以前の「ひとこと」　：　2015年7月前半

7月1日(水)　一枚の用紙から組む立体

　先日思い立って作ってみたかたちです。１枚の紙を切って折って組んであります。接着等はしていません。

図 1	図 2

　パーツはこんな風に設計しました。赤線部分はカットします。折り線は谷折です。

図 3

　どんなふうに組み立ててゆくか、イメージできますか？

＜おまけのひとこと＞
　新しい車は、カーナビはつけませんでした。オーディオは一番シンプルなものを選んだのですが、それでもUSBインタフェースがついていて、そこにUSBメモリを刺すと、メモリ内のmp3ファイルを再生してくれます。先日、内蔵バッテリーが寿命になってしまったUSBメモリ型mp3プレーヤーをつないで使っています。おかげさまで無駄にならなくてよかったです。

7月2日(木)　立方半八面体(前川淳：数学セミナーより)

　しばらく前、「数学セミナー」2013年5月号の前川淳さんの「折って楽しむ折り紙セミナー第２回」で紹介されていた立方半八面体の型紙を作図して印刷して切り抜いて組んでみました。

図 1	図 2	図 3

　しっかり折り目をつければもっときれいに仕上がるはずです。試作品の写真をそのまま載せてしまいました。すみません。

図 4

　パーツはこんなかたちになります。

＜おまけのひとこと＞
　2013年のころはホームページの更新はずっとお休みしていました。そのためその当時の「折り紙セミナー」の作品はご紹介していません。面白い作品がたくさんあるので、また作ってみたいと思っています。

7月3日(金)　八面体

　こんな八面体を作ってみました。

図 1

図 2

図 3

　どんなかたちなのかわかりますか？

＜おまけのひとこと＞
　6月22日(月)に、珍しく息子(高３)が早退してきたそうです。翌日、高熱が出ていて、病院に行ったらインフルエンザＡ型とのことでした。一週間お休みになってしまいました。はやくよくなるといいなあと思っています。(これを書いているのは6月27日(土)です。6/29(月)からは登校できるといいなあと思います。)

7月4日(土)　アルベロス：靴屋のナイフの面積(その1)

　３つの半円で構成される、図1の黄色い部分のかたちを「アルベロス（靴屋のナイフ）」と呼ぶそうです。有名な古代ギリシャの数学者アルキメデスも研究していたそうです。このかたちにかかわる様々な面白い話題があるのですが、今日はその中の１つをご紹介します。

図 1

　「図1の高さが4cmのとき、黄色い部分の面積を求めなさい」という問題です。３つの円の半径がわかればすぐに解ける問題なのですが、そのいずれも不明で、明かされているのは内側の２つの円の接点から垂線を立てて、外側の円に交わる点までの距離だけ、という問題です。

　この問題を見てまず考えたのは、「内側の２つの円の半径の比にかかわらず面積が一定になるのであれば、まずは確実に計算できる特別な場合で答を考えてみよう」でした。

図 2

　内側の円の半径が等しいならば、図2のようになります。この場合は外側の円の半径が4cm、内側の２つの円の半径は2cmということになりますから、(4×4×π÷2)−（2×2×π）＝4π　が求める答になります。

　とりあえず答は求まりましたが、本当に内側の円の半径の比にかかわらず、図1の高ささえ同じならばこの図形の面積は一定になるのでしょうか？　考えてみることにしました。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　7月4日(土)朝の更新です。今日は4日分(7/4〜7/7)です。月曜日の朝くらいに、残りの3日分(7/8〜7/10)を更新できたらいいなと思っています。

7月5日(日)　アルベロス：靴屋のナイフの面積(その2)

　昨日の続きです。３つの半円に囲まれた図形の面積を考えてみました。

図 1

　内側の円の半径をそれぞれ a、b とします。図1のように、大きいほうを a とします。そうすると、外側の円の半径は(a+b)になります。すると求める面積は図1の一番目の式のように、πab となります。

