この問題は 凸多面体の面の辺数の分布を考える組合せ幾何の問題で、基本的には
オイラーの多面体公式を用いた背理法で証明できます。

まず凸多面体について、次の記号を導入します。

すると凸多面体では必ず


が成り立ちます。これは Euler's polyhedron formula です。

証明

1. 仮定（背理法）

すべての面の辺の数が 互いに異なると仮定します。

面の辺数を小さい順に


と書くと


です。

凸多面体では各面は少なくとも3辺を持つので


したがって


の最小の並びは


になります。

2. 面の辺数の合計

各面の辺数の合計は


ですが、これは各辺が2つの面に属するため


です。

仮定より


右辺を計算すると


は


になります。

したがって


つまり


3. 頂点数との関係

各頂点には少なくとも3本の辺が集まるので


よって


4. オイラー公式に代入

オイラー公式


に を代入すると


整理すると


つまり


5. 不等式の矛盾

ここまでで


が必要になります。

したがって


両辺4倍して


整理すると


しかし


の判別式は


で常に正なので、この不等式は どんな に対しても成立しません。

6. 結論

したがって

すべての面の辺数が互いに異なる

という仮定が矛盾します。

ゆえに

任意の凸多面体には、辺の数が等しい面が少なくとも2つ存在する。