあ
・オペラはやっぱりヴェルディよりプッチーニがいいなあ
ヴェルディのファンの方すみません。
＜更新情報＞
あそびのコラムに、ウソ発見器というコラムを追加しました。
9月20日(木) 『ほんとうの空色』
４月７日のひとことでちょっと書いた『ほんとうの空色』という本を捜していたところ、「岩波少年文庫から復刊になったよ」という情報をいただきました。
バラーシュ 作
徳永康元 訳
岩波少年文庫088
ISBN4-00-114088-8
定価（本体 640円＋税）
さっそく買ってきて読んでみました。読んでみると、すっかり忘れていたエピソードがたくさんあったことに驚きました。この本はあまり読み返しをしていなかったからかもしれません。
同級生との軋轢のエピソードや、ねことねずみのエピソードなど、完全に忘れていました。逆に、鮮烈な印象に残っている部分に関しては、今読み返してみるとかなりあっさりしているな、と感じました。 当時、小さい頃にこの本に出会っておいてとても幸福だったと改めて思いました。
＜おまけのひとこと＞
イラストが当時と変わってしまっていて残念。でも版元が違うから仕方がないのでしょうね。
9月21日(金) くみがみキューブ
9月16日のひとことで「フラストレーションキューブ」という折り紙を紹介しましたが、これは折り紙ではなくて普通の紙をコの字型に折って組み合わせても作ることが出来ます。
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| 図 １ | 図 ２ | 図 ３ |
5mm方眼が印刷されているカードから、図１のように５マス×７マス（25mm×35mm）の長方形を６枚切り出します。 次に、６枚の長方形のそれぞれの両端5mmずつを、図２のように直角に折って立てます。 この６枚で、互いに隣の面を押さえるように組むと、図３のような立方体ができます。
この立方体は紙の丈夫さも手伝って、落としたくらいでは壊れません。ただし、組むときに最後の１枚をはめるのがちょっと厄介かもしれません。
このように、互いに隣の面を押さえ合うような安定した組み方をすることができるためには、全ての面が偶数角形（四角形とか六角形とか）であることが必要です。ただ、面の数が多くなってくると次第に球に近づくため、あまりしっかり押さえることができません。
＜おまけのひとこと＞
今使っている日本語入力システムでは、「しかくけい」と入力すると「四角形」と変換してくれますが、「しかっけい」と入力すると「市角形」となります。ところが、「ろっかっけい」と入力すると「六角形」になるのですが、「ろっかくけい」と入力すると「六角系」となります。さらに、「さんかっけい」でも「さんかくけい」でも、ちゃんと「三角形」になります。うーむ納得できない。
9月22日(土) くみがみキューブ（その２）
昨日に続いて、適当な紙を折って立方体に組んでみました。昨日は立方体の６つの面それぞれに１枚の紙を使いましたが、ふと思い立って１２本の稜（辺）それぞれを１枚の紙で作って組み合わせてみたら、と考えました。
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| 図 １ | 図 ２ |
図１で、2cm四方の正方形１２枚を用意します。それぞれを半分に折って、編むように、交互に上下になるように組み合わせてみました（図２）。これは極めて不安定で、紙の摩擦でかろうじて形を保っています。変な持ち方をするだけで、ばらばらに分解してしまいます。
また、なにせ１２枚あるので組むのにとても苦労しました。実は組むときに弱い粘着テープ（PostIt という貼って剥がせる付箋紙を使いました）で何箇所か仮押さえをしないと組めませんでした。 手先の器用な方ならば仮止めは必要ないかもしれません。
このように、多面体の面ではなく稜を１枚の紙を折って作るならば、「面が偶数角形」といった制約はなくなります。しかし、ただ二つ折りにするだけ、といった最もシンプルなユニットで組もうとすると、すぐばらばらになってしまいます。折り紙多面体では、ユニットに“継ぎ手”を折り出して、しっかり組めるように設計されているものがいくつか発表されています。でも、ユニット折り紙って同じ物をたくさん折らないといけないので面倒くさいんですよね。
＜おまけのひとこと＞
今朝は日本全国だいぶ涼しくなっているようです。私の住んでいるあたりは、アメダスの情報によると、今朝５時の気温は８度だったようです。今日はこれから小学校の運動会です。晴れてくれて助かりました。