　さて、赤い直角三角形に注目します。高さは問題で与えられているように4cmです。斜辺は外側の円の半径になりますから(a+b)です。底辺はちょっと考えるとわかりますが(a-b)になります。

　この直角三角形に三平方の定理を適用すると、図1の２つ目の式になります。これを展開して整理すると、ab=4となります。

　このように、たった１箇所の長さが与えられるだけで面積が決まる、というのがとても面白いと思いました。

＜おまけのひとこと＞
　車が納車から３週間になりました。走行距離も1,200kmくらいになったので、ちょっと早いですが最初の１ヵ月点検に持ってゆくことにしました。30〜40分程度とのことです。オイル交換してもらって、それからはもう少しエンジンを高回転まで回してみようと思います。

7月6日(月)　中学生の数学「代数の研究」

　地下室の本棚に、『中学生の数学　「代数の研究」』乾東一、松井元吉著　（科学振興社）という本がありました。1956年4月10日初版、1960年6月10日第７刷 で、定価220円です。私が中学生のとき(35年前です)、学校の数学の先生からいただいたものです。

図 1

　よくできている、いい本です。例題とか、時代を感じさせる問題があったりして楽しいです。大部分の問題は現在でも違和感なく使えるものなのですが、例えば「昭和23年末の我が国人口は約8000万人である。人口増加率を1.4％と考えると、昭和26年末の人口は大体どの位か？」とか、「上茶4kg、下茶2.5kgを1375円で買い、上茶を2割5分高く、下茶を8分安く売ったところ、220円の利益を得た。上下各1kgの買価を求めよ。」とか、今見ると面白いです。

　時代を感じさせるのが、数表の利用に関する章や、計算尺の章があることです。

図 2

　私が小学生のころには小型の電卓が普及していたので、すでに計算尺を使える人は減ってきていましたが、今や計算尺を知らない人が大部分なのではないでしょうか。

図 3

　「そろばん」はまだかろうじて義務教育に残っていると思います。これは逆にすごいことだと思います。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　自動車の運転免許証の更新の案内のハガキが来ていました。

7月7日(火)　計算尺

　私の両親とも理系だったので、父も母も計算尺を持っていました。父が持っていた計算尺はヘンミの直線型のもので、母が持っていた計算尺はコンサイスの丸型計算尺でした。母のものは四角いカード型のフレームの中に丸い可動部と透明なカーソルがついているもので、かさばらずに持ち歩きやすい、優れたデザインでした。どちらもまだ実家にはあるかなあと思います。

　10年くらい前に、どこかのリサイクルショップに、わりと状態の良い計算尺があったので、衝動買いしました(図1、図2)。買値は250円でした。作られているものの精度や元値からすると申し訳ないくらい安い値段です。

図 1

図 2

　ヘンミのNo.2446Sというモデルです。検索してみると、こちらに紹介がありました。

　計算尺について検索してみると、実にたくさんのページがヒットします。また、ヘンミ計算尺株式会社のホームページを見ると、主力製品こそ変わっているものの、立派に存続されていることがわかって嬉しくなりました。

　計算尺は、有効桁数３桁くらいで数値を見積もるのにとても便利な道具です。計算結果の小数点位置は、概算して決めます。なので数値の大きさに関する感覚がないと使えないですが、逆に桁数の感覚が身に付きます。（計算機の計算結果を盲信していると、ちょっとした入力ミスや打ち間違えなどに気が付かないことがあります。）計算尺の世界に戻るべきだとか、教育に計算尺を導入したほうが良いと主張するつもりはありませんが、ほんの数世代前にはこうやって計算していたのだということを知ることはとても面白いことです。

＜おまけのひとこと＞
　古い時代のSFとかを読んでいると、エンジニアが白衣の胸ポケットに小型の計算尺を挿しているといった表現が出てくることがあります。

7月8日(水)　正四面体を連結した「らせん」(その1)

