多面体の問題とその解説
問題はこちらです。
任意の凸多面体には、辺の数が等しい面が少なくとも2つ(一組)は存在することを示せ
普通に考えると、背理法を使って、「全ての面の辺の数が異なる凸多面体」を考えて、そこからオイラーの多面体定理により矛盾を導く、という方法になると思います。こちらにその方針で解いた例を載せました。
でも、オイラーの多面体定理を持ち出すまでもなく、こんな考察をすることで示せるのです。
すべての面の辺の数が異なる凸多面体が存在すると仮定します。その多面体の面のうち、辺の数が最大の面FmaxがN角形だとします。（仮定より、その面は１つだけ存在するはずです。）
Fmaxには隣接する面がN面あります（F1,F2,…,FN）。仮定より、F1からFnの面の辺の数はすべて異なり、かつNより小さいはずです。しかし、辺の数の最小値は3で（一角形や二角形は存在しない）、最大値はN-1以下のはずですから、最大でもN-3種類しか異なる辺の数になりません。したがって、辺の数が等しい面の組が最低でも一組は存在します（ハトの巣原理）。ポイントは「最大の面に注目する」ことでした。
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