9月23日(日) 秋分の日 リコーダー三重奏（その１）
お休みだったので、今日はリコーダーの楽譜を作りました。
| MIDI | 楽譜（画面表示用） | 楽譜（印刷用） |
|---|---|---|
| v3-12-2.mid(4kbyte) |
v3-12-21.gif (1ページ目：84kbyte) v3-12-22.gif (2ページ目：68kbyte) |
v3-12-21.png (1ページ目：94kbyte) v3-12-22.png (2ページ目：76kbyte) |
Vivaldi というイタリアバロックの有名な作曲家がいます。『四季』が有名です。この Vivaldi に、作品３『調和の幻想』という１２曲の協奏曲集があるのですが（『調和の霊感』と訳されることもあります）、この中の第１２番の第２楽章を、リコーダー３本用に編曲してみました。
実は、Bach というドイツバロックの有名な作曲家が、イタリアバロックの勉強のために、Vivaldi をはじめとするイタリアバロックの協奏曲を何曲も鍵盤（チェンバロ）独奏用に編曲しています。この作品3-12もバッハが編曲した曲の１つです。今回は Bach が鍵盤用に編曲した楽譜を元に、上記の編成用に書き換えてみました。
以前にも書いたような気もしますが、バロックの音楽というのは、楽器の音色を選ばないところがすばらしいです。弦楽器でも管楽器でも声楽でも鍵盤楽器でも、あるいはモダン楽器や電子楽器であっても、それなりに楽しいのです。
例によってこのデータは、楽譜を作ることを目的としたものです。このMIDIデータを聴くと、音量のバランスは悪いし、音量やテンポは全く変化しないし、音符の継続時間も機械的で全くフレージングされていません。
＜おまけのひとこと＞
昨日は運動会でした。朝の最低気温が６度くらいでした。日中も結局１７度くらいまでしか上がりませんでした。一日、快晴ですばらしい天気でしたが、でもとても寒くて大人はみんな風邪気味です。
9月24日(月) 振替休日 リコーダー三重奏（その２）
これも昨日作ったものです。「ハレルヤ・コーラス」で有名な『メサイア』や、『水上の音楽』などを作曲した Handel の曲です。
| 楽章 | MIDI | 楽譜（画面表示用） | 楽譜（印刷用） |
|---|---|---|---|
| 1. Allemande | h_su6-1.mid (2kbyte) | h_su6_1.gif (80kbyte) | h_su6_1.png (94kbyte) |
| 2. Courante | h_su6-2.mid (3kbyte) | h_su6_2.gif (84kbyte) | h_su6_2.png (110kbyte) |
| 3. Sarabande | h_su6-3.mid (2kbyte) | h_su6_3.gif (55kbyte) | h_su6_3.png (69kbyte) |
| 4. Gigue | h_su6-4.mid (2kbyte) | h_su6_4.gif (64kbyte) | h_su6_4.png (87kbyte) |
バロックの時代の組曲というのは、この曲のように、アルマンド・クーラント・サラバンド・ジーグ、という４つの舞曲の組み合わせ、というのが基本形です。アルマンドは比較的ゆったりした４拍子の曲、クーラントは割と速い３拍子、サラバンドは非常にゆっくりした３拍子、そしてジーグは速い舞曲、というふうに、緩・急・緩・急、となっているのが特徴です。
これがバッハの組曲とかになってくると、この４曲の構成の前にプレリュード（前奏曲）がついたり、サラバンドと最後のジーグの間にガヴォットとかメヌエットとかブーレといった舞曲が挿入されたりと、だんだん構成が豪華になってきます。
なお、データ作成の都合および楽譜作成ソフトの都合上、上記の楽譜やMIDIデータにはリピート（繰り返し）が一切ありません。しかし本来は各曲とも前半・後半を２回ずつ演奏するのが本来の姿です。 （で、２回目は思いっきり装飾する。） 楽譜には装飾音やトリルなど全然書きこんでありませんので、研究してみてください。
今回、元にした楽譜は全音のベーレンライター原典版の『ヘンデル：クラヴザン曲集３』です。元が鍵盤用の楽譜なので、３本の単旋律楽器に書きかえるときに、多少音を増やしたり減らしたり変えたりしています。
＜おまけのひとこと＞