　先日、ちょっとした実験のために久々にJOVOブロックを出してきたので、いろいろいじってみていたのですが、こんなかたちを作ってみました。

図 1

　水戸芸術館のタワーのイメージです。中をのぞいてみると、こんな感じです(図2)。

図 2

　これはどうやって作っているかというと、図3のように正三角形を３列に並べて、筒状にします。

図 3

　そうすると、向かい合う辺はちょっとずれているので、　図4の赤矢印のように辺を対応付けます。そうすると自然にねじれたらせんのかたちになります。

図 4

　一方、図5のように反対側にずらすこともできます。

図 5

　図1に２つのらせんが写っていますが、図4のように作ったものと図5のように作ったものです。（色が違っているのが若干わかりにくいかもしれません。）もちろんこれ、もっとずらすこともできます。

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　7月6日(月)の朝に、7/8〜7/10の３日分をあわてて更新しています。
　水戸芸術館、一度行ってみたいです。ペーパークラフトが配布されているようで、苦労して作られているページがありました。正四面体を１つずつ作って積み上げる方式になっているようです。それは大変だと思います。

7月9日(木)　正四面体を連結した「らせん」(その2)

　せっかくなので塔のように立ててみようということで、ブロックのパーツを使って立てられないか、ちょっと工夫してみました。

図 1

　五角形や三角形のパーツを使ってこんな風に自立させてみました。

図 2

　斜め上から見たところです。植物の種子から発芽しているところみたいです。

○

　7月4日の土曜日に、娘が就職活動の先輩訪問で軽井沢に来るというので、車で軽井沢に行ってきました。大変な渋滞で苦労しました。娘と合流した後、妻と娘を千住博美術館におろして、私は娘の訪問先の場所を確かめに行ってきました。

　妻と娘と３人で軽くお昼を食べた後、娘を送って、訪問が終わるのを待って軽井沢駅まで送ってから、帰路に着きました。往路は白樺湖から女神湖を通って望月に抜けるルートだったので、復路は国道299号の麦草峠で八ヶ岳を越えて帰ることにしました。曇っていて天気はあまりよくなかったのですが、上りは霧もなく快適に走れました。

図 3

　峠の頂上付近、白駒の池を過ぎるあたりから霧が出てきて、下りはずっと霧の中でした。フォグランプを点けて慎重に走りました。楽しかったです。

＜おまけのひとこと＞
　娘は北陸新幹線の「はくたか」に乗れた、と喜んでいました。いいなあ。

7月10日(金)　「ましゅ」をペンで解く

　ニコリのペンシルパズルを鉛筆ではなくペンで解くのが好きです。マスの中に線が通っているタイプのパズルでは、直角に曲がるときには四分の一の円弧のカーブで描くのが好みです。そうすると輪っかのつながり具合がわかりやすい気がするのです。

　白マルと黒マルが配置された「ましゅ」というパズルがありますが、これを解いてみました。白マルの内部には線を引かないようにしています。そのほうが仕上がりがきれいだと思うのです。

図 1

　こんな感じになります。普通に解くより若干時間がかかりますが、一生懸命考えるのは楽しいですし、出来上がりがきれいなので満足です。

＜おまけのひとこと＞
　今年の梅雨は雨が多くて、7月だというのに涼しくて過ごしやすいです。

7月11日(土)　等脚台形と正三角形による八面体(その1)

　先日ご紹介した八面体の展開図を考えてみました。

再掲図

　JOVOブロックでこんな風に作ってみました。

図 1

　これをちょっといじっていると、複数の組み方ができることがわかります(図2)。

図 2

　最初に筒状にして(図3)、

図 3

　両端を２枚の正三角形で「ふた」をするのですが、そのやり方が図2のように２種類あります。

図 4	図 5

　図4、図5は図2の左右の組み方に対応しています。

図 6

　このように、片方は凸、もう片方は凸でない多面体になります。

○

　いつもメールで感想を下さるKさんから、八面体作りましたという写真をいただきました。本当にありがとうございます。

図 7	図 8

(つづく)