この２日分の楽譜だけで、1Mbyteくらいの容量になります。例によって数日でサーバーから消去しますので、欲しい方がいらしたらご連絡下さい。
9月25日(火) 正四面体
９月２２日のひとことで、立体の“稜”を１つのピースにして立体を組めるということを紹介しました。これだと立体の各面が偶数角形でなくてもよいのですが不安定で困りますと書きましたが、より安定に組む方法を思いつきました。
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| 図 １ | 図 ２ | 図 ３ | 図 ４ |
図１が今回用いたピースです。寸法は適当ですが、図２の写真では縦3cm、横2cmの紙を６枚用意して、それぞれを二つ折りにして、頭の部分の角度を60°にしています。で、今回工夫したポイントは、このピースの中央部分に切り込みを入れた点です。（写真だと切り込みが見にくいです。）
図３が組み立て途中、図４が完成した正四面体です。ピースの辺の中央に入れておいた切込みのおかげで、完成した正四面体の各面の中央のところでピースがしっかり噛み合うため、かなり丈夫な立体になりました。
角度の６０°というのも目分量で適当にはさみで切っています。切り込みの長さはもっと適当です。各ピースはそんなに正確に作らなくても、それなりに形になります。
＜おまけのひとこと＞
今回の写真は白熱灯の照明でマクロ撮影したため、暗くて見にくい写真になってしまいました。すみません。
9月26日(水) 菱形十二面体
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アコーディオンというのもとても面白い楽器です。右手で鍵盤を弾き、左手で空気を送る“ふいご”を操作しながら、ハーモニックボタンを押して、和音を鳴らします。ずらっと並んでいるボタンは、それぞれの調のメジャーコード・マイナーコード・セブンスコードなどの和音です。
私も、9000円くらいで購入した小さなアコーディオンを持っています。ハーモニックボタンがわずか８個しかない、鍵盤も２オクターブ半くらいしかないかわいい楽器です。この写真に写っているようなコンサートアコーディオンは１０万円以上するので、ちょっと遊びで買ってみる、というわけにはいきません。
…とまあ前置きはこのくらいにして、この“暮らしの風”をご覧になった方で、画面左中央に写っている立体（写真左の赤枠で囲った部分）に気付かれた方はいらっしゃいますか？ 背景なのでピントがあっていませんが、これは菱形十二面体です。それも、どうやら大理石か何かで出来ているようです。右側に拡大した写真を載せておきます。
あそびのコラムの第１５回くみがみ（その１）で、菱形十二面体の話を書きましたが、これはとても面白い立体です。大理石の菱形十二面体、欲しいなあ。
＜おまけのひとこと＞
“あそびのコラム”に“くみがみ（その２）”を書こうと思いながらすでに４ヶ月経ちました。
9月27日(木) 正八面体
９月２５日のひとことで正四面体を作りましたが、同じピースを用いて正八面体を作ってみました。
使ったピースの数は今度は１２枚。各面の正三角形の中央で、３つのピースが組み合っているのがご覧いただけるかと思います。（本日の写真は、朝、日が昇ってから撮影したので２５日のものよりは若干見やすいかと思います。）
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| 図 １ | 図 ２ | 図 ３ |
正八面体は各頂点に集まる稜の数が４で、偶数です。ですから８つの面を、同じ色が稜を共有しないという条件で２色で市松模様のように塗り分けることができます。５つの正多面体（正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体）のうち、このように２色で塗り分けられるのは正八面体だけです。
この立体を組むのには結構苦労しました。最初は３ピースで三角形を１つ作って、１ピースずつ加えてゆくという方法でチャレンジしたのですが、１１ピース目で崩壊させてしまいました。
次に、上記の「正八面体は２色で市松に塗り分けられる」という理屈を利用して、３ピースで作る正三角形を４組作って、それを組み合わせるという方法にチャレンジしてみましたが、組んでいる途中で三角形が分解してしまって、これも失敗でした。
三回目のトライでは、結局１ピースずつ組んでゆく方式に戻しましたが、最初に正八面体の半分である正四角錐を作る、という方針に変えたところ、今度はなんとか完成にこぎつけることができました。はさみでピースを切り出し始めてから完成まで１５分くらいかかりました。
同じピース３０個で正二十面体も作りたいと思っているのですが、内側から粘着テープ等で仮止めしながらでも作らないと私では完成させることは難しそうです。
＜おまけのひとこと＞
昨日、正四面体の方は子供がいじっていたら壊してしまいました。興味を持ってくれるのは嬉しいのですが、「こういうものは難しいものだ」という先入観を持たれても困るので、Geo Shapes で作った正四面体や立方体、正四角錐や三角柱などを渡すことにしました。
9月28日(金) 正十二面体
立体の稜を１つのユニットとして紙で組む立体として、立方体＝正六面体(9/22)、正四面体(9/25)、正八面体(9/27)と作ってきました。 正四面体や正八面体と同じユニットで正二十面体に挑戦する前に、正十二面体を作ってみることにしました。
正十二面体は面の形が正五角形で、１２面あります。従って稜の数は12×5÷2=30あります。そこで、ユニットは３０個作る必要があります。
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今度は、ユニットはこの図のように作りました。出来上がる立体の面が正三角形の場合、ユニットの両端を60°に切り落としておく必要がありました。正十二面体の場合は、１つの内角は90°よりも大きいので、角を落とす必要がありません。そのかわり、ユニット５枚が面の中央で噛み合うためには、それなりの長さが必要になります。
2cm×3cmの紙を30枚用意し、短い方の辺同士が重なるように二つ折りにします。そして、中央に切り込みを入れて、開きます。角を落とす作業がない分だけ簡単に作れます。
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| 図 1 | 図 2 | 図 3 |
今度はユニットが３０個もあるため、組むのはさぞかし大変だろうと思ったのですが、時間はかかったものの意外と簡単に組むことができました。しかも、正八面体とかとくらべても却って丈夫なくらいです。 その理由は、面の中心で５つのピースが噛み合っているため紙が厚くなって、５枚を組んだものがとても安定しているのです。面が正三角形の多面体の場合、３枚のピースで噛み合うのですが、これだとすぐにはずれてしまうのです。
図１が出来あがった正十二面体です。中央の正五角形の中心で、５枚のピースが噛み合っているのがご覧いただけるかと思います。わかりやすいように、図２で正十二面体の縁取りをしています。 図３は、この立体を構成しているユニットがどのように使われているかを示しています。
組み立ては、最初に５枚のピースで底面を作って、次に底面の五角形に接する５つの５角形を作ります。これで面が６枚出来たので、ちょうど半分です。あとは順に伸ばして行って、最後に反対側の面を作って完成です。
同じ作業を続けると飽きるので、ピースを数個作っては組み、ピースが足りなくなるとまたピースを作る、という方法で進めました。だいたい３０分くらいで出来ました。
＜おまけのひとこと＞
このように立体の稜をユニットとして組む「稜モデル」、気に入ってしまいました。
9月29日(土) 菱形十二面体
ここ数日、立体の“稜”を１つのユニットとして組んでみていますが、今度は菱形十二面体を組んでみました。
まず、菱形十二面体の１つの面は、図のように対角線の長さの比が１：ルート２です。内角は、余弦定理で計算してみると狭い方がだいたい70°くらいです。とすると、これまでの正多面体のユニットと違って片側だけが直角より狭いことになるので、片側だけ７０°に落としてやる必要があります。（下図右の水色の部分）
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もう１つの問題は、正多面体の時には、噛み合わせのための切り込みをユニットの中央に入れればよかったのですが、菱形になるとそれが中央ではなくなります。そこで、どこに切り込みを入れたらよいか計算してみました。
で、この菱形の対角線の長さの比率はルート２なので、結局 a:b は１：２になります。また、高さhは噛み合わせの長さを考慮すると、最低でもaの1.5倍以上は欲しいところです。 結局、高さが２となるようにユニットは下図のように設計しました。