＜おまけのひとこと＞
　今週はいつものように１週間分の更新です。7月11日(土)に、7/11〜7/17分を更新しています。

7月12日(日)　等脚台形と正三角形による八面体(その2)

　正三角形３枚を連結した等脚台形４面と、正三角形４枚による八面体の話の続きです。昨日、凸のタイプと凸でないタイプをご紹介しました。

図 1

　この２つ、並べてみるとぴったりくっつきます。

図 2

　このように２つを交互に並べると菱形柱ができますので、それを並べれば空間を隙間なく充填することがわかります。

図 3

図 4

　凸のほうは、図3、図4のように正八面体２つと正四面体２つをくっつけたかたちです。また、凸ではないほうは、正八面体１つに正四面体４つを貼り付けたかたちをしています。以前にも何度か書いていますが、正八面体と正四面体の割合が１対２で、空間を充填することができます。

　この二種類のかたちのブロックがたくさんあったら、いろいろな組み合わせ方ができそうで面白そうです。

　おまけで、無理やり両端の組み方を変えてみた模型の写真を載せておきます(図5)。

図 5

　もちろんこの場合は等脚台形（緑の面）は平面にはなりません。

＜おまけのひとこと＞
　ここ数週間、家の中にJOVOブロックで作ったものがたくさん転がっています。いずれ飽きたら分解して片付けます。

7月13日(月)　三角形の「らせん」をジオシェイプスで作る

　先日ご紹介した正三角形を組み合わせた「らせん」を、ジオシェイプスで作ってみました。最初は単色で作ってみました。

図 1

　これをじっと眺めていると、デルタ６面体（正四面体を２つくっつけたかたち）が連なっているように見えてきました。そのイメージを強調するために色分けしてみました。

図 2

　２つを並べてみました。

図 3

　ジオシェイプスで組むと骨格モデルになるので、構造が見えやすくなっていいです。

＜おまけのひとこと＞
　久々にジオシェイプスを取り出しました。購入してからすでに15年以上経っていると思うのですが、パーツの弾力は失われておらず、ちゃんと組み立て・分解ができて感心しています。

7月14日(火)　オスカー・ピーターソンのジャズ・ハノン

　先日、妻がピアノ教室の生徒さんの楽譜を買いに行ったときに一緒についていったのですが、そこで自分用に楽譜を買いました。こちらのヤマハミュージックメディアのページで、演奏例を聴くことができます。

図 1

　インパクトのある表紙です(図1)。

　楽譜はとてもシンプルなのに、ジャズらしさがあって弾いていてとても楽しいです。

図 2

　これはよい曲集だと思いました。お勧めです。

＜おまけのひとこと＞
　うちのピアノは写真のようにマホガニー色をしています。結婚が決まった時、懇意にしていた調律師さんから中古で購入したのですが、「いい楽器があるんですが、色がちょっと…」と言われて、「白ですか？」と尋ねたら「赤です」と言われてびっくりしたものです。真っ赤なスポーツカーのような赤い色をイメージしてしまったので、実物を見て安心して購入しました。再来年で銀婚式なので、だいぶ経ちました。

7月15日(水)　加羽沢美濃 24のプレリュード

　昨日の「ジャズ・ハノン」といっしょに、この楽譜も買いました。加羽沢美濃 24のプレリュードです。

図 1

　知らなかったのですが、加羽沢美濃さんという方はNHKの「らららクラシック」の司会をされている作曲家なのだそうです。

　店頭でぺらぺらと楽譜をめくってみて、面白そうで弾けそうな曲もあったので、買って弾いてみました。

図 2

　きれいな聴きやすい曲が多いと思います。ちょっと弾いてみて満足しました。

＜おまけのひとこと＞
　図2で楽譜を止めているのはおおきな透明クリップです。100円ショップで2個入りのものを買いました。それなりに重さもあって、楽譜を押さえるのに便利です。