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4cm×3cmの紙を24枚用意し、短い方の辺同士が重なるように二つ折りにします。片側をだいたい70°くらいになるように切り落とし、逆側３分の１のところに切り込みを入れて、開きます。
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| 写真 1 | 写真 2 | 写真 3 |
菱形ですから対辺が平行です。そのため、噛み合わせが大変しっかりしています。写真１が製作途中、写真２・写真３が完成した菱形十二面体の写真です。
今度は床に落としてもこわれないくらい丈夫な立体ができました。ただし、最後のユニットをはめるのは非常に大変でした。はずれにくいということは組みにくいということでもあるのでした。
＜おまけのひとこと＞
この立体も、ピースを切り出したり写真を撮ったりしながら、作り始めてから完成まで３０分程度でした。ちなみに設計は帰宅の車の中で構想し、家で計算を確認しました。図面を作るのにも３０分くらいかかっています。
9月30日(日) 菱形三十面体
今日は菱形三十面体を組んでみました。菱形三十面体は、２０・１２面体の双対です。２０・１２面体というのは、この写真のような立体です。（これは割り箸と輪ゴムで作ったものです。Geo Shapes でももちろん作れるのですが、たまたま写真がみつかりませんでした。）
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くわしい説明はしませんが、２０・１２面体は正十二面体と正二十面体の中間の立体で、正五角形１２枚と正三角形２０枚から出来ています。双対というのは、あそびのコラム１５でも説明していますが、立体の場合なら頂点と面を入れ替えたようなものになります。で、本日ご紹介するのがこの２０・１２面体の双対である菱形三十面体です。
菱形三十面体の１つの面の菱形は、対角線の長さの比が黄金比になっています。頂角を約60°と書いていますが、正確には63.43…くらいですから、60°という表記は１次近似としてもかなりいい加減です。（５％も誤差がある）
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また、組み合わせるための切り込みの位置や、必要な紙の幅を知るために、図の a,b,h を計算してみました。これも本来は無理数比なのですが、むりやり簡単な整数比で近似してみました。まあどうせ紙で組むので誤差は出るし、工作をするのが私ですから、ばらつきも大きいです。だったら少しでも工作が簡単なようにと思ってこの比を決めました。
というわけでユニットは以下のように設計しました。
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いつも、5mm方眼が印刷された“情報カード”という製品を用紙に使っています。上記の寸法は、この5mm方眼のマス目の数です。用紙自体にマス目がついているので、定規も鉛筆もいらず、単にマス目に沿って切って行けばよいので楽です。６０°という角度も目分量でいい加減に切っています。理論値の63°を超えなければＯＫなので、いい加減でもそれほど問題ありません。このユニットを６０枚作ります。
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| 写真 1 | 写真 2 | 写真 3 |
写真１が、まず１つの頂点に集まる５つの菱形による星型を作ったところです。写真２は、１つの菱形を底にして、星型が４つできたところ。写真３はあと４枚のユニットで最後の菱形を作るところです。裁縫でお手玉や袋を最後に閉じるときと同じく最後は内側に手が入らないため、最後のユニットを組むところが一番大変です。
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| 写真 4 | 写真 5 | 写真 6 |
こうしてできた菱形三十面体が写真４です。なかなか丈夫です。写真５はユニット折り紙で作った菱形三十面体です。１面１ユニットなので、３０個のユニットを折って作るのですが、作るのがとても大変でした。写真６はこの２つの大きさの比較です。
＜おまけのひとこと＞
この、簡単なユニットを組み合わせて多面体を作るシリーズ、思いがけずたくさんつくってしまいました。一応明日で最後になります。これだけあったら独立したコーナーにしてもよさそうです。でも、そうやってデータを整理するより、新しいことをしたいんですよね。